29-Texto del artículo-115-1-10-20160309

Vista previa del material en texto

1.7. LA INTERPRETACIÓN HEURÍSTICA 
EN LA OBRA DE REY PASTOR 
A. Hernando González 
Dpto. Matemáticas y Computación, Universidad de Burgos 
l. INTRODUCCIÓN 
El objetivo de estas páginas es mostrar las evidentes diferencias entre los 
enfoques pedagógicos y, por tanto, heurísticos defendidos por Rey Pastor y la 
ortodoxia de cuño bourbakista del momento. 
No he tratado de hacer un estudio detallado de todas las obras de Rey 
Pastor, tarea que, además de ser muy amplia, llevaría necesariamente a la de 
sus colaboradores y discípulos más cercanos. Incluso limitándonos a los libros 
de texto sería eso un trabajo muy arduo, aunque también es verdad que tendría 
un interés intrínseco ya que las diferencias pedagógicas, son trasunto de 
diferencias más profundas que atañen a la propia esencia de las teorías 
matemáticas e, incluso, a su forma de desarrollarlas y, por tanto, a las futuras 
vías de investigación. 
En esta pequeña contribución he tomado en consideración 
únicamente dos libros de texto en sus últimas ediciones: Lecciones de 
Algebra, quinta edición (Madrid, 1960) y Teoría de Funciones, quinta 
edición, (Madrid, 1967, edición póstuma). En algunas ocasiones utilizo 
material de otros textos y sí tengo presente diversos estudios sobre la obra 
de Rey Pastor; en particular los contenidos en las Actas del 1 Simposio 
sobre Julio Rey Pastor celebrado en 1983 y publicado dos años más tarde 
(en este libro se incluye una bibliografía de la obra científica de Rey 
Pastor) y en el libro: Julio Rey Pastor, matemático (1979) editados por el 
Instituto de España, de Sixto Ríos, Luis A. Santaló y Manuel Balanzat. 
Algunas obras de Rey Pastor han sido editadas en Selecta publicada por la 
fundación Banco Exterior (1988). 
2. LA SITUACIÓN EN LOS AÑOS 50 
En la década de los cincuenta la corriente dominante dentro de la 
matemática y su pedagogía era la del grupo Bourbaki. Los puntos de vista de 
Rey Pastor, claramente opuestos a los de ese grupo, se vieron como una 
inclinación hacia posiciones ya superadas. No obstante, con la perspectiva del 
momento presente no es este asunto que se pueda despachar tan a la ligera. 
112 A. Hernando González 
Los libros de texto dominantes durante mucho tiempo adoptaban un 
enfoque muy formalizado en el que se seguía el esquema de axiomas, 
teoremas, corolarios; sin hacer prácticamente ninguna referencia a nada 
exterior a esa concatenación deductiva del sistema formal. Mientras que en 
los trabajos de Rey Pastor se hacía la presentación de modo más informal, sin 
darse en la mayor parte de los casos las demostraciones detalladas de los 
teoremas y completando el texto con numerosas notas en las que el autor 
exponía sus puntos de vista, comentaba problemas relevantes o se ocupaba de 
algunos desarrollos históricos. 
En toda disciplina, y muy particularmente en matemáticas, no se puede 
deslindar lo propiamente matemático de su pedagogía ni de su filosofia. La 
razón es muy sencilla, dependiendo de lo que pensamos que es la matemática, 
así debe transcurrir su forma de ser enseñada y la misma investigación. A su 
vez, también es preciso que se imbrique todo ello con su proceso histórico, 
pues es la evolución pasada de la matemática lo que determina su realidad 
actual. La relación entre todos estos elementos está perfectamente clara en 
Rey Pastor. Nunca descuidó los aspectos pedagógicos e históricos, siempre 
desde una perspectiva muy global y muy meditada. Se puede discrepar con 
sus valoraciones, pero no se puede negar que están siempre sólidamente 
fundadas. 
3. EL ÁLGEBRA EN LA OBRA PEDAGÓGICA DE REY PASTOR 
El ejemplo del álgebra servirá para marcar nítidamente las diferencias 
entre Rey Pastor y sus contemporáneos. 
3 .1. Filosofia 
El formalismo, que en la terminología de Rey Pastor equivale a 
bourbakismo, llevaba a mediados de siglo a un ansia de generalizar; así, por 
ejemplo, en muchos libros de texto se habla de cuerpos en general, y apenas 
se mencionan los cuerpos compuestos de elementos numéricos. Rey Pastor es 
perfectamente consciente de este hecho e indica rotundamente que para él eso 
no es lo más adecuado, ya que los conjuntos numéricos no son simplemente 
"otros" ejemplos más. 
