Final_Seminario_Kmalla_MDM2020

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Una Propuesta Didáctica para la enseñanza de las 
sucesiones y los procesos infinitos desde la mirada 
de la Teoría de los Registros de Representación 
Semiótica 
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso 
Facultad de Ciencias 
Instituto de Matemáticas 
TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE 
MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA 
De: Karina Malla Buchhorsts 
 
Profesores guía: 
Miguel Rodríguez Jara 
Arturo Mena Lorca 
Patricia Vásquez Saldías 
 
 
2020 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Índice 
1 Introducción 4 
1.1 Antecedentes y Problemática 4 
1.2 Programas de Álgebra y Cálculo para ingeniería primer año universidad 7 
1.4. Sobre el Marco Teórico 7 
2 Diseño Metodológico: Propuesta Estudio de Clases 8 
2.1 Preguntas de investigación y objetivos 9 
2.2 Elementos de la TRRS 10 
2.3 Categorías de Análisis 11 
3 Secuencia Didáctica 14 
3.1 Clase 1: “Tablero de Fibonacci” 14 
3.1.1 Plan de Clase 15 
3.1.2 Análisis a priori 17 
3.2 Clase 2: “Estudio de caso: Estrategia de Reforestación de un bosque envejecido” 21 
3.2.1 Plan de Clase 22 
3.2.2 Análisis a priori 24 
3.3 Clase 3: “El robot que avanza en diagonal” 26 
3.3.1 Plan de clase 27 
3.3.2 Análisis a priori 29 
4 Resultados de la actividad implementada 30 
4.1 Producciones de los estudiantes 31 
4.2 Análisis de Resultados 34 
5 Análisis a posteriori 35 
5.1 Una mirada al tratamiento y conversión entre los registros figural y tabular 35 
5.2 Nuevo Plan de Clase 37 
6 A modo de conclusión 40 
7 Referencias 41 
8 Anexos 43 
8.1 Clase 1 43 
8.2 Clase 2 45 
8.3 Clase 3 47 
 
 
 
 
 4 
1 Introducción 
 
 
Los estudiantes de diferentes carreras universitarias que se familiarizan por primera vez 
con el concepto de sucesión y serie, manifiestan dificultades para comprender dichas 
nociones. Ello se debe, en parte, a la formulación abstracta que se le da a esos objetos 
matemáticos en su enseñanza. Es por lo anterior que, con el presente seminario de 
investigación, proponemos una secuencia didáctica para abordar el concepto de 
sucesión, teniendo en cuenta las orientaciones de la Teoría de Registros de 
Representación Semiótica (TRRS). Según dicha perspectiva teórica es necesario 
abordar diferentes registros de representación semiótica de manera de promover en los 
estudiantes una comprensión más amplia y profunda del concepto en estudio, lo que 
permitirá además conocer las posibles causas de las dificultades que manifiestan al 
abordar dicho concepto matemático. 
 
 
 
1.1 Antecedentes y Problemática 
 
El estudio PISA se concibe como una herramienta para contribuir al desarrollo del capital 
humano de los países miembros de la OCDE. De acuerdo a su visión general en relación 
al área de conocimiento matemática, éste define la “capacidad de un individuo para 
identificar y comprender el papel que las matemáticas desempeñan en el mundo, realizar 
razonamientos bien fundados y utilizar e involucrarse en las matemáticas de manera que 
se satisfagan las necesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo, 
comprometido y reflexivo” (OECD, 2003). Llama profundamente la atención la 
observación realizada por la OECD Better Policies Series (2018) la cual declara que 
“una parte importante de los adultos en Chile tiene un bajo nivel de competencia en 
razonamiento matemático”. 
Esta visión, tiene solución según Dubinsky quien considera que, para explicar las 
diferencias en las conductas de los estudiantes, es necesario formular una hipótesis 
mentalista, ya que para poder explicar y buscar soluciones a estas diferencias, es 
necesario desarrollar una teoría sobre los procesos mentales, que pueda explicar lo 
que está ocurriendo en la mente de los estudiantes: “El conocimiento matemático de un 
individuo es su tendencia a responder ante situaciones matemáticas problemáticas 
reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo y reconstruyendo 
acciones, procesos y objetos matemáticos y organizándolos en esquemas con el fin de 
manejar las situaciones.” (Dubinsky, 1996) 
 
Una lectura de la realidad a nivel local nos muestra que la forma en que se abordan los 
contenidos ha dependido en gran medida de las prioridades que han establecido quienes 
enseñan en las aulas hoy en día y sobre todo de la forma en que se presentan en los 
distintos programas de estudio. Por lo tanto, en respuesta a esta declaración, buscamos 
realizar un aporte en el camino de encontrar mejoras en el nivel universitario 
 
 5 
enfocándonos en un tema específico de las matemáticas, pero de gran importancia, que 
es la comprensión de los procesos infinitos. 
 
La matemática en todos los niveles depende de procesos infinitos (Gardiner, 1985), 
desde el proceso de contar en sí, pasando por los sistemas numéricos, el calendario, las 
estaciones (procesos cíclicos), números cada vez más grandes (medida de distancia a 
las estrellas, número de operaciones por segundo de computadoras de última 
generación), procesos iterativos y de recurrencia, medidas de longitudes, áreas y 
volúmenes, etc. etc. A nivel universitario, las sucesiones y series representan uno de los 
objetos con los cuales estudiantes, de diferentes carreras, se enfrentan con mayor 
dificultad, considerando además que ocupan un lugar muy importante en la matemática 
debido a las múltiples conexiones con otros importantes objetos matemáticos como 
funciones y límites sin olvidar el rol que desempeñan en los procesos de aproximaciones 
numéricas. 
 
Entre las sucesiones hay algunas que son bastante conocidas por las propiedades 
matemática que tienen o por su interesante estructura algebraica, pero hay otras que 
deben su importancia a su ilustre pasado. Entre estas, la sucesión de Fibonacci ocupa 
un lugar de relieve dado que sus números nos conducen a otro número que representa 
la belleza del Universo entero, este número es el número áureo, a su vez vinculado con 
la geometría a través de la razón áurea, sección áurea o proporción divina. Al introducir 
“la noción de sucesión y de límite” usando la sucesión de Fibonacci se da un impulso 
motivador para invocar la relevancia de los procesos infinitos en la matemática. Esto nos 
permitirá entender que “un Proceso Infinito es un proceso en el cual siempre se puede 
realizar una acción más, la cual está determinada por un procedimiento que se realiza 
de forma iterativa sobre los resultados que van surgiendo.” (Ángel, 2014) 
 
Investigaciones previas muestran que la mayoría de los estudiantes de secundaria 
comprenden el concepto de sucesión como una larga lista de números mientras que 
para los alumnos de educación superior pasa a tener el significado de función 
(Przenioslo, 2006). Esta interpretación del concepto de sucesión puede generar 
obstáculos al momento de definir el concepto de límite (Sierpinska, 1990). Durante una 
implementación previa de un Estudio de Clases emergió cierta dificultad por parte de los 
estudiantes en identificar y describir el término general de la sucesión, por lo tanto, para 
complementar ese estudio nos pareció importante analizar a través de un cuestionario, 
cómo los estudiantes desarrollan un pensamiento algorítmico. El análisis de los 
resultados obtenidos nos permitió concluir a priori que un pensamiento algorítmico 
desarrollado ayuda en la comprensión del concepto de sucesión. 
 
Estudios de Contreras y Font (2002) refieren que “el progreso en Matemáticas implica 
el desarrollo de numerosos sistemas semióticos de representación, de tal forma que cada 
nuevo sistema semiótico aporta nuevos significados de representación y procesos para 
el pensamiento matemático”, entendiendo que “la representación se caracteriza 
mediante una correspondencia abstracta entre dos entidades que son puestas en alguna 
relación referencial una con otra, por un actor o un observador.” (Font, Godino y D’Amore, 
2005). Sin embargo, un gran obstáculo para avanzar en este camino lo encontramos en 
 
