FUNCIONES

Vista previa del material en texto

FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 17 
 
 
 
 
FUNCIONES REALES 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
2 
 
 
 
 
 
Contenidos 
Conceptos Afines 
Funciones Crecientes y decrecientes 
Función biunívoca 
Funciones Algebraicas 
Funciones Trascendentes y Especiales 
Función Inversa 
Algebra de funciones 
Función Compuesta 
Anexo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 18 
 
MAPA CONCEPTUAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es una Se representa 
descripción de 
como como como 
En la que para cada 
se la conoce 
como 
que puede tener puede ser 
mediante 
es una 
se la 
llama 
pertenece a un 
se asocia 
un 
es una 
de un 
y = f(x) 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 19 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 
 
2.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 
 
 Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f , de A en B denotada por 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una correspondencia que cumple con las siguientes condiciones: 
Condición de existencia: Todos los elementos de A están relacionados con 
elementos de B,  a  A  b  B / (a,b)  f 
Condición de unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un único 
elemento de B, (a , b1 )  f ^ (a , b2 )  f  b1 = b2 
 
Si a las componentes del conjunto A las designamos con la letra x y a las componentes del 
conjunto B las designamos con la letra y, tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
De esta forma todo punto P f se denota:  )f(x x, P 
 
En nuestro estudio consideraremos funciones en las que las componentes de los pares ordenados, son 
números reales. Este tipo de funciones se llaman Funciones Reales de variable real o simplemente Funciones 
Reales. 
 
 
 
 
 
 
 
f 
 
 
xi 
 
y=f(xi) 
 
A 
B 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 20 
 
2.2.- CONCEPTOS BÁSICOS 
Dominio 
Es el conjunto de todos los valores reales de la variable independiente, generalmente x, para los 
cuáles está definida la función*. 
𝑑𝑜𝑚𝑓 = {𝑥/∀𝑥 ∈ 𝑅 , 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)} 
 
*Recordar las “Reglas Sagradas” del Cálculo 
Una función esté definida si se cumplen las siguientes reglas: 
- La división por cero no está permitida 
0
2
 
- El radicando de una raíz de índice par debe ser siempre positivo 0 
- El argumento de un logaritmo debe ser siempre mayor que cero   0 log  
 Ejemplos: 
1).- 52x3xf(x) 4  
 La función dada no tiene denominador que pueda hacerse 0. Cumple la primera ley. 
 La función dada no contiene raíces, por lo tanto cumple la segunda ley. 
 La función dada no contiene logaritmos, por lo tanto cumple la tercera ley. 
Entonces la función dada no tiene problemas en su dominio. Para cualquier valor dado a la variable 
independiente x, la función y está definida. Esto se expresa: 
   domf ; domf , 
 
2).- Determine analíticamente el dominio de la siguiente función: 
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 
a) Como es una función de índice par, el radicando debe ser positivo (2° regla): 2x − 4 ≥ 0 
 2x ≥ 4 ; x ≥ 2 entonces 𝐝𝐨𝐦𝐟 = [𝟐; ∞) 
 
 
Codominio/rango 
Es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función 
Son los valores de la variable dependiente designadas generalmente con y ó f(x). 
𝑟𝑔𝑜 𝑓 = {𝑦/∀𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)} 
Ejemplo: 
determine analíticamente la imagen de la siguiente función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 
Desarrollo 𝑦 = √2𝑥 − 4 
(𝑦)2 = (√2𝑥 − 4)
2
 ; 𝑦2 = 2𝑥 − 4 → 𝑥 =
𝑦2 + 4
2
 
Lo que nos indica que la imagen de la función 42)(  xxf es: 𝒓𝒈𝒐𝒇 = ℝ+ = [𝟎, ∞) 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 21 
 
Gráfica de función 
Durante el curso graficaremos las funciones en el SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. 
Como la función es un conjunto de pares ordenados, 
 se pueden asociar uno a uno con puntos sobre el plano 
cartesiano. A ese conjunto de puntos del plano lo llamamos 
“gráfica de la función”, así 
𝑔𝑟𝑎𝑓 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ⁄ 𝑦 = 𝑓(𝑥)} 
 y normalmente permite ver a f como un trazo sobre el plano. 
 
