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ANÁLISIS VECTORIAL 1 F. GUZMÁN A. 
Derivada Direccional 
 
Sabemos, aunque no se ha demostrado aún, que el gradiente de la función escalar ∇φ(𝑟) evaluado en cualquier 
punto de alguna superficie de nivel asociada al campo escalar, φ(𝑟) = 𝑐𝑡𝑒, es un vector perpendicular o normal a 
ella y además apunta hacia donde el campo escalar crece o aumenta con mayor rapidez, es decir, hacia la superficie 
de nivel de mayor valor. 
 
Como estamos en un espacio de tres dimensiones entonces la dirección para ir de una superficie de nivel a otra no 
necesariamente tiene que ser la indicada o definida por el vector gradiente ∇φ(𝑟), es decir, existen una infinidad 
de caminos o direcciones por las cuales podemos pasar de una superficie de nivel a otra. Si elegimos una dirección 
arbitraria también podemos determinar el cambio o variación del campo escalar φ(𝑟) en esta dirección particular. 
A este procedimiento se le conoce como la derivada direccional del campo escalar. 
 
Consideremos el siguiente campo o función escalar definido como 
φ(𝑟) = 𝑥𝑦 − 2𝑥2 + 4𝑧 
Definamos dos superficies de nivel en una en el punto 𝑟1 = (1,1,1) la cual está dada por φ(𝑟1) = φ(1,1,1) = 3 y 
otra que contiene al punto coordenado 𝑟2 = (0,2, −1) descrita por φ(𝑟2) = φ(0,2, −1) = −4. 
 
 
Observemos la diferencia entre estas dos superficies de nivel, es decir, la variación que presenta el campo escalar 
entre los puntos del espacio que están en una y otra superficie, esto es, 
∆φ = φ(𝑟1) − φ(𝑟2) = 3 − (−4) = 7 
 
La diferencia o variación es de 7 unidades o magnitudes, esta cantidad no representa ni la distancia de separación 
entre las superficies ni algún otro parámetro de este tipo, solo es una cantidad que dimensiona cuanto varía o 
cambia el campo escalar de un punto del espacio a otro. De hecho, podemos tomar otros dos puntos cualesquiera 
sobre cada una de las superficies y la variación sería exactamente la misma. 
 
Consideremos ahora dos superficies de nivel “extremadamente” cercanas entre sí, por ejemplo, las definidas por 
los siguientes valores 
φ(𝑟) = 0.1 
y 
φ(𝑟) = −0.1 
entonces la magnitud o tamaño de la variación del campo sería ∆φ = 0.2 unidades. 
 
ANÁLISIS VECTORIAL 2 F. GUZMÁN A. 
 
Si esta pequeña variación la hacemos más pequeña aun llevándola al límite ∆φ → 0, entonces podemos considerar 
la variación o cambio del campo escalar como un diferencial del campo escalar, entre las superficies 
φ(𝑟) 
y 
φ(𝑟) + 𝑑φ(𝑟) 
 
Tomemos un diferencial de superficie de ambas superficies de nivel, aquí sin importar la forma de las superficies 
asociadas a los campos a este nivel tendríamos superficies prácticamente planas. Para ir de una de ellas a la otra 
existe una infinidad de caminos o trayectorias, elijamos una en particular a la cual le asignamos una dirección que 
estará representada por el vector 𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧), un vector diferencial de desplazamiento. 
 