 6 
los propios programas de estudioa nivel universitario y su forma tradicional de 
enseñanza. En particular, frente a las articulaciones de los registros simbólicos, (Artigue, 
1995) agrega: “también se han encontrado dificultades para articular los diferentes 
registros simbólicos de las expresiones de la noción de función… Junto con las 
dificultades cognitivas que son reales en las conversiones de un registro a otro, o en el 
trabajo dentro de un mismo registro, por ejemplo, en el registro gráfico cuando se deben 
manejar simultáneamente dos niveles de información (información sobre la función y su 
derivada), estas investigaciones señalan como causa de las dificultades los hábitos de 
la enseñanza tradicional.” 
Otro obstáculo lo encontramos en los mismos estudiantes quienes están condicionados 
a prácticas centradas en lo algorítmico con énfasis en lo algebraico, lo que no permite 
que ellos alcancen una comprensión satisfactoria del concepto en estudio enfocándose 
así en sólo una o algunas de sus representaciones. Esto puede deberse a que “para 
obtener niveles aceptables de éxito, se evalúa aquello que los estudiantes pueden hacer 
mejor, y esto es, a su vez, considerado por los estudiantes como lo esencial ya que es 
lo que se evalúa” (Artigue, 1995) haciendo que el estudiante quede inmerso en un 
proceso cerrado de aprendizaje (contrato didáctico). En relación con esto último, en los 
diversos registros de representación encontramos una tendencia generalizada al 
enfoque en el registro algebraico, tal como lo señalan Llorens y Santoja (1997) “el 
concepto de límite de una función o de una sucesión se algebriza, para reducirlo 
finalmente a unas cuantas “recetas” que ayudan a resolver indeterminaciones, tarea en 
la que el estudiante es fuertemente adiestrado y de la que es evaluado casi 
exclusivamente”, además afirman que “el alumno está prefiriendo el contexto algebraico‐
formal al visual‐geométrico, simplemente porque no los ha integrado”. Claramente, la 
conversión entre estos bloques de registros permitiría este salto cognitivo acerca del 
concepto de sucesión, en un nivel superior, tal como lo plantea Duval (2006) “cambiar 
la representación de objetos o relaciones matemáticas de un sistema semiótico a otro es 
siempre un salto cognitivo”. 
Esta tendencia podría cambiar al considerar que el registro gráfico, así como el registro 
figural podrían favorecer la comprensión de los procesos infinitos, esta aseveración se 
ve reforzada por los estudios de De Guzmán (1996) quien describe el uso de la 
visualización como “una habilidad fundamental para la actividad matemática”: 
 
 Con la visualización en matemáticas se pretende otra cosa. Las ideas, conceptos 
y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de contenidos visuales, 
representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy 
provechosa, tanto en las tareas de representación y manejo de tales conceptos y 
métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de los problemas de 
campo. (1996, p2.) 
 
Arcavi (2003) además refiere que la “visualización es la capacidad, el proceso y el 
producto de la creación, interpretación, uso y reflexión sobre figuras, imágenes, 
diagramas, en nuestra mente, sobre el papel o con herramientas tecnológicas con el 
propósito de representar y comunicar información, pensar y desarrollar ideas y avanzar 
la comprensión” (Arcavi, 2003, p. 217). 
 
 7 
 
1.2 Programas de Álgebra y Cálculo para ingeniería primer año 
universidad 
 
En la carrera de ingeniería de la UCN, la Unidad de funciones naturales de un primer 
curso de Álgebra se presenta luego de estudiar las unidades de Lógica y conjuntos, y 
Trigonometría. Esta unidad abarca los siguientes contenidos: Inducción Matemática, 
Sumatoria Simple, Descomposición en fracciones parciales, Sumatoria Doble, 
Progresiones, Introducción al Análisis Combinatorio y Teorema del Binomio. 
 
De acuerdo a los resultados de aprendizaje de esta unidad, se espera que el estudiante 
logre “categorizar términos generales a resultados de funciones naturales”. 
 
Estos contenidos, en general se presentan (libro guía de la asignatura) definiendo el 
término sucesión como la función real de variable natural 
 
𝑎: ℕ → ℝ 
𝑛 → 𝑎(𝑛) = 𝑎𝑛 
 
seguido de la definición de conceptos tales como término general, y límite de una 
sucesión. Luego de lo cual se pasa inmediatamente a definir tipos particulares de 
sucesiones, a saber, progresiones aritméticas y geométricas. 
 
En el programa de Cálculo, en la unidad de Límites y Continuidad no se especifica o 
define explícitamente el término sucesión. En este caso, los resultados de aprendizaje 
esperados con respecto a esta unidad son: 
 
1.- Calcular límite de formas indeterminadas de funciones reales en una variable. 
2.- Determinar inyectividad y/o continuidad de funciones reales en una variable. 
 
En este sentido, dependerá del profesor que dicta la asignatura si considera pertinente 
el definir de manera explícita este concepto. 
 
 
1.4. Sobre el Marco Teórico 
Presentamos un contexto de reflexión en relación con el objeto matemático sucesión con 
base en las representaciones de los constructos teóricos elaborados por la Teoría de los 
Registros de Representación Semiótica (TRRS) de Duval. 
La TRRS señala que la actividad matemática se realiza necesariamente en un contexto 
de representación, en la que se distinguen dos clases de transformación. En relación con 
esto último, Duval (2006) señala: 
Los sistemas semióticos son principalmente usados para operar, es decir para el 
tratamiento… sin mediaciones semióticas no es posible la actividad 
matemática… La mayor piedra de toque para la comprensión es la posibilidad de 
transferir lo que se ha aprendido a nuevos y diferentes contextos, dentro y fuera 
 
 8 
de las matemáticas, y esto siempre implica la conversión de representación” (p. 
157-158). 
 
Por lo tanto, se considera necesario representar las sucesiones en distintos registros 
semióticos para alcanzar un buen funcionamiento cognitivo. En la teoría de Duval se 
formulan varias hipótesis: 
1. Para estudiar la complejidad de los aprendizajes matemáticos, debemos tener en 
cuenta a los estudiantes y no sólo la complejidad epistemológica de los conceptos 
enseñados. 
2. No hay conocimiento que pueda ser movilizado por un sujeto sin una actividad de 
representación. 
3. El pensamiento humano exige la movilización de muchos sistemas productivos 
heterogéneos de representación y su coordinación que, en el caso de las 
Matemáticas, son los sistemas semióticos los principales componentes de la 
arquitectura cognitiva que permite al individuo entender esta disciplina. 
 
Además, de acuerdo con Duval (1999) “el pasaje de una representación a otra se hace 
de manera espontánea cuando ellas son congruentes”, esto es, cuando se cumplen las 
siguientes tres condiciones: 
 
1. Correspondencia semántica entre las unidades significantes que las constituyen 
2. Igual orden posible de aprehensión de estas unidades en las dos 
representaciones, y 
3. Convertir una unidad significante en la representación de partida en una sola 
unidad significante en la representación de llegada. 
 
 
 
2 Diseño Metodológico: Propuesta Estudio de Clases 
 
Considerando la problemática planteada, la implementación se realizará siguiendo las 
fases de la metodología del Estudio de Clases. “La idea del Estudio de Clases es simple: 
un reducido grupo de docentes planifica una clase, uno o dos docentes implementan la 
clase con sus alumnos, la clase es observada y analizada en público. En la preparación 
de la clase a estudiar, los profesores diseñan en detalle las actividades de la clase: 
preparan preguntas para orientar a sus alumnos en la búsqueda de regularidades, la 
formulación de conjeturas y lo que ellos determinen como relevante en el fluir de la clase 
a implementar: vincular contenidos, justificar procedimientos, encontrar caminos de 
solución a problemas” (Isoda y Olfos, 2009, p. 17).En nuestro caso, la organización de la clase consistirá en la resolución de problemas por 
grupos organizados de estudiantes. Se espera que los estudiantes involucrados en un 
grupo dado colaboren activamente juntos, pues el trabajo en grupo alienta a los 
estudiantes a compartir sus conocimientos para resolver las preguntas. Por otro lado, 
dependiendo del nivel promedio de cada grupo, se les podrá proporcionar una pregunta 
estimulante (devolución) que los ayudará a avanzar hacia la solución. En este sentido, el 
 
 9 
papel del docente será el de la retroalimentación oportuna mediante la utilización de 
preguntas de devolución adecuadas anticipándose así a posibles errores que los 
estudiantes puedan cometer en la resolución de los problemas propuestos, y a posibles 
dudas que se les puedan presentar, permitiendo de este modo que sea el estudiante el 
que asuma el desafío de enfrentarse a la situación matemática. 
 
 
 
2.1 Preguntas de investigación y objetivos 
 
El estudio de los procesos infinitos como ya se ha mencionado, es de gran importancia 
en todos los niveles de educación. Sin embargo, al hacer una breve revisión de los 
programas de estudio a los niveles medios y universitarios se observa en el desarrollo 
de los contenidos, principalmente la presencia de los registros numéricos y algebraico 
con un enfoque en el contexto algebraico-formal. Esto nos lleva a plantear las siguientes 
preguntas de reflexión: 
 
• ¿Los estudiantes identifican procesos infinitos, en particular sucesiones y sus 
características a partir de registros de representación distintos al contexto 
algebraico-formal? 
• ¿Cuáles son las características de los procesos de tratamiento y conversión entre 
los registros de representación del concepto sucesión? 
 
 
Estas preguntas nos permiten definir los objetivos para la secuencia de clase propuesta: 
 
Objetivo general: “Analizar los procesos de tratamiento y conversión presentes en el 
aprendizaje del concepto sucesión y los procesos infinitos” 
 
Objetivos específicos: 
1. Caracterizar los procesos infinitos a partir de distintos registros de representación. 
2. Describir los procesos de tratamiento y conversión de los registros de 
representación semiótica presentes en el aprendizaje del concepto sucesión. 
3. Analizar los procesos de tratamiento y conversión de los registros de 
representación semiótica activados en la secuencia didáctica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
2.2 Elementos de la TRRS 
 
Así, avanzamos en la organización la actividad considerando la TRRS caracterizando los 
diversos registros, a saber: 
 
- Registro Gráfico (RG): El uso de gráficos permite proporcionar información útil como 
soporte para resolver preguntas. Los gráficos sirven, por un lado, para enfocar 
directamente la atención de los estudiantes, proporcionando imágenes relevantes de lo 
que está sucediendo. También sirven para ahorrar tiempo cuando se les guía con 
precisión para obtener los gráficos necesarios. 
 
