Sucesiones_y_series_infinitas (1)

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Miguel Iván Bobadilla 
 
 
2 
 
Tabla de contenido 
 
Introducción ...............................................4 
Sucesiones ...................................................6 
Límite de una sucesión .................................................................................................................... 8 
Regla de L’Hôpital para determinar la convergencia .................................................................. 9 
Propiedades de los límites de sucesiones ................................................................................... 9 
Teorema del encaje o del emparedado para sucesiones .............................................................. 10 
Teorema del valor absoluto para sucesiones ................................................................................ 10 
Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas ............................................................................. 10 
Series infinitas ......................................... 11 
Series geométricas y telescópicas ................................................................................................. 12 
Propiedades de las series infinitas ................................................................................................ 12 
Criterio de la integral y serie P ............. 13 
Ejemplo para identificar si la serie es convergente o divergente ............................................. 13 
Series p y series armónicas ........................................................................................................... 13 
Estimación de la suma de una serie .............................................................................................. 14 
Estimación del residuo (𝑹𝒏 ) para la prueba de la integral ...................................................... 14 
Comparación de series ........................... 15 
Criterio de comparación directa u ordinaria ................................................................................. 15 
Criterio de comparación en el limite ............................................................................................. 15 
Criterio de comparación del cociente ........................................................................................... 16 
Series alternadas o alternantes ............. 17 
Estimación de la suma para series alternantes ............................................................................. 17 
Criterio de convergencia absoluta y condicional .......................................................................... 17 
Reordenamiento de serie .............................................................................................................. 18 
El criterio del cociente y el criterio de la raíz 19 
El criterio del cociente ................................................................................................................... 19 
El criterio de la raíz ........................................................................................................................ 19 
Estrategias para analizar la convergencia de series ...................................................................... 19 
Series de potencia ................................... 20 
Convergencia en los puntos terminales .................................................................................... 21 
3 
 
Derivación e integración de series de potencia ............................................................................ 21 
Intervalos de convergencia de 𝒇′𝒙, 𝒇𝒙 𝒆 𝒙𝒅𝒙 ......................................................................... 22 
Operaciones con series de potencia ............................................................................................. 22 
Series de Taylor y de Maclaurin ........... 23 
Pasos para encontrar una serie de Taylor ................................................................................. 23 
Formula de Taylor con residuo ..................................................................................................... 24 
Desigualdad de Taylor ................................................................................................................... 24 
Series de Maclaurin importantes .................................................................................................. 25 
Conclusión ............................................... 26 
Bibliografía.............................................. 27 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introducción 
 
En matemáticas encontrar patrones es esencial para resolver problemas y entre estos 
problemas donde los patrones son importantes están las sucesiones y series. El físico Carl Friedrich 
Gauss contó que a los 10 años en la escuela sus compañeros de clase tenían un desorden en el aula, 
cuando el profesor llega al ver semejante desorden enojado castiga a sus alumnos poniéndoles un 
problema matemático, les dice que sumen las sucesiones de los números del 1 al 100, es decir, 
1+2+3+4+5…. +100. El prodigio niño Gauss entrega la solución del problema en un tiempo corto para 
un problema de esa índole, recordando que para ese entonces no utilizaban calculadoras. ¿Cómo lo 
hizo? Aquel niño se dio cuenta de un patrón que le permitía evitar tener que sumar todos los 
elementos, descubrió que reordenando los elementos de la suma y sumando siempre los simétricos 
solucionaba el problema. 
(1 + 100) = 101 
(2 + 99) = 101 
(3 + 98) = 101 
… 
(49 + 52) = 101 
(50 + 51) = 101 
De esta manera Gauss llega a la conclusión de que todas las sumas de simétricos 
daban 101, habiendo 50 posibles pares, el resultado era de 50 x 101, es decir, 5050. Más 
tarde al crecer Gauss utiliza estos principios con la que resolvió este problema para 
encontrar la suma de la serie geométrica y otros problemas similares. 
Otro clásico ejemplo de un problema de sucesiones y series es el problema de la cría 
de conejos que plantea: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y 
deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo 
en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se 
empiezan a reproducir”. Este problema fue resuelto por el matemático Leonardo de Pisa, 
también conocido como Fibonacci en lo que se nombró como sucesión de Fibonacci. Sin 
embargo, tenemos que tener en cuenta que esta sucesión ya fue descrita en las 
matemáticas de la India. Fibonacci supuso que una pareja de conejo criaba una nueva pareja 
de conejos cada mes y que después de los dos meses cada nueva pareja se comportaba del 
mismo modo. El número 𝑎𝑛 de parejas nacidas en el enésimo mes era de 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2, 
puesto que nace una pareja por cada pareja nacida en el mes anterior, y ademas cada pareja 
nacida hace dos meses produce ahora una pareja nueva. 
5 
 
