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FUNCIONES INVERSAS
Función uno-a-uno
 Cada valor de la 
función en R
corresponde a 
exactamente un
elemento en D .
 Los valores del 
campo de valores no 
se comparten.
Prueba de la línea horizontal
• Esta prueba dice que una función f es uno-a-
uno si cada línea horizontal interseca la gráfica
de f en no más de un punto.
Aquí f NO
uno-a-uno.
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:
• Construir la gráfica de 
f…
• Luego realizar la 
prueba de la línea
horizontal.
• f es uno-a-uno …
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si g(x) = x2 – 3 es uno-a-uno.
• Construir la gráfica de f…
• Luego realizar la prueba
de la línea horizontal.
• g NO es uno-a-uno, ya que
existe al menos una línea
horizontal que interseca la 
gráfica de g en dos puntos.
Funciones crecientes/decrecientes
• Una función que es creciente en 
todo su dominio es uno-a-uno;
• Una función que es decreciente en 
todo su dominio es uno-a-uno;
Funciones Inversas
• Si f es una función uno-a-uno, definida de D a R, 
y = f(x), entonces
podemos definir una función g de R a D
mediante la regla x = g(y) .
• El diagrama muestra que g invierte la 
correspondencia definida por f :
• Llamaremos g la función inversa de f y 
escribimos 𝑔 = 𝑓−1(𝑥) .
Teorema sobre funciones inversas
• Sea f una función uno-a-uno con dominio D y
rango R .
• Si g es una función con dominio R y rango D , 
entonces g es la función inversa de f si y solo si
se cumple lo siguiente :
– g(f(x)) = x para todo x en D
– f(g(y)) = x para todo y en R
• A la función g que es la inversa de f, le 
designamos la notación f -1 (x).
Ejemplo
• Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :
1. Verificar si f(x) es uno a uno.
Esta es una función linear. Su pendiente es positiva. 
Por lo tanto, f es creciente en todo su dominio y 
es una función uno-a-uno.
2. Invertimos variables
x = 3y - 5
3. Resolvemos la ecuación para y:
x + 5 = 3y
𝑥+5
3
= 𝑦
𝑦 =
𝑥+5
3
o 𝑓−1(𝑥) =
𝑥+5
3
Ejemplo (cont)
4. Verificaciones usando composición:
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 5
3
f(x) = 3x - 5 
Graficas de f -1
• Como una funcion y su inversa intercambian
su dominio y rango,
– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo 
si…
– el punto (b, a) está en la gráfica de f -1 .
• Las gráficas de f(x) y f -1(x) son reflexiones
sobre la recta y = x.
Ejemplo: Trace las gráficas de
f(x) = 3x - 5 𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 5
3
x f-1 (x)x f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
x f(x)
-3 -14
-2 -11
-1 -8
0 -5
1 -2
2 1
3 4
x f-1 (x)
-14 -3
-11 -2
-8 -1
-5 0
-2 1
1 2
4 3
Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe,
• D: [-3, ∞) ; R: [0, ∞) 
• f(x) es creciente en todo su
dominio, por lo tanto tiene
inversa
𝑦 = 𝑥 + 3
x= 𝑦 + 3
x2 = y + 3
y = x2 – 3
f-1 (x) = x2 – 3; D: [0, ∞); R: [-3, ∞) 
para f(x) = 𝑥 + 3
Ejemplo: Dado que f es una función uno-a-
uno, hallar f -1 (x). Indicar su domino y campo 
de valores.
• Solución:
𝒇−𝟏 𝒙 =
−𝟒𝒙 − 𝟓
𝟕𝒙 − 𝟐
Dom: 𝒇−𝟏 𝒙
𝑥 𝑥 ≠
2
7
Rango: 
𝑥 𝑥 ≠ −
4
7
Trace la gráfica de la función inversa 
de la función que se muestra.
Dominio:
Rango: 
Dominio:[-7,9]
Rango: [-1, 3]
X Y
-7
0
1
2
9
X Y
-7 3
0 2
1 1
2 0
9 -1
Trace la gráfica de la función inversa 
de la función que se muestra.
Dominio f-1(x): 
Rango f-1(x): 
X Y
-7
0
1
2
9
Dominio f-1(x): [-1, 3] 
Rango f-1(x): [-7,9]
X Y
3 -7
2 0
1 1
0 2
-1 9
Trace la gráfica de la función inversa 
de la función que se muestra.
Dominio f-1(x): [9, -7] 
Rango f-1(x): [-1,3]
X Y
3 -7
2 0
1 1
0 2
-1 9
Ejemplo: Determine, si f y g son inversas.
𝑓 𝑥 =
2
𝑥3 + 1
g 𝑥 =
3 2−𝑥
𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 =
2
3 2 − 𝑥
𝑥
3
+ 1
𝑓 𝑔 𝑥 =
2
2 − 𝑥
𝑥 + 1
𝑓 𝑔 𝑥 =
2
2 − 𝑥 + 𝑥
𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 =
2
2
𝑥
= 2
𝑥
2
= 𝑥
𝑔 𝑓 𝑥 =
3 2 −
2
𝑥3 + 1
2
𝑥3 + 1
𝑔 𝑓 𝑥 =
3
2 𝑥3 + 1 − 2
𝑥3 + 1
2
𝑥3 + 1
𝑔 𝑓 𝑥 =
3
2𝑥3 + 2 − 2
𝑥3 + 1
2
𝑥3 + 1
𝑔 𝑓 𝑥 =
3 2𝑥3
𝑥3 + 1
∗
𝑥3 + 1
2
=
3
𝑥3 = 𝑥
Si, son inversas.