 
Como el campo o función escalar depende de tres variables o parámetros, asociadas a las coordenadas, entonces 
una variación o diferencial del campo la vamos a escribir como, 
𝑑φ(𝑟) = 𝑑φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕φ
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕φ
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕φ
𝜕𝑧
𝑑𝑧 
esta expresión nos dice como cambia o varía de forma global el campo o función escalar. Reescribimos 𝑑φ(𝑟) 
como un producto punto o escalar entre dos vectores de la siguiente forma 
𝑑φ(𝑟) = (
𝜕φ
𝜕𝑥
,
𝜕φ
𝜕𝑦
,
𝜕φ
𝜕𝑧
) ∙ (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) 
donde por un lado tenemos el gradiente de la función escalar 
∇φ(𝑟) = (
𝜕φ
𝜕𝑥
,
𝜕φ
𝜕𝑦
,
𝜕φ
𝜕𝑧
) 
y el otro término es el vector diferencial de desplazamiento 
𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) 
que indica la dirección que vamos a seguir para ir de una superficie de nivel a otro, como la parte que nos interesa 
es la dirección de este vector, solo tomemos el vector unitario en la dirección de 𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , esto es, 
ANÁLISIS VECTORIAL 3 F. GUZMÁN A. 
�̂� =
𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑢
 
de donde tenemos que 
𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = �̂� 𝑑𝑢 
 
Sustituyendo finalmente estas expresiones en el diferencial del campo escalar, tenemos que 
𝑑φ(𝑟) = ∇φ(𝑟) ∙ �̂� 𝑑𝑢 
como 𝑑𝑢 = |𝑑𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | es un escalar, lo pasamos dividiendo del lado izquierdo de la igualdad, de manera que 
𝑑φ(𝑟)
𝑑𝑢
= ∇φ(𝑟) ∙ �̂� 
 
Esta expresión representa la razón de cambio del campo o función escalar cuando nos movemos o desplazamos 
en la dirección del vector �⃗⃗�, en otras palabras, nos dice que tanto varía, aumenta o disminuye, el campo escalar 
cuando nos desplazamos en la dirección del vector �⃗⃗�. Expresión que se conoce como la derivada direccional del 
campo o función escalar. 
 
Para analizar dos situaciones particulares de la derivada direccional, desarrollamos el producto escalar, esto es, 
𝑑φ(𝑟)
𝑑𝑢
= ∇φ(𝑟) ∙ �̂� = |∇φ(𝑟)||�̂�|𝑐𝑜𝑠(𝜃) = |∇φ(𝑟)|𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
Veamos cuando la derivada direccional tiene un valor máximo, el término |∇φ(𝑟)| es constante, pero la función 
trigonométrica 𝑐𝑜𝑠(𝜃) puede tener valores entre 1 y −1, es decir, tiene un máximo cuando 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 1, lo cual se 
cumple para 
𝜃 =
𝜋
2
= 90∘ 
donde 𝜃 es el ángulo entre los vectores �̂� y ∇φ(𝑟), esto significa que en la dirección perpendicular al campo �̂�⊥, la 
derivada direccional tiene su valor máximo el cual tiene magnitud 
𝑑φ(𝑟)
𝑑𝑢
= |∇φ(𝑟)| 
Por lo tanto, el gradiente de la función escalar indica o apunta en la dirección en la cual el campo crece o aumenta 
con mayor rapidez. 
 
Cualquier otra dirección que se elija, para moverse entre superficies de nivel del campo, la razón de cambio en esa 
dirección siempre será menor a la indicada por el gradiente. Si elegimos una dirección que sea tangente o paralela 
a la superficie de nivel �̂�∥, nos estaremos desplazando sobre la misma superficie, por lo tanto, el campo escalar no 
presentará variación en esa dirección. 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL 4 F. GUZMÁN A. 
Plano Tangente 
 
En cálculo real las funciones 𝑓: 𝑅 → 𝑅 se pueden representar de forma gráfica como curvas o trayectorias en un 
plano, por ejemplo, en el plano coordenado 𝑥𝑦. Cuando obtenemos la deriva de la función y la evaluamos en un 
punto, ese número real o escalar resultante es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho 
punto. 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑚 
Este parámetro nos proporciona información de la función de manera puntual, si está creciendo, decreciendo o se 
mantiene constante, si tiene valores máximos o mínimos, etc. 
 
