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Caṕıtulo 1
Fenómenos electrostáticos
1.1. Introducción
Cualquiera puede haber experimentado el fenómeno de apreciar una chispa al acercar a la cerradura
de una puerta, la llave que estaba en el bolsillo del pantalón; o incluso notar una leve descarga al
tocar un picaporte, después de caminar frotando nuestros zapatos con una alfombra de lana en una
habitación seca. La causa de estos fenómenos es la generación de cargas eléctricas estáticas inducidas en
la llave o en nuestro cuerpo como resultado del frote del metal de la llave con la lana del pantalón o de la
suela de caucho del zapato con la alfombra. La concentración de esas cargas eléctricas, especialmente
importante en lugares puntiagudos como nuestros dedos o la punta de la llave, hace que ante la
aproximación o el contacto con un nuevo objeto, en principio descargado, exista una diferencia de
potencial entre los dos elementos (que puede ser incluso de miles de voltios, aunque no genere daños
al ser la carga concentrada muy pequeña) y haga saltar las cargas de un elemento a otro buscando
equilibrar esa diferencia de potencial.
La electrostática es la parte de la F́ısica que se encarga del estudio de los efectos que producen
las cargas eléctricas en reposo, y de las fuerzas que aparecen entre ellas.
1.2. Reseña histórica
Las observaciones de fenómenos electrostáticos se remontan a la antigua Grecia, en donde Thales
de Mileto (640-546 a.C.) ya observó que al frotar el ámbar con lana se atráıan objetos pequeños
como pajitas o plumas, atracción que frecuentemente se confundió con la atracción del hierro por el
imán, y que aporta una idea de la ı́ntima relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos. La primera
constatación clara y escrita de un hecho electromagnético data de 1269 en donde P. Maricourt describe
la propiedad según la cual la atracción entre una varilla imantada y un trozo de hierro es máxima en
sus extremos. Añade además que dos polos del mismo carácter se repelen y que si se rompe la varilla,
los dos trozos resultantes son nuevamente imanes. Hasta 1600 no volvió a aparecer alguna cuestión
interesante dentro de este campo, cuando W. Gilbert (1540-1603) recopiló en un libro lo que se conoćıa
sobre efectos eléctricos y magnéticos. Aportó la idea de imaginar la Tierra como un gigantesco imán
y se dio cuenta de que la temperatura puede tener un efecto decisivo en las propiedades de una
piedra imantada, de modo que calentándola o enfriándola, según el caso, pod́ıa perder sus propiedades
magnéticas o recuperarlas nuevamente. Baste como ejemplo el gadolinio, que a temperatura ambiente
no presenta ninguna propiedad electromagnética y en cambio por debajo de 90 K se comporta como
un verdadero imán. Aparentemente, sin embargo, no acertó a observar la repulsión eléctrica.
Cien años después S. Gray (1670-1736) estudió algunos fenómenos eléctricos, como la transmisión
1
2 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
de la electricidad por un hilo metálico y el fenómeno de la electrización por influencia. También C. F.
Du Fay (1698-1739) realizó importantes avances, al observar que una hojita de oro es atráıda por una
varilla de vidrio previamente frotada. Una vez tocada por el vidrio, la hojita de oro repeĺıa el vidrio.
Observó que entonces la hojita era atráıda por el ámbar o la resina, comprobando aśı la existencia
de dos clases de electricidad, a las que dio el nombre de v́ıtrea y resinosa, describiendo correctamente
cuándo exist́ıa atracción y cuando repulsión: postuló la existencia de dos fluidos que se separan por
rozamiento y se neutralizan cuando se combinan.
B. Franklin (1706-1790) propuso en la ĺınea de Du Fay una teoŕıa basada en la existencia de un
único fluido, según la cual todo cuerpo tiene una cantidad de electricidad o fluido eléctrico ”normal”,
cuyo exceso o defecto origina una carga positiva o negativa. Aśı, cuando dos cuerpos se frotan parte
de la electricidad se transfiere de un cuerpo a otro, quedando uno con un exceso y otro con una
deficiencia de valor igual. De este modo aparece impĺıcito por primera vez el principio de conservación
de la carga: la carga eléctrica no se crea por el frotamiento sino que simplemente se transfiere. El
exceso y deficiencia de carga pod́ıan describirse con los signos más y menos, respectivamente. La
varilla de vidrio adquiere de este modo un exceso de electricidad (carga positiva) y el ámbar pierde su
electricidad (carga negativa) al frotarse. Hoy se sabe que esa selección de signos no fue muy afortunada,
pues son los electrones los que se transfieren en el frotamiento y de acuerdo al convenio de Franklin les
corresponde una carga negativa: esto es, al frotar vidrio con seda, son los electrones los que pasan del
vidrio a la seda, quedando ésta cargada negativamente y el vidrio con carga positiva. J.T. Desaguliers
propuso en 1740 llamar conductores a las sustancias por las cuales transitaba libremente el fluido
eléctrico (metales, por ejemplo) y aislantes a aquellas por las cuales no pod́ıa hacerlo (como vidrio y
ámbar).
Se dieron varias explicaciones para justificar la atracción o repulsión entre los cuerpos: por ejemplo
que cuando un cuerpo teńıa electricidad positiva y otro negativa era porque uno teńıa exceso de fluido
en relación al otro y el fluido tend́ıa a equilibrarse y que si los dos cuerpos teńıan exceso de fluido
o carećıan de él, se repeĺıan. La vigencia unánime en esa época de la teoŕıa de Newton, haćıa poco
convincente esto último, al ser una propiedad fundamental de toda la materia su atracción. De ah́ı que
R. Symmer (-1763) sugiriera una teoŕıa basada en dos fluidos distintos, uno positivo y otro negativo,
lo que supone un cambio cualitativo en lo que es la comprensión del fenómeno eléctrico.
Un sencillo experimento que puede aclarar los fenómenos de interacción eléctrica consiste en acercar
la varilla de vidrio electrizada por frotamiento a dos bolas de corcho: al poner las dos bolas en contacto
entre śı, se repelen. El mismo fenómeno ocurre si entran ambas en contacto con una varilla de ámbar
previamente electrizada (habiéndola frotado con cuero). Sin embargo, si una bola se pone en contacto
con el vidrio y la otra con el ámbar, las bolas se atraen. El corcho en su contacto con el vidrio y el ámbar,
adquiere la electricidad de éstos (positiva o negativa, respectivamente), produciendo posteriormente
los fenómenos de repulsión o atracción consiguientes (figura 1.1).
Los experimentadores observaron que pod́ıa acumularse de manera gradual carga eléctrica en un
conductor, si a éste se le aislaba con vidrio o una capa de aire para evitar su pérdida. En esta ĺınea
el artificio más espectacular fue la botella de Leiden, ideada en 1745 por el profesor E. Georg von
Kleist y aplicada por primera vez en la Universidad de Leiden (Holanda), en donde la construyó de
manera independiente el profesor P. Van Musschenbroek, constituyendo el primer condensador: dos
placas conductoras (en este caso estaño) separadas por una capa delgada de aislante (una botella
de vidrio), que se cargaban por medio de una varilla de latón que penetraba en la botella a través
de un tapón horadado. Este experimento condujo a Franklin en 1752 a su famoso experimento de
acercar una cometa unida a un hilo de seda a nubes tormentosas con objeto de conducir la electricidad
hacia el suelo. Al tocar con la mano una llave que estaba en contacto con el hilo saltaron chispas,
demostrándose que el rayo no era sino una manifestación de una botella de Leiden constituida por las
nubes y la tierra, separadas por el aire. Consecuencia práctica de esta investigación es la invención del
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1.3. Carga eléctrica 3
++ +
Vidrio
Figura 1.1: Fenómenos de interacción electrostática.
pararrayos.
Franklin también observó que al situar bolitas de corcho en el interior de una copa metálica,
las bolitas no parećıanafectadas por la electricidad que adquiriesen las copas. J. Priestley (1733-
1804) realizó entonces varios experimentos de comprobación del fenómeno, demostrando que no existe
electricidad alguna en la superficie interior de una vasija metálica hueca, salvo en las proximidades
de la abertura, introduciéndose aśı las ideas acerca de cómo se cargan los elementos conductores en
equilibrio electrostático.
C. A. Coulomb (1736-1806) enunció la ley que rige el comportamiento entre cargas eléctricas,
empleando una balanza de torsión para medir la fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas, de
manera similar a como lo hiciera H. Cavendish (1731-1810) para determinar la constante de gravitación,
confirmando con sus medidas que la fuerza entre cargas es inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia que les separa.
En tiempos de la Revolución Francesa estaban ya descubiertos los principios básicos de la elec-
trostática. En esta época A. Volta (1745-1827) inventó la pila que lleva su nombre, lo que supone uno de
los más importantes descubrimientos de la época. También en este sentido cabe destacar la invención
del arco voltaico por Auguste de la Rive (1801-1873) quien conectó dos varillas de grafito a los polos
de una pila observando un arco que provoca una luz intensa. La relación entre diferencia de potencial
e intensidad se debe a G. S. Ohm (1787-1854) aunque éste nunca utilizara la expresión diferencia de
potencial, identificada correctamente por G. R. Kirchhoff (1824-1887), que además descubrió las leyes
que rigen las corrientes que circulan por una red de alambres conductores.