- Registro Figural (RF): Dibujos relevantes, según el caso, destinados a ilustrar 
intuitivamente conceptos difíciles, las ilustraciones propuestas están lo más cerca posible 
del contexto del problema en estudio. En este sentido, los conceptos toman una forma 
especializada bien adaptada a la configuración matemática del problema en estudio. 
 
- Registro Tabular (RT): Uso de tablas de datos para recopilar los resultados de 
evaluaciones numéricas de algunos términos de la progresión geométrica-aritmética 
mixta. Junto con los resultados de algunas transformaciones útiles no lineales (en el caso 
de la progresión) para resaltar propiedades que no pueden establecerse en este nivel de 
conocimiento en matemáticas. 
 
- Registro de la Lengua Natural (RLN): al facilitar la comprensión y la motivación de los 
estudiantes para resolver las sucesivas preguntas que propondremos, y si logramos una 
motivación efectiva, entonces cada grupo de estudiantes considerará útil compartir su 
comprensión y conocimiento, activando de esta manera el Registro de la lengua natural 
(RLN). Ello facilitará considerablemente la ayuda que se espera que se les brinde para 
resolver algunas preguntas, pues los estudiantes de cada grupo compartirán su propia 
interpretación de su ayuda dada por una pregunta de devolución, para encontrar una 
respuesta colectiva para resolver eficientemente una pregunta dada. 
 
- Uso de TIC’s: En algunos casos se requerirá utilizar una calculadora científica básica, 
o el uso Excel o GeoGebra. Varias preguntas de fácil resolución pueden parecer difíciles 
ya que se basan en la reescritura de un número real dado en términos de un producto 
relevante, por lo que con una calculadora científica básica se puede dar de inmediato 
con la respuesta solicitada. En otros casos, se requerirá el cálculo de varios términos de 
la sucesión cuyos cálculos a mano alargarían el procedimiento perdiendo de vista el 
objetivo, y en otros casos aún, se requerirá comprender el comportamiento de una 
función mediante la visualización gráfica en el que GeoGebra o Excel pueden facilitar el 
trabajo. 
 
Por lo tanto, en cada uno de esos registros definimos el tratamiento que se da al interior 
de cada uno de ellos, lo que puede ser observado con mayor detalle en el siguiente 
diagrama: 
 
 11 
 
Figura 1. Diagrama sobre el tratamiento para cada registro de representación semiótica. 
 
 
 
2.3 Categorías de Análisis 
 
Al elaborar las categorías de análisis en el estudio de las sucesiones y procesos infinitos, 
nos enfocamos en la sucesión de Fibonacci la cual se destaca por su especial conexión 
con el número áureo, el que a su vez es fuente de gran interés y estudio en muchos 
ámbitos de las ciencias y de la sociedad en general. Siguiendo la Teoría de los Registros 
de Representación Semiótica de Duval definimos las categorías de análisis, los 
procedimientos y estrategias de cómo organizar la información del problema, las 
maneras de argumentar estos procedimientos y las posibles propiedades a utilizar para 
lograr con éxito su resolución pudiendo destacar algunos registros de representación que 
se activan durante el proceso de resolución de dicho problema, permitiendo a los 
estudiantes establecer una comprensión más amplia del concepto en estudio. 
 
Luego de establecer las características de los distintos registros de representación en 
torno al objeto matemático sucesión, definimos el detalle de las categorías de análisis y 
sus subcategorías respectivamente: 
 
 
 
 
 12 
 
 
Tabla 1. Detalle de las categorías de análisis y subcategorías propuestas para este estudio 
Categoría Subcategorías Rótulo 
Registro de la Lengua Natural (RLN) 
Estrategias 
 
 
 
 
Procedimientos 
 
Argumentos 
 
- Extrae información acerca de las 
dimensiones de las piezas y la ubicación de 
estas en el tablero, y comunica su 
interpretación 
- Ordena y organiza la información para 
determinar las dimensiones de la octava 
pieza 
- Describe el procedimiento para lograr con 
éxito el armado del tablero 
- En su argumentación alude a una suma 
recursiva y a 
 una espiral como medio de orientación en 
que se 
 ubican las piezas 
 
rln:e1 
 
 
rln:e1 
 
rln:p1 
 
rln:a1 
Registro Numérico (RN) 
Estrategias 
 
 
 
Procedimientos 
 
Argumentos 
 
- Busca regularidades para determinar las 
dimensiones del siguiente término de la 
sucesión, componiendo/descomponiendo los 
términos ya obtenidos 
- Manipula las dimensiones de las piezas 
- Determina la sucesión de cocientes 
- Identifica que la sucesión de Fibonacci es no 
acotada debido a la composición aditiva de 
sus términos 
- Identifica que la sucesión de cocientes es 
acotada 
 
rn:e1 
 
 
 
rn:p1 
rn:p2 
rn:a1 
 
rn:a2 
Registro Algebraico (RA) 
Estrategias 
Procedimientos 
 
 
Argumentos 
 
- Utiliza ensayo y error para determinar un 
patrón 
- Denota algebraicamente las dimensiones de 
las piezas 
 del tablero 
- Utiliza álgebra de límites 
- Determina la ecuaciónpor recurrencia de la 
sucesión 
 de Fibonacci (generaliza) 
- Determina la ecuación por recurrencia de la 
sucesión 
 de cocientes (generaliza) 
- Utiliza las propiedades de límites 
- Determina el límite de la sucesión de 
cocientes 
 
ra:e1 
ra:p1 
 
ra:a1 
 
ra:a1 
 
 13 
Registro Figural (RF) 
Estrategias 
 
Procedimientos 
 
 
 
 
Argumentos 
 
- Ordena las piezas de acuerdo con su 
tamaño 
- Utiliza ensayo y error para completar el 
tablero 
- Manipula las piezas del tablero 
(compone/descompone) 
- Dibuja el tablero para ubicar la octava pieza 
- Dibuja algunas piezas siguiendo la 
secuencia hasta identificar un patrón 
- Determina la ubicación de la octava pieza y 
su orientación siguiendo el sentido de una 
espiral (horario) 
- Identifica una sucesión creciente y no 
acotada 
- Reconoce un proceso infinito, tablero de 
dimensión infinita, composición aditiva de las 
piezas 
 
rf:e1 
rf:e2 
rf:p1 
 
rf:p2 
rf:p3 
 
rf:a1 
 
 
rf:a2 
rf:a3 
Registro Tabular (RT) 
Estrategias 
Procedimientos 
 
Argumentos 
 
- Clasifica las piezas según sus dimensiones 
- Registra los datos numéricos obtenidos 
- Registra las dimensiones de las piezas 
cuadradas 
- Registra las dimensiones de las piezas 
rectangulares (compuestas de las 
cuadradas) y el cociente entre ellas 
- Registra las dimensiones de la pieza n-ésima 
- Reconoce un proceso infinito en la sucesión 
de Fibonacci (creciente y no acotada) 
- Reconoce la existencia del límite de la 
sucesión de cocientes 
rt:e1 
rt:p1 
rt:p2 
rt:p3 
 
rt:p4 
rt:a1 
 
rt:a2 
 
 
Registro Gráfico (RG) 
Estrategias 
 
 
Procedimientos 
 
 
 
Argumentos 
- Define los ejes coordenados 
- Asocia los términos de la sucesión con los 
puntos en el plano 
- Ubica los términos de la sucesión de 
Fibonacci en el plano 
- Ubica los términos de la sucesión de 
cocientes en el plano 
- Analiza el comportamiento del modelo 
asociado a la sucesión de cocientes 
- Identifica la existencia del límite de la 
sucesión 
rg:e1 
rg:e2 
 
rg:p1 
 
rg:p2 
 
rg:a1 
 
rg:a2 
 
 
 
 
 
 
 14 
3 Secuencia Didáctica 
 
La secuencia didáctica propuesta considera tres clases de 90 minutos cada una, por un 
lado presento el objetivo general y los objetivos específicos de la secuencia didáctica, y 
por otro lado, cada clase a implementar presenta sus propios objetivos generales y 
específicos en relación a los contenidos que se implementarán en ese momento. 
 
Objetivo general de la secuencia didáctica: 
“Analizar los procesos de tratamiento y conversión presentes en el aprendizaje del 
concepto sucesión y los procesos infinitos” 
Objetivos específicos: 
• Caracterizar los procesos infinitos a partir de distintos registros de representación 
• Describir los procesos de tratamiento y conversión de los registros de 
representación semiótica presentes en el aprendizaje del concepto sucesión 
 
3.1 Clase 1: “Tablero de Fibonacci” 
 
El problema que se les plantea a los estudiantes comienza con una actividad lúdica en 
la que, mediante trabajo en grupo, deben manipular material concreto, el tablero y sus 
piezas. En este sentido, los estudiantes deberán activar en un principio los registros 
figural (debido al trabajo manipulativo acompañado por las preguntas de devolución) y el 
de la lengua natural, este último estará activado durante todo el proceso debido a que es 
una actividad grupal. Se espera que a continuación los estudiantes activen los registros 
numéricos, tabular y algebraico, al descubrir un patrón para los términos de la sucesión 
de Fibonacci, continuando con el registro gráfico (el orden puede cambiar). Se espera 
que la interacción entre los registros figural y tabular permita establecer la conexión con 
el número áureo, pasando a continuación a la etapa formal del ejercicio, mediante los 
registros gráficos y algebraico. 
 