Las funciones o campos escalares φ: 𝑅3 → 𝑅 tienen una representación gráfica como superficies en el espacio 
tridimensional. Lo que vamos a hacer a continuación es determinar planos tangentes a dichas superficies en algún 
punto de ellas, estos planos nos permiten identificar algunas propiedades o características de las funciones o 
campos escalares, al igual que la derivada para funciones reales. 
 
El gradiente de un campo o función escalar es un vector que es perpendicular o normal a cualquiera de sus 
superficies de nivel, en todos sus puntos, esto es, si 
φ(𝑟) = φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
es un campo escalar entonces 
∇φ(𝑟) 
es perpendicular a todas las superficies de nivel φ(𝑟) = 𝑐𝑡𝑒. 
 
Consideremos un punto de coordenadas sobre una de estas superficies, si en este punto trazamos un plano 
tangente esta superficieentonces el vector gradiente será perpendicular o normal tanto a la superficie como al 
plano, con este vector podemos determinar la ecuación del plano tangente. 
 
Sea el campo o función escalar definido como 
φ(𝑟) = φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 
sus superficies de nivel están definidas por las ecuaciones 
φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 
En este caso, tenemos paraboloides cóncavos hacia abajo, cuyo eje es paralelo al eje coordenado 𝑧. Vamos a 
determinar un plano tangente a cualquier superficie de nivel y en cualquiera de sus puntos, siempre y cuando la 
función este definida en ellos. 
 
Consideremos, por ejemplo, la superficie de nivel φ(𝑟) = 4 que contiene al punto de coordenadas 𝑟0 = (1,1,2), 
es decir, 
φ(𝑟0) = φ(1,1,2) = (1)
2 + (1)2 + (2) = 4 
 
El gradiente del campo escalar para cualquier punto del espacio está dado como 
∇φ(𝑟) = (
𝜕φ(𝑟)
𝜕𝑥
,
𝜕φ(𝑟)
𝜕𝑦
,
𝜕φ(𝑟)
𝜕𝑧
) 
= (
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
) (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧) 
= (2𝑥, 2𝑦, 1) 
esta es una función vectorial y representa a un vector perpendicular o normal a todos los puntos de la superficie, 
recordemos que aún no es un vector, para eso necesitamos evaluarlo en un punto particular. 
 
Evaluemos el gradiente en el punto de coordenadas 𝑟0, esto es 
∇φ(𝑟0) = ∇φ(1,1,2) = (2(1), 2(1), 1) = (2,2,1) 
 
ANÁLISIS VECTORIAL 5 F. GUZMÁN A. 
Si este vector es perpendicular a la superficie en el punto de coordenadas 𝑟0 entonces también es perpendicular o 
normal al plano tangente a la superficie en ese mismo punto, entonces 
�⃗⃗� = ∇φ(𝑟0) = (2,2,1) 
 
Usando la ecuación normal del plano 
�⃗⃗� ∙ (𝑟 − 𝑟0) = 0 
o bien 
�⃗⃗� ∙ 𝑟 = �⃗⃗� ∙ 𝑟0 
donde 
𝑟0 = (1,1,2) 
es un punto de coordenadas por donde pasa el plano 
�⃗⃗� = (2,2,1) 
es un vector normal o perpendicular al plano y 
𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
es un punto coordenado arbitrario sobre el plano. 
 
Sustituyendo obtenemos 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (2,2,1) = (1,1,2) ∙ (2,2,1) 
Expresión que nos genera la ecuación general del plano 
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 5 
que es tangente al campo escalar φ(𝑟) en el punto de coordenadas 𝑟0 = (1,1,2). 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL 6 F. GUZMÁN A. 
Ejemplo. Un recipiente contiene una mezcla de diversos líquidos los cuales tienen diferentes densidades. El 
recipiente gira sobre su eje y la densidad de la mezcla se pude representar, bajo ciertas consideraciones, mediante 
la siguiente función o campo escalar 
𝜌(𝑟) = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 
Determinar la dirección y magnitud del gradiente de la función escalar en el punto de coordenadas �⃗�1 = (1,1,1). 
Si un insecto se encuentra en la posición de coordenadas �⃗�2 = (−3,2,3), en qué dirección tiene que moverse para 
avanzar con mayor rapidez y cuál sería la razón de cambio de la densidad en esa dirección. 
 