En 1909, Robert Millikan(1886-1953) demostró que la carga eléctrica siempre aparece como múl-
tiplo entero de una unidad fundamental e, lo que modernamente se expresa diciendo que la carga
está cuantizada, esto es, q = Ne, siendo N un entero. Otros experimentos demostraron que este hecho
es consecuencia de la existencia de part́ıculas elementales con cargas −e (electrón) y +e (protón).
1.3. Carga eléctrica
Como compendio de las ideas históricas reseñadas en el apartado anterior, puede afirmarse que al
igual que la masa caracteriza los fenómenos de interacción gravitatoria, la carga eléctrica q caracteriza
las interacciones electrostáticas, existiendo dos y sólo dos tipos de cargas eléctricas, conocidas como
positiva y negativa. La carga eléctrica neta de un cuerpo es la suma de las cargas positivas y negativas
del mismo, de modo que cuando un cuerpo presenta electrización positiva la suma de cargas positivas
en él excede la suma de negativas, presentando electrización negativa en caso contrario. Si la suma de
cargas positivas y negativas es nula se dice que le cuerpo es eléctricamente neutro.
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4 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
También es un hecho experimental observado en todos los procesos de la naturaleza que la carga
no puede crearse ni destruirse, dando lugar al llamado principio de conservación de la carga: en
cualquier proceso que se realiza en un sistema aislado, la carga neta o total no cambia.
La unidad de carga más pequeña que se conoce en la naturaleza es la carga del electrón (o del
protón) e, considerada como la unidad fundamental de carga1. En el Sistema Internacional de unidades
(SI), la unidad de carga eléctrica es el culombio (C),2 que puede definirse en función de la unidad
fundamental e por:
1C = 6, 25× 1018 e . (1.1)
Considérese ahora una distribución continua de carga. Dado que desde el punto de vista de la f́ısica
macroscópica, cualquier elemento de volumen ∆V que se considere, por pequeño que sea, estará cons-
tituido por un gran número de electrones, dicho ∆V contendrá un múltiplo entero de la unidad funda-
mental. Haciendo cada vez más pequeño el elemento de volumen, se define aśı un elemento diferencial
de volumen dV , suficientemente pequeño respecto al resto de las longitudes del problema a tratar
como para considerarse puntual, pero conteniendo un número suficientemente grande de electrones.
Este concepto se conoce como diferencial macroscópico. Calculando la carga contenida en el mismo,
se puede entonces definir una función de densidad de carga, que caracterice una distribución continua
y que permita determinar por integración su carga total. Se define aśı la densidad volumétrica de
carga ρ por:
ρ = ĺım
∆V→0
∆q
∆V
≡ dq
dV
, (1.2)
que representa la carga por unidad de volumen en cada punto. Su unidad en el SI es C/m3.
Dado que en muchas ocasiones la carga no se concentra en todo un volumen sino en una capa
delgada de la superficie, resulta conveniente definir la densidad superficial de carga σ de manera
análoga, haciendo tender a cero el elemento de superficie considerado ∆S:
σ = ĺım
∆S→0
∆q
∆S
≡ dq
dS
, (1.3)
que representa la carga por unidad de superficie en cada punto. Su unidad en el SI es C/m2.
Si la distribución de carga está concentrada en un hilo, puede definirse asimismo la densidad
lineal de carga λ, considerando un elemento de hilo ∆L:
λ = ĺım
∆L→0
∆q
∆L
≡ dq
dL
, (1.4)
que representa la carga por unidad de longitud en cada punto. Su unidad en el SI es C/m.
Ejercicio 1.1 (Cálculo de la carga de un cuerpo)
Sobre un disco de plástico de radio R = 10 cm se ha distribuido una carga eléctrica por unidad de
superficie proporcional a la distancia al centro, siendo la constante de proporcionalidad c = 2 µC/m3.
Estamos interesados en conocer la carga total del disco.
Dicha carga total estará dada por la integral
q =
∫
σds , (1.5)
1Se han descubierto part́ıculas subatómicas denominadas quarks con carga fraccionaria respecto a e.
2El culombio puede establecerse a partir de experimentos magnéticos que ahora no procede detallar, los cuales permiten
definir la unidad de corriente eléctrica llamada ampere (A) y a partir de ella el culombio: si por un alambre circula una
corriente de 1A, la cantidad de carga que fluye por un punto del alambre en 1s es 1C.
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1.4. Ley de Coulomb 5
extendida al disco. Como la densidad superficial de carga σ = cr sólo depende de la distancia r al centro
del disco, es conveniente tomar como elementos de superficie anillos de radio r y espesor dr, siendo su
área ds = 2πrdr. Sustituyendo en la ecuación (1) se obtiene
q =
∫ R
0
cr2πrdr = 2πcR3/3 = 4,2× 10−9C = 4,2 nC
para la carga total del disco.
1.4. Ley de Coulomb
Las diversas observaciones realizadas en el siglo XVIII por Coulomb y otros cient́ıficos permiten
establecer que la fuerza entre dos cargas eléctricas en reposo tiene las siguientes caracteŕısticas:
Dos cargas puntuales ejercen entre śı fuerzas que actúan a lo largo de la ĺınea que las une y que
resultan ser inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia de separación.
Las fuerzas son proporcionales al producto de las cargas.
Las fuerzas son repulsivas si las cargas son de igual signo y atractivas si las cargas son de signo
opuesto.
q
q '
F q '
F q
r '
r
u
d
O
Figura 1.2: Fuerzas entre cargas.
Estas observaciones se pueden expresar matemáticamente de la forma conocida como ley de
Coulomb:
F⃗q = k
qq′
|r⃗ − r⃗ ′|2
r⃗ − r⃗ ′
|r⃗ − r⃗ ′|
, (1.6)
que expresa la fuerza ejercida sobre la carga q situada en r⃗ debido a la acción de la carga q′, en r⃗′,
siendo k una constante conocida como constante de Coulomb. La fuerza F⃗q′ sobre la carga q
′ debido a
la carga q es el vector −F⃗q, sin más que observar en la ecuación 1.6 que el vector r⃗ − r⃗ ′ es sustituido
por r⃗ ′ − r⃗, resultado que concuerda con la tercera ley de Newton. La ecuación 1.6 suele expresarse de
manera más sencilla como
F⃗q = k
qq′
d2
u⃗ , (1.7)
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6 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
siendo d = |r⃗− r⃗ ′| la distancia entre las cargas y u⃗ = (r⃗− r⃗ ′)/|r⃗− r⃗ ′| el vector unitario en la dirección
y sentido de q′ a q (figura 1.2).
El valor de la constante k depende del sistema de unidadesescogido. En el Sistema Internacional
de unidades (SI), el valor de k es:
k = 8, 9875× 109N ·m2/C2 ≈ 9× 109N ·m2/C2 . (1.8)
En lugar de k suele escribirse, por conveniencia,
k =
1
4πε0
. (1.9)
A ε0 se le denomina permitividad eléctrica del vaćıo (o del espacio libre) y viene dada, a partir de 1.8
y 1.9 por:
ε0 = 8, 8542× 10−12C2/N ·m2 . (1.10)
La ley de Coulomb se aplica a cargas puntuales, entendiéndose como tales, en sentido macroscópico,
aquellas cuyas dimensiones espaciales son muy pequeñas en relación con otras longitudes relativas al
problema. Además de su validez para experiencias cotidianas con cargas macroscópicas, como las
empleadas por Coulomb, la ecuación 1.6 sigue siendo válida para la repulsión electrostática entre
núcleos a distancias mayores que 10−14 metros, predominando otros tipos de fuerza (nucleares) a
distancias menores. Por otro lado, y pese al carácter experimental de la ley, hoy puede afirmarse que
la ley del inverso de los cuadrados es exacta, habiéndose determinado por procedimientos indirectos
basados en experimentos magnéticos que el exponente de la distancia no difiere de 2 en más de 10−15.
La aplicación sucesiva de las ecuaciones 1.6 o 1.7 conduce a la expresión siguiente para la fuerza
resultante sobre una carga q, de vector de posición r⃗, debido a la presencia de N cargas puntuales:
F⃗q = q
N∑
j=1
qj
4πε0|r⃗ − r⃗j |2
r⃗ − r⃗j
|r⃗ − r⃗j |
= q
N∑
j=1
qj
4πε0d2j
u⃗j . (1.11)
siendo dj = |r⃗ − r⃗j | la distancia entre la carga j-sima y q, y u⃗j = (r⃗ − r⃗j)/|r⃗ − r⃗j | el vector unitario
en la dirección y sentido de qj a q. El hecho de que la fuerza resultante sea la suma de las fuerzas
individuales se ha constatado experimentalmente y se denomina principio de superposición de las
fuerzas electrostáticas.
