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SOBRE GEOMETRÍA Y FÍSICA
Domingo Chinea (Universidad de La Laguna)
La geometŕıa como una disciplina organizada fue fundada alrededor de los años 600
a. C., en la Grecia Clásica. En general, los griegos orientaron las matemáticas para
deducir cuestiones y problemas sobre la naturaleza, y por ello se fundamentaron en la
propia naturaleza. Durante el periodo comprendido entre los años 600 y 300 a. C., los
filósofos griegos dieron a las matemáticas en general el rango de ciencia, construyeron la
estructura de la geometŕıa eucĺıdea, basada en la abstracción y la demostración deductiva,
y la aplicaron a la comprensión y entendimiento de nuestro universo.
La evolución de la geometŕıa a través de los tiempos ha sido lenta, quizás debido a
que la geometŕıa de Euclides fue obtenida a partir de unos postulados que a priori eran
ciertos sin discusión alguna y que reflejaban la propia geometŕıa de nuestro espacio, y por
ello durante muchos siglos esta geometŕıa ha dominado los estudios matemáticos.
Suele decirse que la F́ısica utiliza a las matemáticas en general como lenguaje, aunque
en realidad existe una más profunda relación entre ambas ciencias. La F́ısica tiene por
objeto el conocimiento y comprensión de las leyes que rigen la naturaleza y sus fenómenos.
La geometŕıa y la f́ısica crecieron observando la naturaleza, la primera prestando más
atención a la ”forma” de los objetos que nos rodean y la segunda a su ”movimiento”.
Ahora, como todo movimiento supone una trayectoria (una curva en lenguaje geométrico),
ambas han seguido vidas paralelas, y los grandes cambios en la historia de la geometŕıa y
de la f́ısica casi siempre aparecen conectados, con grandes influencias rećıprocas.
En lo que sigue, trataremos de describir, a grandes rasgos, tres de las etapas que más
han influido en el desarrollo armónico de la geometŕıa y la f́ısica. La primera se refiere
a sus oŕıgenes, que pod́ıamos fijar en la grecia antigua, con la geometŕıa de Euclides y
la f́ısica de Pitágoras, Aristóteles y Arqúımedes. La segunda, la gran revolución a partir
del renacimiento con la f́ısica de Galileo y la mecánica de Newton desde el punto de
vista f́ısico y la geometŕıa de Descarte y Fermat. Finalmente la tercera etapa, en la cual
profundizaremos un poco más, se refiere a la que surge tras la aparición de dos trabajos
cruciales en geometŕıa, el primero de K. F. Gauss (1777-1855) titulado ”Disquisiciones
generales circa superficies curvas” (en 1827), considerado como la obra maestra de la
geometŕıa diferencial clásica de superficies, y el segundo la memoria que G. B. Riemann
(1826-1866) presentó en 1854 para obtener el t́ıtulo de ”Privatdozent”, la cual tituló
”Sobre las hipótesis que sirven de fundamentos a la geometŕıa”. Con esta nueva visión de
la geometŕıa se posibilito que a principios del siglo XX se iniciara una de las revoluciones
más espectacular que ha tenido la f́ısica a través de su historia. Por supuesto nos referimos
la aparición de la f́ısica relativista, promovida por el que es considerado como el mayor
genio del siglo XX: Albert Einstein (1879-1955).
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1 Un poco de historia
1.1 Origen de la Geometŕıa y la F́ısica
Puede decirse que la matemática, como disciplina organizada, comenzó a existir en la
Grecia Clásica, más o menos en la época entre los años 600 al 300 a. C.. No obstante, en las
civilizaciones babilónica y egipcia, a partir del año 3.000 a.C., empieza a aparecer algunos
rudimentos primarios de la matemática. La principal fuente de información sobre la
matemática babilónica la constituyen los textos grabados en tablillas de arcillas. Algunas
datan del año 2.000 a.C., aunque la mayoŕıa corresponden al peŕıodo del 600 a.C. al
300 d.C.. Estas tablillas nos suministran información sobre el sistema numérico, las
operaciones aritméticas, y ciertos problemas algebraicos y geométricos.
Aunque el papel de la geometŕıa babilónica fue insignificante, surgieron problemas
sobre divisiones de campos o sobre tamaños de ladrillos necesarios para la construcción. De
hecho, la geometŕıa babilónica se redućıa a una colección de reglas para el cálculo de áreas
de figuras planas sencillas, y de los volúmenes de cuerpos sólidos sencillos, generalmente
ligados a problemas prácticos, como la construcción de canales, presas y otros proyectos
de riegos, aśı como para la construcción de graneros, edificios, y cálculos de áreas de
terrenos. Aunque, la mayoŕıa de las veces los problemas eran marcadamente aritméticos
o algebraicos.
Los egipcios no establećıan separación entre aritmética y geometŕıa, y al igual que los
babilonios, consideraban la geometŕıa como una herramienta práctica. Los documentos
matemáticos aparecen en forma de papiros, los más antiguos datan del año 1700 a.C.,
aunque las matemáticas que aqúı aparecen posiblemente la conoćıan los egipcios desde el
año 3.500 a.C.
Según Herodoto, historiador griego, siglo V a. C., la geometŕıa tuvo su origen debido
a las crecidas anuales del Nilo, que obligaba a trazar constantemente las lindes de los
terrenos cultivados por los agricultores. Aunque, sin esa misma necesidad, la geometŕıa
de los babilonios era parecida. Los templos y las pirámides fueron otra aplicación de
la geometŕıa egipcia. De hecho, según Aristóteles, 384-322 a.C., la geometŕıa se originó
por la existencia de una clase sacerdotal ociosa. A los geómetras en esta época se les
denominaban ”agrimensores” o ”tensadores de cuerda”, y se dedicaban tanto a realizar
los planos de los templos para el culto religioso como para reconstruir las lindes de los
terrenos.
Como señalamos, fueron los filósofos griegos clásicos quienes, durante el periodo com-
prendido entre los años 600 y 300 a.C., dieron a las matemáticas en general el rango de
ciencia, construyendo la estructura de la geometŕıa eucĺıdea.
Las contribuciones más importante de este periodo clásico son los Elementos de Eu-
clides (325-265 a. C.) y las Secciones Cónicas de Apolonio de Perga (262-190 a.C.). Los
Elementos de Euclides constituyeron la base de todos los estudios matemáticos durante
siglos, y el tratado sobre las Cónicas de Apolonio contiene resultados no superados hasta
el siglo XVII.
Los griegos orientaron las matemáticas para deducir verdades sobre la naturaleza, y
por ello se fundamentaban sobre verdades. Aśı, exist́ıan algunas verdades aparentemente
evidentes, entre ellas: dos puntos determinan una recta, una recta se extiende indefinida-
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mente, todos los ángulos rectos son iguales, cosas iguales añadidas a cosas iguales producen
cosas iguales, figuras que pueden hacerse coincidir son congruentes, el todo es mayor que
la parte... Estas ”verdades” o axiomas las recoge Euclides como postulados y nociones
comunes, y son la base para demostrar los demás enunciados matemáticos con la ayuda de
la lógica y del razonamiento. Los postulados son propios del campo cient́ıfico considerado,
y los axiomas son comunes para todas las ciencias.
Los Elementos se componen de trece libros con un total de 132 definiciones, 5 postu-
lados, 5 nociones comunes y 465 proposiciones.
Recordamos a continuación los Postulados y las Nociones Comunes:
POSTULADOS:
1.- Postúlese el trazar un ĺınea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2.- Y el prolongar continuamente una recta finita en ĺınea recta.
3.- Y el describir un ćırculo con cualquier centro y distancia.
4.- Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre śı.
5.- Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace que los ángulos internos del
mismo lado sean menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se
encontrarán en el lado en que están los ángulos menores que dos rectos.
NOCIONES COMUNES:
1.- Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre śı.
2.- Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son también iguales.
3.- Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restosson iguales.
4.- Y las cosas que pueden superponerse entre śı son iguales entre śı.
5.- Y el todo es mayor que la parte.
Partiendo de estos axiomas, Euclides dedujo en sus Elementos las 465 proposiciones,
sobre temas relativos a geometŕıa plana, teoŕıa generalizada de la proporción, teoŕıa ar-
itmética, geometŕıa del espacio, y la inconmensurabilidad y los segmentos irracionales.
En otras obras de él y en las de sus sucesores (Arqúımedes, Apolonio,...) se dedujeron
muchos más resultados.
El segundo trabajo cumbre en la geometŕıa clásica es el de Apolonio sobre las secciones
cónicas. Este tratado está formado por 8 libros y 487 proposiciones. Apolonio observó que
los tres tipos de cónicas (elipse, parábola e hipérbola) pod́ıan obtenerse como secciones
de un mismo cono recto sin más que cambiar la posición del plano que nos da la sección.
Desde un interés puramente geométrico, las secciones cónicas han evolucionado a lo largo
de la historia hasta su utilidad en diferentes contextos. Su importancia se consagra a
partir del siglo XVII, con la demostración de Galileo de que la trayectoria de un proyectil
es una parábola y con la descripción del movimiento planetario de Kepler y Newton, en
donde se conclúıa que las órbitas de los planetas eran eĺıpticas.
Es de observar que los geómetras griegos clasificaban las curvas en tres categoŕıas:
- Lugares planos: Las ĺıneas rectas y las circunferencias.
- Lugares sólidos: Las secciones cónicas.
- Lugares lineales: Las restantes curvas.
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De hecho en grecia clásica ya se conoćıan algunas curvas, como la cuadratriz de Hipias
(siglo V a.C.) y Dinostrato (siglo IV a.C.), la concoide de Nicomedes (entre el siglo II
y I a.C.), la cisoide de Diocles (siglo II a.C.), la espiral de Arqúımedes (siglo III a.C.),
destinadas a resolver problemas, y en particular los tres clásico de la antigüedad: la
cuadratura del ćırculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo.
Las culturas babilónica y egipcia contribuyeron en gran medida al desarrollo de la
matemática y la astronomı́a. Sin embargo, fueron completamente estériles respecto al
desarrollo de la f́ısica.
De hecho, fue en la grecia clásica donde se origina los primeros estudios en f́ısica.