Determinemos el gradiente para todo punto donde este definida la densidad, esto es, 
∇𝜌(𝑟) = (
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
) 𝜌(𝑟) = (
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
) (𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧) = (2𝑥, 2𝑦, −1) = 2𝑥�̂� + 2𝑦𝑗̂ − �̂� 
 
Evaluamos en el punto de coordenadas �⃗�1 
∇𝜌(�⃗�1) = ∇𝜌(1,1,1) = (2(1),2(1), −1) = (2,2, −1) 
el cual es un vector perpendicular a la superficie, cuya dirección es hacia donde el campo o densidad crece o 
aumenta con mayor rapidez. Su magnitud es 
|∇𝜌(�⃗�1)| = √(2)
2 + (2)2 + (−1)2 = √9 = 3 
significa que la densidad de la mezcla aumenta a una razón o a una velocidad de 3 unidades o magnitudes en la 
dirección del gradiente. 
El punto de coordenadas �⃗�1 define la superficie de nivel 𝜌(�⃗�1) = 1. 
 
Ahora evaluemos el gradiente en el punto de coordenadas �⃗�2 
∇𝜌(�⃗�2) = ∇𝜌(−3,2,3) = (2(−3),2(2), −1) = (−6,4, −1) 
esta dirección indica hacia donde la densidad crece más rápido, si queremos movernos dentro del líquido con 
mayor velocidad entonces debemos ir en la dirección hacia donde la densidad disminuye con mayor rapidez, es 
decir, en la dirección 
�⃗� = −∇𝜌(�⃗�2) = −(−6,4, −1) = (6, −4,1) 
La rapidez o velocidad con la cual disminuye la densidad en esta dirección y en ese punto de coordenadas es 
|∇𝜌(�⃗�2)| = √(6)2 + (−4)2 + (1)2 = √53 = 7.28 
unidades o magnitudes. 
El punto de coordenadas �⃗�2 define la siguiente superficie de nivel 
𝜌(�⃗�2) = 𝜌(−3,2,3) = (−3)
2 + (2)2 − (3) = 10 
 
Los puntos cercanos a las paredes del recipiente tendran una mayor densidad por lo cual el gradiente esta dirigido 
hacia el exterior. Conforme nos desplazamos hacia el eje de giro, eje 𝑧, la densidad disminuye y esa dirección es la 
opuesta al gradiente. 
 
ANÁLISIS VECTORIAL 7 F. GUZMÁN A. 
Ejemplo. Los niveles de toxicidad de una nube radiactiva se pueden representar con la siguiente función escalar 
𝜑(𝑟) = 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 𝑥 𝑧 + 𝑥 𝑒𝑥𝑝(𝑦) 
para valores de 𝑧 > 0. Si nos encontramos en la posición de coordenadas �⃗�1 = (2,1,1), indicar en que dirección el 
nivel de toxicidad tiene su máxima incremento y cual es la magnitud de este. Repetir los cálculos anteriores pero 
ahora en la posición �⃗�2 = (3, −2,1.5). 
 