Objetivo General 
“Introducir la noción de sucesión y de límite, a través de la construcción de la sucesión 
de Fibonacci y la convergencia de la sucesión formada por los cocientes de los términos 
consecutivos de dicha sucesión, cuyo límite es el número áureo.” 
 
Objetivos Específicos 
1. Comprender el significado de “sucesión”, “término general”, “límite” y “razón 
áurea” 
2. Representar el término general de la sucesión de Fibonacci mediante una 
ecuación recursiva 
 
 15 
3. Desarrollar el pensamiento inductivo (al recoger/registrar una cantidad de datos, 
descubrir reglas, generalizar y predecir) 
 
Objetivo General: 
Relacionar los conceptos de sucesión y límite mediante la construcción de la sucesión 
de Fibonacci utilizando los registros figural y tabular 
Objetivos Específicos: 
1. Construir la sucesión de Fibonacci utilizando diversos registros de 
representación semiótica 
2. Construir una sucesión de cocientes a partir de los términos de la sucesión de 
Fibonacci y analizar su comportamiento mediante los registros tabular y gráfico 
3. Relacionar el número de oro con la sucesión de Fibonacci. 
 
3.1.1 Plan de Clase 
 
A continuación, se presenta el plan de clases que se diseñó para tal efecto. 
 
 
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE/ 
OBJETIVOS 
ROL E INTERVENCIÓN DOCENTE 
1. Momento 1: (40 minutos) 
 
“Deducir los términos de la sucesión 
de Fibonacci mediante el 
cubrimiento de una superficie 
rectangular a través de la 
manipulación de piezas cuadradas.” 
 
1. Presenta la actividad: 
Enunciado: Cubrir el tablero celeste utilizando las piezas 
entregadas. 
 
1 
 
1.1 Introduce la clase, y forma al azar los grupos de estudiantes: 
Instrucciones para iniciar el trabajo 
Instrucciones: 
● No se debe intervenir entre los grupos. 
● Recordar que la actividad es de naturaleza colaborativa. 
● No utilizar el celular (solo calculadora) 
 
 
 16 
1.1 “El armado del rompecabezas 
de Fibonacci” 
 
 
 
El tablero y las piezas 
 
Posibles estrategias: 
 
Ensayo-error 
 
Uso del registro numérico 
 
Búsqueda de regularidades 
 
2. Entrega a Plan decada grupo el tablero y las piezas del 
rompecabezas y una copia con las instrucciones de la actividad, se 
solicita de escribir todos los pasos seguidos por armar el 
rompecabezas. 
 
 
 
2.1 Evaluación del armado del rompecabezas: se pregunta a los 
alumnos qué estrategia utilizaron para armarlo, si todos estaban de 
acuerdo con la estrategia adoptada o si había otra estrategia. 
 
 
¿Como cubrieron la superficie del tablero? 
 
¿Hay otra manera de cubrir el tablero? 
1.2. “Deducción de los primeros 
términos de la secuencia de 
Fibonacci” 
 
 
Posibles respuestas: 
 
Secuencia de las áreas de las piezas: 
1, 4, 9, 25, 64… 
secuencia de los perímetros de las 
piezas: 
4, 8, 12, 20,32… 
secuencia de la longitud de los lados 
de las piezas: 
1,2,3,5,8… 
 
3. Situaciones de devolución: 
Para lograr el objetivo propuesto se preparan unas preguntas que 
favorezcan la construcción de la sucesión de Fibonacci 
 
 
Si la superficie dada aumenta, 
¿cuáles serían las dimensiones de la próxima pieza? 
¿cuál sería su ubicación específica en el tablero? 
¿esta ubicación es única? 
¿cuáles serían las dimensiones de la pieza 18? 
¿podrían generalizar a la pieza n? 
 
 
 17 
2. Momento 2 (30 minutos) 
“Deducir la convergencia de la 
sucesión de los cocientes de los 
términos consecutivos a través del 
uso de TIC’s” 
4. A cada grupo se asigna un computador. 
Los alumnos trabajan con la ayuda del profesor en el uso de Excel o 
GeoGebra. 
En el caso que no se pueda tener computador para cada grupo la 
clase trabaja interactivamente con el profesor. 
 
 
Observen el listado de números obtenido haciendo el cociente 
de cada número de la secuencia con su antecesor ¿Qué 
particularidad tienen? 
 
¿Qué esperan que pase si aumento el número de elementos 
de listado? 
 
¿Qué figura geométrica se observa al unir las piezas 1 y 2? 
¿Cuáles son las medidas de sus lados? 
 
¿Qué figura geométrica se observa al unir las piezas 1, 2 y 3? 
¿Cuáles son las medidas de sus lados? 
 
Así, sucesivamente. 
 
 
3. Momento3 (20 minutos) 
“Generar un espacio de reflexión y 
discusión conjunta profesor-
estudiante centrada en la conexión 
de la sucesión de Fibonacci y el 
número Áureo.” 
5. Este espacio es de reflexión y discusión. El docente tendrá la 
posibilidad de promover la comunicación de diferentes estrategias 
utilizadas por los estudiantes al momento de resolver el problema 
planteado, enriqueciendo la discusión a través de preguntas 
dirigidas con el fin de generar un clima apropiado para la 
profundización de algunos conceptos. Posteriormente, el docente 
podrá realizar una síntesis basada en los objetivos alcanzados en 
esta actividad, centrada principalmente en la relación de la sucesión 
de Fibonacci y el número Áureo. 
Figura 2. Plan de clases para la “Sucesión de Fibonacci” 
 
 
3.1.2 Análisis a priori 
 
La clase implementada se elaboró considerando tres momentos. El primer momento 
permite emerger el concepto de sucesión mediante la construcción de la sucesión de 
Fibonacci a partir de la concatenación de piezas cuadradas que crecen en tamaño sin 
un “límite”. El segundo momento implica el uso de TICs reflejando los requerimientos de 
la sociedad actual, en esta etapa, el objetivo será entender el concepto de convergencia 
a través de la visualización (Zazkis, Dubinsky, & Dautermann, 1996) el uso de estas 
herramientas permitirá simplificar un problema complejo, el de los procesos infinitos. El 
 
 18 
tercer momento está diseñado para que el profesor reflexione junto con el estudiante y 
alcance el nivel de profundidad esperado para el concepto estudiado. 
En estas etapas (momentos) se espera la activación natural de diversos registros de 
representación semiótica, los que se indican y rotulan en la Tabla 1. 
 
Tabla 2. Momentos de la clase implementada y los registros semióticos activados (esperados a 
priori) 
Momentos 
Activa registros 
(esperados) 
Armado del rompecabezas de Fibonacci 
 
Figural 
Lengua Natural 
 
Determinación de la ecuación por 
recurrencia 
 
Numérico 
Tabular 
Gráfico 
Algebraico 
 
Análisis de convergencia de la sucesión 
de cocientes 
 
Tabular 
Gráfico 
Algebraico 
 
Reflexión y discusión profesor-estudiante Lengua Natural 
Figural 
Algebraico 
 
 
Al momento de comenzar la actividad los estudantes activarán distintas estratégias, para 
lo cual deberán contar con conocimientos ya adquiridos, y por otro lado, como resultado 
se espera el logro de ciertos aprendizajes: 
 
(B) Estrategias usadas para el armado 
a. Ensayo-error: los estudiantes cubren la superficie del tablero 
concatenando las diferentes piezas cuadradas 
 
b. Uso del registro tabular: los estudiantes registran uno por uno y en orden, 
en una tabla de datos, las dimensiones de cada pieza cuadrada y de cada 
pieza rectangular 
 
c. Búsqueda de regularidades: los alumnos ordenan las piezas en base a su 
dimensión y logran determinar el patrón que les facilita el cumplimiento de 
la tarea, determinan la ecuación recursiva que caracteriza la sucesión de 
Fibonacci 
 
(C) Conocimientos previos 
a. Operatoria en IR 
b. Operatoria con expresiones algebraicas 
c. Resolución de ecuación cuadrática 
d. Recopilación de datos 
 
 19 
e. Cálculo de área y perímetro de una figura geométrica 
f. Graficar en Excel 
 
(D) Matemática en juego 
a. Concepto de sucesión 
b. Concepto de límite 
c. Término general de una sucesión 
d. Características de las sucesiones: monotonía, convergencia 
 
Al inicio de la actividad, los estudiantes son capaces de determinar la secuencia de 
piezas que permite el cubrimiento total de la superficie dada, de tal modo que, en el 
proceso de concatenar una pieza tras otra, ellos comprenden que se encuentran frente 
a una sucesión que crece infinitamente. En esta etapa ellos han activado el registro 
figural, mediante el dibujo del tablero y sus piezas, la posición de la octava pieza, el dibujo 
de una espiral sobre el tablero que les entregue orientación en cuanto a la ubicación de 
las siguientes piezas. 
 