 
 
Simetría 
La gráfica de una función puede: 
 Respecto al eje de ordenadas (simetría 
axial) 
 FUNCIÒN PAR 
- TENER SIMETRÌA 
 
 
 Respecto al origen de coordenadas 
(Simetría Central) 
 FUNCIÒN IMPAR 
 
-NO TENER SIMETRÌA SI NO ES PAR NI IMPAR 
 
 
 Definición de función par 
Se dice que la función f es PAR si: 
 𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 
Las gráficas resultan simétricas respecto al eje de las 
ordenadas (simetría axial) 
El eje de simetría de la parábola coincide con el eje de las 
ordenadas 
 
 Definición de función impar 
Se dice que la función f es IMPAR si: 
𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 , 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) 
Las gráficas resultan simétricas respecto al origen de 
coordenadas (simetría central) 
x 
y 
P ( x, y) 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 22 
 
 Definición de función no simétrica 
Se dice que la función f NO ES SIMETRICA si no es Par ni 
Impar. 
f: R → R NO ES SIMETRICA ⇔ ∀ x ∈ domf , 
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ∧ 𝑓(𝑥) ≠ −𝑓(−𝑥) 
El eje de simetría de la parábola no coincide con el eje de las 
ordenadas 
 
 
Intersección de la gráfica con los ejes coordenados 
En distintas circunstancias se hace necesario conocer la 
intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados, por 
ejemplo determinar 
“para qué precio de venta de un producto no se obtienen 
ganancias”. 
 
 
 
 
 
Antes de explicar cómo se obtienen los valores, vamos a definir los siguientes términos: 
 2.2.5.1 Intersección con el eje de las abscisas: es el punto 0) ; P(x de la gráfica para el que 
la ordenada es nula. La abscisa del punto, en este caso x, es el CERO DE LA FUNCIÓN f 
2.2.5.2 Intersección con el eje de las ordenadas: es el punto y); Q(0 de la gráfica para el 
que la abscisa es nula. La ordenada del punto, en este caso y, es f (0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analíticamente: 
 
Q (0; y) 
P1 (x1:0) 
CEROS de f 
f (0) 
P2 (x2:0) 
INTERSECCIONES de 
f CON LOS EJES 
COORDENADOS 
Y 
x 






























 f(0) y y eje el con ónintersecci
0f(x) x x eje el con ónintersecci
f(x)y
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 23 
 
2.3.- FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 
Definición de función creciente 
Una función f se dice creciente en un intervalo si para todo 
par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que: 
Si x1  x2  𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 
 
 
 
 
 
Definición de función decreciente 
Una función f se dice decreciente en un intervalo si para 
todo par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que: 
Si x1  x2  𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) 
 
 
 
 
LAS FUNCIONES CRECIENTES o DECRECIENTES EN UN INTERVALO SE LLAMAN ESTRICTAMENTE MONÓTONAS EN 
EL INTERVALO 
 
2.4.- FUNCIÓN BIUNÍVOCA, FUNCIÓN INYECTIVA O FUNCIÓN UNO A UNO 
Definición de función biunívoca 
Una función f es biunívoca (inyectiva o uno a uno) si para todo par de elementos x1 y x2 del 
dominio de f con )f(x)f(x que cumple se , x x 211  2 
𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 𝒚 𝒇(𝒙𝟏) ≠ 𝒇(𝒙𝟐) 
 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 24 
 
Para aclarar el concepto, se grafica a continuación una función NO BIUNÍVOCA 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 ≠ 𝑥2 ; 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 
o 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) y 𝑥1 ≠ 𝑥2Criterios gráficos y analíticos 
 
Criterio Gráfico 
(Criterio de la recta horizontal) 
Criterio Analítico 
se usan las condiciones de la definición 
 
Se trazan rectas horizontales que intersecten a la 
gráfica de f. Si lo hace en un solo punto, la función 
graficada es biunívoca. 
Caso contrario se trata de una función no biunívoca 
f NO ES biunívoca 
 
Sea  21 xln)x(f  
- Se forman f(x1) y f(x2) : 
 211 1 xln)x(f  ;  222 1 xln)x(f  
- Se analizan como son x1 y x2 cuando f(x1)=f(x2) 
21 x x x x x x
x x :des propiedasegún
x x






 



 
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
;
11
1ln1ln
 
O sea que f(x1) = f(x2) si: x1 = x2 ; -x1= -x2 
pero también si: x1 = - x2 ; -x1 = x2 
Entonces f NO es biunívoca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea   11 3  x)x(f 
   