El gradiente para cualquier punto del espacio, siempre que la función este definida, es 
∇𝜑(𝑟) = (
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
) 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
) (2𝑥𝑧 + 𝑥 𝑒𝑥𝑝(𝑦)) 
= (
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑥𝑧 + 𝑥 𝑒𝑥𝑝(𝑦)),
𝜕
𝜕𝑦
(2𝑥𝑧 + 𝑥 𝑒𝑥𝑝(𝑦)),
𝜕
𝜕𝑧
(2𝑥𝑧 + 𝑥 𝑒𝑥𝑝(𝑦))) 
= (2𝑧 + 𝑒𝑥𝑝(𝑦), 𝑥 exp (𝑦),2𝑥) = (2𝑧 + 𝑒𝑥𝑝(𝑦))�̂� + 𝑥 𝑒𝑥𝑝(𝑦)𝑗̂ + 2𝑥�̂� 
Si queremos la dirección hacia donde se da el máximo incremento de toxicidad, cuando estamos en la posición �⃗�1, 
entonces evaluamos el gradiente en este punto de coordenadas, esto es, 
∇𝜑(�⃗�1) = ∇𝜑(2,1,1) = (2(1) + 𝑒𝑥𝑝(1), (2)𝑒𝑥𝑝(1),2(2)) = (4.72,5.44,4) 
en esta dirección la toxicidad aumenta con mayor velocidad, con una razón o rapidez de crecimiento dada por la 
magnitud del gradiente 
|∇𝜑(�⃗�1)| = √(4.72)2 + (5.44)2 + (4)2 = 8.24 
unidades. 
Ahora bien, en la posición �⃗�2 el gradiente tendrá otra dirección y magnitud, las cuales se determinan como 
∇𝜑(�⃗�2) = ∇𝜑(3, −2,1.5) = (2(1.51) + 𝑒𝑥𝑝(−2), (3)𝑒𝑥𝑝(−2),2(3)) = (3.13,0.40,6) 
vector que indica dirección hacia donde la toxicidad se incrementa con mayor rapidez, este crecimiento tiene una 
magnitud de 
|∇𝜑(�⃗�2)| = √(3.13)2 + (0.40)2 + (6)2 = 6.77 
unidades. 
Los puntos coordenados �⃗�1 y �⃗�2 definen la superficie de nivel 𝜑(�⃗�1) = 𝜑(�⃗�2) = 9.45, esto es, se encuentran sobre 
la misma superficie 𝜑(𝑟) = 9.45. 
 
 
Una ave se encuentra volando justo en el punto de coordenadas �⃗�3 = (2, −1,3) si está volando en la dirección del 
vector �⃗⃗� = (−1, −3, −1), determine la rapidez con la cual esta cambiando la toxicidad en ese momento. En que 
dirección tiene que volar para que disminuya lo más rápido posible lo niveles toxicidad del aire. 
El vector unitario en la dirección �⃗⃗� es 
�̂� =
�⃗⃗� 
|�⃗⃗�|
=
1
√(−1)2 + (−3)2 + (−1)2
(−1, −3, −1) = (
−1
√11
,
−3
√11
,
−1
√11
) 
ANÁLISIS VECTORIAL 8 F. GUZMÁN A. 
La derivada direccional de la función escalar 𝜑(𝑟) en la dirección indicada por el vector �⃗⃗�, en cualquier punto del 
espacio esta definida como 
𝑑𝜑(𝑟)
𝑑𝑢
= ∇𝜙(𝑟) ∙ �̂� 
sustituimos las expresiones correspondientes 
𝑑𝜙(𝑟)
𝑑𝑢
= (2𝑧 + 𝑒𝑥𝑝(𝑦), 𝑥 exp (𝑦),2𝑥) ∙ (
−1
√11
,
−3
√11
,
−1
√11
) =
−2
√11
𝑧 −
1
√11
𝑒𝑥𝑝(𝑦)−
3
√11
𝑥 𝑒𝑥𝑝(𝑦) −
2
√11
𝑥 
 