"Se comprende, pues, el ímpetu con que los jóvenes geómetras se 
pusieron a la fácil tarea de pasar del campo complejo a cualquier campo 
K, es decir, a cualquier conjunto de entes donde sean factibles las cuatro 
reglas escolares; basta en efecto, intercalar en cada alusión a los 
coeficientes el ritornello "sobre el campo K', para que la teoría quede 
modernizada" [Lecciones de Algebra, p. 159]. 
Ahora bien esa fiebre "generalizadora" conduce a un cierto abandono de 
Interpretaciones heurísticas en la obra de Rey Pastor 113 
la "sustancia" de los problemas, que quedan reducidos a un esquematismo 
formal en el que se pierde la esencia de las materias a tratar en aras de ese 
formalismo que, a fuerza de imponerse, deja sin significado la propia teoría. 
El enfoque conducente a preocuparse exclusivamente de lo más general hace 
que no se informe de la importancia especial de algunos casos particulares. 
3.2. Historia 
Ya se ha mencionado que Rey Pastor utilizaba con frecuencia referencias 
a la evolución histórica de la cuestión a tratar para anotar sus libros. Además 
dedicó un considerable esfuerzo al estudio de la historia de la disciplina como 
se comprueba sin más que consultar la lista de su bibliografia. Así, por 
ejemplo, cuando en su prólogo a su última edición de sus Lecciones de 
Algebra, cita la idea de Bourbaki de que el álgebra debe ser, antes que estudio 
de la resolución de las ecuaciones numéricas, análisis de las estructuras 
algebraicas puramente formales, reconoce que ello es así, pero pone varias 
reparos a la hegemonía del estudio de las estructuras, insistiendo en que eso 
sería desvirtuar la verdad histórica. 
Fiel a ello, en su exposición comienza por la teoría usual para resolver 
ecuaciones utilizando la teoría de Galois, y, sólo al final de la obra, introduce 
las nociones usuales de estructuras algebraicas. Tal enfoque, nos puede 
parecer hoy en día un tanto forzado. No obstante, las consideraciones 
históricas en Rey Pastor siempre están atemperadas y relacionadas con 
razones pedagógicas. 
No sería razonable que una exposición actual siguiera el orden del texto 
del riojano, pero, asimismo, la insistencia en la generalización y el olvido de 
la evolución histórica conduce a que muchas de las presentaciones de las 
estructuras algebraicas sean bastante ininteligibles. 
3.3. Pedagogía 
Precisamente son las razones pedagógicas las que llevan a Rey Pastor a 
dejar los conceptos abstractos, de más dificil asimilación, para el último 
capítulo en su exposición del álgebra, y haciendo su exposición a un nivel 
bastante introductorio. Previamente, el lector había tenido que estudiar a 
fondo la resolución de ecuaciones a la forma antigua. Tampoco lleva Rey 
Pastor su enfoque a los extremos, pues cuando le parecen más fáciles las 
notaciones o las demostraciones de tipo más general, no sólo las expone sino 
que indica explícitamente sus ventajas. En todo caso, es siempre patente el 
cuidado que pone en razonar el modo de exposición desde un punto de vista 
pedagógico. Su enfoque, hoy en día, puede parecer discutible, e, incluso 
claramente deficiente, pero tiene la gran virtud de que muestra sin ambages 
en qué esta basado. 
Muy por el contrario, una buena parte de las exposiciones actuales del 
114 A. Hernando González 
álgebra se dedican al estudio de las correspondientes estructuras sin informar 
al lector de las razones pedagógicas e históricas que justifican tal elección. Es 
más, durante muchos años se extendió la suposiCÍón de que el enfoque formal 
y estructural a ultranza se justificaba por sí mismo, y se llegó a la increíble 
aberración de que había que introducirlo incluso en los niveles más 
elementales de la enseñanza. El argumento que se daba era sencillo: si la 
matemática en el fondo se basa en las ideasde conjuntos y de su estructura, 
por ahí se debe empezar. Justo es reconocer que, incluso en los tiempos en los 
que esta (alucinatoria) corriente estaba más en boga, hubo matemáticos de 
primera fila como Thom, Freudhental o Kline que pusieron en tela de juicio 
las virtudes pedagógicas de semejante invento, pero, por ello mismo, es justo 
recordar que las reticencias de Rey Pastor, sobre todo visto lo que ocurrió 
después, eran, incluso, demasiado moderadas. 