Analizando que 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2, tomando como partida preliminar que 𝑎0 =0 y 
𝑎1=1, desarrollamos la siguiente sucesión: 𝑎2 = 1, 𝑎3 = 2, 𝑎4 = 3, 𝑎5 = 5, 𝑎6 = 8, 𝑎7 = 13, 
𝑎8 = 21. 
n = 2, 3, 4, 5, 8, 13, 21… 
Las sucesiones y series matemáticas tratan de encontrar esos patrones en un 
conjunto de elementos numéricos. Teniendo esa información podremos resolver 
problemas relacionados a ellos y así como el problema de la suma de los números de 1 al 
100 o el problema de la cría de conejo poder resolver un problema dado de elementos 
numéricos sucesivos sin tener que contar o calcular cada elemento, pues teniendo el patrón 
o la regla en la que la sucesión evoluciona sin importar si va al infinito podemos resolver un 
conjunto de problemas dados. 
 
6 
 
Sucesiones 
 
 Una sucesión se define como una lista de numéricas que contienen un orden 
definido. 
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , 𝑎6 , 𝑎7 , 𝑎8 ….. 𝑎𝑛 
El número 𝑎1 recibe el nombre de primer término, 𝑎2 es el segundo término y, en 
general, 𝑎𝑛 esel n-ésimo término. Vemos que para todo entero positivo n hay un número 
correspondiente 𝑎𝑛, por lo que una sucesión se puede definir como una función cuyo 
dominio es el conjunto de enteros positivos. 
 
1 2 3 4 … n … 
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 … 𝑎𝑛 … 
 
En la siguiente lista numérica tenemos un ejemplo de sucesión: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 
19, 22, 25... Analizando dicha lista podemos notar que el patrón u orden definido de dicha 
lista es la suma de 3. Observamos que 1+3=4, +3=7, +3=10, +3=13, +3=16 y así 
sucesivamente encontramos que a cada elemento anterior se le suma 3 y obtenemos el 
elemento siguiente. Podemos con una formula explicita encontrar el valor correspondiente 
a cualquier elemento 𝑎𝑛 en una lista infinita. 
𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2, n ≥ 1 
Por ejemplo, si queremos saber qué valor posee 𝑎5 debemos saber que patrón 
contiene la lista. Lo que sabemos es que a cada elemento anterior se le suma 3 para llegar 
al siguiente y que entre el anterior y el siguiente existen dos elementos, por ejemplo, al 4 
se le suma 3 y obtenemos 7 y a este se aplica la misma suma y obtenemos 10, entre el 4 y 
el 7 tenemos dos elementos (5 y 6) al igual que en los demas números entre ellos existen 
dos elementos, por lo que aplicamos la formula 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2. 
Sustituyendo a n por la posición 5 del arreglo ordenado de números: 
𝑎5 = 3(5) − 2 = 13. 
Si verificamos la lista nos daremos cuenta que en 𝑎5 encontramos exactamente el 
valor 13, lo que nos indica que podemos saber el valor de cualquier elemento en una 
sucesión infinita en 𝑎𝑛 . Puedes verificar por ti mismo cada elemento de la lista aplicando la 
formula. 
7 
 
 
También podemos utilizar una formula recursiva para encontrar un valor 𝑎𝑛 en una 
sucesión. 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 3 n ≥ 2 
En ocasiones pueda que no comience con 1 la lista numérica, ya que se omite los 
dos primeros elementos. Por ejemplo, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25..., pero podemos ver en ella 
el mismo patrón de la suma de 3 en cada elemento para generar el siguiente. Para encontrar 
la fórmula simplemente en vez de restar utilizamos una suma, para saber que numero va 
luego de la suma solo tenemos que restar el primer elemento (𝑎1 ) con el patrón sumatorio 
(3) y obtendremos dicho valor. Por ejemplo 7 - 3 = 4. Por lo tanto, la fórmula es: 
𝑎𝑛 = 3𝑛 + 4 
Sustituyendo a n por la posición 5 del arreglo ordenado de números: 
𝑎5 = 3(5) + 4 = 19 
Si verificamos la lista nos daremos cuenta que en 𝑎5 encontramos exactamente el 
valor 19. Seguro se preguntará por qué el resultado es distinto al anterior, tengamos en 
cuenta que en esta lista 𝑎1 vale 7, mientras que la anterior lista 𝑎1 vale 1, por lo que el 
resultado será distinto. 
La sucesión también se denota mediante: 
{𝑎𝑛 } o {𝑎𝑛 }
∞
𝑛−1
 
Algunas sucesiones se pueden definir dando una fórmula para el término enésimo. 
En los ejemplos siguientes se ofrecen tres descripciones de la sucesión: Una en la que se 
aplica la notación anterior, en otra se aplica una fórmula definida y en la tercera se escriben 
los términos de la sucesión. Observe que la n no tiene que empezar en 1. 
 