   
   
   
BIUNÍVOCA ES
xf xf ; x xPara
x x
x x
 1x 1x
121
33
33
2
21
21
21
11
11
11




 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 25 
 
2.5.- CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 
Las funciones que se estudiarán durante el dictado de la materia son: Explicitas e Implícitas 
Funciones explicitas 
Son aquellas funciones donde la variable independiente y la variable dependiente están 
claramente diferenciadas. Se expresan de la forma y = f (x) 
Ej y = 3x2 – ex + ln (x-1) 
Funciones implícitas 
Son aquellas funciones expresadas en términos de las dos (o más) variables. Es decir son funciones 
de la forma F(x,y) = 0 
Ej: sen(x - y) + 3x2 y3 – 3x + 5y = 0 
 
Clasificación de funciones Explicitas 
 
ALGEBRAICAS 
 
 
RACIONAL 
Entera 
(polinomial) 
Función constante : y= K con kR 
Función lineal y = mx + b 
Función cuadrática y = ax2 +b x + c 
Función cúbica y = ax3 +b x2 + cx +d 
Función bicuadrada 
y = ax4 +b x3 + cx2 +dx+e 
Fraccionaria 
)x(Q
)x(P
)x(fy  
IRRACIONAL n )x(Py  
 
TRASCENDENTES 
EXPONENCIAL 1 a y 0 a con xa)x(f  
LOGARÍTMICA xlny;)x(log)x(fy  
 
TRIGONOMETRICAS 
Circulares : y = sen x … ; y = tg x 
Hiperbólicas : y = Sh x …; y = Th x 
ESPECIALES 
VALOR ABSOLUTO xy  
SIGNO )x(P sgny  
PARTE ENTERA xy  
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 26 
 
2.5.1.FUNCIONES ALGEBRAICAS 
Son funciones que vienen expresadas mediante un numero finito de operaciones algebraicas 
elementales: suma, diferencia, producto, cociente, potencia radicación. 
 
 
2.5.1.1 FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
Las funciones algebraicas racionales se clasifican en Enteras y Fraccionarias 
 
 Funciones Algebraicas Enteras o Polinomiales 
Están definidas por : 
 na...
2nx.2a
1nx.1a
nx.0a)x(f 
 (1) 
donde a0 , a1 , a2 ,.... constantes reales ; n = entero positivo 
el dominio de estas funciones es : domf = reales 
 
a) Función constante 
Si en (1) se hace n = 0 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene: 
kxf , kaaxf n  )()( 0 
Características: 
 dom f = reales 
 rgo f = {k} 
 gráfica es una recta horizontal 
paralela o coincidente con el eje de 
las abscisas 
 
 
b) Función lineal 
 
Si en (1) se hace n = 1 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene: 
10.)( axaxf  
haciendo a1 = b y ao = m tenemos : bx.m)x(f  
 
Características: 
 dom f = reales 
 rgo f = reales 
 gráfica: es una recta no vertical 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 27 
 
Parámetros 
b es la ordenada al origen de la recta 
m es la pendiente de la recta. Se la define como la tangente trigonométrica del ángulo de 
inclinación:  tgm 
 
 
 
 
Mide la variación de la variable dependiente y, respecto a la variación de la variable 
independiente x. 
 
 Si m > 0 la función es creciente y = 2x – 1 
En este caso b = -1 
 
 
 
 
 si m < 0 la función es decreciente 
 y = (- 3/2) x + 2 en este caso b = 2 
 
 
 
 
b) Función Cuadrática 
Si en (1) se hace n = 2 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene: 
21
2
0 ..)( axaxaxf  
 
Haciendo : a0 = a ; a1 = b ; a2 = c 
 cx.b2xa)x(f  con 0a  
Características 
 dom f = reales 
 rgof= (- , k] ò [k, + ) 
 la gráfica es una parábola de eje vertical 
 si a > 0 la curva es cóncava hacia arriba ; 
 si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo 
 y 
 
 x 
 2 
 
 1 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 28 
 
- Si b = 0 c 0  y = a x2 + c 
 
el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje y 
Ejemplo: y = - x2 + 5 
 
 
 
 
Si b = 0 c= 0 : y = a x2 
 
el vértice de la parábola está ubicado en el origen de 
coordenadas 
Ejemplo: y = x2 
 
