2019-12 6to Mat III

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EXAMEN DE MATEMÁTICA III 
IAVA diciembre 2019 
1. 
a. Construye una parábola (genérica) de directriz y = -p/2 y foco F = (0, p/2) 
b. Deduce -utilizando su definición- la ecuación de dicha parábola. 
c. Como aplicación de la 
ecuación que has 
encontrado, encuentra la 
ecuación de la parábola de 
directriz y = −7 y foco (0,3) 
que se aprecia en la 
imagen. 
d. Con el mismo foco, pero 
con directriz x= -10, se 
representa en el gráfico 
otra parábola de eje 
horizontal. Escribe su 
ecuación. 
e. Escribe algebraicamente la 
zona de puntos del plano, 
representada por rayas. 
 
 
2. 
a. Sabiendo que a, b y m son números reales no nulos, y que |
6𝑚 1𝑚
𝑏 𝑎
| =1/m, calcular justificando 
por propiedades, 
i. |
6 1
𝑏 𝑎
| 
ii. |
6 − 𝑏 1 − 𝑎
𝑏 𝑎
| 
iii. |
3𝑏 3𝑎
18𝑚 3𝑚
| 
b. Determina para qué valores de m (si es que existe alguno) el siguiente sistema es compatible 
indeterminado y escribe el conjunto solución en dicho caso: 
 {
(𝑚2 − 9)𝑥 + (𝑚 − 3)𝑦 = 𝑚 + 3
𝑚𝑥 = 3𝑚
 
3. 
a. De una hipérbola se sabe que su centro es (0,0). Se sabe también, que uno de sus focos es (4,0) y que 
para cualquier punto P de la hipérbola, la diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos (4,0) y 
(-4,0) es 2.√10. Dicha hipérbola, es uno de los bordes que determina la siguiente región. Encuentra su 
ecuación. 
b. Sabiendo que la circunferencia representada tiene radio 5 y centro (0,0), determina el sistema de 
inecuaciones cuya solución es el conjunto de puntos coloreados en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
a. Definir matriz traspuesta de otra 
b. Define matriz inversa de otra. 
c. Determina la matriz inversa de la matriz A= (
3 0
−1 2
) 
d. Despeja la matriz X de la siguiente ecuación 
A.X.At=(2 1
0 1
) 
e. Utiliza la matriz hallada en la parte c) y el despeje realizado en la parte d) para calcular X 
f. Calcula X de otra forma y comprueba resultados.