3 .4. Otros aspectos 
El índice del libro Lecciones de Algebra tiene, como el propio autor 
recalca, poco que ver con los manuales al uso de su momento y todavía menos 
con los actuales. En realidad mezcla aspectos que hoy se pondrían dentro de 
un libro de cálculo numérico con otros que casi han desaparecido de los 
programas con el último capítulo ya mencionado que sería casi lo único que 
se rescataría en los programas actuales. 
Además de eso utiliza la última parte del libro para demostrar el teorema 
fundamental del álgebra, aprovechando para discutir en qué lugar debe 
incluirse dicho resultado. Rey Pastor afi1ma con agudeza que "el punto 
trascendente del álgebra" es precisamente la introducción del número 
irracional, aspecto éste que ha sido recordado por algunos de los estudiosos 
de su obra (véase en especial el muy interesante estudio de Pascual Llorente 
en las Actas del 1 simposio sobre J Rey Pastor), y precisamente ahí radica, al 
decir del ilustre matemático, la vinculación entre álgebra y análisis. 
En todo caso no está de más recordar que la demostración del teorema 
fundamental del álgebra, evidentemente vinculado al análisis en el campo 
complejo, suele quedar en tierra de nadie en los programas actuales, de 
manera que, aunque numerosas veces se utiliza, pocas veces se demuestra. De 
este modo, el propio enfoque deductivista, tan caro a tantas exposiciones, 
queda él mismo desvirtuado considerablemente. 
Pese a todo lo anterior, y como han señalado los estudiosos de su obra, 
Rey Pastor estuvo siempre mucho más vinculado al análisis que al álgebra. 
Por eso dedicaremos el siguiente apartado a su estudio. 
4. EL ANÁLISIS EN LA OBRA PEDAGÓGICA DE REY PASTOR 
Los elementos de la teoría de funciones de Rey Pastor siguen un plan 
mucho más ortodoxo que el que animaba a su obra sobre álgebra. Pese a lo 
Interpretaciones heurísticas en la obra de Rey Pastor 115 
cual, en numerosas ocasiones indica su desacuerdo con otras exposiciones 
del tema más próximas a lo que él denominaba formalismo. 
En los siguientes subapartados veremos algunos de esta 
peculiaridades. 
4.1. Funciones analíticas 
Rey Pastor en este mismo texto se ocupa tanto de las funciones de 
variable real como de las de variable compleja. Es más, la transición de una 
a otras la hace con enorme sencillez (y, también hay que decirlo, 
excesivamente poca preparación), de este modo expone la teoría de 
funciones analíticas, tomando como punto de partida su propiedad de ser 
desarrollables en serie de Taylor. Exposición que era semejante a la de 
otros autores del momento. 
Este punto lleva inmediatamente a una reflexión: Hoy en día la 
mayoría de los estudiantes de primer curso de licenciatura (del tipo que 
sea) se enfrentan con los problemas de convergencia de series de variable 
real. Invariablemente se encuentran con casos "patológicos" que se 
estudian con cuidado (como el que va por un campo minado), pero sin que 
se dé ninguna explicación general más allá de decir: "algunas veces 
convergen y otras no". Ese mismo alumno debe esperar a un hipotético 
curso de variable compleja (que en muchas ocasiones no llega) para poder 
comprender la razón (por otro lado bien sencilla) que determina el radio de 
convergencia de la serie. En todo caso, e incluso cuando llega ese curso, no 
se le advierte al alumno de la diferencia crucial entre la convergencia en 
variable real y en variable compleja. En resumen, se pierde completamente 
la dimensión heurística de la teoría que se estudia, haciéndose creer al 
alumno que en análisis matemático lo normal es que pasen "cosas raras". 
Ciertamente, el enfoque antiguo, del que participa Rey Pastor, era mucho 
más transparente desde el punto de vista pedagógico. 
Por desgracia, además en los libros actuales casi siempre el análisis en 
una variable real se continua con el análisis en varias variables con lo que 
el análisis complejo queda relegado. Entre los textos de análisis actuales no 
se cita tan siquiera la importancia que tiene la introducción del campo 
complejo para elucidar los problemas de convergencia de las series de 
Taylor. La única excepción que conozco es el extraordinario libro de 
Spivak, tan magnífico en tantos aspectos. 