Por otro lado, una vez que el estudiante logra cubrir el tablero, se le plantea una serie de 
preguntas estimulantes que les permita realizar la conversión desde el registro figural 
que han comenzado a trabajar hacia los registros numérico y tabular. Se espera que 
puedan elaborar una tabla de datos donde registrarán las dimensiones de las piezas 
cuadradas y rectangulares, tal como lo muestra la siguiente tabla. 
 
Tabla 3. Registro de dimensiones obtenidas por la secuencia de piezas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La elaboración de esta tabla es crucial para estabelecer la conexión entre los términos 
de la sucesión de Fibonacci y el número áureo prácticamente desde el comienzo de la 
actividad. De la tabla de valores, los estudiantes podrán generalizar y obtener así una 
expresión de la sucesión recursiva: 
 
Registro Tabular (dimensiones) 
Cuadrado Rectángulo Cociente 
1 
1 2 1 2 
2 3 2 1.5 
3 5 3 1.66667 
5 8 5 1.6 
8 13 8 1.625 
13 21 13 1.61538 
 
 20 
𝐹1 = 1; 𝐹2 = 1; 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 𝑛 ≥ 3 
 
Con los respectivos valores de la sucesión de cocientes: 
 
𝑞𝑛 = 𝑞(𝑛) =
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−2
 
 
Los datos de esta tabla de valores se graficarán utilizando alguna TIC tal como Excel o 
GeoGebra. A modo de ejemplo, con el uso de Excel, una tabla de valores y un gráfico 
podrían presentarse como en la siguiente figura: 
 
 
Figura 3. Activación de los registros tabular y gráfico con uso de TIC’s 
 
De acuerdo con estos resultados, los estudiantes podrán observar claramente la 
“tendencia” que siguen los datos, por lo tanto, ellos podrán claramente entregar un 
número aproximado como valor del límite. 
 
En el tercer momento, se procede a efectuar formalización mediante una actividad 
plenaria con la interacción profesor-estudiante. Por un lado, el profesor define el número 
áureo como un número irracional que se representa con la letra griega 𝛷, y además 
comenta que “fue un hallazgo de los griegos de la época clásica y su historia 
documentada comienza en el libro los Elementos de Geometría (300 A.C.) de Euclides, 
el cual comprende trece libros”, y que en el libro IV, aparece la siguiente definición: 
“Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la 
línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor”. 
 
 
 21 
 
Figura 4. División de un segmento en la razón áurea 
 
Esta media y extrema razón, se conoce como número de oro. Luego, se pide a los 
estudiantes reemplazar 
𝑎
𝑏
 por 𝛷, en la definición. Se les da un tiempo prudente, hasta 
que ellos van obteniendo las siguientes ecuaciones equivalentes: 
 
𝑎
𝑏
= 1 +
𝑏
𝑎
⇔ 𝛷 = 1 +
1
𝛷
 
 
La última igualdad los llevará resolver a la ecuación de segundo grado, 
 
𝛷2 + 𝛷 − 1 = 0 
 
cuya solución positiva 𝛷 =
1+√5
2
 es el número áureo. Se les pide calcular el valor 
aproximado, de tal manera que reconozcan que corresponde al mismo valor obtenido 
anteriormente en el cálculo del límite de la sucesión de cocientes. 
 
 
 
 
3.2 Clase 2: “Estudio de caso: Estrategia de Reforestación de un bosque 
envejecido” 
Este problema se presenta a los estudiantes como un estudio de casos, en el que una 
organización Ambiental establece una estrategia de mantenimiento y reforestación para 
un bosque envejecido. En el caso presentado, un grupo de expertos propone que la 
estrategia de mantenimiento de este bosque se puede modelar mediante una progresión 
mixta aritmética-geométrica, donde la estrategia de mantenimiento propuesta ha sido 
ideada por la organización mencionada anteriormente y cuya decisión está determinada 
por muchos problemas impulsados por limitaciones de la vida real. Se espera que los 
estudiantes comprendan matemáticamente la validez de las decisiones tomadas, las 
cuales deberán analizar mediante un trabajo en grupo, con la guía del profesor. 
Objetivo general: 
Comprender matemáticamente la validez de las decisiones de una organización forestal 
utilizandouna progresión mixta aritmética-geométrica como modelo de análisis 
Objetivos específicos: 
1. Establecer una estrategia de mantenimiento mediante un modelo mixto aritmético-
geométrico. (Verificar que la estrategia de mantenimiento del bosque envejecido 
corresponde a un modelo mixto aritmético-geométrico) 
 
 22 
2. Analizar algebraicamente la progresión e inferir y formular progresiones 
equivalentes. 
3. Verificar que la proporción recomendado por el experto en economía se ajusta al 
requisito financiero establecido. 
 
3.2.1 Plan de Clase 
 
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE/ 
OBJETIVOS 
ROL E INTERVENCIÓN DOCENTE 
1. Primer Momento: (20 minutos) 
 
“Comprender que el modelo 
matemático utilizado como estrategia 
de mantenimiento forestal 
corresponde a una progresión mixta 
aritmética-geométrica” 
 
Posibles estrategias: 
- Uso de imágenes proporcionadas 
en la web 
- Dibujos de elaboración propia para 
entender el contexto del problema 
1. Presenta la actividad: Enunciado del Caso 
 
1. Introduce la clase, y forma al azar los grupos de 
estudiantes. A cada grupo se asigna un computador. Los 
alumnos trabajan con la ayuda del profesor en el uso de 
Excel o GeoGebra. 
2. Instrucciones para iniciar el trabajo 
 
Instrucciones generales: 
● No se debe intervenir entre los grupos. 
● Recordar que la actividad es de naturaleza colaborativa. 
● Proceder a la lectura del caso. 
● Recordar que pueden hacer uso de calculadora, Excel o 
GeoGebra. 
 
Preguntas de devolución: 
• ¿Qué es un bosque envejecido? 
• ¿Por qué debe haber planes de reforestación? 
• ¿Cuál es el espacio del bosque donde se plantarán 
los árboles? ¿qué capacidad tiene? 
• ¿Cómo se financiará este proceso? 
 
 
 23 
1.1 “Visualizar los términos de la 
progresión mediante el uso de Excel 
o GeoGebra” 
 
 
 
 
Posibles estrategias: 
• Uso de Excel o GeoGebra 
para registrar datos y generar 
nuevos datos 
• Uso de Registros gráfico para 
visualizar el comportamiento 
del modelo 
• Búsqueda de regularidades 
2. Se reflexionará acerca de la necesidad de organizar los 
datos, de modo de registrar estos valores en una tabla 
generada por Excel o GeoGebra, así como también 
reflexionar acerca de las unidades en que se debe trabajar. 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preguntas de devolución: 
 
1) ¿Qué herramienta se puede usar para organizar los 
datos? 
2) ¿Cómo vamos a registrar esos datos? 
3) ¿Cuáles son las unidades en que se deben trabajar estos 
datos? 
4) De acuerdo con los datos registrados, ¿se observa 
alguna regularidad? 
5) ¿Corresponde a una progresión? ¿de qué tipo? 
6) ¿Qué podrían sugerir los datos propuestos en la tabla con 
respecto a la monotonía de la progresión? 
Año Número 
de 
árboles 
 Año Número 
de 
árboles 
2019 50000 2024 52262 
2020 50500 2025 52649 
2021 50975 2026 53017 
2022 51426 2027 53366 
2023 51855 2028 53698 
1.2. “Comprender las restricciones 
del modelo” 
3. Preguntas de reflexión 
1) ¿Este modelo considera restricciones? 
2) ¿Cuáles son? 
2. Segundo Momento (30 minutos) 
 
“Analizar algebraicamente la 
progresión” 
 
“Inferir y formular progresiones 
equivalentes” 
4. Preguntas de reflexión 
 
1) ¿La progresión obtenida se puede expresar en términos 
de n? 
2) ¿Es necesario inferir una nueva progresión? ¿Porqué? 
3) ¿Qué características tiene esta nueva progresión? 
4) ¿Qué podría sugerir, además, los datos propuestos en 
esta tabla con respecto a la monotonía de la progresión 
{𝑢𝑛}𝑛∈ℕ? 
5) ¿Qué expresión matemática permite determinar la 
capacidad para árboles nuevos según el año? 
 
 
 
 24 
3. Tercer Momento (20 minutos) 
 
“Evaluar la validez del plazo de 
renovación de 25 años” 
 
5. Preguntas de reflexión 
¿Son válidas la fecha límite y las restricciones por motivos 
financieros? 
 
4. Cuarto Momento (20 minutos) 
 
“Evaluar las restricciones por 
problemas financieros” 
6. Preguntas de reflexión 
¿La estrategia de la Organización Forestal encaja con la 
recomendación del experto en economía? 
 