Una distribución de carga continua puede considerarse como un conjunto de cargas puntuales
dq′ = ρdV ′(figura 1.3). Por tanto, esta distribución ejerce una fuerza sobre q de vector de posición r⃗,
dada por:
F⃗q =
q
4πε0
∫
V
ρ(r⃗ ′)
|r⃗ − r⃗ ′|2
r⃗ − r⃗ ′
|r⃗ − r⃗ ′|
dV ′ , (1.12)
en la cual la integral sustituye a la suma del caso discreto 1.11. Ecuaciones análogas se obtienen en
el caso de que la carga estuviera distribuida en una superficie o una ĺınea. El vector r⃗ ′ representa
la posición de cada uno de los diferenciales de volumen dV ′ para los que está definida la función de
densidad .
Ejemplo 1.2 (Fuerzas electrostáticas y gravitacionales)
Pueden compararse los valores de las fuerzas de interacción electrostática y de gravitación, calculando
ambos valores en la interacción de un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno, cuya distancia de
separación es aproximadamente 0, 53× 10−10 m= 0, 53Ȧ (1Ȧ (amstrong) = 10−10m).
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1.5. Campo eléctrico 7
q
d V '
r '
r
| r - r ' | r ( r ' )
V
d F
F q
O
Figura 1.3: Fuerza debida a una distribución continua de carga.
Aplicando la ley de Coulomb se tiene:
Fe =
e2
4πε0r2
= 9× 109N ·m
2
C2
(1, 6× 10−19C)2
(0, 53× 10−10m)2
= 8, 2× 10−8N .
.
Aplicando la ley de gravitación universal, teniendo en cuenta las masas del electrón y del protón, resulta:
Fg = G
memp
r2
= 6, 7× 10−11N ·m
2
kg2
(9, 11× 10−31kg)(1, 67× 10−27kg)
(0, 53× 10−10m)2
= 3, 6× 10−47N .
Comparando ambos resultados puede observarse cómo los efectos gravitacionales entre part́ıculas atómi-
cas cargadas pueden considerarse despreciables frente a los efectos electrostáticos, siendo la relación entre
ambos Fe/Fg ≈ 3× 1039.
Análogamente pueden compararse experimentos cotidianos de laboratorio, como puede ser el de frotar
con lana dos pequeñas esferas metálicas de, por ejemplo, 50g de masa. Si suponemos que la carga adquirida
por cada bolita es de 10nC y las suponemos distanciadas 10cm, el valor de las fuerzas es:
Fe = 9× 10−5N ,
Fg = 1, 68× 10−11N ,
y por tanto, con una relación entre ambos de Fe/Fg ≈ 5, 4×106. Esto es, en los experimentos habituales de
laboratorio entre pequeñas esferas cargadas, puede despreciarse el efecto gravitatorio frente al electrostático.
1.5. Campo eléctrico
En todas las expresiones obtenidas en el apartado anterior para la fuerza sobre una carga de
referencia q debido a la presencia de otras cargas, se observa que dicha fuerza es proporcional a la
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8 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
carga testigo q. Puede aśı definirse, en cada punto del espacio, una magnitud independiente de la carga
testigo
E⃗ =
F⃗
q
, (1.13)
denominada campo eléctrico o electrostático3. El campo eléctrico en cada punto del espacio es,
por tanto, la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga testigo colocada en dicho punto.
Al igual que dicha fuerza, tiene carácter de campo vectorial.
De la expresión 1.13 se observa que en el sistema internacional, la unidad de campo eléctrico es
newton/culombio (N/C).
En rigor y siguiendo el mismo razonamiento, la presencia de la carga q producirá a su vez un campo
en los diferentes puntos del espacio, por lo que para estudiar el campo creado por una determinada
carga o distribución de cargas conviene considerar que el valor de la carga q de referencia es lo
suficientemente pequeño como para no alterar el campo producido por la distribución objeto de estudio.
Obsérvese que la introducción del concepto de campo eléctrico permite aclarar el dif́ıcil concepto de
acción a distancia entre cargas: la carga testigo ”sienteçomo una fuerza el campo eléctrico establecido
en el espacio por la otra carga, no la acción directa y a distancia de esta última.
La expresión 1.13 puede aplicarse a las ecuaciones de la sección anterior y obtener aśı las diferentes
expresiones del campo eléctrico. El campo debido a una carga puntual q′, de vector de posición r⃗ ′, a
partir de la ley de Coulomb 1.6 o 1.7, es:
E⃗(r⃗) =
q′
4πε0|r⃗ − r⃗ ′|2
r⃗ − r⃗ ′
|r⃗ − r⃗ ′|
=
q′
4πε0d2
u⃗ , (1.14)
siendo r⃗ el vector de posición de un punto P cualquiera en donde se está estudiando el valor de E⃗, d
la distancia de la carga q′ al punto P y u⃗ el vector unitario dirigido de la carga al punto. El campo
debido a un conjunto de N cargas puntuales qj en posiciones r⃗j es, de la ecuación 1.11:
E⃗(r⃗) =
N∑
j=1
qj
4πε0|r⃗ − r⃗j |2
r⃗ − r⃗j
|r⃗ − r⃗j |
=
N∑
j=1
qj
4πε0d2j
u⃗j , (1.15)
siendo dj = |r⃗ − r⃗j | la distancia de la carga j-sima a P , y u⃗j = (r⃗ − r⃗j)/|r⃗ − r⃗j | el vector unitario en
la dirección y sentido de qj a P .Y para una distribución continua de cargas, de la ecuación 1.12, se
obtiene:
E⃗(r⃗) =
1
4πε0
∫
V
ρ(r⃗′)
|r⃗ − r⃗ ′|2
r⃗ − r⃗ ′
|r⃗ − r⃗ ′|
dV ′ , (1.16)
con el significado para r⃗ ′ detallado en la sección anterior. El vector r⃗− r⃗ ′ o r⃗− r⃗j que aparece en las
expresiones, no es sino el vector que va desde cada uno de los elementos dq o de las cargas qj al punto
en el que se está estudiando el campo, y su módulo representa la distancia entre ellos.
Puede observarse que las expresiones 1.15 y 1.16 representan el principio de superposición del
campo electrostático: el campo creado en un punto del espacio por un conjunto de cargas es igual
a la suma de los campos producidos independientemente por cada una de ellas.4
Para visualizar la distribución espacial del campo eléctrico y comprender aśı las fuerzas que apa-
receŕıan en cualquier punto, puede realizarse una representación por medio de ĺıneas vectoriales de
3Existen muchos fenómenos en los cuales el campo eléctrico depende del tiempo, y conviene entonces hacer referencia
al término campo electrostático cuando se quiera resaltar la independencia respecto al tiempo de los fenómenos que se
estudian. En electrostática, ambos conceptos coinciden.
4Esta idea de superposición es la que debe tenerse presente en el momento de calcular el campo creado por una
distribución de carga cualquiera, debiéndose escoger las coordenadas que resulten más adecuadas para cada ocasión.
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1.5. Campo eléctrico 9
+ -
+
+
Figura 1.4: Ĺıneas de campo de diferentes sistemas de cargas.
campo, tangentes en cada punto al vector E⃗. En la figura 1.4 puede verse el campo creado por una
carga puntual, para el cual las ĺıneas de campo son radiales y dirigidas hacia fuera o hacia dentro, en
función de que la carga sea positiva o negativa, respectivamente. También se representa la distribución
de campo en el caso de dos cargas puntuales de igual o diferente signo. Puede observarse que las ĺıneas
de campo parten de las cargas positivas y finalizan en las negativas.
El cálculo de la fuerza que actúa sobre una part́ıcula cargada q cuando se introduce la misma en
una región en la que existe un campo eléctrico E⃗ es inmediata a partir de la ecuación 1.13 de definición
del campo eléctrico:
F⃗ = qE⃗ . (1.17)
Problema 1.3 (Campo creado por un hilo cargado)
La figura 1.5 representa un hilo de cobre de longitud L que se ha cargado uniformemente siendo su carga
total Q. Se desea saber cómo es el campo que crea el hilo en un punto cualquiera del espacio, por ejemplo
en el punto P de la figura.
Consideremos el plano formado por el hilo y el punto P , plano al que designaremos por comodidad
como plano XY y calculemos las componentes Ex y Ey del campo eléctrico E⃗, que estará contenido en
dicho plano. Tomemos por comodidad como origen de coordenadas uno de los extremos del hilo, haciendo
coincidir éste con el eje X, y sean (x, y) las coordenadas del punto P cualquiera. Un elemento dx′ del
hilo situado a una distancia cualquiera x′ de su extremo, estará a una distancia d de P , y su carga dq
vendrá dada por:
dq = λdx′ =
Q
L
dx′ .
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10 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
y
x
L
P
( )
d x '
d E
d
q
r
O r ' = x ' i
Figura 1.5: Campo creado por un hilo uniformemente cargado.