8 
 
Límite de una sucesión 
 
 Si se grafica la sucesión 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
 se puede observar que, como una sucesión es una 
función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, su gráfica consta de puntos 
aislados con coordenadas. 
(1, 𝑎1 ) (2, 𝑎2 ) (3, 𝑎3 ) …. (n, 𝑎𝑛 )… 
 
De acuerdo con la gráfica se observa que los términos de 
la sucesión se aproximan a 1 cuando n se incrementa. En 
efecto, la diferencia se puede hacer tan pequeña como 
se quiera al incrementar a n. Esto lo podemos indicar con 
la notación siguiente. 
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1
= 1 
 
En general la notación se puede expresar de la forma: lim 
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿. Esto indica que 
los términos de la sucesión {𝑎𝑛 } se aproximan a 𝐿 cuando n se incrementan. 
 
Sea 𝐿 un número real. Si el límite 𝐿 de una sucesión existe, entonces la sucesión 
converge a 𝐿. Si el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge. 
 Por ejemplo, tenemos la sucesión {𝑎𝑛 }={3 + (−1)
𝑛} que contiene términos 
alternados entre 2 y 4 (2, 4, 2, 4…). El limite no existe por lo tanto la sucesión diverge. En 
otro caso tenemos la sucesión {𝑏𝑛 } = {
𝑛
1−2𝑛
} observamos que tiene límite por lo que 
converge a −
1
2
, lo cual se puede apreciar a continuación. 
lim
𝑛→∞
𝑛
1 − 2𝑛
= lim
𝑛→∞
1
1
𝑛 − 2
= −
1
2
 
9 
 
 
Si una sucesión {𝑎𝑛 } coincide con una función f en cada entero positivo, y si f(x) 
tiende a un límite 𝐿 a medida que 𝑥 → ∞ ,la sucesión debe converger al mismo límite 𝐿. 
lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
Regla de L’Hôpital para determinar la convergencia 
 Podemos determinar la convergencia de una sucesión aplicando la regla de 
L’Hôpital. Por ejemplo, vamos a determinar si la sucesión 𝑎𝑛 = (
𝑛2
2𝑛−1
) converge. 
Considerando la función en una variable real. 
𝑓(𝑥) =
2
2𝑥 + 1
 
Aplicando la regla de L’Hôpital 
lim
𝑥→∞
2
2𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞
2𝑥
𝐿𝑛(2)2𝑥
= lim
𝑥→∞
2𝑥
(𝐿𝑛2)𝑥2𝑥
= 0 
Concluimos que la sucesión converge a cero. 
lim
𝑛→∞
= (
𝑛2
2𝑛 − 1
) = 0 
Propiedades de los límites de sucesiones 
 Si {𝑎𝑛 } y {𝑏𝑛 } son sucesiones convergentes y k una constante, entonces: 
 lim
𝑛→∞
𝑘 = 𝑘 
 lim
𝑛→∞
𝑘𝑎𝑛 = 𝑘 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 
 lim (
𝑛→∞
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 + lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 
10 
 
 lim (
𝑛→∞
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 − lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 
 lim (
𝑛→∞
𝑎𝑛. 𝑏𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 . lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 
 lim (
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
) = 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 
lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 
, siempre que lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 ≠ 0 
 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑝 = [ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ]
𝑝, siempre que p > 0 y 𝑎𝑛 > 0 
Teorema del encaje o del emparedado para sucesiones 
Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 = lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 y existe un entero K tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 para todo n > 
K entonces lim
𝑛→∞
𝑐𝑛 = 𝐿 . 
Teorema del valor absoluto para sucesiones 
 Si lim
𝑛→∞
[ 𝑎𝑛 ] = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 . 
Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas 
 Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Se considera creciente 
cuando 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 (𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 … ≤ 𝑎𝑛 … )para todo n ≥ 1. Se considera decreciente 
cuando 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 (𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ 𝑎3 … ≥ 𝑎𝑛 … )para todo n ≥ 1. 
 Una sucesión 𝑎𝑛 está acotada por arriba si hay un número real M tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 
para todo n. El numero M es llamado una cota superior de la sucesión. Una sucesión 𝑎𝑛 está 
acotada por abajo si hay un número real N tal que 𝑁 ≤ 𝑎𝑛 para todo n. El numero N es 
llamado una cota inferior de la sucesión. Se dice que una sucesión 𝑎𝑛 es acotada cuando lo 
está arriba y abajo. 
 Si una sucesión 𝑎𝑛 es monótona y acotada entonces converge. 
 