Ahora, evaluamos en el punto de coordenadas �⃗�3 
𝑑𝜙(�⃗�3)
𝑑𝑢
=
−2
√11
(3) −
1
√11
𝑒𝑥𝑝(−1) −
3
√11
(2)𝑒𝑥𝑝(−1) −
2
√11
(2) = −3.79 
como el resultado es negativo, indica que la toxicidad disminuye con una velocidad o razón de 3.79 en la dirección 
del vector �⃗⃗�. 
Si el gradiente indica la dirección en la cual el campo o función tiene su máximo crecimiento entonces la dirección 
opuesta nos indicará hacia donde se debe mover el ave para disminuir lo más rápido posible la toxicidad. 
Calculemos el gradiente en la posición �⃗�3 = (2, −1,3), donde se encuentra el ave, tenemos que 
∇𝜑(�⃗�3) = ∇𝜑(2, −1,3) = (2(3) + 𝑒𝑥𝑝(−1), (2)𝑒𝑥𝑝(−1),2(2)) = (6.36,0.73,4) 
entonces, la dirección que tiene que seguir el ave esta da por el vector 
�⃗� = −∇𝜑(�⃗�3) = −(6.36,0.73,4) = (−6.36, −0.73, −4) 
hacia donde la toxicidad del aire disminuye a razón de 
|�⃗�| = √(−6.36)2 + (−0.73)2 + (−4)2 = 7.54 
unidades. 
El punto de coordenadas �⃗�3 define la superficie de nivel 𝜑(�⃗�3) = 12.73 
 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL 9 F. GUZMÁN A. 
Ejemplo 21. La parte inferior de una nave de origen alienígena tiene la forma de un paraboloide cóncavo hacia 
arriba, dicha superficie se puede describir mediante la función escalar 
𝜙(𝑟) = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = −8 
Supongamos que las distancias están dadas en kilómetros. Desde un punto de la superficie inferior de la nave cuyas 
coordenadas son �⃗�𝑟 = (2,2,4) se lanza un rayo con características destructivas y con una dirección perpendicular 
a la superficie de la nave, determinar en qué punto del plano coordenado 𝑥𝑦 impactará el rayo y la distancia que 
recorre. Determinar a qué altura se encuentra la parte inferior de la nave respecto al plano. Si la magnitud del 
gradiente de la función es la máxima distancia que alcanza el rayo, desde que altura se tendrá que lanzar el rayo 
para tener un radio máximo de alcance. Si el mismo campo escalar representa el grado de dureza de la superficie 
de la nave, determine como varía o cambia está en el punto de coordenadas �⃗� = (1,0,3) en la dirección del vector 
unitario �̂�. 
 
Como el rayo se dispara perpendicular o normal a la superficie de la nave, el gradiente de la función nos dará la 
dirección del rayo, entonces 
∇𝜙(𝑟) = (
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
) (𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2) = (
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2),
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2),
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2)) 
que resulta en 
∇𝜙(𝑟) = (2𝑥, 2𝑦, −2𝑧) 
 
Ahora evaluamos el gradiente en el punto de coordenadas de donde se dispara el rayo �⃗�𝑟 = (2,2,4), así 
∇𝜙(�⃗�𝑟) = (2(2),2(2), −2(4)) = (4,4, −8) 
nos da la dirección del rayo 
 
Para determinar el punto donde el rayo sobre impacta a la Tierra o al plano 𝑥𝑦, vamos a determinar la ecuación 
de la recta que pasa por el punto de coordenadas �⃗�𝑟 y que es paralela al vector ∇𝜙(�⃗�𝑟), estamos suponiendo que 
el rayo sigue una trayectoria rectilínea. 
 
Entonces la ecuación paramétrica de la recta que buscamos es 
𝑟(𝑡) = �⃗�𝑟 + 𝑡∇𝜙(�⃗�𝑟) = (2,2,4) + 𝑡(4,4, −8) = (2 + 4𝑡, 2 + 4𝑡, 4 − 8𝑡) 
o bien en componentes 
𝑥(𝑡) = 2 + 4𝑡 
𝑦(𝑡) = 2 + 4𝑡 
𝑧(𝑡) = 4 − 8𝑡 
 
Ahora bien, esta recta intersecta al plano cartesiano 𝑥𝑦 cuando su componente en la dirección 𝑧 es igual a cero, 
recordemos que la ecuación del plano 𝑥𝑦, esta dada por 𝑧 = 0, entonces 
𝑧(𝑡) = 4 − 8𝑡 = 0 
esto sucede si el parámetro toma el valor de 
𝑡 =
4
8
=
1
2
 
sustituyendo en las restantes componentes tenemos que 
𝑥(1) = 2 + 4 (
1
2
) = 4 
𝑦(1) = 2 + 4 (
1
2
) = 4 
𝑧(1) = 4 − 8 (
1
2
) = 0 
Por lo tanto, las coordenadas del punto donde el rayo intersecta al plano 𝑥𝑦 son 
𝑟𝑖 = (4,4,0) 
ANÁLISIS VECTORIAL 10 F. GUZMÁN A. 
 