4.2. Polinomios de Taylor 
Los polinomios de Taylor, en cambio, sí se utilizan en las exposiciones 
habituales para aproximar funciones; sin embargo, en muy pocas ocasiones se 
muestran sus grandes posibilidades heurísticas. No obstante, y, sobre todo, a 
raíz del uso masivo de los computadores y los programas tales como DERIVE 
116 A. Hernando González 
en las aulas, su uso "visual" ha venido a complementar al puramente analítico. 
Por eso, resulta una grata sorpresa ver como Rey Pastor en su libro citado 
hace uso de los polinomios de Taylor como fuente de recursos pedagógicos. 
Así es capaz de deducir las propiedades usuales de las funciones relativas a 
máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad 
inspeccionando sencillamente la forma de los coeficientes (o sea de las 
derivadas). Lo que permite obtener una visión teóricamente satisfactoria y de 
gran simplicidad y potencia heurística y que, sorprendentemente, no aparece 
sino raras veces en las obras modernas. 
Además de ello, para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 recurre 
también al uso de los polinomios de Taylor, indicando además de manera 
específica, su interés pedagógico. Las indeterminaciones que se resuelven por 
este método pueden ser igualmente resueltas por la regla de 1 'Hopital que es 
el que se usa por la inmensa mayoría de los libros. Sin embargo, la idea de 
Rey Pastor tiene la gran ventaja de que es heurísticamente "transparente". Es 
decir, el alumno, al estudiar las indeterminaciones por este sistema, observa a 
la vez de qué forma quedan los infinitésimos de orden sucesivo, y, por tanto, 
el resultado aparece como consecuencia lógica de la estructura particular de 
las series de Taylor que haya en el problema. Sin embargo, si usa la regla de 
l'Hopital únicamente observa que van resultando una serie de valores 
intermedios, pero cuyo significado permanece oscuro. Por otro lado, si, como 
suele ser más que usual, el alumno no comprende en profundidad la 
demostración de la citada regla, entonces su aplicación queda reducida a un 
galimatías de cálculo del que sólo se sabe que, mientras uno no se equivoque, 
da, casi por milagro, el resultado correcto. 
Rey Pastor indica explícitamente que el método de las series de Taylor 
es más fácil de comprender, de hecho, este uso específicamente pedagógico 
es muy claro ya que, a esas alturas del texto, ya había explicado la regla de 
l'Hopital, con lo que, de paso, recuerda que una buena pedagogía suele 
conllevar la posibilidad de llegar a lo mismo por varios caminos, de forma que 
el alumno pueda hacerse una idea más cabal del terreno que pisa. 
4.3 Utilización de ejemplos "prácticos" 
Rey Pastor participa de una tradición de acuerdo con la cual se 
introducían numerosos ejemplos en la exposición de la materia, de manera 
que el alumno no se perdía en la selva teórica todavía no digerida. De este 
modo, tenía oportunidad de hacer matemáticas "con las manos" a través de 
ejemplos que iban cimentando su destreza en distintos campos. Eso es 
especialmente visible cuando se estudian distintas funciones, sus desarrollos, 
su modo de convergencia, etc. 
Por el contrario, en los libros modernos es más usual recurrir a 
contrajemplos únicamente para explicitar aspectos puramente teóricos, lo que 
hace sospechar a los alumnos queel análisis es un magma teórico sin 
aplicación práctica. En realidad, todo ese armazón teórico, que se elaboró 
Interpretaciones heurísticas en la obra de Rey Pastor 117 
básicamente a finales del siglo XIX, surgió entre otras cosas para resolver 
problemas prácticos tales como la dificultad para estudiar diferentes series y 
su convergencia (por ejemplo, las series de Fourier). El grave error de muchos 
enfoques usuales está en que, al exponerse una teoría sin indicar los motivos 
de su desarrollo, se vuelve toda la disciplina un asunto ininteligible. 
4.4. Ejemplos históricos 
Rey Pastor recurre a menudo a problemas históricos. Por ejemplo, se 
detiene a demostrar que el número e no es ni racional ni algebraico. En otra 
ocasión indica las formas de aproximarse al número p. Esta clase de 
consideraciones han desaparecido casi por completo en los libros actuales, sin 
embargo, a menudo se dan por sabidas. Más grave es que otros resultados 
capitales desde el punto de vista histórico también se desprecian. Ya hemos 
indicado el caso del teorema fundamental del álgebra que no se suele 
demostrar, aunque su uso es más que habitual, de modo que una y otra vez 
comprobamos que el enfoque rigorista no tiene ningún rigor. O, de otro modo, 
se presume de lo que se carece. 