Calculemos las componentes del campo creado por ese elemento dq, en función del ángulo θ de la figura:
dEx = k
dq
d2
cos θ ,
dEy = k
dq
d2
sen θ .
El campo total lo obtenemos, de acuerdo con el principio de superposición, sumando las contribuciones de
todos los elementos dq, esto es, integrando cada una de las componentes. Teniendo en cuenta que, de la
figura, sen θ = yd y cot θ =
x−x′
y , con lo que
dθ
sen2θ =
dx′
y :
Ex =
∫
Q
k
dq
d2
cos θ =
λ
4πε0
∫
L
dx′
d2
cos θ =
λ
4πε0
∫
θ
sen2 θ
y2
dθ
sen2 θ
y cos θ =
λ
4πε0y
∫ θf
θi
cos θdθ =
=
λ
4πε0y
(sen θf − sen θi) =
Q
4πε0Ly
(
y√
(L− x)2 + y2
− y√
x2 + y2
)
.
Ey =
∫
Q
k
dq
d2
sen θ =
λ
4πε0
∫
L
dx′
d2
sen θ =
λ
4πε0
∫
θ
sen2 θ
y2
dθ
sen2 θ
y sen θ =
λ
4πε0y
∫ θf
θi
sen θdθ =
=
λ
4πε0y
(cos θi − cos θf ) =
Q
4πε0Ly
(
x√
x2 + y2
+
L− x√
(L− x)2 + y2
)
.
Considerando el caso particular de que el hilo comenzase en O y fuera muy largo (semiinfinito) con
densidad λ, y que el punto P estuviese sobre la vertical por O al hilo, esto es, P (0, y) se tendŕıa θi = π/2
y θf = π, obteniéndose:
Ex = −
λ
4πε0y
; Ey =
λ
4πε0y
,
o si el hilo fuese infinito (θi = 0 y θf = π):
Ex = 0 ; Ey =
λ
2πε0y
.
Departamento de F́ısica Aplicada a los Recursos Naturales
1.5. Campo eléctrico 11
Ejemplo 1.4 (Fundamento del osciloscopio)
En la figura 1.6 se muestra el principio de funcionamiento de un osciloscopio o de un tubo de televisión.
Consta de un cañón de electrones formado por un cátodo, que calentado mediante una corriente eléctrica,
libera electrones que son acelerados por un ánodo hasta conseguir una determinada velocidad inicial v⃗0 =
v0j⃗. Los electrones salen en ĺınea recta a través de un orificio en dirección a una pantalla, hecha de un
material que emite luz visible al recibir el impacto de los electrones (fluorescencia). Los electrones en
su recorrido atraviesan dos conjuntos de placas de longitud d colocadas en ángulo recto para lograr la
deflexión horizontal y vertical de los electrones. El campo eléctrico que producen estas placas es uniforme
en la región interior a las placas y viene dado por E⃗ = −Ex⃗i−Ezk⃗. Al salir de las placas y a una distancia
L se encuentra la pantalla del osciloscopio, contenida en un plano paralelo a XZ.
Cátodo Ánodo
Cañón de electrones
Placas de deflexión
Pantalla
fluorescente
Haz de 
electron
es
x
y
z
d L
Figura 1.6: Esquema de un osciloscopio.
Puede determinarse la posición de la pantalla en la que incidirán los electrones, en función de la
intensidad de los campos Ex y Ez:
Calculando primero, con la ecuación 1.17 la fuerza que actúa sobre un electrón, debido a la acción de
las placas:
F⃗ = −eE⃗ = e(Ex⃗i+ Ezk⃗) ,
aplicando la segunda ley de Newton,
m
(
d2x
dt2
i⃗+
d2y
dt2
j⃗ +
d2z
dt2
k⃗
)
= e(Ex⃗i+ Ezk⃗) ,
e integrando para obtener la velocidad v⃗1 a la salida de las placas, en donde y = d:
v⃗1 = v1x⃗i+ v1y j⃗ + v1zk⃗ =
(
dx
dt
i⃗+
dy
dt
j⃗ +
dz
dt
k⃗
)
y=d
= v0j⃗ +
e
m
t(Ex⃗i+Ezk⃗) = v0j⃗ +
ed
mv0
(Ex⃗i+Ezk⃗) ,
en la que se ha tenido en cuenta que la componente vy = v0 permanece constante y que, por tanto,
y = v0t, de donde t = y/v0.
Análogamente, puede obtenerse la desviación a la salida de las placas, volviendo a integrar:
r⃗1 = x1⃗i+ y1j⃗ + z1k⃗ = v0t⃗j +
e
m
t2
2
(Ex⃗i+ Ezk⃗) = d⃗j +
e
2m
(
d
v0
)2(Ex⃗i+ Ezk⃗) .
R. Medina y M.A. Porras
12 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
Una vez el electrón sale del conjunto de las placas, ya no actúa ninguna fuerza sobre él, por lo que hasta
llegar a la pantalla, situada a una distancia y = L el movimiento es rectiĺıneo y uniforme. Puesto que para
recorrer una distancia y = L necesitará un tiempo t = L/v0, la desviación adicional que se tiene, es:
x2 = v1xt =
edExL
mv20
,
z2 = v1zt =
edEzL
mv20
.
Sumando ambas desviaciones, se obtiene la posición de incidencia sobre la pantalla:
x =
eEx
mv20
d(L+
d
2
) ,
z =
eEz
mv20
d(L+
d
2
) .
Las impresoras de chorro de tinta se basan en un principio similar a éste, suministrando cantidades
variables de carga a las part́ıculas de tinta en función de la información del ordenador. Las part́ıculas pasan
a continuación a través de un campo eléctrico uniforme, y dependiendo de su carga, se desviarán en mayor
o menor medida, como puede verse en el resultado anterior.
Ejemplo 1.5 (Separador electrostático)
Basado en el principio del ejemplo anterior, en las plantas de cemento se emplea un dispositivo conocido con
el nombre de separador electrostático, destinado a separar las part́ıculas que salen de un molino en función
de su masa, de modo que sea posible realizar una nueva molienda para aquellas cuyo tamaño sea todav́ıa
demasiado elevado. Si se observan los resultados del ejemplo 1.4 puede verse cómo la desviación respecto
al centro de la pantalla (que en este caso serán placas en donde se recoge el material) es inversamente
proporcional a la masa de la part́ıcula. Si éstas se cargan de manera aproximadamente igual y se les hace
pasar a través de unas placas en las que exista un campo uniforme, de la misma manera que lo haćıan
los electrones en el osciloscopio, las part́ıculas se separaŕıan tanto más de la posición inicial cuanto menos
masa tuvieran. De este modo, las part́ıculas quedaŕıan clasificadas en función de su masa y por tanto, si
se trata del mismo material, en función de su tamaño.
Esta misma idea se emplea en centrales térmicas de carbón para eliminar part́ıculas de los gases de
combustión, reduciendo la contaminación atmosférica. El aire contaminado entra por la parte inferior de
un depósito vertical, en el cual se crea un campo eléctrico suficientemente elevado como para provocar
descargas que ionizan el aire sucio, cargándose las part́ıculas contaminantes. Estos iones sufren el efecto del
campo eléctrico, precipitándose sobre las paredes del depósito (que periódicamente se sacude para eliminar
por gravedad las part́ıculas sólidas depositadas), y saliendo aire limpio por la parte superior del depósito.
1.6. Potencial electrostático
De la teoŕıa de campos se conoce que si elrotacional de un campo vectorial se anula, entonces
dicho campo es conservativo o, lo que es lo mismo, deriva de un potencial. Mediante operaciones de
Departamento de F́ısica Aplicada a los Recursos Naturales
1.6. Potencial electrostático 13
cálculo vectorial que no procede desarrollar aqúı, puede demostrarse que en el campo electrostático,
esto es, creado por cargas en reposo5, es irrotacional
rotE⃗ = 0 , (1.18)
y que, por tanto, deriva de un potencial:
E⃗ = −gradV . (1.19)
Si se tiene en cuenta la expresión del campo E⃗ creado por una carga puntual (1.14), puede calcularse
la expresión del potencial electrostático en un punto P cualquiera del espacio, de vector posición
r⃗, debido a una carga puntual situada en r⃗ ′ a partir de 1.19,
V (r⃗) = −
∫
E⃗(r⃗) · dr⃗ = − q
′
4πε0
∫
r⃗ − r⃗ ′
|r⃗ − r⃗ ′|3
· dr⃗ , (1.20)
y resolviendo la integral:
V (r⃗) =
q′
4πε0|r⃗ − r⃗ ′|
=
q′
4πε0d
, (1.21)
siendo d = |r⃗ − r⃗ ′| la distancia de la carga q′ al punto P . Aunque este resultado no es inmediato de
obtener, puede comprobarse fácilmente que, en efecto, calculando −gradV se obtiene la expresión 1.14
del campo E⃗ para la carga puntual. Debe observarse que V es una magnitud escalar que depende de
la distancia entre la carga que crea el campo y el punto objeto de estudio.