11 
 
Series infinitas 
 
Una serie infinita consiste en la suma de los términos de una sucesión infinita 
{𝑎𝑛 }
∞
𝑛=1
 y se denota con el símbolo ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 𝑜 ∑ 𝑎𝑛 . 
∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 … + 𝑎𝑛 + ⋯ 
 
Para encontrar la suma de una serie infinita, considerar la siguiente sucesión de 
sumas parciales. 
𝑆1 = 𝑎1 
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 
 
 Si en una serie infinita ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 la enésima suma parcial está dada por 𝑆𝑛 = 𝑎1 +
𝑎2 + 𝑎3 … + 𝑎𝑛 . Si la sucesión {𝑆𝑛 } es convergente y lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆 existe como un número 
real entonces la serie ∑ 𝑎𝑛 se dice convergente. El limite S es llamado suma de la serie. De 
lo contrario si {𝑆𝑛 } diverge, se dice que la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma. 
𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 … + 𝑎𝑛 + ⋯ 𝑜 𝑆 = ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1
 
 Se podría decir que, la suma de una serie es el límite de la sucesión de sumas 
parciales. La expresión ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 = 𝑆 quiere decir que al sumar suficientes términos de la 
serie puede llegar tan cerca como quiera al número S. 
∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1
= lim
𝑛→∞
∑𝑎𝑖 
𝑛
𝑖=1
 
 Si la serie ∑ 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 es convergente, entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 no existe o si 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0, entonces la serie ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 es divergente. 
12 
 
 A continuación, se muestra la demostración de la convergencia de la serie 
∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 . 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
(𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1) = lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 − lim
𝑛→∞
𝑆𝑛−1 
 = 𝑆 − 𝑆 = 0 
Series geométricas y telescópicas 
 La serie dada por ∑ 𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +∞𝑛=0 … +𝑎𝑟
𝑛 + ⋯ , 𝑎 ≠ 0 es una serie 
geométrica de razón r. 
 Una serie geométrica de razón r converge si |𝑟| < 1 y su suma es: 
∑ 𝑎𝑟𝑛
∞
𝑛=0
=
𝑎
𝑟 − 1
, 0 < |𝑟| < 1 
 
 Si |𝑟| ≥ 1 , se dice que la serie geométrica es divergente. 
 Una serie de la forma (𝑎1 − 𝑎2 ) + (𝑎3 − 𝑎4 ) + (𝑎5 − 𝑎6 ) + ⋯ se le llama serie 
telescópica. 
Propiedades de las series infinitas 
 Sea ∑ 𝑎𝑛 y ∑ 𝑏𝑛 una serie convergente y sea A, B y c números reales. Si ∑ 𝑎𝑛 = A y 
∑ 𝑏𝑛 = B, entonces la serie siguiente converge a las sumas indicadas. 
∑ 𝑐𝑎𝑛 
∞
𝑛=1
= 𝑐𝐴 
∑(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
∞
𝑛=1
= 𝐴 + 𝐵 
∑(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 )
∞
𝑛=1
= 𝐴 − 𝐵 
 
 
 
13 
 
Criterio de la integral y serie P 
 
 Sea f una función continua, positiva decreciente para en el intervalo [1, ∞) y suponga 
que 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) para todo entero positive n, entonces la serie infinita ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 converge si y 
sólo si la integral impropia ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
 converge. 
 Si ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
 es convergente, entonces ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 es convergente. 
 Si ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
 es divergente, entonces ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 es divergente. 
Ejemplo para identificar si la serie es convergente o divergente 
∑
1
𝑛2 + 1
∞
𝑛=1
 
La función es continua, positiva y 
decreciente en de modo que apliquemos la 
prueba de la integral. 
∫
1
𝑛2 + 1
𝑑𝑥
∞
1
 
lim
𝑡→∞
∫
1
𝑛2 + 1
𝑑𝑥
𝑡
1
 
= lim
 𝑡→∞
[𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥]
𝑡
1
 
= lim
 𝑡→∞
(𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 1) 
=
𝜋
2
−
𝜋
4
=
𝜋
4
 
 
En conclusión, como la integral converge esto quiere decir que la serie ∑
1
𝑛2+1
∞
𝑛=1 es 
convergente. 
Series p y series armónicas 
 Una serie de la forma ∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1 es una serie p donde p es una constante positiva. 
14 
 
∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1
=
1
1𝑝
+
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+ ⋯ 
 La serie ∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1 es convergente si 𝑝 > 1 y diverge si 0 < 𝑝 ≤ 1 . 
 Si para p = 1, entonces es una serie armónica. 
∑
1
𝑛
∞
𝑛=1
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ⋯ 
Estimación de la suma de una serie 
 Si utilizamos la enésima suma parcial 𝑆𝑛 para 
aproximar a la suma de la serie 𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 +
𝑎3 + ⋯ entonces el error que cometemos es 
𝑅𝑛 = 𝑆 − 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 + ⋯ 
Sea f(x) una función con la propiedad de que 
𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) y f sea positiva, continua y no 
creciente en [1, ∞). 
𝑅𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 + ⋯ < ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑛
 
Estimación del residuo (𝑹𝒏 ) para la prueba de la integral 
 Supongamos que 𝑓(𝑘) = 𝑎𝑘 , donde 𝑓 es una función continua, positiva y 
decreciente para 𝑥 ≥ 𝑛 y ∑ 𝑎𝑛 es convergente. Si 𝑅𝑛 = 𝑆 − 𝑆𝑛 , entonces: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑛+1
≤ 𝑅𝑛 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑛
 