La explicación posible de esta deficiencia de Babilonia y Egipto en comparación con
Grecia, se atribúıa a que los dioses antiguos de Babilonia y Egipto viv́ıan arriba, entre las
estrellas, mientras que los dioses de lo griegos viv́ıan en la cima del monte Olimpo, y por
tanto estaban más cerca de los problemas de la vida cotidiana.
Según la leyenda, el término magnetismo proviene de un pastor griego Mαγνησ que
quedó sorprendido al observar que el regatón de hierro de su bastón era atráıdo por una
piedra (mineral de hierro magnético) que hab́ıa en el borde del camino. Análogamente
el término electricidad proviene de la palabra griega ηλ²κτρoν (ámbar), a causa de que
otro pastor helénico, al tratar de pulir un trozo de ámbar frotándolo sobre la lana de una
de sus ovejas, observó que poséıa la misteriosa propiedad de atraer pequeños trozos de
madera.
Aunque dif́ıcilmente podamos documentar estos legendarios descubrimientos, si pode-
mos afirmar que la primera formulación matemática de una ley f́ısica se debe a Pitágoras
(569-475 a.C.), filósofo griego que vivió a mediados del siglo VI a.C. Pitágoras investigó
la relación entre las longitudes de las cuerdas en los instrumentos musicales que producen
combinaciones armónicas de sonidos. Para ello, empleó el denominado ”monocordio” un
instrumento en forma de caja con una única cuerda.
En la terminoloǵıa actual, Pitágoras probó que la frecuencia, es decir el número de
vibraciones por segundo de una cuerda sujeta a una tensión dada, es inversamente pro-
porcional a su longitud. Pitágoras intentó dar un paso más al sugerir que el movimiento
de los planetas debe ”ser armonioso”, sus distancias de la tierra deben de estar en las
misma relaciones de la longitud de las cuerdas (bajo la misma tensión) que producen las
siete notas fundamentales de la lira, el instrumento musical nacional de los griegos.
Aristóteles (384-322 a.C.) fue uno de los gigantes de la grecia clásica. Es considerado,
junto a Platón y Sócrates, como uno de los pensadores más destacados de la antigua
filosof́ıa griega.
Su filosof́ıa sobre la naturaleza y los fenómenos f́ısicos teńıa la deficiencia de que su
gran inteligencia no estaba bien orientada matemáticamente, al igual que muchos otros
antiguos filósofos griegos. De hecho sus ideas respecto al movimiento de los objetos
terrestres y los cuerpos celestes, quizás hicieron más daño que beneficio al progreso de
la ciencia. Su filosof́ıa se basaba en la idea de que hab́ıa dos clases de movimientos:
rectiĺıneos, cuyo modelo es el peso que cae o el fuego que asciende, y circulares, como
el movimiento de los astros. Para Aristóteles el movimiento circular era el único que
era ”simple y completo”, y lo consideraba también perfecto y eterno. Para él los astros
segúıan trayectorias circulares, pues no hab́ıa ninguna razón para que el espacio no fuera
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homogéneo y por tanto que las trayectorias cambiaran de forma con el tiempo. Aristóteles
créıa que la tierra era estacionaria y que el sol la luna, los planetas y las estrellas se mov́ıan
en órbitas circulares alrededor de ella.
Otro gran griego de la antigüedad, que vivió un siglo después de la época de Aristóteles
fue Arqúımedes (287-212 a.C.). Este pronto se interesó por las matemáticas, en las que
adquirió una gran destreza. De hecho tuvo grandes contribuciones en geometŕıa. Es
considerado, por muchos, el mayor matemático y f́ısico de la antigüedad.
Las aportaciones más importantes de Arqúımedes a la F́ısica se centran en la mecánica
de sólidos, principalmente en Estática, y en la Hidrostática.
En su obra ”Sobre el equilibrio de las superficies” desarrolló las leyes de la palanca y
discutió el problema de encontrar el centro de gravedad de cualquier cuerpo dado.
El estilo de Arqúımedes es muy semejante al de Euclides. Durante su época, las
matemática griega estaba casi limitada a la geometŕıa.
Como en los ”Elementos” de Euclides, Arqúımedes formuló sus leyes sobre el equi-
librio comenzando primero enunciando unos postulados y derivando a continuación las
proposiciones. El primer volumen de su obra comienza con siete postulados, los cuales
reproducimos:
1.- Pesos iguales a igual distancia están en equilibrio y pesos iguales a distancia de-
siguales no están en equilibrio sino que se inclinan hacia el peso que está a mayor distan-
cia.
2.- Si estando los pesos a cierta distancia y en equilibrio, se añade algo a uno de ellos,
no hay equilibrio, sino que se inclinan hacia aquel al cual se ha añadido algo.
3.- Análogamente, si se quita algo a uno de los pesos, no están en equilibrio, sino que
se inclinan hacia el peso del que no se ha quitado nada.
4.- Si figuras planas iguales y similares coinciden cuando se superponen una a otra,
sus centros de gravedad también coinciden.
5.- Si las figuras son desiguales pero similares, sus centros de gravedad estarán situ-
ados similarmente. Entiendo por puntos situados similarmente en relación con figuras
similares, puntos tales que si se trazan ĺıneas a su través a los ángulos iguales, resultan
ángulos iguales con los correspondientes.
6.- Si dos pesos a cierta distancia están en equilibrio, otros dos pesos iguales a ellos
estarán también en equilibrio a las mismas distancias.
7.- En una figura cuyo peŕımetro es cóncavo en la misma dirección, el centro de
gravedad debe estar dentro de la figura.
A estos postulados siguen 15 proposiciones derivadas. Entre ellas se deduce el Principio
de la Palanca.
Probablemente el descubrimiento más conocido de Arqúımedes es su ley sobre la
pérdida que sufren los cuerpos sumergidos en un ĺıquido.
Con la decadencia griega, el centro cultura se traslada a Alejandŕıa,fundada en el
año 332 a.C.. Quizás las mayores aportaciones a la f́ısica de la cultura alejandrina se
centran en la astronomı́a, siendo su mejor exponente C. Ptolomeo , que vivió y trabajó
durante la primera mitad del siglo II de nuestra era (85-165 d.C.). Ptolomeo profundizó en
las ideas de Aristóteles sobre el Universo, y construyó un modelo cosmológico completo.
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En este modelo, la tierra era el centro del universo, y estaba rodeada por ocho esferas
que transportaban a la luna, el Sol, las estrellas y los cinco planetas conocidos en aquel
tiempo: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Los planetas se mov́ıan en ćırculos
más pequeños engarzados en sus respectivas esferas para que aśı se pudieran explicar
sus relativamente complicadas trayectorias celestes. La esfera más exterior era la que
transportaba a las llamadas estrella fijas. Lo que hab́ıa detrás de la última esfera nunca
fue descrito con claridad. Sus estudios astronómicos se recogen en su ”Almagesto”.
Este modelo de Ptolomeo fue ampliamente adoptado, incluso por la Iglesia cristiana,
pues además presentaba la gran ventaja de que fuera de la esfera de las estrellas fijas
quedaba un gran espacio para el cielo y el infierno.
Como en el caso de las matemáticas, y de la ciencia en general, al extinguirse la cultura
griega quedó detenida el desarrollo de la de la geometŕıa y de la f́ısica. Los romanos,
aunque estimulaban el saber, se interesaron primordiamente por las aplicaciones prácticas
y durante su imperio se descuidó mucho el pensamiento abstracto y filosófico, pilares de
la ciencia de aquella época. Incluso después de la cáıda del imperio romano la situación
empeoró, ya que los estados feudales que se formaron en sus ruinas no representaba el
marco adecuado para ningún género de desarrollo cient́ıfico.
Afortunadamente la ciencia griega encontró refugio en la cultura árabe, floreciente a
partir del siglo VII, época de su extensión por el sur del mediterráneo y España. Los
árabes tradujeron los manuscritos griegos, y realizaron progresos en matemáticas, aunque
no parece que realizaran mucho en el campo de la f́ısica.
Uno de los factores determinante en la difusión del conocimiento fue la invención de
la imprenta, a mediados del siglo XV.
1.2 EL Renacimiento, Geometŕıa Anaĺıtica y la F́ısica de Galileo
y Newton
Como indicamos, la evolución de la geometŕıa a través de los tiempos ha sido lenta,
debido quizás a que la geometŕıa de Euclides fue obtenida a partir de unos postulados que
a priori parećıan ciertos sin discusión alguna y reflejaban la propia geometŕıa de nuestro
espacio, y por ello esta geometŕıa continuó durante muchos siglos dominando los estudios
matemáticos.
No obstante, a lo largo de la historia aparecieron otras geometŕıas, que nacieron de la
necesidad de solucionar nuevos problemas de la vida cotidiana, o de la propia evolución
de las matemáticas que invitaron a aprovechar las técnicas, los avances y desarrollos de
sus diferentes ramas.
Como ejemplos, tenemos la geometŕıa proyectiva, que surgió motivada por los pintores
del renacimiento al tratar de resolver el problema de plasmar en un lienzo las escenas
reales, y la geometŕıa anaĺıtica que incorporó un tratamiento algebraico a la geometŕıa,
necesario para aplicarla a los nuevos retos cient́ıficos, los descubrimientos, y sucesos acae-
cidos durante los siglos XVI y XVII (la creación de la teoŕıa heliocéntrica, la exploración
geográfica que implicaba el uso de mapas, la utilización de la pólvora que dio lugar al
estudio de las trayectorias de los proyectiles, el telescopio y el microscopio que motivó el
estudio de las lentes, las técnicas de las guerras,...).
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René Descartes(1596-1650) y P.Fermat (1601-1665) fueron los primeros en darse cuenta
de esta necesidad de utilizar métodos cuantitativo en el estudio de la geometŕıa. Ellos
eran consciente de la potencia del álgebra y por ello empezaron a utilizarla para sus
estudios geométricos, en particular para asociar ecuaciones algebraicas a las curvas y a
las superficies. Con ellos puede decirse que se iniciaba una nueva rama: la mencionada
geometŕıa anaĺıtica.