Figura 5. Plan de clases para “Estudio de Casos: Estrategia de reforestación de un bosque 
envejecido” 
 
3.2.2 Análisis a priori 
 
Junto con el planteamiento del caso, se les presenta a los estudiantes una serie de 
preguntas estimulantes que les permitan seguir una línea de resolución. Por ejemplo, 
comenzando con preguntas generales pero profundas: 
1. ¿Cuál es el modelo matemático de la estrategia de mantenimiento forestal? 
2. ¿Son válidas la fecha límite y las restricciones por motivos financieros? 
3. ¿La estrategia de la Organización Forestal encaja con la recomendación del 
experto en economía? 
La lectura del caso se acompañará también con una serie de imágenes disponibles en 
la web o dibujos propios, de modo de tener una comprensión inicial del contexto del 
problema. Por lo tanto, se considera muy relevante que los estudiantes comprendan la 
importancia del problema en el contexto actual que vivimos, preguntándoles por ejemplo: 
• ¿Qué es un bosque envejecido? 
• ¿Por qué debe haber planes de reforestación? 
• ¿Cuál es el espacio del bosque donde se plantarán los árboles? ¿qué capacidad 
tiene? 
• ¿Cómo se financiará este proceso? 
De aquí en adelante, los estudiantes establecerán que la estrategia de mantenimiento 
de bosques de árboles informados puede modelarse como una progresión mixta 
aritmética-geométrica, es decir, una progresión {𝑢𝑛}𝑛∈ℕ en la siguiente forma. Para 
cualquier entero 𝑛 ≥ 0: 
 
 25 
𝑢𝑛+1 = 𝑎 ⋅ 𝑢𝑛 + 𝑏 
con un dato inicial para comenzar las iteraciones. Aquí 𝑎 y 𝑏 son dos números reales 
constantes dados. Esta progresión será: 
• Una progresión aritmética cuando 𝑎 = 1 
• Una progresión geométrica cuando 𝑏 = 0 
 
Los estudiantes demostrarán que el problema de mantenimiento entra en el marco de la 
progresión mixta aritmética-geométrica con cualquier entero dado 𝑛 ∈ ℕ: 
 
𝑢𝑛+1 = 0.95 ⋅ 𝑢𝑛 + 3000 con dato inicial 𝑢0 = 50000 
 
 
Se le instará al uso de TIC’s, por ejemplo, usando Excel para registrar el número de 
árboles según el año, registrando en una tabla de datos sus resultados, facilitando de 
esta manera un uso adecuado del tiempo, por ejemplo: 
 
Tabla 5. Datos de la ecuación que modela el número de árboles desde 2019 a 2028 
Año Número de árboles Año Número de árboles 
2019 50000 2024 52262 
2020 50500 2025 52649 
2021 50975 2026 53017 
2022 51426 2027 53366 
2023 51855 2028 53698 
 
Inmediatamente se les plantea la pregunta: 
¿Qué podría sugerir, además, los datos propuestos en esta tabla con respecto a la 
monotonía de la progresión {𝑢𝑛}𝑛∈ℕ? 
 
Obviamente, no se puede inferir de una lista finita de datos recopilados alguna propiedad 
relativa a una progresión hecha de infinitos números reales 𝑢𝑛. Por lo tanto, para evaluar 
con firmeza la sugerencia formal, mostraremos que un estudio algebraico de la 
progresión mixta aritmética-geométrica, requerirá de la introducción de una progresión 
geométrica auxiliar denotada por {𝑣𝑛}. 
 
Esta progresión se introducirá a los estudiantes planteándoles la siguiente pregunta: 
¿Qué expresión matemática permite determinar la capacidad para árboles nuevos 
según el año? 
La respuesta a esta pregunta se traducirá en el planteamiento de la sucesión: 
 
𝑣𝑛 = 60000 − 𝑢𝑛 
 
Una dificultad esperada proviene de la identidad 57 = 0.95 ⋅ 60. Al menos dos posibles 
derivaciones están a la mano: es decir, por un lado un análisis recursivo que pasa por 
alto esta ligera dificultad, pero lo más útil es llevar al alumno a una interpretación 
 
 26 
valiosa de la pregunta pidiéndole que reconozca la progresión geométrica, y que para 
cualquier número entero dado 𝑛, se tiene: 
𝑣𝑛 = 60000 − 0.95 ⋅ 𝑢𝑛−1 − 3000 = 57000 − 0.95 ⋅ 𝑢𝑛−1 = 0.95(60000 − 𝑢𝑛−1) 
 
De modo que, los estudiantes concluyan que 𝑣𝑛+1 = 0.95 ⋅ 𝑣𝑛 e identificarán esta 
ecuación como una progresión geométrica de razón 0.95. 
 
Se espera que los estudiantes conozcan las propiedades de las progresionesgeométricas. En el curso del problema, algunas de esas propiedades clásicas pueden 
recordarse. De 
𝑣0 = 60000 − 𝑢0 = 60000 − 50000 = 10000 
 
se tiene 
𝑣𝑛 = 𝑣0 ⋅ 𝑟
𝑛 = 10000 ⋅ (0.95)𝑛 
 
Puesto que la razón geométrica 𝑟 = 0.95 verifica 0 < 𝑟 < 1 se tiene lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = 0 y por lo 
tanto, 
lim
𝑛→∞
(60000 − 𝑟𝑛) = 60000 
 
En otras palabras, dado que la sucesión {𝑢𝑛} aumenta y converge a 60000. En adelante, 
la estrategia de mantenimiento propuesta cumple exactamente con la restricción de la 
vida real: el número de árboles 𝑢∞ no puede exceder: 
𝑢∞ ≤ 𝑢0 +
1
5
𝑢0 = 60000 
 
 
3.3 Clase 3: “El robot que avanza en diagonal” 
 
Uno de los usos más importantes de la inducción en informática implica probar que un 
programa o proceso conserva una o más propiedades deseables a medida que avanza. 
Una propiedad que se conserva a través de una serie de operaciones o pasos se conoce 
como invariante. Los ejemplos de invariantes deseables incluyen propiedades como una 
variable que nunca excede un cierto valor, la altitud de un avión que nunca cae por debajo 
de 1.000 pies sin desplegar las aletas y el tren de aterrizaje, y la temperatura de un 
reactor nuclear que nunca excede el umbral para una fusión. (Lehman, Thomson y 
Meyer, 2010) 
Podemos usar el principio de inducción para concluir que la proposición es una 
invariante, es decir, que siempre se mantendrá. En particular, mostramos que la 
proposición es verdadera al principio (este es el caso base) y que si es verdadera 
después de que se hayan tomado 𝑡 pasos, también será verdadera después del paso 
𝑡 + 1 (este es el paso inductivo). 
También, las invariantes son útiles en sistemas que tienen un estado de inicio (o 
configuración de inicio) y una serie de pasos bien definidos durante los cuales el sistema 
puede cambiar de estado. Dichos sistemas se conocen como máquinas de estado. 
 
 27 
 
Objetivo general: 
Demostrar que el robot avanza según un proceso invariante, y por lo tanto, no alcanza la 
posición (1,0). 
Objetivos específicos: 
1. Determinar las posibles posiciones del robot en su estado inicial 
2. Representar algebraicamente las posibles posiciones del robot en el k-ésimo 
3. Establecer la proposición que define el estado invariante y demostrar que el robot 
no alcanza la posición (1,0) utilizando el método de Inducción Matemática. 
 
3.3.1 Plan de clase 
 
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE/ 
OBJETIVOS 
ROL E INTERVENCIÓN DOCENTE 
1. Primer Momento: (20 minutos) 
 
“Indicar posibles posiciones del robot 
en el plano” 
 
1. Presenta la actividad: 
Enunciado: Determinar si el robot alcanza la posición (1,0) 
 
 
 
1.1 Introduce la clase, y forma al azar los grupos de 
estudiantes: 
Instrucciones para iniciar el trabajo 
Instrucciones: 
● No se debe intervenir entre los grupos. 
● Recordar que la actividad es de naturaleza colaborativa. 
● Utilizar registros figural y gráfico (GeoGebra y/o 
cuaderno) 
 
 28 
1.1 “Ubicar en el plano las posiciones 
iniciales del robot” 
 
 
Posibles estrategias: 
• Ensayo-error 
• Uso del registro tabular 
• Utilizar el plano cartesiano 
para registrar las posibles 
posiciones del robot (registro 
gráfico) 
1. El docente verificará que los estudiantes reconocen la 
existencia de 4 posibles posiciones del robot en cada 
paso de la siguiente forma: 
a) Los estudiantes utilizan la notación de par 
ordenado y el sistema cartesiano como 
herramienta de apoyo 
b) Registran la posición inicial del robot ubicándolo 
en el origen del plano cartesiano 
c) Registran en el plano las posiciones del robot en 
el siguiente paso (etapa 2) 
 
 
 
 
Preguntas de devolución: 
2. Segundo Momento (40 minutos) 
 
“Determinar el estado invariante del 
robot (generalización): identificar las 
4 posibles posiciones del robot en el 
paso k”” 
2. En esta etapa se requiere determinar la posición del robot 
en la etapa k, se espera que los estudiantes utilicen el registro 
gráfico para ello. 
 
Preguntas de reflexión: 
a) Luego de registrar los datos en la tabla, ¿cuáles 
serían las posibles posiciones en el k-ésimo paso? 
b) ¿Y en el paso k+1? 
 