En el caso de una superposición de campos, se tiene:
E⃗ =
N∑
j=1
E⃗j = −
N∑
j=1
gradVj = −grad
N∑
j=1
Vj = −gradV , (1.22)
de donde V =
∑N
j=1 Vj es el potencial del campo total E⃗, y se verifica también el principio de
superposición de potenciales. Aśı, para N cargas puntuales el potencial es:
V (r⃗) =
1
4πε0
N∑
j=1
qj
|r⃗ − r⃗j |
=
1
4πε0
N∑
j=1
qj
dj
, (1.23)
con dj = |r⃗ − r⃗j |. Y para una distribución continua de carga, el potencial es:
V (r⃗) =
1
4πε0
∫
V
ρ(r⃗′)
|r⃗ − r⃗ ′|
dV ′ . (1.24)
La importancia de estas expresiones estriba en el hecho de que permite estudiar los fenómenos
electrostáticos mediante una sola cantidad escalar, evitando las magnitudes vectoriales. De acuerdo
con la expresión 1.16 del campo creado por una distribución continua, el cálculo supone evaluar tres
integrales, con términos cuadráticos en el denominador, que resultan en ocasiones muy dif́ıciles, si
no imposibles, de resolver; sin embargo 1.24 supone una sola integración y con un factor |r⃗ − r⃗ ′|,
que suele simplificar cálculos6. El principio de superposición para los potenciales, permite determinar
el campo total creado por una distribución de carga, calculando el potencial como suma algebraica
5En este caso es muy importante resaltar que la palabra electrostático no es casual, puesto que si los fenómenos
dependiesen del tiempo, el rotacional del campo eléctrico no se anulaŕıa.
6Hay otro factor importante a considerar, aunque no va a plantearse en este libro, y es la necesidad de su uso para
resolver problemas en los cuáles no se conoce la distribución de cargas.
R. Medina y M.A. Porras
14 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
(o integración) de los potenciales individuales y obteniendo en última instancia el campo por simple
derivación.
Otro aspecto importante a considerar sobre el potencial electrostático es su similitud con la enerǵıa
potencial asociada a una fuerza conservativa:
Ep(r⃗) = −
∫
F⃗ (r⃗) · dr⃗ . (1.25)
Recordando que E⃗ = F⃗ /q, se tiene:
Ep(r⃗)/q = −
∫
E⃗(r⃗) · dr⃗ = V (r⃗) , (1.26)
pudiendo observarse que el potencial representa la enerǵıa potencial por unidad de carga.
La diferencia de potencial entre dos puntos es la circulación (por cualquier camino) del campo
electrostático E⃗ entre dichos puntos, esto es7:
VA − VB =
∫ rB
rA
E⃗ · dr⃗ . (1.27)
Suele tomarse un punto arbitrario de vector de posición r⃗B = r⃗ref , como referencia de potenciales,
al cual se le asigna VB = Vref = 0 en la ecuación 1.27. La expresión para el potencial de un punto
cualquiera queda entonces
VA =
∫ rref
rA
E⃗ · dr⃗ . (1.28)
Muy comúnmente y siempre que sea posible se toma el infinito como referencia de potenciales, que-
dando la ecuación
VA =
∫ ∞
rA
E⃗ · dr⃗ , (1.29)
lo que representa el trabajo necesario para llevar la unidad de carga positiva desde el infinito hasta el
punto considerado.
La unidad de potencial en el SI es julio/culombio, a la que se da el nombre de voltio (V). A partir
de esta unidad, resulta en ocasiones útil expresar la unidad de campo eléctrico como voltio/metro
(V/m).
Problema 1.6 (Potencial debido a un hilo cargado)
Planteamos de nuevo el caso de un hilo de cobre de longitud L cargado uniformemente con una carga total
Q (problema 1.3). Se desea conocer ahora el potencial que crea el hilo en un punto cualquiera del espacio,
(punto P (x, y) de la figura 1.5).
Para ello consideremos de nuevo el elemento dx′ del hilo con carga dq, situado a una distancia cualquiera
x′ de su extremo, con
dq = λdx′ =
Q
L
dx′ .
. El potencial creado por ese elemento dq de la figura es:
V =
1
4πε0
∫
Q
dq
d
=
λ
4πε0
∫
L
dx′
d
=
λ
4πε0
∫
L
dx′√
(x− x′)2 + y2
.
7Obsérvese en la expresión 1.27 el orden de los ĺımites de la integral, al haberse suprimido el signo negativo.
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1.7. Ley de Gauss 15
La integral resultante es inmediata:
V = − Q
4πε0L
Arsh
x− x′
y
∣∣∣∣L
0
=
Q
4πε0L
ln
(
x− x′ +
√
(x− x′)2 + y2
) ∣∣∣∣0
L
=
=
Q
4πε0L
ln
x+
√
x2 + y2
x− L+
√
(x− L)2 + y2
.
Derivando parcialmente la expresión anterior respecto de x e y, y cambiando de signo, pueden obtenerse
las componentes del campo eléctrico que se calcularon en el problema 1.3.
1.7. Ley de Gauss
Del estudio del flujo a través de una superficie cerrada del campo eléctrico creado por una deter-
minada distribución de carga, se pueden obtener en numerosas ocasiones expresiones para el campo
eléctrico creado por dicha distribución, a partir de ciertas consideraciones de simetŕıa geométrica y
del campo. Para este estudio es necesario conocer en primer lugar el flujo del campo creado por una
carga puntual y, por aplicación del principio de superposición, el resultado puede extrapolarse a una
distribución cualquiera.
El siguiente teorema permite determinar el flujo ΦE⃗ a través de una superficie cerrada del campo
eléctrico E⃗ creado por una carga puntual q,
ΦE⃗ =
∮
∂Ω
q
4πε0r3
r⃗ · n⃗dS . (1.30)
Teorema 1.1 (Ley de Gauss) Sea Ω una región del espacio suficientemente suave, de frontera ∂Ω
y sea n⃗ el unitario normal en cada punto a la superficie ∂Ω. Entonces si q /∈ ∂Ω, se verifica:
q
4πε0
∮
∂Ω
r⃗ · n⃗
r3
dS =
{
0 si q /∈ Ω
q
ε0
si q ∈ Ω , (1.31)
en donde r⃗ es el vector de origen en q y extremo en cualquier punto de ∂Ω.
Demostración:
Supongamos en primer lugar que q /∈ Ω. El integrando de la ecuación 1.31 es una función continua
en Ω y en ∂Ω dado que r = 0 no pertenece a dichas regiones. Se puede entonces aplicar el teorema de
la divergencia (Ostrogradski-Gauss):
q
4πε0
∮
∂Ω
r⃗ · n⃗
r3
dS =
q
4πε0
∫
Ω
div
(
r⃗
r3
)
dV = 0 ,
dado que pude verificarse fácilmente por cálculo directo que div
(
r⃗
r3
)
= 0 si r ̸= 0.
Supongamos que q ∈ Ω. Ahora no se puede proceder según el razonamiento anterior, puesto que al
aplicar el teorema de la divergencia existe una discontinuidad en el integrando, al pertenecer r = 0 al
dominio de integración. Consideremos entonces una bola B de centro en la carga (r = 0) y radio ϵ > 0
tan pequeño como se desee y de manera que toda la bola quede contenida en Ω, lo cual es posible
dado que q /∈ ∂Ω (figura 1.7).
R. Medina y M.A. Porras
16 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
q
W
W
B
B
Figura 1.7: Esquema de las superficies para la demostración de la ley de Gauss.
Analizando la región Ω − B resultado de suprimir la bola de Ω, puede verse que su frontera es
∂Ω ∪ ∂B, aunque debe tenerse la precaución de que la normal exterior a ∂B vista desde Ω−B tiene
signo contrario a la que se obtiene desde B. Ahora bien, r = 0 ya no pertenece a la región Ω − B y
por tanto estamos en el primer caso del teorema:
q
4πε0∮
∂Ω∪∂B
r⃗ · n⃗
r3
dS =
q
4πε0
∫
Ω−B
div
(
r⃗
r3
)
dV = 0 .
Desarrollando el primer término de la integral anterior:
q
4πε0
∮
∂Ω∪∂B
r⃗ · n⃗
r3
dS =
q
4πε0
(∫
∂Ω
r⃗ · n⃗
r3
dS +
∫
∂B
r⃗ · n⃗
r3
dS
)
= 0 ,
siendo n⃗ el unitario normal a ∂Ω ∪ ∂B. Aśı pues,
q
4πε0
∫
∂Ω
r⃗ · n⃗
r3
dS = − q
4πε0
∫
∂B
r⃗ · n⃗
r3
dS .
Todos los puntos de ∂B están a una distancia constante r = ϵ de q y, por otra parte, al estar en una
esfera, el vector n⃗, normal a la superficie de la misma, tiene la dirección radial y, en este caso, hacia
dentro, es decir, n⃗ = −r⃗/r, con r = ϵ. Resolviendo la segunda integral,
q
4πε0
∮
∂Ω
r⃗ · n⃗
r3
dS =
q
4πε0
∫
∂B
ϵ2
ϵ4
dS =
q
4πε0
1
ϵ2
∫
∂B
dS =
q
ε0
,
habiendo tenido en cuenta, en el último paso, que el área de la superficie esférica ∂B de radio ϵ es
4πϵ2.