 
 
15 
 
Comparación de series 
 
En las pruebas por comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie 
que ya se sabe que es convergente o divergente. 
Criterio de comparación directa u ordinaria 
Sea 0 < 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 para todo n. 
 Si ∑ 𝑏𝑛 
∞
𝑛=1 converge, entonces ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 converge. 
 Si ∑ 𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 diverge, entonces ∑ 𝑏𝑛 
∞
𝑛=1 diverge. 
Ejemplo de una comparación directa u ordinaria: 
∑
1
2 + 3𝑛
∞
𝑛=1
 
Lo que podemos apreciar en esta serie es que se parece a la siguiente serie 
geométrica convergente. Por lo tanto, por el criterio de la comparación directa, la serie 
converge. 
∑
1
3𝑛
∞
𝑛=1
 
𝑎𝑛 =
1
2 + 3𝑛
<
1
3𝑛
= 𝑏𝑛 , 𝑛 ≥ 1 
De manera informal, el criterio dice lo siguiente sobre las dos series con términos 
positivos. 
 Si la serie “mayor” converge, la serie “menor” también converge. 
 Si la serie “menor” diverge, la serie “mayor” también diverge 
Criterio de comparación en el limite 
En ocasiones una serie dada parece una serie p o una serie geométrica; sin embargo, 
no se puede establecer la comparación término a término necesaria para aplicar el criterio 
de comparación directa. Bajo estas circunstancias se puede aplicar un segundo criterio de 
comparación, llamado criterio de comparación en el límite. 
 Sea 𝑎𝑛 > 0, 𝑏𝑛 > 0 y donde L es finito y positivo. Entonces las dos series ∑ 𝑎𝑛 y 
∑ 𝑏𝑛 o convergen ambas o divergen ambas. 
lim
𝑛→∞
(
𝑎𝑛 
 𝑏𝑛 
) 
16 
 
Ejemplo: 
∑
1
2𝑛 − 1
∞
𝑛=1
 
𝑎𝑛 =
1
2𝑛 − 1
 𝑏𝑛 =
1
2𝑛
 
 lim
𝑛→∞
(
𝑎𝑛 
 𝑏𝑛 
) = lim
𝑛→∞
(
1
2𝑛 − 1
1
2𝑛
) = lim
𝑛→∞
(
2𝑛
2𝑛 − 1
) = lim
𝑛→∞
(
1
1 −
1
2𝑛
) = 1 > 0 
Puesto que existe este límite y ∑
1
2𝑛
 es una serie geométrica convergente, la serie 
dada converge de acuerdo con la prueba por comparación en el límite. 
Criterio de comparación del cociente 
 También es posible comparar una serie con ella misma. A este método es que le 
llamamos criterio del cociente. 
 Sea ∑ 𝑎𝑛 una serie de términos positivos. 
lim
𝑛→∞
(
𝑎𝑛 + 1
𝑎𝑛 
) = 𝑝 
 Si p < 1, la serie converge. 
 Si p > 1 o si lim
𝑛→∞
(
𝑎𝑛 +1
𝑎𝑛 
) = ∞ , la serie diverge. 
 Si p = 1, el criterio no es concluyente. 
Ejemplo: 
𝑝 = lim
𝑛→∞
(
𝑎𝑛 + 1
𝑎𝑛 
) = lim
𝑛→∞
2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
𝑛!
2𝑛
= lim
𝑛→∞
2
2𝑛 + 1
= 0 
 
Según el criterio del cociente concluimos que la serie converge. 
 
 
17 
 
Series alternadas o alternantes 
 
Una serie alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos y 
negativos. 
∑(−1)𝑛−1𝑏𝑛 
∞
𝑛=1
= 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 − 𝑏4 + 𝑏5 − 𝑏6 + ⋯ (𝑏𝑛 > 0) 
 
Sea 𝑎𝑛 > 0. Las series alternadas o alternantes ∑ (−1)
𝑛𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 𝑦 ∑ (−1)
𝑛+1𝑎𝑛 
∞
𝑛=1 
cumplen con la condición de que lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 y 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 para todo n, entonces la serie 
converge. 
Ejemplo de determinación de convergencia de una serie alternante: 
∑
𝑛
(−2)𝑛−1
∞
𝑛=1
 
lim
𝑥→∞
𝑥
(−2)𝑥−1
= lim
𝑥→∞
1
(−2)𝑥−1(𝐿𝑛2)
= 0 
lim
𝑛→∞
𝑛
(−2)𝑛−1
= 0 
 Límite de la serie es igual a cero, por lo tanto, converge. 
Estimación de la suma para series alternantes 
 Si una serie alternada o alternante convergente satisface la condición 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 , 
entonces el valor absoluto del resto o residuo que se tiene al aproximar la suma se describe 
de la siguiente manera: 
|𝑆 − 𝑆𝑛| = |𝐸𝑛| ≤ 𝑎𝑛+1 
Criterio de convergencia absoluta y condicional 
 ∑𝑎𝑛es absolutamente convergente si ∑|𝑎𝑛| converge. 
18 
 
 ∑𝑎𝑛es condicionalmente convergente si ∑𝑎𝑛converge, pero ∑|𝑎𝑛| diverge. 
 