3. Tercer Momento (30 minutos) 
 
“Establecer la proposición que define 
el estado invariante y demostrar que 
el robot no alcanza la posición (1,0)” 
4. Preguntas de reflexión 
a) ¿Qué característica común tienen las coordenadas 
de estos puntos? 
b) Cómo lo expresamos en una proposición o teorema 
c) ¿Cómo se demuestra para n=0? 
d) ¿Cuál es la hipótesis de inducción? 
e) ¿Y la tesis de inducción? 
 
 
Figura 6. Plan de clases para la actividad “El robot que avanza en diagonal” 
 
 
 
 29 
3.3.2 Análisis a priori 
Las invarianzas son útiles en sistemas que tienen un estado de inicio (o configuración 
inicial) y una serie bien definida de pasos durante el cual el sistema puede cambiar de 
estado. En términos generales, se espera que los estudiantes activen diversas 
estrategas, procedimientos y argumentos para la resolución del problema. A saber, 
(B) Matemática en juego - conocimientos previos 
a. Operatoria y propiedades de los números enteros. 
b. Método de Inducción Matemática 
(C) Estrategias: 
a. Analizar todos los casos posibles (en cada paso hay cuatro posibilidades 
de avanzar), 
b. Buscar regularidades (en cada paso se obtiene suma par), 
c. Componer y descomponer números y/o expresiones algebraicas, 
(D) Procedimientos: 
a. Utilizar diversos registro (figural, algebraico, numérico, tabular, lengua 
natural), 
b. Manipular algebraicamente diversas expresiones 
(E) Argumentos: 
a. Identificar las características de las coordenadas, 
b. generalizar posición, 
c. formular una proposición, 
d. demostrar usando el método de inducción matemática 
Inicialmente, el estudiante reconocerá que el estado del robot en cualquier tiempo 
puede ser especificado por el par coordenado (𝑥, 𝑦), el cual denota la posición del 
robot, activando de esta manera los registros tabular y gráfico. El estado inicial es (0,0) 
puesto que se ha especificado que el robot comienza en esa posición. El estudiante 
observará que después del primer paso, el robot podría estar en una de las cuatro 
posiciones: (1, 1), (−1, 1), (1, −1) ó (−1, −1). 
Después de jugar un rato con el robot, el estudiante llegará a la conclusión de que el 
robot nunca alcanzará la posición (1,0). Entonces se dará cuenta que esto se debe a 
que el robot puede sólo alcanzar posiciones (𝑥, 𝑦) para las cuales se cumpla que 𝑥 + 𝑦 
es par. Esta observación crucial les permitirá rápidamente la formulación de la 
proposición: 
𝑝(𝑘) : si el robot está en el estado (𝑥, 𝑦) en el paso 𝑘, entonces 𝑥 + 𝑦 es par 
O del teorema siguiente: 
Teorema 1. La suma de las coordenadas de la posición del robot es siempre par. 
Aquí los estudiantes ya están en condiciones de usar el método de inducción 
matemática, probando que p es invariante. 
 
 30 
𝑝(0) es verdadera puesto que el robot comienza en (0, 0) y 0 + 0 es par. 
Asumiendo que 𝑝(𝑘) es verdadera, definiran (𝑥, 𝑦) como la posición del robot después 
de 𝑘 pasos. Puesto que 𝑝(𝑘) es verdadera, sabemos que 𝑥 + 𝑦 es par. Hay cuatro 
casos que considerar para el paso 𝑘 + 1, dependiendo de cuál es la dirección en que 
el robot se mueve. 
Caso 1. El robot se mueve a la posición (𝑥 + 1, 𝑦 + 1), la suma de las 
coordenadas es 𝑥 + 𝑦 + 2, lo cual es par. Por lo tanto, 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera. 
Caso 2. El robot se mueve a la posición (𝑥 + 1, 𝑦 − 1), la suma de las 
coordenadas es 𝑥 + 𝑦, lo cual es par. Por lo tanto, 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera. 
Caso 3. El robot se mueve a la posición (𝑥 − 1, 𝑦 + 1), la suma de las 
coordenadas es 𝑥 + 𝑦, lo cual es par. Por lo tanto, 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera. 
Caso 4. El robot se mueve a la posición (𝑥 − 1, 𝑦 − 1), la suma de las 
coordenadas es 𝑥 + 𝑦 − 2, lo cual es par. Por lo tanto, 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera. 
En todos los casos 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera y se ha probado que 𝑝(𝑘) implica 𝑝(𝑘+ 1) 
y por inducción, sabemos que 𝑝(𝑘) es válida para todo 𝑘 ≥ 0. 
Por lo tanto, el estudiante concluirá que el robot sólo puede alcanzar posiciones con 
coordenadas cuya suma sea par, por lo que el robot no puede alcanzar la posición 
(1, 0). 
 
4 Resultados de la actividad implementada 
Se consideran resultados de la actividad del “Tablero de Fibonacci”. Al analizar las 
respuestas de los estudiantes, se observó la activación natural de algunos registros de 
representación semiótica, los que se indican y rotulan en la Tabla 1. 
 
Tabla 6. Registros semióticos activados en la clase implementada y sus respectivos rótulos 
Actividad Activó registros 
Armado del rompecabezas de Fibonacci Figural, Lengua Natural 
Término general: ecuación de recurrencia Numérico, Algebraico, Tabular, Gráfico 
Convergencia de la sucesión de cocientes Numérico, Tabular, Gráfico 
Reflexión y discusión profesor-estudiante Lengua Natural, Figural 
 
 
 
 
 
 31 
De acuerdo con la TRRS surgieron en la resolución del taller, 7 registros de 
representación en torno al concepto de sucesión, con la presencia de tratamiento en los 
mismos registros. En la mayoría de los casos se observó que los estudiantes establecían 
una conversión entre algunos registros más que con otros, por ejemplo, se observó la 
presencia conjunta de los registros Lengua Natural, Algebraico y Numérico. 
 
4.1 Producciones de los estudiantes 
 
En términos generales, se observa en las producciones de los estudiantes la presencia 
de diversos registros de representación, pero no se evidencia la comprensión de un 
proceso infinito. Se considera que especialmente esta conversión entre los registros 
RLN-RA-RN y RT-RG permitiría este salto cognitivo acerca del concepto de sucesión, en 
un nivel superior, tal como lo plantea Duval (2006) “cambiar la representación de objetos 
o relaciones matemáticas de un sistema semiótico a otro es siempre un salto cognitivo”. 
 
De las producciones de los estudiantes, en la figura 3 se observa la presencia de estos 
registros y tratamiento al interior de cada uno de ellos. Por ejemplo, la siguiente figura 
muestra tratamiento en los registros figural, numérico y algebraico en la respuesta del 
grupo 5, el cual además muestra la conversión entre los registros semióticos RLN y RG: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Presencia de diversos registros en las respuestas del grupo 1 a la pregunta 1. 
 
 
 32 
 
 
La siguiente figura muestra las respuestas del grupo 5, en ellas se observa tratamiento 
en los registros numérico, algebraico, gráfico y de la lengua natural. Además, muestra la 
conversión entre los registros RLN y RG: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Tratamiento al interior de diversos registros en las respuestas del grupo 5 a las 
preguntas 1 y 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
En la siguiente figura observamos las respuestas del grupo 3, en la cual se aprecia el tratamiento 
al interior de 4 registros de representación: tabular, figural, numérico y algebraico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Tratamiento al interior de diversos registros en las respuestas del grupo 3, a la pregunta 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
4.2 Análisis de Resultados 
 
De acuerdo con lo declarado en los objetivos de investigación, la información levantada 
se obtiene de las producciones de los estudiantes, cuyas respuestas son de carácter 
grupal y de las cuales analizamos algunos resultados que consideramos relevantes para 
el estudio dado en relación con la activación de diversos registros de representación. De 
acuerdo a las preguntas de investigación, nos interesará analizar los registros figural, 
tabular y gráfico. A continuación, se muestra una síntesis panorámica global. 
 
 
Tabla 7. Categorías de análisis según grupo 
Categoría Subcategoría Grupo 
Estrategias rf:e1 G3-G10 
 rt:e1 G7-G8-G10 
 rg:e1 Todos en Excel (G5 en hoja blanca) 
 rg:e2 G5 
 
Procedimientos rf:p2 Todos 
 rf:p3 G1-G3-G7-G10 
 rt:p2 G1-G3-G4-G6-G7-G8-G9 
 rg:p2 G5-G10 (dibujado como una línea 
continua) 
 
Argumentos rf:a2 G1-G2-G4-G5-G6-G7-G9 
 rt:a2 - 
 rg:a2 G5 
 
En términos generales, se observa en las producciones de los estudiantes la presencia 
de diversos registros de representación. De acuerdo con la TRRS surgieron en la 
resolución del taller, 6 registros de representación en torno al concepto de sucesión, con 
la presencia de tratamiento en los mismos registros. En particular, se observa que todos 
los grupos dibujan el tablero indicando la posición de la octava pieza (registro figural), 
varios de ellos indican que la ubicación sigue el sentido de la espiral (tratamiento) y ésta 
es única. La mayoría de los grupos registra las dimensiones de las piezas cuadradas 
(registro tabular), algunos de ellos clasifican según sus dimensiones (longitud lado, área 
del cuadrado), sin embargo, no se observa registro de las dimensiones de las piezas 
rectangulares. Todos los grupos grafican la sucesión de cocientes, pero sólo algunos 
grupos muestran la convergencia a número áureo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35 
5 Análisis a posteriori 
 
5.1 Una mirada al tratamiento y conversión entre los registros figural y 
tabular 
 
A modo de reflexión de la actividad implementada, si analizamos el primero momento, 
en la resolución del “Tablero de Fibonacci” se observa que el primer registro que se activa 
es el registro figural, por lo tanto, se propone enfocarnos en primera instancia en el 
tratamiento de este registro. De esta manera se obtendrá una correspondencia 
semántica entre las unidades significantes que constituyen cada registro, por ejemplo, 
desde el registro figural hacia el registro tabular al corresponder los lados de los 
cuadrados con los términos de la sucesión de Fibonacci, y al corresponder las piezas 
concatenadas con la sucesión de cocientes convergente al número áureo. La 
correspondencia de estas unidades es de igual orden de aprehensión en las dos 
representaciones, y permite además convertir una unidad significante en la 
representación de partida en una sola unidad significante en la representación de 
llegada. De este modo logramos representaciones congruentes entre sí, resultando 
natural el paso de una representación a otra, en este caso, partiendo desde el RF hacia 
los otros registros. 
 