Este teorema muestra que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada depende
exclusivamente del valor q de la carga puntual encerrada dentro de dicha superficie. La independencia
con respecto de r muestra que no existe pérdida de generalidad al escoger como origen la posición
donde se encuentra la carga. Si la carga es exterior a la superficie, el flujo del campo E⃗ es nulo dado
que las ĺıneas que entran por una parte de la superficie vuelven a salir por otra parte de la misma,
como se ilustra en la figura 1.8. Obviamente, el hecho de que el flujo a través de una superficie sea
nulo no implica la nulidad de E⃗, como puede comprobarse por la simple aplicación de la expresión
1.14 del campo creado por una carga puntual. Ocurre simplemente que al evaluar el producto escalar
Departamento de F́ısica Aplicada a los Recursos Naturales
1.7. Ley de Gauss 17
Figura 1.8: Flujo a través de una superficie cerrada para una carga exterior a ella.
de r⃗ y n⃗, en la región en que las ĺıneas de campo son entrantes, éste resulta negativo, y en donde son
salientes, positivo, siendo el cómputo global nulo.
Si se tuviera un conjunto de cargas puntuales o bien una distribución continua de carga, el principio
de superposición afirma que el campo creado es la suma de los campos creados por cada carga individual
(o diferencial de carga en el caso continuo). Se podŕıa de este modo aplicar el teorema a cada uno de
los campos por separado, y el flujo total será la suma de los flujos creados por cada uno de los campos,
cada uno de los cuáles sólo dependerá de que la carga sea interior o no a la superficie considerada. Se
puede generalizar aśı el teorema anterior para el caso de una distribución cualquiera de carga:
ΦE⃗ =
∮
∂Ω
E⃗ · n⃗ dS = qint
ε0
, (1.32)
en donde qint representa la carga interior a la superficie ∂Ω a través de la cual se calcula el flujo de
E⃗. Este resultado es el que se conoce habitualmente como ley o teorema de Gauss.
Debe observarse que el flujo a través de una superficie es el mismo que a través de otra superficie
cualquiera que encierre la misma cantidad de carga. Esto permite realizar cálculos de flujo empleando
superficies de integración más fáciles de manejar, como ya se hizo en la propia demostración del
teorema al escoger la pequeña bola que rodeaba a la carga q. Debe insistirse una vez más que el hecho
de que el flujo a través de ambas superficies sea idéntico no implica que lo sea el valor del campo
eléctrico en cada una de ellas.
En algunos casos, el teorema de Gauss permite calcular expresiones del campo electrostático creado
por distribuciones de carga con determinadas simetŕıas geométricas y eléctricas, como se verán en los
ejemplos siguientes. Normalmente es posible este cálculo si se puede escoger una superficie para calcular
el flujo (suele denominarse superficie gaussiana) de modo que el campo eléctrico en cualquiera de sus
puntos tenga el mismo módulo y forme un ángulo constante con el vector normal a la superficie.
Ejercicio 1.7 (Cálculo del campo creado por una esfera uniformemente cargada)
Sea una bola de caucho de radio R cargada con una densidad uniforme ρ y, por tanto, de carga total
Q = 43πR
3ρ. Consideremos una superficie gaussiana esférica ∂Ω (figura 1.9), concéntrica con la esfera
cargada y de radio tal que la superficie pase por el punto P en que desea calcularse el campo (supóngase
en primer lugar r > R).
R. Medina y M.A. Porras
18 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
R
r
r
E dS
r
P
P'
Figura 1.9: Superficies gaussianas para una esfera cargada.
De la simetŕıa de la distribución de carga, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie gaussiana
será radial, con sentido hacia el exterior (suponiendo que la esfera está cargada positivamente) y con el
mismo módulo en todos los puntos de la superficie8. El flujo a través de ella es
ΦE⃗ =
∮
∂Ω
E⃗ · n⃗ dS =
∮
∂Ω
E dS = E
∮
∂Ω
dS = 4πr2E ,
y aplicando la ley de Gauss, se tiene
ΦE⃗ =
qint
ε0
=
4πR3ρ
3ε0
=
Q
ε0
.
Igualando las dos expresiones para el flujo y despejando
E =
ρR3
3ε0r2
=
Q
4πε0r2
,
expresión que coincide con el campo que creaŕıa una carga puntual Q situada en el centro de la esfera. De
hecho el campo creado por una carga puntual, conocido a partir de la ley de Coulomb, puede calcularse
aplicando la ley de Gauss a una superficie esférica cualquiera de centro en la carga.
Si se quiere conocer el campo en un punto interior P ′ a la superficie de la esfera cargada, el procedi-
miento es el mismo construyendo una superficie esférica concéntrica de radio r que pase por dicho punto.
La expresión del flujo a través de la superficie de radio r es la misma, pero como ahora es r < R, se tiene
ΦE⃗ =
qint
ε0
=
4πr3ρ
3ε0
,
y entonces, de ΦE⃗ = 4πr
2E se tiene
E =
ρr
3ε0
=
Q
4πε0
r
R3
.
8Para comprobar esto, puede considerarse el campo en un punto creado por un elemento dq cualquiera y su simétrico
respecto al diámetro que pasa por el punto considerado. Las componentes tangenciales de uno y otro son opuestas,
quedando como resultado un campo radial.
Departamento de F́ısica Aplicada a los Recursos Naturales
1.7. Ley de Gauss 19
E
rR
R
Figura 1.10: Campo creado por una esfera cargada.
Puede representarse gráficamente el módulo del campo eléctrico en función de la distancia al centro de
la esfera cargada (figura 1.10). El campo vaŕıa linealmente con la distancia hasta llegar a la superficie de
la esfera, presentando a partir de este punto una cáıda con el cuadrado de la distancia, como si se tratara
del campo creado por una carga puntual.
Ejercicio 1.8 (Campo creado por un hilo infinito)
Sea un hilo de cobre muy largo (infinito9) cargado con una densidad uniforme λ, siendo, por tanto, la
carga en un tramo de longitud L, Q = λL. Como superficie gaussiana ∂Ω, por la simetŕıa del problema,
consideraremos un cilindro, de longitud L cualquiera, con eje en el hilo y de radio r de manera que la
superficie pase por el punto P donde se desea calcular el campo (figura 1.11).
r
E
dS
l
P
Figura 1.11: Superficie gaussiana para un hilo infinito.
De la simetŕıa de la distribución de carga, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie gaussiana
será radial (normal a la superficie lateral del cilindro), con sentido hacia el exterior (suponiendo que el hilo
9La palabra infinito se emplea en la práctica para significar que el elemento tiene unas dimensiones lo suficiente-
mente grandes y la región a estudiar lo suficientemente alejada de los extremos, como para que puedan aplicarse los
razonamientos de simetŕıa que se requieren en el cálculo.
R. Medina y M.A. Porras
20 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
está cargado positivamente) y con el mismo módulo en todos los puntos de la superficie lateral10. El flujo
a través de ella, observando que a través de las bases del cilindro será nulo, por ser n⃗ y E⃗ perpendiculares,
es
ΦE⃗ =
∮
∂Ω
E⃗ · n⃗ dS =
∫
∂ΩL
E dS = E
∫
∂ΩL
dS = 2πrLE ,
siendo ∂ΩL la superficie lateral del cilindro.Aplicando la ley de Gauss se tiene
ΦE⃗ =
qint
ε0
=
λL
ε0
,
de donde, igualando y despejandoE =
λ
2πε0r
,
que muestra que el campo vaŕıa inversamente con la distancia al hilo. Esta expresión coincide con la
calculada directamente por integración en el problema 1.3.
El razonamiento seguido para calcular el campo creado por un hilo infinito puede seguirse análogamente
para calcular el campo creado por una distribución ciĺındrica de carga, teniendo presente las precauciones
pertinentes para el cálculo del campo en puntos interiores a la superficie del cilindro cargado, de la misma
manera que se hizo con la esfera.
Ejercicio 1.9 (Campo creado por una chapa infinita)
Sea una chapa plana, infinita, cargada con una densidad uniforme σ, siendo, por tanto, la carga en una
región de área A, Q = σA. Como superficie gaussiana ∂Ω, por la simetŕıa del problema, podemos escoger
un cilindro recto (valdŕıa cualquier superficie paralelepipédica), con su eje normal a la chapa y de modo
que una de sus bases, de sección A cualquiera, pase por el punto P en donde desea calcularse el campo, y
la otra base sea simétrica a la anterior con respecto a la chapa (figura 1.12).
E
dS
s
P
Figura 1.12: Superficie gaussiana para una chapa cargada.