Reordenamiento de serie 
 Los términos de una serie absolutamente convergente pueden reordenarse sin 
afectar la convergencia o la suma de la serie. Por ejemplo, veamos el reordenamiento de la 
siguiente serie. 
 
 
 
19 
 
El criterio del cociente y el criterio de la raíz 
 
El criterio del cociente 
Sea ∑𝑎𝑛 una serie con términos distintos de cero. 
 ∑𝑎𝑛 es absolutamente convergente si lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛 +1
𝑎𝑛 
| < 1. 
 ∑𝑎𝑛 es divergente si lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛 +1
𝑎𝑛 
| > 1 𝑜 lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛 +1
𝑎𝑛 
| = ∞. 
 El criterio del cociente no es concluyente si lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛 +1
𝑎𝑛 
| = 1. 
El criterio de la raíz 
Sea ∑𝑎𝑛una serie. 
 ∑𝑎𝑛 converge absolutamente si lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 < 1. 
 ∑𝑎𝑛 diverge si lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 > 1 𝑜 lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = ∞. 
 El criterio de la raíz no es concluyente si lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = 1. 
Estrategias para analizar la convergencia de series 
A continuación, se da un conjunto de pautas para elegir un criterio apropiado. 
 ¿Tiende a 0 el término enésimo? Si no es así, la serie diverge. 
 ¿Es la serie de alguno de los tipos especiales: ¿geométrica,serie p, 
telescópica o alternante? 
 ¿Se puede aplicar el criterio de la integral, el de la raíz o el cociente? 
 ¿Puede compararse la serie favorable o fácilmente con uno de los tipos 
especiales? 
 
20 
 
Series de potencia 
 
Una serie de potencias es una serie de la forma: 
 
∑ 𝑎𝑛 𝑥
𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 … + 𝑎𝑛 𝑥
𝑛 + ⋯ 
 
En la serie ∑ 𝑎𝑛 𝑥
𝑛∞
𝑛=0 la variable x y las 𝑎𝑛 son constantes que se denominan 
coeficientes de la serie. 
Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x y ser 
divergente para otros. La suma de la serie es una función𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2𝑥
2 +
𝑎3𝑥
3 … + 𝑎𝑛 𝑥
𝑛 + ⋯ cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las cuales la serie es 
convergente. Observe que f es parecida a un polinomio. La única diferencia es que f tiene 
una cantidad infinita de términos. 
Una serie infinita de la forma ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑐) + 𝑎2(𝑥 −
𝑐)2 … + 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛 + ⋯ se llama serie de potencia centrada en c o también, serie de 
potencias con respecto a c, donde c es una constante. 
El número R es el radio de convergencia de la serie de potencia El conjunto de 
convergencia para una serie de potencia ∑ 𝑎𝑛 𝑥
𝑛∞
𝑛=0 siempre es un intervalo de los tres 
tipos siguientes: 
 El único punto 𝑥 = 0. La serie converge en c. Por 
lo tanto, 𝑅 = 0. 
 Un intervalo (R, -R), incluye uno o ambos 
extremos. Es decir, que existe un número real R > 
0 tal que la serie converge absolutamente para 
|𝑥 − 𝑐| < 𝑅, y diverge para |𝑥 − 𝑐| > 𝑅. 
 Toda la recta real. La serie converge 
absolutamente para todo x. Por lo tanto, 𝑅 = ∞. 
El conjunto de todos los valores de x para los cuales 
la serie de potencia converge es el intervalo de 
convergencia de la serie de potencia. 
Ejemplo de determinación del radio de convergencia: 
21 
 
∑ 𝑛! 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
 
Para 𝑥 = 0 se obtiene: 
𝑓(0) = ∑ 𝑛! 0𝑛
∞
𝑛=0
= 1 + 0 + 0 + 0 + ⋯ = 1. 
Para cualquier valor fijo de x tal que sea |𝑥| > 0 , sea 𝑎𝑛 = 𝑛! 𝑥
𝑛 
lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛 + 1
𝑎𝑛 
| = lim
𝑛→∞
|
(𝑛 + 1)! 𝑥𝑛+1
𝑛! 𝑥𝑛
| = |𝑥| lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1) = ∞ 
Por consiguiente, por el criterio del cociente, la serie diverge para |𝑥| > 0 y sólo 
converge en su centro, 0. Por tanto, el radio de convergencia es 𝑅 = 0. 
Convergencia en los puntos terminales 
Cada punto terminal debe analizarse separadamente respecto a convergencia o 
divergencia. Como resultado, el intervalo de convergencia de una serie de potencia puede 
tomar cualquiera de las seis formas que se muestran a continuación. 
 