El tratamiento en el RF de la sucesión de Fibonacci podría considerarse de la siguiente 
forma. Por ejemplo, si observamos una espiral sola, ella simplemente nos evoca a una 
curva vinculada a un giro. Sin embargo, si la miramos dentro de un tratamiento en el 
registro figural, en el sentido de poner en correspondencia lados verticales y horizontales 
que se van concatenando y van creciendo (tratamiento) dando cuenta de esta curva 
como consecuencia, en términos del registro figural ello favorecería la comprensión de 
un proceso infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Tratamiento en el registro figural 
 
 
 36 
Por otro lado, la correspondencia entre unidades significantes de los registros RF y RT 
da cuenta de la congruencia entre estos registros, tal como lo muestra el siguiente 
esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Esquema mostrando la conversión entre unidades significantes de los registros 
figural y tabular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
CONVERSIÓN 
 
 37 
5.2 Nuevo Plan de Clase 
 
A la luz de estos resultados y posterior reflexión, se reconoce una clase que ha logrado 
los objetivos propuestos, por lo que se sugiere que en la nueva propuesta se coloque 
mayor énfasis en el tránsito desde el registro figural al tabular, y en este registro ya 
mostrar la conexión entre los términos de la sucesión de Fibonacci y el número áureo, 
lo cual se formalizará en una actividad de plenaria al final de la clase. Por lo tanto, 
proponemos un “plan de clase mejorado”. 
 
 
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE/OBJETIVOS 
ROL E INTERVENCIÓN DOCENTE 
1. Primer Momento: (40 minutos) 
 
“Deducir los términos de la sucesión 
de Fibonacci mediante el cubrimiento 
de una superficie rectangular a través 
de la manipulación de piezas 
cuadradas.” 
1. Presenta la actividad: 
Enunciado: Cubrir el tablero celeste utilizando las piezas 
entregadas. 
 
 
 
1.1 Introduce la clase, y forma al azar los grupos de 
estudiantes: 
Instrucciones para iniciar el trabajo 
Instrucciones: 
● No se debe intervenir entre los grupos. 
● Recordar que la actividad es de naturaleza colaborativa. 
● No utilizar el celular (solo calculadora) 
1.1 “El armado del rompecabezas de 
Fibonacci” 
 
 
 
El tablero y las piezas 
Posibles estrategias: 
• Ensayo-error 
2. Entrega a cada grupo el tablero y las piezas del 
rompecabezas y una copia con las instrucciones de la 
actividad, se les solicita escribir todos los pasos seguidos 
para armar el rompecabezas. 
 
2.1 Evaluación del armado del rompecabezas: se pregunta a 
los alumnos qué estrategia utilizaron para armarlo, si todos 
estaban de acuerdo con la estrategia adoptada o si había otra 
estrategia. 
¿Cómo cubrieron la superficie del tablero? 
¿Hay otra manera de cubrir el tablero? 
 
 38 
• Uso del registro numérico 
• Búsqueda de regularidades 
1.2. “Deducción de los primeros 
términos de la secuencia de 
Fibonacci” 
Posibles respuestas: 
Secuencia de las áreas de las 
piezas: 
1, 4, 9, 25, 64… 
Secuencia de los perímetros de las 
piezas: 4, 8, 12, 20,32… 
Secuencia de la longitud de los lados 
de las piezas: 1, 2, 3, 5, 8… 
3. Situaciones de devolución: 
Para lograr el objetivo propuesto se preparan unas preguntas 
que favorezcan la construcción de la sucesión de Fibonacci. 
Si la superficie dada aumenta, 
¿Cuáles serían las dimensiones de la próxima pieza? 
¿Cuál sería su ubicación específica en el tablero? 
¿Esta ubicación es única? 
¿Cuáles serían las dimensiones de la pieza 18? 
¿Podrían generalizar a la pieza n? 
2. Segundo Momento (30 minutos) 
 
“Deducir la convergencia de la 
sucesión de los cocientes de los 
términos consecutivos a través del 
uso de TIC’” 
4. A cada grupo se asigna un computador. 
Los alumnos trabajan con la ayuda del profesor en el uso de 
Excel o GeoGebra. 
 
¿Qué particularidad tienen? ¿Qué esperan que pase si 
aumento el número de elementos de listado? 
 
¿Qué figura geométrica se observa al unir las piezas 1 y 2? 
¿Cuáles son las medidas de sus lados? 
 
¿Qué figura geométrica se observa al unir las piezas 1, 2 y 
3? ¿Cuáles son las medidas de sus lados? 
 
Para activar el registro tabular se plantean las siguientes 
preguntas de reflexión: 
¿Qué información registraremos? 
¿Cómo ordenamos esta información? 
¿Qué se observa en la secuencia de datos? 
¿Qué relación hay entre estas dos sucesiones? 
¿Qué características tiene cada una en cuanto a 
monotonía? ¿son acotadas? ¿y convergentes? 
 
3. Tercer Momento (20 minutos) 
 
“Generar un espacio de reflexión y 
discusión conjunta profesor 
estudiante centrada en la conexión 
de la sucesión de Fibonacci y el 
número Áureo.” 
5. Espacio es de reflexión y discusión en plenaria. 
Inicialmente se utilizará este espacio como una plenaria 
donde los estudiantes podrán compartir sus resultados y 
experiencia. 
El docente podrá promover la comunicación de diferentes 
estrategias utilizadas por los estudiantes al momento de 
resolver el problema planteado, enriqueciendo la discusión a 
través de preguntas dirigidas con el fin de generar un clima 
apropiado para la profundización de algunos conceptos. 
Posteriormente, el docente podrá realizar una síntesis 
basada en los objetivos alcanzados en esta actividad, 
centrada principalmente en la relación de la sucesión de 
 
 39 
Fibonacci y el número Áureo. 
Figura 12. Nueva propuesta Plan de clases para la “Sucesión de Fibonacci” 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
6 A modo de conclusión 
 
Se han definido las categorías de análisis en relación con el aprendizaje del objeto 
matemático sucesión. En este sentido, se ha operacionalizado la TRRS al explicitar las 
posibles estrategias, procedimientos, argumentos y registros que utilizarán los 
estudiantes para llegar a la solución de los problemas planteados y aprender de esta 
manera el concepto de sucesión, en particular estableciendo la conexión entre los 
términos de la sucesión de Fibonacci y el número áureo. 
 
A la luz de estos resultados preliminares de la clase implementada, consideramos de 
gran relevancia lo que el presente análisis nos ha mostrado, que cuando nos enfocamos 
en el tratamiento en el registro figural, la idea de espiral sugiere a los estudiantes un 
proceso infinito al concatenar las piezas cuadradas, pues de esta forma ellos reconocen 
una sucesión que crece infinitamente. Por lo tanto, la actividad del “Tablero de Fibonacci” 
favorece la comprensión de los procesos infinitos, desde la perspectiva de la TRRS, 
cuando se enfoca en el tratamiento en el registro figural de dicha sucesión, lo cual facilita 
el tránsito desde una sucesión monótona no acotada, la sucesión de Fibonacci, a una 
sucesión acotada y convergente, cuyo límite es el número áureo. 
 
En relación a las clases 2 y 3, una reflexión a priori nos permite concluir que en la clase 
2 el tratamiento y conversión a partir del registro figural, permite comprender el caso 
planteado en un contexto real, pudiendo facilitar el tránsito hacia los registros tabular, 
gráfico y algebraico. En la clase 3, el tratamiento y conversión entre los registros tabular 
y gráfico apoyado de un razonamiento algorítmico facilita la comprensión del problema y 
posterior demostración mediante la operacionalización del método de inducción 
matemática en el registro algebraico. 
II. 
 
 
 
 
 41 
7 Referencias 
 
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http://repository.udistrital.edu.co/handle/11349/16315
 
 43 
8 Anexos 
8.1 Clase 1 
 
 
 44 
 
 
 
 
 
 45 
8.2 Clase 2 
 
 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 47 
8.3 Clase 3 
 
 
 48