Incluso cabría preguntar cuántos estudiantes universitarios conocen por 
ejemplo la demostración de Euclides de que los números primos son infinitos. 
Se lleva tan lejos la presentación deductivista y cerrada que no cabe sino buscar 
en el ombligo de una teoría que, al dejar de ser contextualizada, pierde, como 
he reiterado, el sentido para transformarse en una jerga puramente formal. 
No hay que pensar que Rey Pastor utilizaba el orden histórico como 
referencia al orden pedagógico, sino como asunto a reflexionar. Así, en el 
prólogo a su libro sobre la teoría de funciones, indica que, aunque en el orden 
histórico fue primero la integral, él opta por el orden usual de empezar por la 
derivada. En este sentido, es interesante constatar como algunas de las 
presentaciones más modernas y pensadas del análisis matemático, ponen en 
tela de juicio esta vieja idea, así el libro de Apostol hace una pequeña 
introducción a la integral antes de presentar la derivada. El libro de Larson, 
por su parte, empieza señalando que el concepto clave del análisis es el límite 
y que se "subdivide" en los problemas de derivación y de integración. 
Mi opinión personal es que se debe dar la mayor unidad posible a la 
exposición desde el principio. En ese sentido me parece buena la idea de Larson 
de introducir todos los conceptos fundamentales como lo que son: una unidad. 
Por otro lado, es desde el punto de vista pedagógico recomendable señalar que 
se comienza por la exposición de las derivadas por la sencilla razón de que son 
más fáciles de hacer, no porque su concepto sea más elemental. 
4.5. Inclusión de teorías "modernas" 
Rey Pastor, a pesar de que su exposición esta teñida de clasicismo, no 
duda en introducir teorías más modernas tales como la integración de 
118 A. Hernando González 
Lebesgue o la teoría de Cantor de los cardinales transfinitos. 
Nuevamente, llama la atención que muchas exposiciones modernas, a 
pesar de beber de la teoría de conjuntos cantoriana, "olvidan" su exposición, 
quizá porque se sale un poco de cuadro. Con ello se priva al alumno de ponerse 
en contacto con ideas sugestivas, sencillas y que ciertamente son dificiles de 
soslayar si uno quiere comprender mínimamente la matemática moderna. 
En términos generales, los libros de texto suelen presentar teorías muy 
homogéneas de forma que son, por un lado, aburridas, y, por otro, poco 
estimulantes. Como consecuencia, el alumno que quiere profundizar en algunas 
cuestiones más allá del núcleo básico no puede encontrar las respuestas, o, por 
lo menos, las sugerencias que menudeaban en los textos de Rey Pastor. 
5. LA IMPORTANCIA DE LO PEDAGÓGICO EN REY PASTOR 
Los estudios sobre la obra de Rey Pastor suelen coincidir en señalar su 
potencia matemática y su brillantez, a la vez que indican que casi siempre le 
faltó un cierto "olfato" en la elección de los temas, o, quizá, le faltó habilidad 
para encontrar líneas de investigación que hubieran tenido mayor repercusión 
internacional. También se suele criticar su obra sobre la historia de la 
matemática española a la que suele infravalorar, no obstante, también se debe 
recordar que estaba desbrozando un camino poco transitado. 
Análogamente, en sus libros de texto, se indica que su enfoque suele 
estar anticuado aunque se reconoce la brillantez de algunos de sus 
planteamientos. 
No voy a entrar en los terrenos citados en primer lugar, pero creo que las 
páginas que anteceden, sin ninguna pretensión de tratar el tema en 
profundidad, muestran que las ideas pedagógicas de Rey Pastor son más 
atinadas de lo que se suele suponer. Al menos se ve en ellas algo que yo creo 
que es impagable: El esfuerzo de su autor por conseguir hacer accesible al 
alumno teorías de muy diverso tipo. También resulta estimulante ver los 
continuos comentarios en los que una y otra vez explica y defiende sus 
planteamientos y la elección del enfoque, sobre todo si se compara con la 
ausencia total de algo semejante en muchas exposiciones más modernas. 
Todo ese esfuerzo pedagógico se puede resumir con una frase de Puig 
Adam, discípulo de Rey Pastor y gran profesor y pedagogo: "Quién supiera 
escribir un libro capaz de despertar el respeto al rigor sin ahogar la intuición". 