Descartes, no era realmente un matemático, puede considerarse como el primer gran
filósofo moderno y su geometŕıa fue sólo una mı́nima parte de toda una obra que básicamente
estaba dedicada a la filosof́ıa y a la ciencia en general. Para Descartes la geometŕıa eucĺıdea
(de los clásicos) era abstracta en exceso y muy ligadas a las figuras, con lo que cada de-
mostración, en la mayoŕıa de las veces, exiǵıa nuevos e ingeniosos argumentos. Tampoco
el álgebra se escapaba de sus cŕıticas. Para él, el álgebra estaba completamente lleno de
reglas y fórmulas que en ocasiones resultaba un ”arte confuso y oscuro que turbaba la
mente”. Por ello lo que propone Descarte es de una parte, tomar lo mejor del álgebra
y aplicarlo a la geometŕıa, y de otra traducir las operaciones algebraicas al lenguaje de
la geometŕıa, para corregir los defectos de ambas. Se dio cuenta de la gran potencia
del álgebra y su superioridad sobre los métodos de los griegos para la formalización, de-
scripción y desarrollo del pensamiento geométrico. Fruto de esta fusión, surge su ”La
Gémetrie”, único libro de matemática que escribió (de hecho ”La Géometrie” es uno de
los tres apéndices que aparece en su ”Discurso del método” un clásico de la literatura y
filosof́ıa publicado en 1637).
Antes de dedicarse al estudio de lugares geométricos, P. Fermat hab́ıa realizado con-
tribuciones al algebra. Esto permitió que en su obra ”Ad locos planos et solidos isagoge”
se aplicara el álgebra al estudio de las curvas. Esta obra no fue publicada en vida del au-
tor, y por ello favoreció la impresión de que la geometŕıa anaĺıtica hab́ıa sido introducida
por R. Descartes. Sin embargo es muy posible que que Fermat descubriese su geometŕıa
anaĺıtica hacia 1629.
La idea principal de la geometŕıa anaĺıtica, la utilización de las técnicas del álgebra y
del empleo de ecuaciones para estudiar los problemas geométricos en principio no despertó
gran entusiasmo y hubo de pasar cerca de cien años para su consagración. Durante el
siglo XVII surgieron obras en donde se comentaban los nuevos métodos, pero es durante
el siglo XVIII cuando se profundizó en el estudio en el plano y también en el espacio
de la geometŕıa desde el punto de vista anaĺıtico, quizás motivado por la exploración de
problemas f́ısicos, que llevaron a la búsqueda de un mejor conocimiento de las curvas
y superficies. En este desarrollo participaron muchos matemáticos de la época, entre
otros: I. Newton (1642-1727), J. Bernoulli (1667-1748), L. Euler (1707-1783), Clairaut
(1713-1765), G. Monge (1746-1818). Estos matemáticos han jugado también un papel
fundamental en lo que se denomina geometŕıa diferencial.
Aunque las cónicas y algunas otras curvas planas eran conocidas desde la grecia an-
tigua, hasta el renacimiento solo la recta y la circunferencia jugaban un papel privilegiado
en la naturaleza y por tanto también en la f́ısica.
La f́ısica quedó aferrada a la recta y a la circunferencia durante muchos siglos. Hasta
el siglo XVI, se pensaba que la trayectoria de proyectiles eran rectas que luego se volv́ıan
bruscamente curva, y que los planetas describ́ıan órbitas circulares.
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Durante el siglo XVII, con la revolución cient́ıfica , comienza a fraguarse los cimientos
de la f́ısica moderna no relativista.
Dos genios universales son claves en este desarrollo: Galileo Galilei (1564-1642) e Isaac
Newton (1643-1727).
Uno de los hechos más importante que propicio tal revolución fue la teoŕıa heliocéntrica.
Nicolás Copérnico (1473-1543) en su obra ”De Revolutionibus Orbitum Coelestium”,
aparecida en el mismo año de su muerte, estableció un nuevo sistema del mundo con el Sol
en su centro, pero todav́ıa con la creencia de que los planetas describ́ıan órbitas circulares.
Es de observar quepara evitar su prohibición por la Iglesia, se añadió a este libro un
prefacio que declaraba que todas las ideas expresadas en él eran de carácter puramente
hipotético y representaban más bien un ejercicio matemático que una descripción de las
cosa reales.
Pasó casi un siglo para que las ideas de Copérnico sobre el Universo fueran tomadas
en serio.
El primer astrónomo que demostró la teoŕıa heliocéntrica fue Tycho Brahe (1546-1601),
quién realizó mediciones de la posición de los planetas con una precisión de un minuto de
arco.
J. Kepler (1571-1630) en su ”Astronomı́a nova, en 1609, expuso su famosas tres leyes
sobre la trayectoria de los planetas. Como es conocido, en la primera de ellas formula que
los planetas describen elipses, con el sol en uno de sus focos.
Para Galileo, las matemáticas constitúıan la base del conocimiento profundo de las
leyes de la Naturaleza. Su f́ısica estaba basada en la experimentación y en su formalización
matemática.
En 1609, con un telescopio que acababa de inventar, observando Jupiter encontró que
éste estaba acompañado por varios pequeños satélites o lunas que giraban a su alrededor.
Aśı, no todo giraba directamente alrededor de la tierra.
Galileo en su ”Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo, ptolemaico y coper-
nicano” 1632, apoyó la teoŕıa copérnica sobre el movimiento de los planetas. En realidad,
Él y J. Kepler fueron los primeros en apoyar públicamente esta teoŕıa. Aunque, Kepler
modificó la teoŕıa sugiriendo que los planetas no se mov́ıan en ćırculos sino en elipses. El
apoyo a la teoŕıa copérnica enfrentó a Galileo con la Iglesia y le costó su famoso Proceso.
Galileo fue también el primero que estableció, en sus ”Discursos y demostraciones
matemáticas acerca de dos Nuevas Ciencias” (1638), que la trayectoria de los proyectiles
de las piezas de artilleŕıa eran parábolas.
Otro importante resultado que introdujo Galileo fue el principio de inercia (La primera
ley de Newton).
La explicación más coherente sobre la trayectoria de los planetas fue proporcionada
por I. Newton (1643-1727), en su obra ”Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”
(1687), probablemente la obra más importante publicada en las ciencias f́ısicas de todos
lo tiempos. En ella, Newton no solo presentó una teoŕıa de como se mueven los cuerpos
en el espacio y en el tiempo, sino que también desarrolló las complicadas matemáticas
necesarias para analizar esos movimientos.
Para realizar su obra, Newton se apoyó en los trabajos de Copérnico, Descartes, Kepler,
Galileo,...
Su ”Principia Mathematica” está constituida por tres libros que contienen los fun-
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damentos de la f́ısica y la astronomı́a escritos en el lenguaje de la geometŕıa pura. Se
le suele comparar a Los elementos de Euclides. De hecho se nota el influjo de la ge-
ometŕıa eucĺıdea, con predominio de la forma sintética, aunque también aparecen algunos
razonamientos anaĺıticos.
En ella se enuncian las tres leyes del movimiento, la ley de gravitación, y aplicaciones
al sistema solar.
También ,en su ”Principia Mathematica” aparece indirectamente su cálculo diferencial
e integral, desarrollado en su obra Analysis per aequiationes numero terminorum infinitas.
Evidentemente en todos estos desarrollos se necesitaba de la geometŕıa de coordenadas,
es decir la geometŕıa anaĺıtica, que unida con procesos de paso al limite, permitió que
Newton y G. W. Leibnitz (1646-1716) crearan el cálculo diferencial, con el que se formuló
la famosa ley de gravitación universal que explicaba, con un solo enunciado, las tres leyes
de Kepler y otros muchos fenómenos de la mecánica celeste.
1.3 Los Inicios de la Geometŕıa Diferencial de Superficies.
Puede decirse que la geometŕıa diferencial nace, mediante un proceso natural, sobre los
cimientos de la geometŕıa anaĺıtica y del cálculo infinitesimal de I. Newton y G.W. Leib-
nitz. En realidad, desde la época de estos dos matemáticos se hab́ıa aplicado el cálculo
al estudio de curvas planas. Aunque, el primero en realizar un exhaustivo estudio so-
bre geometŕıa diferencial en el espacio eucĺıdeo fue Karl Friedrich Gauss, iniciando aśı
esta nueva rama de la geometŕıa, que actualmente se le denomina Geometŕıa Diferencial
Clásica.
Antes de Gauss, algunos matemáticos hab́ıan elaborado estudios sobre geometŕıa difer-
encial de superficies. Recordemos los mas notables.
Uno de los pioneros en la teoŕıa de superficies fue Leonhard Euler (1707-1783). Dotado
de una gran inteligencia y una magnifica memoria tuvo grandes aportaciones en casi
toda las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. Son clásicos sus trabajos sobre
mecánica, álgebra, análisis matemático, teoŕıa de los logaritmos de los números negativos
e imaginarios, geometŕıa anaĺıtica y diferencial, calculo de variaciones,....En 1748 Euler
publica la más célebre de sus obras matemáticas: su Introductio in analysis infinitorum.
Entre una gran variedad de temas tratados en esta obra se encuentra el estudio de curvas
y superficies, las cuales son investigadas con la ayuda de sus ecuaciones, es decir desde el
punto de vista anaĺıtico. Aunque su contribución más importante al campo de la geometŕıa
diferencial se encuentra en su obra Investigaciones sobre la curvatura de superficies. En
esta obra, para estudiar el comportamiento de una superficie M en las proximidades de
un punto P de M, Euler ”corta” la superficie M por planos normales que pasan por P y
estudia la curvatura de las curvas planas resultantes (secciones normales). Euler obtiene
que de todas las secciones normales a M que pasan por P existe una que tiene mayor
curvatura y otra que tiene la menor, y estas dos secciones se cortan en P bajo un ángulo
recto. Estas curvas reciben el nombre de curvas principales, y a sus curvaturas se les
denominan curvaturas principales. La curvatura de la superficie M en P es el producto
de las dos curvaturas principales.