De la simetŕıa de la distribución de carga, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie gaussiana
será normal a la chapa, alejándose de ella (suponiendo que la chapa está cargada positivamente) y con el
10Para comprobar esto, puede considerarse el campo creado en un punto por un elemento dq cualquiera y su simétrico
respecto a la normal al hilo por el punto considerado. Las componentes tangenciales de uno y otro son opuestas, quedando
como resultado un campo radial.
Departamento de F́ısica Aplicada a los Recursos Naturales
1.8. Ley de Gauss en forma diferencial 21
mismo módulo en todos los puntos de las dos bases del cilindro11. El flujo a través de ∂Ω, observando que
a través de la superficie lateral del cilindro será nulo, por ser n⃗ y E⃗ perpendiculares, es
ΦE⃗ =
∮
∂Ω
E⃗ · n⃗ dS =
∫
∂ΩB
E dS = E
∫
∂ΩB
dS = 2AE ,
por ser ∂ΩB las dos bases del cilindro. Aplicando la ley de Gauss se tiene:
ΦE⃗ =
qint
ε0
=
σA
ε0
,
dado que el cilindro intercepta la misma sección A de chapa que área tienen sus bases. Igualando y
despejando:
E =
σ
2ε0
,
que muestra que el campo es independiente de la distancia a la chapa.
1.8. Ley de Gauss en forma diferencial
La ley de Gauss permite obtener la expresión del flujo de un campo eléctrico a través de una
superficie y obtener, en ocasiones, conclusiones sobre cómo es el campo en ella. Sin embargo el hecho
de tener una expresión integral hace que los resultados dependan de la región sobre la cual se está in-
tegrando. Se puede deducir, sin embargo, una ley equivalente, pero en este caso en forma diferencial,
de manera que el resultado pueda aplicarse a cada punto del espacio y no necesite de un dominio de
integración.
Consideremos una región Ω cualquiera y supongamos que la densidad de carga en todo el espacio
viene dada por ρ(r⃗), la cual permite caracterizar la carga existente en cualquier zona del espacio y,
por ende, en el interior de la región Ω. Calculando el flujo a través de la superficie de Ω, ∂Ω, teniendo
en cuenta la expresión 1.32 de la ley de Gauss,
Φ =
∮
∂Ω
E⃗ · n⃗ dS = qint
ε0
=
∫
Ω
ρ
ε0
dV . (1.33)
Al ser ∂Ω una superficie cerrada, puede aplicarse el teorema de la divergencia (igual que se hizo en la
demostración del teorema 1.1), obteniéndose
Φ =
∮
∂Ω
E⃗ · n⃗ dS =
∫
Ω
divE⃗ dV . (1.34)
Comparando ambas expresiones y teniendo en cuenta que ambas son válidas para cualquier región Ω
del espacio, se tiene la necesaria igualdad de los integrandos:
divE⃗(r⃗) =
ρ(r⃗)
ε0
. (1.35)
Esta expresión representa la forma diferencial de la ley de Gauss y expresa el comportamiento del
campo eléctrico12 en cualquier punto del espacio. Si se recuerda que la divergencia es positiva en los
puntos en donde nace campo (puntos surgentes) y negativa en los sumideros de campo, se observa que
11Para comprobar esto, puede considerarse el campo creado en un punto por un elemento dq cualquiera y su simétrico
respecto a la normal a la chapa por el punto considerado. Las componentes paralelas a la chapa de uno y otro son
opuestas, quedando como resultado un campo normal.
12Esta ecuación es igualmente válida aunque no se estuviera en condiciones estáticas.
R. Medina y M.A. Porras
22 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
el campo eléctrico nace en los puntos con carga positiva y muere en los puntos con carga negativa. En
el caso de que en un punto del espacio no exista carga eléctrica, la divergencia es nula.
Combinando el carácter conservativo del campo electrostático (E⃗ = −gradV ) con la ley de Gauss
se obtiene
div(gradV (r⃗)) = ∆V (r⃗) = − ρ(r⃗)
ε0
, (1.36)
siendo ∆ el operador laplaciano. Esta ecuación se conoce como ecuación de Poisson. En las regiones
en que la densidad de carga sea nula, la ecuación queda
∆V (r⃗) = 0 , (1.37)
conocida como ecuación de Laplace.
Las ecuaciones 1.36 y 1.37 son ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden de una función
escalar (el potencial electrostático) y sus soluciones, a diferencia de las de la ley diferencial de Gauss,
son relativamente fáciles de obtener. Es posible mediante integración de estas ecuaciones, y conocidas
determinadas condiciones de contorno impuestas por las distribuciones de carga, obtener el valor del
potencial en problemas particulares.
La ley de Gauss constituye una de las ecuaciones sobre las que Maxwell fundamentó toda su teoŕıa
electromagnética. Hemos llegado a ella de una forma inductiva, a partir de la ley de Coulomb y del
flujo del campo electrostático; otro enfoque posible habŕıa sido plantear la ley de Gauss, junto con
otras leyes adicionales, como postulados fundamentales del electromagnetismo y deducir a partir de
ellas las leyes experimentales de la f́ısica.
En el caso de la electrostática han sido obtenidas ya, a partir de hechos experimentales, las dos
ecuaciones fundamentales:
rotE⃗ = 0 ,
divE⃗ =
ρ
ε0
,
que unidas a
F⃗ = qE⃗ ,
permiten la explicación de todos los fenómenos electrostáticos. Este hecho indica que para caracterizar
el campo eléctrico basta con expresar su divergencia y su rotacional (Teorema de Helmholtz), y para
lo cual en el caso de la electrostática, basta con conocer la distribución de carga en el espacio.
Problema 1.10
Se quiere determinar el campo y el potencial electrostáticos creados por un anillo (de espesor despreciable)
de radio R cargado con densidad lineal de carga uniforme λ, en un punto P de su eje y a una distancia z
del plano del anillo.
De acuerdo al principio de superposición, el campo creado por el anillo en el punto P es la suma
vectorial de los campos dE⃗ creados por cada elemento infinitesimal dl del anillo (ver figura 1.13), cada
uno de los cuales puede considerarse como una carga puntual de valor dq = λdl. El campo creado por dl
es, en magnitud,
dE =
1
4πε0
dq
r2
,
y teniendo en cuenta que dq = λdl = λRdϕ y que r2 =
√
z2 +R2, obtenemos
dE =
λ
4πε0
R
z2 +R2
dϕ .
Departamento de F́ısica Aplicada a los Recursos Naturales
1.8. Ley de Gauss en forma diferencial 23
q
r
R
z
P
d l
d E
d j
Figura 1.13:
La componente de este campo perpendicular al anillo es dE⊥ = dE cos θ, y como, según la figura,
cos θ = z/
√
z2 +R2, podemos escribir
dE⊥ =
λ
4πε0
Rz
(z2 +R2)3/2
dϕ .
La componente perpendicular del campo eléctrico creado por todo el anillo es entonces, de acuerdo con el
principio de superposición,
E⊥ =
∫
anillo
dE⊥ =
λ
4πε0
Rz
(z2 +R2)3/2
∫ 2π
0
dϕ =
λ
4πε0
Rz
(z2 +R2)3/2
2π =
q
4πε0
z
(z2 +R2)3/2
.
En el segundo paso hemos observado que z y R son constantes, que la variable de integración es ϕ, y que
por tanto la integral se extenderá a todo el anillo si la variable ϕ va de 0 a 2π. En el último paso se ha
expresado el resultado, por conveniencia, en función de la carga total del anillo q = λ2πR.
Respecto de la componente del campo paralela alanillo, obsérvese que aunque cada dl crea una
componente paralela dE∥ = dE sen θ no nula, es anulada por la componente paralela creada por otro dl
girado respecto del primero en π respecto del eje del anillo. Por estas consideraciones de simetŕıa, podemos
escribir que la componente paralela creada por todo el anillo se anula, E∥ = 0, y en conclusión el campo
creado por el anillo en el punto P es
E⃗(P ) = E⊥k⃗ =
q
4πε0
z
(z2 +R2)3/2
k⃗ ,
siendo k⃗ un vector unitario perpendicular al anillo.
El potencial en el mismo punto P puede calcularse como la circulación
V (P ) =
∫ ∞
P
E⃗ · dr⃗
por un camino cualquiera del punto P al infinito. El camino apropiado en este caso (el único sobre el que
conocemos el campo eléctrico) es el que va de P al infinito a lo largo del eje del anillo. Entonces dr⃗ = dzk⃗,
R. Medina y M.A. Porras
24 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
y
V (P ) =
q
4πε0
∫ ∞
z
z
(z2 +R2)3/2
dz =
q
4πε0
1√
z2 +R2
.
⋆ ⋆ ⋆
Otra manera, tal vez más directa, de resolver el problema consiste en determinar primero el potencial
utilizando el principio de superposición para el potencial electrostático. El potencial creado por un dl es
dV =
1
4πε0
dq
r
=
λ
4πε0
R√
z2 +R2
dϕ ,
y el potencial creado por todo el anillo, a una altura z,
V =
∫
anillo
dV =
∫ 2π
0
λ
4πε0
R√
z2 +R2
dϕ =
q
4πε0
1√
z2 +R2
.