6. CRÍTICA DEL FORMALISMO 
Aunque la critica de los enfoques pedagógicos surgidos de la escuela de 
Bourbaki la he realizado en otras ocasiones con más detalle, utilizaré la obra 
de Rey Pastor para retomar algunas de sus líneas fundamentales. 
El problema fundamental que aqueja a la exposición deductivista es que 
sólo atiende al rigor, pero tomándolo como cosa absoluta, como un fin en sí 
Inte1pretaciones heurísticas en la obra de Rey Pastor 119 
mismo, ignorando así que el rigor es una necesidad que se impone por el 
contexto de la teoría (en la que lo histórico tiene un papel fundamental). Por 
cierto, este mismo rigor es traicionado ya que, en términos reales, se dejan 
muchas cosas sin fundamentar ni demostrar como ya hemos comprobado. 
Otro ejemplo, es la introducción de los números reales a base de una sucesiva 
ampliación de los conjuntos numéricos empezando por los naturales. En 
cambio, es muy poco frecuente la exposición de la fundamentación de este 
conjunto utilizando, por ejemplo, los axiomas de Peano. 
Lo más grave de todo es que este uso exclusivo de un rigor puramente 
formal y que priva a las teorías de significado (nunca se informa al lector de 
las razones por las que se estudian esas teorías y no, por ejemplo, los modos 
de resolver una sopa de letras), conduce a su vez a la afirmación de que hay 
que desconfiar de la intuición. Esta suposición está apoyada sobre la de que 
la intuición es algo absoluto. Como se constata a lo largo de la historia que a 
veces ha fallado, se opta por rechazarla. Conclusión que tiene consecuencias 
desastrosas. 
La intuición (yo prefiero llamarla la interpretación semántica de una 
teoría) es siempre relativa a la teoría estudiada. Veámoslo con un ejemplo: Si 
nos fiamos de nuestra experiencia inmediata tendremos "la intuición" de que 
la tierra es plana. No obstante, si estudiamos el problema con mayor detalle 
nos daremos cuenta de que eso no es así. Ahora bien: no es la intuición lo que 
falla, es la idea de que el contexto en que nos movíamos era absoluto y cierto. 
Una vez que se deshace este malentendido se comprende que la intuición 
siempre tiene un carácter relativo. El papel del profesor es exponer una teoría 
de forma que el alumno pueda adquirir una cierta intuición de lo que significa, 
en caso contrario, la exposición se convierte en un galimatías ininteligible. 
El fon11alismo moderno, temeroso de los absolutos anteriores (por 
ejemplo, durante mucho tiempo se creía que lageometría euclídea era 
absoluta), se embarca en la curiosa solución de afirmar que sólo el rigor nos 
da seguridad, eso sí a costa de renunciar a entender las teorías. No se puede 
imaginar disparate mayor. 
Todo lo anterior se puede resumir afirmando que la intuición es siempre 
necesaria para la comprensión de una teoría, pero siempre que se insista en su 
carácter relativo. Por lo mismo, se puede decir que el aumento de rigor sólo 
se justifica si existe una contrapartida heurística. Es decir, sólo cuando sirve 
para entender mejor la teoría que se está aprendiendo. Por desgracia, lo usual 
es utilizarlo para lo contrario. 
En cualquier caso, el cuidado que pusieron Rey Pastor y Puig Adam en 
los aspectos pedagógicos les pone muy por encima de una buena parte de las 
exposiciones posteriores. 
7. EPÍLOGO DESDE LAACTUALIDAD 
En el número correspondiente al primer cuatrimestre del año 1999, la 
Gaceta del la Real Sociedad Matemática Española publicaba una entrevista 
120 A. Hernando González 
al famoso científico Roger Penrose. En ella explicaba su opinión de que los 
números complejos son extremadamente importantes para la compresión de 
muchas teorías. También indica su enorme importancia en las teorías fisicas 
modernas: 
Tengo la firme convicción de que los números complejos y las 
estructuras analíticas complejas, las estructuras holomorfas, en fin, 
fundamentalmente números complejos, su álgebra y análisis están en la 
raíz del comportamiento del mundo fisico 
Creo, sinceramente, que cualquier persona que siga_ la exposición de Rey 
Pastor encontrará muy natural esta idea. En cambio, mucho me temo que será 
ininteligible para la mayoría de los alumnos que sigan los actuales planes de 
estudio. 
	1
	2
	3
	4
	5
	6