Derivación e integración de series de potencia 
Si una función dada por 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑐) +
𝑎2(𝑥 − 𝑐)
2 … + 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛 + ⋯ tiene un radio de convergencia R > 0, entonces, en el 
intervalo (𝑐 < 𝑅, 𝑐 + 𝑅), f es derivable y continua. Además, la derivada y antiderivada de f 
son de la siguiente forma. 
𝑑
𝑑𝑦
⌊∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛
∞
𝑛=0
⌋ = ∑
𝑑
𝑑𝑦
⌊𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛⌋
∞
𝑛=0
 
22 
 
𝑓′(𝑥) = ∑ 𝑛𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛−1 =
∞
𝑛=1
𝑎1 + 2𝑎2(𝑥 − 𝑐) … + 3𝑎3 (𝑥 − 𝑐)
2 + ⋯ 
∫ ⌊∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛
∞
𝑛=0
⌋ 𝑑𝑥 = ∑ ∫ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛 𝑑𝑥
∞
𝑛=0
 
∫(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶 + ∑ 𝑎𝑛 
(𝑥 − 𝑐)𝑛+1
𝑛 + 1
=
∞
𝑛=0
𝐶+𝑎0(𝑥 − 𝑐)+𝑎1
(𝑥 − 𝑐)2
2
+𝑎2
(𝑥 − 𝑐)3
3
… 
El radio de convergencia de la serie obtenida mediante la derivación o integración 
de una serie de potencia es el mismo que el de la serie de potencia original. Sin embargo, 
el intervalo de convergencia puede diferir como resultado del comportamiento en los 
puntos terminales. 
Intervalos de convergencia de 𝒇′(𝒙), 𝒇(𝒙) 𝒆 ∫(𝒙)𝒅𝒙 
 Tomemos como ejemplo la función 𝑓(𝑥) = ∑
𝑥𝑛
𝑛
= 𝑥 +
𝑥2
2
+∞𝑛=1
𝑥3
3
 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑥𝑛
𝑛
∞
𝑛=1
 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: [−1, 1) 
𝑓′(𝑥) = ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=1
 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: (−1, 1) 
∫(𝑥)𝑑𝑥 = ∑
𝑥𝑛+1
𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: [−1, 1] 
 
Operaciones con series de potencia 
Sea 𝑓(𝑥) = ∑𝑎𝑛 𝑥
𝑛𝑦 𝑔(𝑥) = ∑𝑏𝑛 𝑥
𝑛 
 𝑓(𝑥𝑘) = ∑ 𝑎𝑛 𝑘
𝑛𝑥𝑛∞𝑛=0 
 𝑓(𝑥𝑁) = ∑ 𝑎𝑛 𝑥
𝑛𝑁∞
𝑛=0 
 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = (𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 )𝑥
𝑛 
23 
 
Series de Taylor y de Maclaurin 
 
En las series de Taylor y Maclaurin veremos un procedimiento general para obtener 
la serie de potencia para una función que tiene derivadas de todos los órdenes. Empecemos 
por suponer que f es cualquier función que se puede representar mediante una serie de 
potencias, es decir 𝑓(𝑥) = ∑𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛 |𝑥 − 𝑐| < 𝑅, entonces su coeficiente es: 
 
𝑎𝑛 =
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
 
 
. Una forma de serie de una potencia convergente es: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓′(𝑐)(𝑥 − 𝑐) +
𝑓′′(𝑐)
2!
(𝑥 − 𝑐)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
(𝑥 − 𝑐)𝑛 + ⋯ 
Si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en 𝑥 = 𝑐 entonces la serie se 
llama serie de Taylor para 𝒇(𝒙) en c. Además, si 𝑐 = 0 entonces la serie se llama serie de 
Maclaurin para f. 
Si lim
𝑛→∞
𝑅𝑛 = 0 para todo x en el intervalo I, entonces la serie de Taylor para f 
converge y es igual a f(x). 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
(𝑥 − 𝑐)𝑛
∞
𝑛=0
 
Para una serie de Taylor, la enésima suma parcial coincide con el enésimo polinomio 
de Taylor. Es decir, 𝑆𝑛 (𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥). Además, como 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑅𝑛 (𝑥) se sigue que: 
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 (𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑃𝑛 (𝑥) = lim
𝑛→∞
[𝑓(𝑥) − 𝑅𝑛 (𝑥)] = 𝑓(𝑥) − lim
𝑛→∞
𝑅𝑛 (𝑥) 
Así, para un x dado, la serie de Taylor (la sucesión de sumas parciales) converge a 
𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑅𝑛 (𝑥) → 0 cuando 𝑛 → ∞. 
Pasos para encontrar una serie de Taylor 
 Derivar varias veces y evaluar cada derivada en c. Intentar reconocer un patrón en 
estos números. 
𝑓(𝑐), 𝑓′(𝑐), 𝑓′′(𝑐), 𝑓′′′(𝑐) … 𝑓𝑛(𝑐), … 
24 
 