En su trabajo Sobre sólidos cuyas superficies pueden ser desarrolladas sobre un plano
(1772), Euler introduce el concepto de superficie desarrollable, es decir, superficies que
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pueden ser aplicadas o extendidas sobre un plano, y prueba que una tal superficie es o un
cilindro, un cono o un superficie formada por las tangentes a una curva (es de observar
que estas superficies tienen curvatura nula). En este trabajo Euler introduce, por primera
vez, las coordenadas de los puntos de una superficie en función de dos parámetros.
Euler también tiene estudios sobre geodésicas. En el plano eucĺıdeo, las rectas, además
de ser las curvas más simples, juegan un papel fundamental y son la base para todo tipo
de construcciones geométricas. En una superficie arbitraria este papel privilegiado es
desarrollado por las ĺıneas geodésicas. El problema de encontrar la geodésicas de una
superficie ya hab́ıa sido planteado por Johann Bernoulli en 1697 y al parecer encontró
la ecuación general de las geodésicas, aunque su resultado fue publicado en 1742. Antes
de esto, en 1732, Euler también publicó la ecuación diferencial en su trabajo ”Sobre la
curva más corta que une dos puntos arbitrarios de una superficie arbitraria”. El estudio
de las geodésicas fue abordado por Euler en diferentes trabajos. Aśı, en el volumen II
de su ”Mechanics, (1736), Euler probó que un masa puntual forzada a estar sobre una
superficie si no está sujeta a ningún otro tipo de fuerzas debe moverse a lo largo de una
geodésica. También probó que en una curva geodésica la normal a ella coincide con la
normal a la superficie.
Otros matemáticos de la época de Euler también realizaron contribuciones a la ge-
ometŕıa diferencial. Entre ellos destaca A. Clairaut (1713-1765), quién a los dieciséis años
publica el trabajo ”Investigaciones sobre las curvas con doble curvatura”, una memoria
sobre aspectos anaĺıticos de las superficies y curvas espaciales. En otros trabajos trató las
geodésicas sobre superficies de revolución.Otra figura también importante en la historia de la geometŕıa diferencial fue Gaspar
Monge (1746-1818). Su introducción en el estudio de la geometŕıa diferencial fue moti-
vado por problemas prácticos, concretamente por el estudio de problemas de fortificación.
Monge comienza sus investigaciones de geometŕıa diferencial con un estudio en teoŕıa
de curvas en el espacio titulado ”Memoria sobre las evolutas, los radios de curvatura y
los diferentes géneros de inflexión de las curvas de doble curvatura”, (1785). Monge de-
sempeño un papel fundamental en la creación de las Escuelas Normal y Politécnica de
Francia, siendo en esta última su profesor más activo. En esta Escuela Politecnica, Monge
impartió un curso sobre aplicaciones del análisis a la geometŕıa, que esencialmente era un
curso de introducción a la geometŕıa diferencial. Como en esa época no se dispońıa de
ningún texto, Monge escribe un libro titulado ”Hojas de análisis aplicado a la geometŕıa”
(1795), el cual es considerado como el primer texto sobre geometŕıa diferencial. El men-
cionado curso era muy dif́ıcil para los alumnos de entonces, sobre todo en lo referente al
estudio diferencial de las curvas y superficies. En 1802, Monge junto con un colaborador
suyo, J. P. Hachette, elaboran un estudio más general al anterior en la memoria ”Apli-
cación del álgebra a la geometŕıa”, a fin de responder a las exigencias de los programas
de la Escuela Politécnica. Puede decirse que en estas dos obras se encuentra la mayor
parte de la geometŕıa anaĺıtica del espacio y de la geometŕıa diferencial clásica que suelen
incluirse en los actuales textos elementales de estas materias.
No sólo Monge es importante por su contribución a las matemáticas sino por la escuela
que creó. Aśı, el impulso dado por Monge en la geometŕıa del espacio fue acelerado por sus
disćıpulos. A estos se les debe la difusión de la geometŕıa a través de textos elementales,
muchos de los cuales alcanzaron gran éxito, publicándose en numerosas ediciones. Aśı,
10
entre los años 1798 y 1802 aparecieron cuatro libros sobre geometŕıa anaĺıtica elemental
debidos a S.F. Lacroix (1765-1843), J.B. Biot (1774-1862), L. Puissant (1769-1843) y F.L.
Lefrancais (1769-1843), todas ellas influenciadas por las lecciones impartidas en la Escuela
Politécnica.
Otro de sus disćıpulos, Charles Dupin (1784-1873), también contribuyó al desarrollo
de la geometŕıa diferencial básicamente en sus obras ”Desarrollos de geometŕıa pura” y
”Aplicaciones de geometŕıa y mecánica” publicadas en 1813 y 1822, respectivamente
Los impulsos definitivos para el desarrollo y consagración de la geometŕıa diferencial
fueron dados por dos grandes genios: Karl Friedrich Gauss y Georg Bernhard Riemann.
2 La Geometŕıa Diferencial de Gauss
2.1 Contribución de Gauss al estudio de las Superficies
Karl Friedrich Gauss (1777-1855), es considerado como uno de los genios universales que
más ha aportado al desarrollo de las matemáticas. Realizó trabajos de investigación en
diferentes ramas de las matemáticas (teoŕıa de números, álgebra, análisis matemático,
geometŕıa, probabilidad y estad́ıstica, teoŕıa de errores,...) y en otros campos cient́ıficos
(astronomı́a, f́ısica teórica, mecánica, electromagnetismo, acústica, óptica,...). Su incli-
nación hacia la geometŕıa, y en particular hacia la teoŕıa de superficie, estuvo quizás
motivada por sus trabajos de geodesia y cartograf́ıa, y por su participación en la triangu-
lación de Hannover durante los años comprendidos entre 1818 y 1832 fueron dominados
por el vasto proyecto de realizar planos y mapas (trabajos topográficos) en el Reino de
Hannover. Gauss fue quién dirigió la puesta inicial de esta aventura. Durante esta época
hab́ıa gran interés por los estudios geodésicos, aśı como un deseo teórico por determinar,
mediante mediciones y triangulaciones, la verdadera forma de la tierra. Esta cuestión
hab́ıa sido ya abordada en el siglo XVIII cuando se hab́ıa llegado a la aceptación univer-
sal de la teoŕıa de Gravitación de Newton.
La cartograf́ıa era un importante tema práctico que se veńıa estudiando desde siglos.
Por ello, la aplicación entre superficies que conservasen ciertas propiedades métricas (lon-
gitud, ángulos, áreas,...) era un problema básico y fundamental para la reproducción de
partes de la superficie de la tierra en cartas geográficas planas. Sabemos que es imposible
aplicar parte de una superficie de la tierra sobre el plano conservando la longitud (lo
cual es una consecuencia directa del famoso Teorema Egregium de Gauss). Si queremos
obtener cartas geográficas para la navegación, para la determinación de las rutas de los
barcos, un concepto tan fundamental, o más, que la distancia es la dirección. Por ello,
las aplicaciones que conservan los ángulos (aplicaciones conformes, que incluyen a las
isometŕıas, que son las aplicaciones que conservan las longitudes) parecen idóneas para la
reproducción de mapas. Además, Las regiones conformemente relacionadas son similares,
si consideramos regiones suficientemente pequeñas. Casos especiales de aplicaciones con-
forme de la superficie terrestre sobre el plano son la proyección estereográfica, conocida
por los griegos y la proyección de Mercator (1512-1594), la cual todav́ıa es usada en la
cartograf́ıa actual.
11
En 1822, Gauss obtiene un procedimiento para determinar, sobre superficies anaĺıticas,
todas las aplicaciones (locamente) conformes, en su memoria ”Solución general al prob-
lema de aplicar regiones de forma que cualquier porción pequeña y su imagen sean simi-
lares”, y por lo que recibió un premio de la Real Sociedad de Ciencias de Copenhague. Al
parecer, durante la elaboración de este trabajo, Gauss teńıa ya en proyecto la realización
de una teoŕıa general de superficies, pues en la portada de la memoria Gauss escribió que
esta obra era el punto de partida para obtener cosas más interesantes.
El 8 de octubre de 1827 Gauss presentó su teoŕıa general de superficies en la memoria
titulada ”Disquisitiones generales circa superficies curvas”, la cual es considerada como
la obra maestra de la geometŕıa diferencial clásica de superficies, y la obra de referencia
de los posteriores desarrollos de la geometŕıa diferencial de variedades.
2.2 La obra Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas
La obra está dividida en veintinueve secciones. En las tres primeras secciones, Gauss
introduce los convenios de notación y algunos resultados (esencialmente conocidos) sobre
trigonometŕıa esférica, y define punto regular o singular de una superficie imponiéndole
la condición de existencia o no del plano tangente a la superficie en ese punto, respecti-
vamente.
En la secciones cuatro y cinco aborda el problema de la orientación de una superficie.
Aśı, para orientar el plano tangente en un punto de la superficie, Gauss considera la
dirección normal a la superficie en ese punto. Comenta la posibilidad de elegir dos posibles
vectores unitarios y normales en cada punto regular de una superficie, que representan
la misma dirección normal y reflexiona sobre cuál de estos dos vectores debe de elegir.
Gauss expone tres métodos generales para definir una superficie. El primero por medio
de una ecuación en impĺıcita en las coordenadas x,y,z, es decir una ecuación de la forma
F (x, y, z) = 0. El segundo método es expresando las coordenadas x,y,z de un punto
cualquiera de la superficie en función de dos variables.
Finalmente en el tercer método, una de las coordenadas, por ejemplo z, se expresa en
función de las otras dos. Además, obtiene las expresiones del vector unitario normal para
los distintos métodos.
En la sección seis Gauss, inspirado por sus trabajos sobre astronomı́a y geodesia,
introduce tres conceptos que serán fundamentales a lo largo de su obra:
a) La aplicación esférica normal.
b) La curvatura total (ó curvatura integral) de una parte acotada de unasuperficie
(un ”trozo compacto” de superficie).
c) La ”medida de curvatura” K(p) en un punto p de una superficie M , la cual hoy es
conocida como curvatura de Gauss K(p) de M en el punto p.
