ejercicios 3 analisis Rn

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Análisis en Rn
Ejercicios 3
3.1. Determine la derivada direccional f ′(x,u) y también todas las derivadas
parciales de las funciones f : Rn → R definidas como:
a) f(x) = ‖x‖4
b) f(x) = x · l(x), siendo l : Rn → Rn una transformación lineal.
3.2. Sean f y g funciones de Rn en Rm. Supóngase que f es diferenciable
en c, que f(c) = 0 y que g es continua en c. Definiendo h(x) = f (x) · g(x)
(producto escalar), probar que h es diferenciable en c y que, para cada u ∈
R
n, se tiene:
Dch(u) = g(c) ·Dcf(u).
3.3. Sea f : R2 → R3 la función definida mediante:
f(x, y) = (sen x cos y, sen x sen y, cosx cos y).
Determinar la matriz jacobiana de f .
3.4. Determine el gradiente ∇f(x, y) en cada punto donde existe.
a) f(x, y) = x2y2 ln(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0;
b) f(x, y) = xy sen
(
1
x2 + y2
)
si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0.
1
3.5. Sea f : Rn → R una función diferenciable en c ∈ Rn y supóngase que
‖∇f(c)‖ 6= 0. Pruebe que existe un único vector unitario u ∈ Rn tal que
|f ′(c,u)| = ‖∇f(c)‖, y que es el vector unitario para el cual |f ′(c,u)| toma
su valor máximo.
3.6. Sea f una función real que posee derivada f ′ en cada punto de R y sea
g una función definida en R3 como:
g(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Si h es la función compuesta h = f ◦ g, probar que:
‖∇h(x, y, z)‖2 = 4 g(x, y, z)
(
f ′(g(x, y, z))
)2
.
3.7. Sea f : R → R2 definida por f (t) = (cos t, sen t).
a) Probar que Dtf(u) = u(−sen t, cos t) para cada u real.
b) Explicar por qué la fórmula del valor medio
f (y)− f(x) = Dzf (y − x)
no se verifica para x = 0, y = 2π.
c) Un teorema establece que para cada vector a de R2 existe algún z
en el intervalo abierto (0, 2π) tal que
a ·
(
f(y)− f (x)
)
= a ·
(
Dzf (y − x)
)
para x = 0, y = 2π. Determinar z en términos de a.
2