 Usar la sucesión desarrollada en el primer paso para formar los coeficientes de 
Taylor 𝑎𝑛 =
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
 y determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia 
resultante. 
𝑓(𝑐) + 𝑓′(𝑐)(𝑥 − 𝑐) +
𝑓′′(𝑐)
2!
(𝑥 − 𝑐)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
(𝑥 − 𝑐)𝑛 + ⋯ 
 Dentro de este intervalo de convergencia, determinar si la serie converge o no a 
𝑓(𝑥). 
Formula de Taylor con residuo 
 Sea f una función cuya (n+1) enésima derivada de 𝑓(𝑛+1)(𝑥)existe para cada x en 
un intervalo I que contiene a. Entonces para cada x en I: 
𝑓(𝑐) + 𝑓′(𝑐)(𝑥 − 𝑐) +
𝑓′′(𝑐)
2!
(𝑥 − 𝑐)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
(𝑥 − 𝑐)𝑛 + 𝑅𝑛 (𝑥) 
 El residuo o error está dado por la fórmula: 
𝑅𝑛 (𝑥) =
𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑐)𝑛+1 
Desigualdad de Taylor 
 Si |𝑓(𝑛+1)(𝑥)| ≤ 𝑀 para |𝑥 − 𝑐| ≤ 𝑑, entonces el residuo 𝑅𝑛 (𝑥) de la serie de 
Taylor cumple con la desigualdad. 
|𝑅𝑛 (𝑥)| ≤
𝑀
(𝑛 + 1)!
|𝑥 − 𝑐|𝑛+1 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥 − 𝑐| ≤ 𝑑 
 
Series binomiales 
 Las series binomiales como lo dice su nombre son series en base a binomios de la 
forma 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)𝑘 = (𝑘
1
)𝑥 + (𝑘
2
)𝑥2 + (𝑘
3
)𝑥3 + ⋯. La notación tradicional para los 
coeficientes de la serie binomial es: 
(
𝑘
𝑛
) =
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2) … (𝑘 − 𝑛 + 1)
𝑛!
 
Los números de las series binomiales se llaman coeficientes del binomio. 
Si k es cualquier número real y |𝑥| < 1, entonces: 
(1 + 𝑥)𝑘 = ∑ (
𝑘
𝑛
)
∞
𝑛=0
𝑥𝑛 = 1 + 𝑘𝑥 +
𝑘(𝑘 − 1)
2!
𝑥2 +
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)
3!
𝑥3 + ⋯ 
25 
 
 Si k es un entero positivo, (𝑘
𝑛
) = 0 para 𝑛 > 𝑘, la serie binomial colapsa en 
una serie con un numero finito de términos, la formula usual del binomio. 
Series de Maclaurin importantes 
 
 
26 
 
Conclusión 
 
Hemos aprendido como podemos resolver ciertos problemas matemáticos con el 
uso de las sucesiones y series infinitas, pero, ¿tienen un uso práctico esto?,¿sirven para 
algo? La respuesta es sí. En áreas como física, química, biología, computación y otras ramas 
de ciencias es necesario realizar operaciones con sucesionesy series, por ejemplo, las series 
de potencias se utilizan en el cálculo de la distribución de temperaturas en una lámina 
circular y las vibraciones de una membrana de un tambor. En computación para calcular el 
seno de un ángulo u otro tipo de función transcendente o e a alguna potencia se aplican 
algoritmos con bases a series infinitas. En biología, zoología y hasta el estudio de la conducta 
social humana se puede utilizar los teoremas de series infinitas para realizar cálculos sobre 
la evolución de una población, de una epidemia o de cualquier dato que se desea conocer 
de un comportamiento dado, o de la evolución de este al futuro o incluso pasado, como 
sucede en el caso de la cría de conejos. En conclusión, las sucesiones y series infinitas son 
parte esencial en ramas científicas, por lo que cualquiera que se dedique a las ciencias debe 
conocerla. 
 
 
27 
 
 
Bibliografía 
 
Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Steven E. Rigdon. 2007. Cálculo. [ed.] 9na 
edición. s.l. : Pearson Educación, 2007. ISBN 978-970-26-0919-3. 
Gonzáles, Francisco Javier Pérez. Cálculo diferencial e integral de funciones 
de una variable. 
Ramón Bruzual, Marisela Dominguez. 2005. Introducción a las sucesiones y 
series. 2005. 
Ron Larson, Bruce H. Edwards. 2010. Cálculo 1 de una variable. 9na edición. 
s.l. : McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V., 2010. ISBN 
978-607-15-0273-5. 
Stewart, James. 2008. Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. 6ta 
edición. s.l. : Cengage Learning Editores,S.A, 2008. ISBN-13:978-607-481-317-
3, ISBN-10:607-481-317-5.