La distancia 𝑑 que recorre el rayo desde el punto de disparo hasta el punto de impacto está dada por la magnitud 
del vector 
𝑑 = 𝑟𝑖 − �⃗�𝑟 = (4,4,0) − (2,2,4) = (2,2, −4) 
entonces el resultado es 
𝑑 = |𝑑| = √22 + 22 + (−4)2 = 4.9 𝑘𝑚 
 
Para determinar la altura a la que se encuentra la parte inferior de la nave, reescribimos la superficie de nivel 
𝜙(𝑟) = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = −8 
como, 
𝑧(𝑥, 𝑦) = √8 + 𝑥2 + 𝑦2 
la intersección entre la superficie y el eje coordenado 𝑧 sucede cuando 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0, entonces si evaluamos la 
función 𝑧(𝑥, 𝑦) en estas coordenadas obtendremos la altura 
ℎ = √8 + 02 + 02 = √8 = 2.83 𝑘𝑚 
 
Si la magnitud del gradiente de la función es la máxima distancia que alcanza el rayo, desde que altura se tendrá 
que lanzar el rayo para tener un radio máximo de alcance. 
El gradiente esta dado por el vector 
∇𝜙(�⃗�𝑟) = (2(2),2(2), −2(4)) = (4,4, −8) 
cuya magnitud es 
|∇𝜙(�⃗�𝑟)| = √42 + 42 + (−8)2 = 9.8 𝑘𝑚 
La distancia del punto de coordenadas �⃗�𝑟 = (2,2,4) al suelo o al plano 𝑥𝑦 en la dirección del gradiente ∇𝜙(�⃗�𝑟) es 
solo 𝑑 = 4.9 𝑘𝑚. 
ANÁLISIS VECTORIAL 11 F. GUZMÁN A. 
De manera que si queremos el rayo tenga su máximo radio de acción la nave tiene que elevar su altura. Esto 
significa que solo la componente en la dirección 𝑧 se va a incrementar y el vector gradiente mantendrá su dirección 
y magnitud 
∇𝜙(�⃗�𝑟) = (4,4, −8) 
Observamos que la nueva altura de donde se tiene que realizar el tiro es justamente igual a la magnitud de la 
componente en dirección vertical o componente 𝑧 del vector gradiente, esto es, 
𝑧𝑚 = 8 𝑘𝑚 
de manera que las coordenadas del nuevo punto de disparo son 
�⃗�𝑚 = (2,2,8) 
 
Si el mismo campo escalar representa el grado de dureza de la superficie de la nave, determine como varía o 
cambia está en el punto de coordenadas �⃗� = (1,0,3) en la dirección del vector unitario �̂�. 
 
La derivada direccional en un punto del espacio donde está definido el campo escalar nos indica la variación de en 
una dirección en particular, en este caso �̂� = �̂� = (0,0,1), entonces 
𝑑𝜙(𝑟)
𝑑𝑢
= ∇𝜙(𝑟) ∙ �̂� = ∇𝜙(𝑟) ∙ �̂� = (2𝑥, 2𝑦, −2𝑧) ∙ (0,0,1) = −2𝑧 
ahora evaluamos en el punto de coordenadas �⃗� = (1,0,3) así tenemos 
𝑑𝜙(�⃗�)
𝑑𝑘
= −2(3) = −6 
Esto quiere decir que, la dureza del material de la nave disminuye a una razón o a una velocidad de 6 unidades 
cuando nos desplazamos en la dirección positiva del eje de coordenadas 𝑧, �̂�.