En las siguientes seis secciones (de la siete a la doce) Gauss se dedica a calcular la cur-
vatura de una superficie y estudiar algunas consecuencias. Primero, usando su definición
de curvatura obtiene una expresión general de ella, para luego obtener su expresión cuando
la superficie viene dada por cada uno de los tres métodos que Gauss describe para represen-
tar una superficie. También prueba que su curvatura es el producto de las dos curvaturas
principales, las cuales hab́ıan sido introducidas por Euler, y obtiene el conocido Teorema
Egregium:
12
Teorema. [Teorema Egregium de Gauss] La curvatura de Gauss de una superficie
es invariante respecto de aplicaciones que conserven el elemento de longitud (o primera
forma fundamental), es decir, respecto de aplicaciones isométricas.
Es de observar que Gauss no utilizaba el término ”isometŕıa” sino que hablaba de
superficies que se pueden ”desarrollar” sobre otras superficies.
De aqúı Gauss deduce que una isometŕıa entre dos superficies en R3 conserva la cur-
vatura total de correspondientes ”trozos finitos” de superficies.
En la sección trece Gauss interpreta una superficie, no como el borde de un sólido, sino
como un cuerpo flexible pero no extensible y comenta que se pueden distinguir dos manera
de hacer geometŕıa sobre una superficie. De una parte, la que se hace presuponiendo una
forma definida de la superficie en el espacio y de otra la que es independiente de las distin-
tas formas que una misma superficie se puede presentar en el espacio. Esta segunda forma
de estudiar las superficies es lo que se denomina hoy la geometŕıa diferencial intŕınseca.
Conceptos y propiedades como, la medida de curvatura (la curvatura de Gauss), la consid-
eración de figuras sobre una superficie, sus ángulos, áreas, curvaturas integrales, las curvas
más cortas (geodésicas) que unen puntos pertenecen a esta geometŕıa y sus propiedades
sólo dependen del elemento lineal (primera forma fundamental) de la superficie. Desde
este punto de vista, una superficie plana y una desarrollable (es decir una superficie cónica,
ciĺındrica o tangencial) pueden considerarse iguales. Termina la sección comentando que
el método genérico para definir la naturaleza de las superficies, consideradas desde el
punto de vista intŕınseco, es partir de su elemento lineal ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.
Pero antes de hacer esto, Gauss señala que primero debe de introducir los principios de
la teoŕıa de las curvas más cortas sobre una superficie.
Desde la sección catorce a la diecinueve Gauss se dedica al estudio de las geodésicas
sobre las superficies. Este problema lo aborda utilizando el cálculo variacional. El primer
resultado que demuestra Gauss es que las geodésicas son caracterizadas por la condición
(extŕınseca) de que su vector aceleración es normal a la superficie (lo que ya hab́ıa obtenido
Euler, y al parecer también J.Bernoulli), es decir que el vector normal principal a una
geodésica es normal a la superficie.
Obtiene lo que hoy d́ıa se conoce como Lema de Gauss. De hecho, primero Gauss
prueba, lo siguiente:
Teorema . Si sobre una superficie consideramos un número infinito de ĺıneas más
cortas (geodésicas) de igual longitud con un mismo punto inicial, entonces la curva que
unen sus extremos será normal (ortogonal) a cada una de las ĺıneas.
Después describe un resultado más general, en la sección dieciséis, que dice que se
obtiene de forma similar al anterior, y que enuncia como sigue:
Dada una curva de una superficie, en todos los puntos de ella, y sobre un mismo lado
de la curva trazamos segmentos de geodésicas ortogonales de iguales tamaños, la curva que
unen los extremos de estos segmentos también es perpendicular a los segmentos geodésicos.
Considera también el elemento lineal sobre una superficie: ds2 = Edu2 + 2Fdudv +
Gdv2, para dar significado geométrico a los coeficientes E, F y G, en la sección dieciocho.
Para ello, supone la superficie dada en la forma ~x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), y
estudia longitudes, los ángulos y áreas de trozos de superficies delimitados por curvas
paramétricas.
Gauss sigue investigando las geodésicas en la sección dieciocho, dando condiciones para
13
que una curva tenga longitud mı́nima, suponiendo que la curva viene expresada por una
relación entre los parámetros de la forma u = u(v). Sin embargo, Gauss no proporciona
una expresión expĺıcita de la ecuación diferencial que nos da las geodésicas. Gauss sólo
comenta que es una ecuación diferencial de segundo orden entre u y v.
En la sección diecinueve introduce un tipo especial de coordenadas sobre la superficie:
supone que las curvas u-paramétricas son geodésicas (con parámetro natural) y que las
curvas v-paramétricas son ortogonales a las de parámetro u. En ese caso se deduce que
E=1, F=0. Con estas coordenadas, que suelen denominarse coordenadas geodésicas,
muchos de los cálculos que ya hab́ıa obtenido se simplifican.
Después de unos laboriosos cálculos Gauss obtiene en la sección veinte la primera
versión de lo que se conoce como Teorema de Gauss-Bonnet. En su art́ıculo lo describe
como sigue:
Lo que excede de π la suma de los ángulos interiores de un triángulo geodésico es igual
a la curvatura total del triángulo.
En las últimas nueve secciones, Gauss se dedica a la demostración de teoremas para
comparar los ángulos y las áreas de triángulos geodésicos sobre una superficie con los
de triángulos con las mismas longitudes en el plano eucĺıdeo, y generaliza resultados de
Legendre para triángulos geodésicos esféricos a triángulos geodésicos sobre superficies
arbitrarias.
Hasta aqúı hemos desarrollado las principales ideas que aparecen en la memoria de
Gauss. No cabe la menor duda de que el trabajo es importante por śı mismo, pero quizás
más importante fue sus consecuencias posteriores. Los geómetras anteriores a Gauss con-
sideraban una superficie o bien como constituida por una infinidad de curvas adosadas
unas a otras, o que era el borde de algún sólido, en el espacio tridimensional. Para Gauss,
para estudiar la geometŕıa de una superficie bastaba considerar sólo la superficie, para
él la superficie en śı era un ente propio y el espacio ambiente no inflúıa sobre ella para
nada. Si se introducen sobre la superficie coordenadas (u, v) obtenidas de una repre-
sentación paramétrica ~x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de la superficie, y si se obtienen
E, F y G, entonces se deducen las propiedades de la superficie (uno puede obtener la cur-
vatura, estudiar longitudes, ángulos, áreas, geodésicas,...). En resumen el elemento lineal
o primera forma fundamental, ds2 = Edu2+2Fdudv+Gdv2, determina la geometŕıa de la
superficie. Aśı, la superficie tiene ”su propia geometŕıa”. Se puede profundizar más, por
ejemplo uno puede olvidarse del espacio ambiente e introducir otra ”primera forma fun-
damental” sobre la misma superficie. Con ello lo que estamos haciendo es introduciendo
otra forma de tomar medidas sobre la superficie y por ello la geometŕıa resultante sobre
ella es diferente. Aśı, una misma superficie puede tener diferentes geometŕıas dependiendo
de la elección de la forma de tomar medidas sobre ella. Lo mismo podŕıamos hacer en
nuestro espacio tridimensional (donde la ”primera forma fundamental” que se considera
es ds2 = dx2 + dy2 + dz2). La primera forma fundamental que usualmente se elige sobre
una superficie procede de la elección de la medida eucĺıdea (ds2 = dx2 + dy2 + dz2) en R3.
Sin embargo hoy sabemos que podemos elegir diferentes expresiones para una métrica en
nuestro espacio tridimensional R3 y consecuentemente obtener geometŕıas diferentes sobre
él.
Estas ideas, de separación de la superficie del espacio ambiente y de la separación del
espaciode las posibles construcciones geométricas en el mismo, derivadas de la elección
14
de una métrica determinada, son las base en donde se sustenta la aportación de Riemann
al estudio de la geometŕıa diferencial.
3 La Geometŕıa de Riemann
3.1 Contribución de Riemann a la Geometŕıa Diferencial
Bernhard Riemann (1826- 1866), otro de los grandes genios de todos los tiempos, estudió
en Gottingen. Fue alumno de Gauss y Weber. Tuvo grandes aportaciones a diversas
áreas de las matemáticas como teoŕıa de numeros, análisis de variable compleja y real,
teoŕıa de funciones, en topoloǵıa, y en geometŕıa. También tuvo contribuciones a la f́ısica
(teoŕıa del calor, la luz, teoŕıa de gases, magnetismo, dinámica de fluidos, acústica,...).
En algunos de sus trabajos contribuyó al estudio de las relaciones de las matemáticas con
la f́ısica, de hecho fue pionero en una nueva concepción de los fenómenos f́ısicos dentro de
un marco general y unificador, es decir dedicó parte de su corta vida a la búsqueda de un
teoŕıa unificada de las fuerzas fundamentales.
La aportación de Riemann a la geometŕıa diferencial no fue sólo de generalizar la
geometŕıa de superficies de Gauss a dimensiones superiores.
Puede decirse que Riemann revolucionó la geometŕıa al considerar y profundizar en
la idea de Gauss de que hab́ıa que separar el espacio de las construcciones y propiedades
geométricas que pueden desarrollarse en él, las cuales se derivan de la forma en que se
pueda ”medir”.
Para obtener el t́ıtulo de ”Privatdozent”, Riemann teńıa que defender una memoria
en un acto ante el profesorado de la Universidad de Gottingen.
Gauss propuso a Riemann el tema sobre los fundamentos de la geometŕıa. La memoria
que t́ıtulo ”Sobre las hipótesis que sirven de fundamentos a la Geometŕıa” fue defendida
en (1854), pero publicada después de su muerte, en 1868.
En su obra Riemann no realizó cálculos y apenas aparecen fórmulas, y sus ideas aunque
claras y profundas no están suficientemente desarrolladas. La razón se debió a que su obra
iba dirigida a una gran audiencia, el profesorado de Gottingen al completo, y por ello hizo
todos los esfuerzos para que su obra fuese comprendida por todos los asistentes, incluidos
los no versados en matemáticas.
También hay que decir que Riemann buscaba una justificación filosófica profunda al
nuevo tratamiento que le daba a la geometŕıa, y esto no depend́ıa de fórmulas sino de
replanteamientos de los principios básicos que hab́ıan permanecido invariantes a lo largo
de la historia, en particular desde la época de Euclides.