A partir del potencial, el campo eléctrico se puede obtener mediante derivación:
E⃗ = −gradV = −
(
∂V
∂x
i⃗+
∂V
∂y
j⃗ +
∂V
∂z
k⃗
)
.
Como por razones de simetŕıa, el campo eléctrico en el eje del anillo es vertical, debe ser ∂V/∂x = ∂V/∂y =
0, de donde
E⃗ = −∂V
∂z
k⃗ =
q
4πε0
z
(z2 +R2)3/2
k⃗ .
Obsérvese que para obtener E⃗ a partir de V es necesario conocer la dependencia de V con la posición en
el espacio, en este caso z. Con el valor de V en un sólo punto del espacio es imposible obtener E⃗.
Departamento de F́ısica Aplicada a los Recursos Naturales
Ejercicios y problemas propuestos 25
Ejercicios y problemas propuestos
1.1 ¿Cuáles de las configuraciones de campo siguien-
tes pueden representar un campo electrostático? ¿Dón-
de podŕıan estar las cargas que lo producen?
1.2 Consideremos las superficies equipotenciales co-
rrespondientes a una distribución de cargas. Verdadero
o falso: a) en todos los puntos de una misma superfi-
cie equipotencial, el módulo del campo eléctrico tiene
el mismo valor. b) El campo eléctrico es ortogonal, en
todo punto,a la superficie equipotencial que pasa por
dicho punto. c) Dos superficies equipotenciales corres-
pondientes a potenciales diferentes no se cortan nunca.
d) Una superficie equipotencial no se corta nunca a si
misma.
1.3 Razone la veracidad de las siguientes afirmacio-
nes. a) Si el potencial eléctrico en un punto es cero,
también lo es el campo eléctrico. b) Si la intensidad
del campo eléctrico en un punto es cero, también lo es
el potencial.
1.4 ¿Es concebible una pantalla opaca al campo e-
léctrico (análoga a una pantalla opaca a la luz) que,
“absorbiendo.el campo eléctrico que “incide”sobre ella,
deje detrás una zona completamente desprovista de
campo, mientras que en la zona en que no hay pan-
talla el campo permanece inalterado?
E = 0
1.5 Se considera una superficie cerrada, no conducto-
ra, y portadora de una cierta distribución de carga, no
existiendo carga en su interior. El campo en el interior
es idénticamente nulo si: a) la distribución es uniforme
(para superficie arbitraria). b) La superficie es esférica
(para una distribución arbitraria). c) La superficie es
equipotencial (para distribución arbitraria).
1.6 El campo eléctrico en una región del espacio
está dado por Ex = 0, Ey = 0, Ez = kz, con k una
constante. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es co-
rrecta? a) Hay una densidad de carga eléctrica en esta
región. b) Este campo no es electrostático. c) Ninguna
de las anteriores.
1.7 En problemas electrostáticos y en una región don-
de la densidad de carga eléctrica es uniforme, el campo
eléctrico satisface la ecuación: a) div E⃗ = rot E⃗; b)
divE⃗ = 0; c) rotE⃗ = 0; d) grad(divE⃗) = rotE⃗.
1.8 Se considera una esfera de radio R cargada uni-
formemente con densidad volumétrica de carga ρ. De-
termine el flujo del campo eléctrico creado por dicha
esfera a través de un cubo de lado R con uno de sus
vértices en el centro de la esfera.
1.9 Determine la carga de un cubo de lado L cuya
densidad de carga es proporcional a la distancia a una
cualquiera de sus caras.
1.10 En un plano, con ejes coordenados graduados
en metros, se coloca en el punto A(0, 1) una carga de
2µC y en el punto B(0,−1) otra de −2µC. Calcular el
potencial y el campo eléctrico en el punto C(2, 0).
1.11 Determı́nese el campo eléctrico y el potencial
creados por el hilo de la figura, cargado con densidad
lineal de carga no homogénea λ = ax, en un punto
cualquiera a la derecha del hilo y en su eje.
L XO
l = a x
1.12 En un disco de radio R = 8 cm han quedado
adheridas part́ıculas de polvo cargadas de modo que
la superficie del disco queda cargada uniformemente,
con carga total Q = 1 µC. Aplicando el resultado del
problema resuelto 1.10, calcúlese el campo y el poten-
cial creados por el disco en un punto de su eje, a una
distancia a = 1 cm del disco. ¿En qué punto debeŕıa
colocarse una carga puntual de valor q = −1 µC para
anular el campo anterior?
1.13 a) Determine la expresión del campo eléctrico
en el centro O creado por medio anillo de radio a, so-
bre el que se ha distribuido uniformemente una carga
eléctrica total Q. b) Utilice el resultado anterior para
determinar el campo eléctrico en el centro O creado
por la chapa de la figura inferior derecha, cargada uni-
formemente con densidad superficial de carga σ.
O
a
Q
O
a / 2
a
s
R. Medina y M.A. Porras
26 Caṕıtulo – 1. Fenómenos electrostáticos
1.14 Las dos placas paralelas de la figura, cuadradas
de lado L y cargadas, crean un campo eléctrico E ver-
tical y homogéneo entre ambas placas. Se introducen
part́ıculas de masa m y carga q con velocidad inicial
horizontal de módulo v0. Determı́nese el ángulo de des-
viación de las part́ıculas a la salida de las placas.
E
L
v 0
m , q
1.15 Determine el flujo del
campo electrostático producido
por las cargas q y 2q de la figu-
ra a través de la superficie esféri-
ca de radio R dibujada también
en la figura. Calcule, asimismo, el
campo electrostático en el pun-
to A de dicha superficie esférica.
Exprese los resultados en el sis-
tema internacional de unidades.
Datos: q = 1µC, R = 10 cm.
A
2 q q
R
2 R
1.16 Sobre una plancha de goma de 2d = 1 cm de
espesor se ha repartido uniformemente carga eléctrica
con densidad volumétrica ρ = 1,53 nC/m3. Determı́ne-
se el campo eléctrico y el potencial en puntos interiores
y exteriores a la plancha. (Tómese como origen de po-
tenciales el plano central de la plancha).
1.17 Dos hilos muy largos y paralelos, uno de den-
sidad lineal de carga λ y el otro de densidad lineal
2λ, ambas uniformes, están separados una distancia d.
Determine el lugar geométrico de los puntos para los
cuales el campo electrostático es nulo.
1.18 La figura muestra un cilindro
muy largo, de radio R, en cuyo volu-
men se ha distribuido carga eléctrica
con densidad volumétrica constante ρ.
Determine el campo eléctrico en todo
punto del espacio, y la diferencia de po-
tencial entre el punto O del eje del ci-
lindro y el punto P a distancia 2R de
dicho eje.
O
P
2 R
r
R
1.19 En un cable de corriente se acumula en su su-
perficie una carga por unidad de longitud λ = −20
nC/m. Este cable atraviesa perpendicularmente un dis-
co cerámico, cuyo espesor se puede suponer desprecia-
ble y de cierto radio R. Debido a corrientes de fuga, el
disco ha quedado cargado con una densidad superficial
de carga uniforme σ = −10 nC/m2. Se desea conocer
1) el campo eléctrico en el punto A de la figura cuya
distancia al hilo es mucho menor que el radio del dis-
co cerámico, y 2) la diferencia de potencial entrelos
puntos A, B y C de la figura.
x
y
z
A
B
C
1 0 c m
5 c m
5 c m 5
c m
1.20 La figura muestra una sección de un hilo infinito
cargado con densidad lineal de carga uniforme λ > 0 y
un plano, también infinito, cargado con densidad super-
ficial de carga uniforme σ > 0. Ambos están separados
una distancia 2a. 1) Determı́nese el valor de λ para
que el campo eléctrico se anule en el punto medio P
del segmento OA (se suponen no conocidos los campos
creados por un hilo infinito y por un plano infinito). 2)
Para el valor de λ del apartado anterior, calcúlese el
campo eléctrico y el potencial en cualquier punto del
segmento OA, tomando como origen de potenciales el
punto P .
x
y
2 a
PO A
1.21 La plancha de goma de la figura es muy grande
comparada con su espesor de 10 cm y está cargada con
una densidad uniforme ρ = 90nC/m3. A una distancia
de 30cm de la cara superior de la plancha se coloca
perpendicularmente a la misma un hilo de 20 cm de
longitud, cargado con una densidad λ = 2µC/m. Cal-
cule el campo eléctrico existente en el punto A de la
figura, situado en la vertical del hilo a 20 cm de la cara
superior de la plancha.
A
l
3 0 c m
2 0 c m
2 0 c m
1 0 c mr
1.22 Una esfera de centro O y radio R está unifor-
memente cargada con densidad de carga ρ salvo en un
hueco esférico, descargado, de radio R/4 con su cen-
tro en un punto O′ situado a R/2 de O. Determine el
campo eléctrico creado por esta distribución de carga
en un punto P situado en la ĺınea que une O con O′ y
a una distancia a de O .
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