En 1861 envió un art́ıculo (al que se le suele denominar el Pariselarbeit), sobre teoŕıa
del calor, a la academia de Ciencias de Paris para competir por un premio (que no obtuvo).
En este art́ıculo aparecen parte de los desarrollos anaĺıticos de su lección, y fue publicado
en 1876 (después de su muerte).
15
3.2 Sobre las Hipótesis que Sirven de Fundamentos a la Ge-
ometŕıa.
Riemann introduce su obra con una reflexión, de tipo filosófico, sobre como se hab́ıa en-
focado la geometŕıa (hasta su época). Aśı comenta que desde siempre, en los estudios en
Geometŕıa se presupońıa como dado tanto el concepto de espacio, como los primeros con-
ceptos básicos para las construcciones en dicho espacio. Para él, sólo se daban definiciones
nominales, mientras que las verdaderas determinaciones aparećıan en forma de axiomas y
con ello quedaba a oscuras la relación entre esas presuposiciones, no se comprend́ıa si su
relación era necesaria, ni en qué medida lo era, y si a priori era posible. Aśı, por ejemplo,
en la Geometŕıa Eucĺıdea, se considera nuestro espacio, y de las experiencias emṕıricas
se deducen una serie de reglas o verdades, a priori ciertos sin discusión, que se recogen
en un sistema de axiomas y postulados, y a partir de ellos se estudian las propiedades
y construcciones a realizar en el espacio. Aśı, desde este punto de vista el espacio es
un todo. La filosof́ıa de las geometŕıas no eucĺıdeas era similar, en este caso uno de los
axiomas (concretamente el 5 axioma o postulado de las paralelas) es sustituido por otro
diferente, el cual no se deduce ahora de las experiencias emṕıricas.
Para clarificar esta situación, Riemann en su art́ıculo presenta un plan de trabajo que
pretende realizar en tres pasos, primero introducir el concepto general de magnitud, en
un segundo paso trata de buscar los hechos más simples a partir de los cuales puedan
determinarse diferentes relaciones métricas en dicho concepto, y un tercer paso tratará
de aplicar estos hechos al espacio. Aśı su obra la tiene dividida en tres secciones, cada
una de ella con diferentes apartados. El contenido de cada sección se puede resumir como
sigue.
I. Concepto de magnitud de n dimensiones
En este primer paso, Riemann introduce el objeto en donde se va a realizar la ge-
ometŕıa. Aśı, lo primero que hay que definir es espacio. No solo lo define en dimensión
tres sino en general de dimensión n. Tras profundas deliberaciones, Riemann introduce
el concepto de magnitud n-dimensional, que comprende como caso particular las magni-
tudes espaciales, y también señala que podemos describir los elementos (puntos) de una
magnitud n-dimensional a través de la utilización de n coordenadas (x1, ...xn). Es decir,
introduce el ente (u objeto), y la manera de enumerar sus elementos. En este objeto es
en donde se va ha desarrollar la geometŕıa, pero el objeto no influirá en las cuestiones
y propiedades geométricas que tenga, sino que estas dependerán de la forma de como
tomemos la medida, siguiente concepto que se introduce en el segundo paso.
II. Relaciones métricas de las que es susceptible una variedad de n dimen-
siones, en la hipótesis de que las ĺıneas poseen una longitud independiente de
su posición, y por tanto cada ĺınea es medible por cualquier otra.
Una vez fijado el concepto de magnitud n-dimensional el siguiente paso es introducir
el objeto que permite establecer las relaciones métricas. Para ello, Riemann introduce
una expresión matemática para poder calcular las longitudes de las ĺıneas, la cual es una
generalización de la expresión en el caso eucĺıdeo. Es una expresión diferencial de segundo
grado. También introduce una ”medida de curvatura”, que generaliza la curvatura de
Gauss para superficie en dimensión 2. Para ello, considera, a partir de un punto, las
geodésicas a la variedad que son tangentes a una sección plana de la variedad. El conjunto
16
de estas geodésicas generan una subvariedad bidimensional (una superficie) de la variedad
n-dimensional, que pasa por el punto de partida. Entonces Riemann calcula la medida de
curvatura (en el sentido de Gauss) de estas superficies, obteniéndose un número infinito
de curvaturas en la variedad, pero de nn−1
2
de estas medidas de curvatura se deduce el
resto. Para una variedad que es una superficie, la curvatura de Riemann es exactamente
la curvatura de Gauss. Esta curvatura es una propiedad de la métrica impuesta sobre
la magnitud n-dimensional. Antes de realizar las aplicaciones al estudio del espacio,
también Riemann hace unas consideraciones sobre las variedades planas (n-dimensionales)
y las que tienen medida de curvatura constante. Estas últimas se pueden caracterizar
geométricamente por el hecho de que las figuras geométricas, o formas espaciales finitas,
se puede mover libremente por la variedad, sin sufrir deformaciones De hecho encuentra
una expresión sencilla del elemento de ĺınea en una variedad n-dimensional de medida de
curvatura constante, respecto de un sistema de coordenadas adecuado.
III. Aplicación al espacio.
La última parte de la lección de Riemann la dedica a las aplicaciones de sus considera-
ciones previas para determinar las relaciones métricas de nuestro espacio f́ısico. Riemann
supone que las ĺıneas son independientes de la posición y que el elemento de ĺınea es
representado por una expresión diferencialde segundo grado, es decir que se supone el
espacio al menos localmente eucĺıdeo. Una primera pregunta que se plantea es saber si el
espacio f́ısico es eucĺıdeo o no. Como bien dice Riemann, una forma de comprobarlo es
ver que la suma de los ángulos de un triángulo es igual en todas parte a dos rectos.
Ahora, para ver la naturaleza del espacio f́ısico Riemann hace consideraciones geomé-
tricas a gran escala (escala astronómica) y luego a escala infinitesimal (escala atómica).
Respecto a las consideraciones hacia lo sumamente grande, la independencia de los
cuerpos respecto de la posición, su libre movilidad es una hipótesis que si se presupone
se deduce que nuestro espacio es de medida de curvatura constante. Las consideraciones
emṕırica acerca de la métrica se basan en el empleo de cuerpos sólidos y rayos de luz,
conceptos que pierden su validez en lo infinitamente pequeño. Riemann en su obra señala
que las relaciones métrica en lo infinitamente pequeño podŕıa no ser conforme a los pre-
supuestos de la geometŕıa y su fundamento debeŕıa de buscarse fuera, en las fuerzas de
enlace que actúen sobre espacio (supuesto como siempre el espacio continuo, no discreto),
cuestión que nos llevaŕıa al dominio de la f́ısica.
Como se puede apreciar, Riemann teńıa en mente los problemas de la unificación,
pensamientos que conducen a la teoŕıa de la relatividad y posteriores desarrollos de la
misma.
4 Los sucesores de Riemann. El Análisis Tensorial.
La obra de Riemann tiene un profundo contenido filosófico de como se debeŕıa de enfocar
la geometŕıa.
Después de su disertación empezó a trabajar en sus ideas y obtuvo algunas más aporta-
ciones sobre la métrica, la curvatura, los espacios de curvatura constante,...
Los primeros desarrollos posteriores fueron debidos, entre otros, a E. Beltrami (1835-
1900), E.B. Christoffell (1829-1900) y R. Lipschitz (1832-1903).
17
Una rama importante que se utilizará en relatividad es el cálculo tensorial.
Los oŕıgenes del cálculo tensorial puede situarse en el contexto de la geometŕıa de
Riemann, cuando se inició el estudio de los invariantes diferenciales asociados primero a
coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio eucĺıdeo, para posteriormente pasar a
estudiarse respecto de coordenadas sobre una superficies y sobre espacios n-dimensionales
con una métrica de Riemann.
El gran impulso en el desarrollo del cálculo tensorial fue dado por G. Ricci-Curbastro
(1853-1925). Ricci trató de interpretar y desarrollar las propiedades geométricas aśı como
las expresiones de las leyes f́ısicas en forma de invariantes bajo cambios de sistemas de
coordenadas. En 1892 publicó una primera exposición de su método aplicándolo a algunos
problemas de geometŕıa diferencial y de f́ısica, y posteriormente en 1901, en colaboración
con su disćıpulo T. Levi-Civita (1873-1941), publicó un art́ıculo más general, ”Métodos
de cálculo diferencial absoluto”. Esta obra es un de las más importante e influyente en la
historia de la geometŕıa diferencial y la f́ısica matemática. El tema de trabajo se conoce
hoy por ”análisis tensorial”, término que fue dado por Einstein en 1916. De hecho, la obra
anterior fue el documento básico que utilizó Einstein para aprender el análisis tensorial,
que posteriormente usaŕıa en su teoŕıa general de la relatividad.
5 Algunas aplicaciones a la F́ısica
5.1 La Geometŕıa de la Relatividad de Einstein
En el siglo XIX los f́ısicos pensaban que el espacio era absoluto y estaba lleno de una
especie de sustancia fija e invisible que denominaban ”éter”, a través del cual se mov́ıan
los cuerpos ( en particular las ondas electromagnéticas también se propagaban a través
del éter). Este éter serv́ıa también como referencia inmóvil universal. Es de observar que
para describir las leyes del electromagnetismo de Maxwell se haćıa necesario suponer la
existencia de una referencia inmóvil. Las ecuaciones de Maxwell no eran invariantes por
las transformaciones de Galileo, es decir no eran invariantes por cambios de sistemas de
referencias inerciales y por lo tanto no cumpĺıan el principio de relatividad de Newton
para la mecánica.
Si el éter inmóvil exist́ıa, seŕıa lógico idear experimentos para poner de manifiesto
cualquier movimiento respecto de él. A lo largo del siglo XIX se realizaron una serie de
experimentos para intentar calcular la velocidad de la tierra respecto de este éter, pero
todos fracasaron. Generalmente en estos experimentos se involucraba a la luz. En 1887,
los f́ısicos A. Michelson y E. Morley intentaron detectar el viento de éter, que se supońıa
que debeŕıa de general el movimiento de la tierra a través de un mar de éter inmóvil.
En sus experimentos no encontraron tal viento del éter, pero de estos se dedujo que la
velocidad de la luz respecto de la tierra en cualquier dirección era siempre la misma, lo
que iba en contra de la ley de adición de velocidades de Newton.
Aśı, no hab́ıa forma de unificar la dinámica de Newton y el electromagnetismo.
Aśı las cosas, aparece el genio de A. Einstein (1879-1955). Einstein comprendió que
el principio de relatividad pod́ıa hacerse compatible con las ecuaciones de Maxwell si se
abandonaba el tiempo absoluto de Newton en favor de un nuevo absoluto: la velocidad de
la luz, la misma en todos los sistemas inerciales. Como consecuencia las transformaciones
18
de Galileo entre las coordenadas espaciales y temporales, que relacionan los diferentes
sistemas inerciales de Newton, se tendŕıan que sustituir por las denominadas transforma-
ciones de Lorentz. Surge aśı la Teoŕıa de la Relatividad especial, en un art́ıculo de Einstein
titulado ”Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento”, en 1905. En este trabajo
Einstein enuncia sus dos principios:
El Principio de la relatividad: Las leyes de la f́ısica (de la mecánica, la óptica y
la electrodinámica) son las mismas para todos los observadores (sistemas inerciales) que
se mueven con respecto al otro con movimiento relativo rectiĺıneo uniforme.
El Principio de invarianza de la velocidad de la luz: La velocidad de la luz en
el vaćıo tiene el mismo valor constante en todos los sistemas inerciales.
Tres años después aparece la visión geométrica de H. Minkowski (1864-1909), con su
idea del espacio-tiempo.
Minkowski, introduce en R4 la métrica g = dx21 + dx
2
2 + dx
2
3 − c2dt2, y modeliza la
relatividad especial en este contexto. Su gran aportación consiste en que ahora un sistema
inercial no es otra cosa que la elección de una base ortonormal en R4, los sucesos son puntos
en R4, que son representados por coordenadas (x1, x2, x3, t) respecto de la base elegida y
los problemas f́ısicos planteados en el marco de la relatividad especial son interpretados
como problemas geométricos en R4 con la métrica g (a (R4, g) se le denomina espacio de
Minkowski).
Es de observar que si bien la teoŕıa especial unifica la dinámica de Newton y el elec-
tromagnetismo de Maxwell, los problemas gravitacionales quedan fuera de ella.
En 1907, Einstein redacta su famoso principio de equivalencia:
Principio de equivalencia: Ningún experimento interno puede manifestar diferencia
alguna entre un pequeño laboratorio acelerado en el espacio y el laboratorio equivalente
situado en la tierra y por tanto sometido a la gravitación.
Entre 1907 y 1911, trabaja duramente para intentar enunciar una ley de campo para
la gravitación, y llega a la conclusión de que su principio de equivalencia implica que las
ecuaciones de la F́ısica debeŕıan de expresarse de tal manera que todos los sistemas de
coordenadas espacio-temporales estuvieran en las mismas condiciones de igualdad, lo que
se denominó Principio de covarianza general. Ahora, para la aplicación de este principio,
Einstein se encontró con graves problemas matemáticos y buscó la ayuda de un experto,
su amigo M. Grossmann.
Einstein, con sus reflexiones y la aportación de Minkoswki, llega a la necesidad de
utilizarla geometŕıa de Riemann como soporte matemático de su teoŕıa. Su intuición
le hizo ver que el tensor métrico del espacio-tiempo debeŕıa ser la realidad que repre-
sentase la gravitación. El tensor métrico g debeŕıa comportase en cada punto como la
métrica de Minkowski, que tiene signatura (3, 1). Sus componentes, gij , representaŕıan
los potenciales gravitatorios, que por la simetŕıa de g se tendŕıan diez potenciales. En
mecánica clásica el potencial V de un campo gravitatorio creado por un medio continuo,
de densidad ρ , es obtenido a través de la ecuación de Poisson ∇V = 4πKρ. Aśı, Ein-
stein se enfrentaba con la tarea de encontrar 10 ecuaciones correspondientes del campo
gravitatorio g. Ellas fueron obtenidas por Einstein en su trabajo sobre relatividad general
19
de 1916, como fruto del estudio, con Grossmann desde 1912 a 1914, de la geometŕıa de
Riemann y del cálculo diferencial absoluto de Ricci y Levi-Civita.
Después de mucho trabajo Einstein llega a la conclusión que estas ecuaciones deb́ıan
ser:
Rij − 1
2
Rgij + Λgij = kTij,
donde Rij son las componentes del tensor de Ricci, R la curvatura escalar, obtenidos ambos
del tensor de curvatura, Tij son las componentes del tensor de impulso-enerǵıa (el cual
nos da la información sobre la materia, incluida su densidad) y k y Λ son constantes. La
ecuación de Poisson resulta ser una aproximación de las ecuaciones de Einstein (en otras
palabras, cuando estamos ante un campo gravitatorio débil, las ecuaciones de Einstein se
reducen a la de Poisson).
En resumen, para Einstein en la relatividad general, en presencia de un campo gravi-
tatorio, el espacio-tiempo es una variedad diferenciable de dimensión cuatro con un tensor
métrico g de signatura (3, 1), que es solución de las ecuaciones de Einstein.
La diferencia entre la teoŕıa general y la especial es que en la teoŕıa especial el tensor
de curvatura de la variedad es nulo, mientras que en el caso general el tensor de curvatura
es no nulo siempre que la materia esté presente. Esta curvatura es responsable del efecto
gravitacional entre las masas.
Una variedad de Lorentz es un par (M, g), donde M es una variedad diferenciable de
dimensión n y g un tensor métrico de signatura (n − 1, 1) . Aśı, los espacios-tiempos de
la relatividad general son variedades de Lorentz de dimensión 4.
El estudio de los problemas f́ısicos que involucren campos gravitacionales se traducen
en problemas geométricos sobre una variedad de Lorentz. A continuación damos un
ejemplo.
Para describir el campo gravitatorio creado por una estrella, en el exterior, se considera
como variedad de Lorentz V × R, donde V es R3 menos una bola cerrada centrada en el
origen , g la métrica de Schwarzschild dada por
g =
1
(1− k/r)dr
2 + r2(dθ2 + sen2θdϕ2)− (1− k/r)dt2,
donde k = cte. y depende de la estrella, y (r, θ, ϕ) coordenadas esféricas sobre V . Aśı, el
movimiento de un planeta alrededor del sol describe una geodésica en la métrica anterior.
También la trayectoria de un rayo de luz es una geodésica de la misma métrica.
La métrica de Schwarzschild tiene una singularidad para r = k, lo cual ocurre cuando
estudiamos el campo gravitatorio producido por una estrella de radio inferior que k. En
realidad la singularidad es producida por una mala elección de coordenadas. Aśı, haciendo
un cambio adecuado se obtiene el denominado espacio-tiempo de Kruskal, en donde la
singularidad es evitada. En este espacio podemos hacer una descripción matemática de
un agujero negro, que se produce en este caso en el zona entre la estrella y el espacio
correspondiente a r = k, interpretado en el espacio-tiempo de Kruskal.
Las variedades de Lorentz, que nacen de las ideas de Minkowski y Einstein sobre los
espacios-tiempos, han sido objeto de investigaciones desde el siglo pasado, resurgiendo su
interés a partir de los años 70, gracias a los avances en teoŕıa de causalidad, teoŕıa de
singularidades y agujeros negros en relatividad general, y en geometŕıa de Lorentz global
en general.
20
5.2 La Geometŕıa del Universo. Modelos Cosmológicos
¿Cómo es el universo?, ¿Es finito, o es infinito?, ¿Ha existido siempre, o bien existe desde
un instante inicial?, ¿existirá siempre?.
Estas cuestiones han sido objeto de estudio a lo largo de la historia.
En primer lugar hay que notar que las especulaciones sobre la forma del Universo se
encuentran ante un hecho irremediable: es imposible definir la forma de un objeto que
se percibe únicamente desde su interior. Por ello, desde siempre se ha recurrido a una
idealización de la forma del Universo.
Los griegos fueron los primeros en dar una descripción del Universo, basado en la
observación y en el carácter mitológico de los cuerpos celestes. Su ”Universo” se divid́ıa
en ocho esferas, con la tierra como centro, la luna, el sol y los cinco planetas conocidos
en aquella época constitúıan las esferas intermedias y las estrellas, inmóviles, la última.
Para ellos el universo era infinito y llegaba hasta la esfera de las estrellas fijas (etapa
aristotélica).
En la época medieval (Copérnico, Galileo, Kepler, Newton, Leibnitz,...), los modelos
cosmológicos se basaron en el Principio de Copérnico según el cual la tierra no ocupaba
ningún lugar privilegiado en el universo y la distribución de las estrellas era ”homogénea,
isotrópica y en eterno equilibrio”. Esto implicaba que el universo se pod́ıa identificar con
el espacio Eucĺıdeo R3, que es un espacio tridimensional, con geometŕıa llana (eucĺıdea), de
extensión infinita y homogéneo e isotrópico. Este es el modelo cosmológico que I. Newton
propuso sobre 1691. El modelo cosmológico que propuso G.W. Leibnitz también supońıa
al universo como un espacio Euclideo. En ambos modelos se supońıan que el tiempo y el
espacio eran absolutos.
Posteriormente, con la aparición de las geometŕıas no eucĺıdeas, a finales del siglo
XVIII y durante el siglo XIX, éstas también pod́ıan servir de modelo de nuestro universo,
en el mismo rango que la geometŕıa eucĺıdea.
Entonces, ¿Qué modelo tomar? ¿Cuáles son las herramientas, o la teoŕıa matemática
que nos permiten dar solución a estas preguntas?
Desde el punto de vista de la F́ısica sabemos que la dinámica de las galaxias, los
cúmulos y los supercúmulos está regida por la interacción gravitatoria. Aśı, a gran escala,
la estructura del Universo está regida por la gravitación. Ahora, la mejor teoŕıa del
campo gravitatorio que disponemos en la actualidad sigue siendo la relatividad general,
que interpreta la gravitación como una deformación, ó curvatura, del tejido geométrico
del Universo, creada por la materia que en él se encuentra.
Uno de los grandes atractivos de la teoŕıa de la relatividad es el de constituir el marco
adecuado para proponer modelos teóricos sobre nuestro Universo.
Einstein (1917) es el primero, que usando su teoŕıa, propone un espacio en cuatro
dimensiones cuya geometŕıa depende de la distribución de masas que contiene. Posterior-
mente se han producido avances muy importante obtenidos tanto por los estudios de inves-
tigadores puramente teóricos, como por las observaciones experimentales de astrónomos
y astrof́ısicos. Entre los primeros se encuentran W. de Sitter, A. Friedmann, G. Lemaitre,
Robertson, Walker,...
A continuación damos, a grandes rasgos, una descripción de los modelos de universo
de Robertson-Walker.
21
Imaginamos la materia del universo como un fluido donde cada ”part́ıcula” es una
galaxia. Sobre estas part́ıculas no actúa ninguna fuerza, salvo las que ejercen las unas
sobre las otras por la gravedad. Este universo seŕıa la parte espacial de nuestro espacio-
tiempo.
De acuerdo con la teoŕıa de la relatividad general no hay fuerzas de gravitación, sino
que el movimiento de las part́ıculas es representado por geodésicas del espacio-tiempo
(M, g), siendo la métrica g la responsable de lo que a nosotros nos parecen fuerzas grav-
itacionales. Por supuesto, la métricag ha de ser solución de la ecuaciones de Einstein.
Estas ecuaciones relaciona la geometŕıa del espacio-tiempo con la distribución de mate-
ria y enerǵıa en el Universo. Para resolverla se consideran las siguientes hipótesis: Las
propiedades geométricas y f́ısicas de nuestro universo son las mismas en todos los puntos
en cada instante, aśı como en todas las direcciones alrededor de todo punto. Dicho de
otra forma, el Universo es homogéneo e isótropo.
Usando estas hipótesis uno puede encontrar resultados locales sobre como debe ser la
métrica, aunque no podamos deducir en absoluto la forma que tiene la variedad (M, g)
globalmente.
El modelo global más sencillo de espacio-tiempo, compatible con las hipótesis de ho-
mogeneidad e isotroṕıa, es de la forma M = I × S, donde I es un intervalo abierto de R
(que puede ser todo R), S una variedad de Riemann dotada de una métrica g̃ de curvatura
constante, y M dotada con la métrica
g = −c2dt2 + f 2(t)g̃.
Observar que aqúı t, el tiempo, es la coordenada de I, y S es la parte espacial del
espacio-tiempo M .
Los modelos de universo de esta forma se denominan modelos de Robertson-Walker.
En estos modelos se supone que la materia (las diferentes galaxias) constituyen un fluido
perfecto de densidad de masa-enerǵıa ρ y presión p que sólo dependen de t. La ecuación
de Einstein relaciona f con ρ y p. En estos modelos existe un tiempo común t a todas las
galaxias y en cada instante t = t0 de este tiempo, un espacio común a todas las galaxias,
t0 × S, como en la f́ısica de Newton.
Un modelo de Robertson-Walker con la función f = f(t) no constante (hipótesis que
siempre se cumplirá si se admite la ley de Hubbe con la constante de Hubble H0 > 0) y
con presión p idénticamente nula, se denomina modelo de Friedmann.
Finalizamos recordando los modelos cosmológicos cerrados y abiertos de Friemann.
En el modelo cerrado, el cosmo (la variedad espacial) consiste en la esfera tridimen-
sional de radio r, donde el radio depende del tiempo, r = t(t), el cual puede ser determi-
nado por las ecuaciones de Einstein. Aqúı, t es positivo, y t = 0 corresponde al instante
del Big Bang. El espacio-tiempo es en este caso M = S3r × R+ y
g = r2[dψ2 + sen2ψ(sen2θdϕ2 + dθ2)]− c2dt2,
En el modelo abierto, se considera un cilindro P 3r = S
2
r × R+. El espacio tiempo es
entonces M = P 3r × R+ y
g = r2[dψ2 + senh2ψ(sen2θdϕ2 + dθ2)]− c2dt2,
22
Cualquiera de los dos modelos es válido. Sin embargo, las consecuencias posteriores
son diferentes en un modelo u otro.
23
6 APÉNDICE: Algunos conceptos y resultados básicos
de la Geometŕıa de Gauss y Riemann, en el lenguaje
actual
6.1 El espacio
Como ya escribimos, en su obra Gauss indica que existen tres métodos generales para
definir una superficie:
1. Por medio de una ecuación F (x, y, z) = 0.
2. Expresando las coordenadas x,y,z de un punto de la superficie en función de dos
variables: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
3. Una de las coordenadas se expresa en función de las otras dos: z = f(x, y).
En su trabajo no se especifica mucho sobre estas funciones, que por supuesto considera
diferenciables.
Actualmente, y siempre que es necesario trabajar en coordenadas ( ó localmente) las
superficies se suelen expresar generalmente de la segunda de las formas. Una definición
actualizada de superficie seŕıa como sigue:
Definición de superficie: Un subconjunto M ⊂ R3 es una superficie si para cada
p ∈ M existe un abierto U de R2, un entorno abierto V de p en M y una aplicación
~x : U → R3 diferenciable tales que ~x|U : U → V es un homeomorfismo y (d~x)q : R2 → R3
es inyectiva para todo q ∈ U .
A la aplicación ~x se le denomina parametrización, o representación paramétrica de la
superficie. Si (u, v) denota las coordenadas en el plano R2, entonces ~x = ~x(u, v) y a (u, v)
se les denomina coordenadas paramétricas (ó locales) de la superficie M , respecto de la
parametrización ~x.
La idea de variedad diferenciable ya estaba en el tratado de Mecánica Anaĺıtica de
Lagrange, en 1788, al considerar el espacio de configuración de un sistema dinámico,
aunque su definición, necesaria para la formalización de las ideas de Riemann, aparece
por primera vez de forma expĺıcita en 1913 en un trabajo de H. Weyl. La definición
moderna surge en un trabajo de O. Veblen y H. Whitehead en 1932, y la definitiva, como
aparece actualmente, se debe a H. Whitney en 1936.
A grandes rasgos, una variedad diferenciable M , de dimensión n, es un espacio topológico
(Hausdorff, segundo contable) de tal forma que en cada uno de sus puntos podemos encon-
trar un entorno abierto que es homeomorfo a un abierto de Rn,y además la correspondiente
transformación de coordenadas inducida por dos de estos entornos (con intersección no
vaćıa) nos da un difeomorfismo entre abiertos de R. Utilizando los homeomorfismos coor-
denados, uno puede introducir de forma natural la noción de curva sobre una variedad y
de vector tangente. Aśı, dado un punto, localmente, en un entorno de ese punto podemos
utilizar coordenadas (x1, ..., xn), y una curva se podrá expresar, en coordenadas, por una
expresión de la forma α(t) = (x1(t), ..., xn(t)), y el vector tangente a la curva, en este
caso, será α′(t) = (x′1(t), ..., x
′
n(t)).
24
6.2 La métrica
La métrica es la que determina la geometŕıa del espacio.
Si (x, y, z) son las coordenadas en R3, el elemento de longitud canónico, es dado por:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2.
Este elemento viene asociado a la geometŕıa eucĺıdea, y con él podemos obtener las
longitudes las curvas en R3.
Aśı, es bien conocido que si tenemos una curva en R3, dada por una representación
paramétrica ~α : (a, b) → R3, con ~α(t) = (x(t), y(t), z(t)) entonces, como dx = dx
dt
dt,
dy = dy
dt
dt, dz = dz
dt
dt, se sigue que ds2 = (dx
dt
2
+ dy
dt
2
+ dz
dt
2
)dt2 y aśı se obtiene la conocida
fórmula que nos da la longitud de la curva:
L(α) =
∫ b
a
ds =
∫ b
a
√
dx
dt
2
+
dy
dt
2
+
dz
dt
2
dt
Si tenemos ahora una superficie dada por = ~x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), como
d~x = (dx, dy, dz) = (
∂x
∂u
du +
∂x
∂v
dv,
∂y
∂u
du +
∂y
∂v
dv,
∂z
∂u
du +
∂z
∂v
dv),
se sigue que
ds2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv + G(u, v)dv2
donde
E = (∂x
∂u
)2 + ( ∂y
∂u
)2 + ( ∂z
∂u
)2 = ~x1~x1
F = ∂x
∂u
∂x
∂v
+ ∂y
∂u
∂y
∂v
+ ∂z
∂u
∂z
∂v
= ~x1~x2
G = (∂x
∂v
)2 + (∂y
∂v
)2 + (∂z
∂v
)2 = ~x2~x2
Aśı obtiene Gauss la expresión del elemento de longitud de arco sobre una superficie,
el cual es fundamental para estudiar las propiedades métricas. En realidad lo que se está
haciendo es restringiendo a la superficie el elemento de ĺınea de R3, o dicho de otra forma
tomando como medida o métrica sobre la superficie, la que induce la medida o métrica
eucĺıdea de R3. En lenguaje vectorial la expresión ds2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv +
G(u, v)dv2 en realidad representa un producto escalar definido positivo sobre el plano
tangente a la superficie en cada punto, que no es sino la restricción del producto escalar
eucĺıdeo de R3. Al elemento de longitud se le denomina más comúnmente primera forma
fundamental y suele definirse en los siguientes términos.
Definición Se denomina primera forma fundamental sobre la superficie M en un
punto p a la aplicación bilineal simétrica definida positiva Ip : TpM ×TpM → R dada por
Ip(~u,~v) = ~u · ~v.
Si aplicamos Ip los vectores básicos del plano tangente TpM obtenemos los coeficientes
gij de la matriz asociada a la aplicación bilineal Ip. Observar que g11 = E, g12 = F y
g22 = G.
Las operaciones métricas se realizan ahora utilizando la primera forma fundamental.
Aśı, uno puede obtener el módulo de un vector tangente, el ángulo entre dos vectores
25
tangentes, longitudes de curvas, áreas de regiones,..., en función de la primera forma
fundamental. Por ejemplo, la longitud de una curva α(t) = ~x(u1(t), u2(t)) sobre una
superficie ~x = ~x(u, v) es ahora,
L(α) =
∫ b
a
√√√√
2∑
i,j=1
gij
dui
dt
duj
dt
dt
De