 
 
 
 
 
Si b  0 ; c 0 : y = a x2 + bx + c 
 
el vértice se encuentra “desplazado horizontalmente” 
Ejemplo: y = 0.25 x2 -2x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar las coordenadas (h, k) del vértice empleamos la fórmula: 
 
a
b
h
2

 y haciendo )(hfy  obtenemos el valor de k 
encontrando los ceros de la función o haciendo tabla de valores determinamos otros puntos 
pertenecientes a la parábola y podremos graficar. 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 29 
 
 Funciones Algebraicas Racionales Fraccionarias 
Presentan la forma: 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf  con P y Q polinomios de la variable x 
  0/  (xi)i Q x Rdomf 
 
Asíntota Vertical 
 La recta x = a con a constante real 
es asíntota vertical de la gráfica de f si se 
presenta al menos una de las siguientes 
situaciones: 








)(
)(
)(
)(
afax
afax
afax
afax
 
 
 
Asíntota Horizontal 
 La recta y = k con k constante real es 
asíntota horizontal de la gráfica de f si se 
presenta al menos una de las siguientes 
situaciones: 
k xfx
k xfx


)(
)(
 
 
 
 
Método para determinar asíntotas Horizontales en funciones racionales fraccionarias 
Una función algebraica racional fraccionaria puede expresarse: 
rdenominado polinomio grado m ; numerador polinomio del grado n 
.xb
.xa
Q(x)
P(x)
f(x)
m
o
n
0
 
i) si n > m la gráfica de f no tiene A.H 
ii) si n = m la gráfica de f tiene A.H en 
o
o
b
a
y  
iii) si n < m la gráfica de f tiene A.H en ) x eje ( 0y 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 30 
 
2.5.1.2 FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES 
Presentan la forma: 
 
 n x f(x) / f 
 
0 x domf 0x si x - f(x) x f(x) par es n si nn  
 
 
 
 
 
  
 


 0, rgof
 a, domf
a-x f(x)
  
 0 , - rgof
 a, domf
a-x -f(x)



 
 
R domf x x - f(x) x f(x) impar es n si nn  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 31 
 
2.5.2 FUNCIONES TRASCENDENTES 
Función Exponencial 
La función exponencial presenta la forma: 1ay0adondeaf(x)x  
* domf = reales 
* Si 0 < a < 1 f es decreciente 
 Si a > 1 f es creciente 
 f presenta asíntota horizontal 
 f no tiene asíntota vertical 
 f es biunívoca 
 su f-1 es la función logarítmica 
 
 
 
Función Logarítmica 
La función logarítmica presenta la forma: 
 
1ay0a ;dondexlogf(x) a 
 
 𝑑𝑜𝑚𝑓 = (0, ∞) 
 rgof = reales 
 Si 0 < a < 1 f es decreciente 
 Si a > 1 f es creciente 
 f presenta asíntota vertical 
 f no tiene asíntota horizontal 
 f es biunívoca 
 su f-1 es la función exponencial 
 
 
Función Trigonométrica Circular 
Las funciones trigonométricas circulares son las funciones trigonométricas referenciadas en la 
circunferencia y que se definen por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos 
valores de la variable independiente. 
Las funciones trigonométricas circulares son periódicas es decir tienen la propiedad de tomar el 
mismo valor a intervalos iguales. 
Una función f es periódica, con período p  0 , si para todo x perteneciente a su dominio, se 
verifica que : p)f(xf(x)  
A continuación repasaremos características de las funciones trigonométricas circulares: 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 32 
 
FUNCIÓN DOMINIO RANGO SIMETRÍA CEROS f0) p GRAFICA 
 
 
y = sen x 
 
(-, ) 
 
[-1,1] 
 
Impar 
 
Zn
nπx


 
 
0 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = cos x 
 
(-, ) 
 
[-1,1] 
 
Par 
 
Z(impar)n
2
n.π
x


 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
y = tg x 
 
Z(impar)n
2
n.π
x


 
 
 
(-, ) 
 
 
Impar 
 
Zn
nπx


 
 
 
0 
 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 33 
 
 
 
y = cosec x 
 
Zn
nπx


 
 
(-, ) 
 
Impar 
 
Z(impar)n
2
n.π
x


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = sec x 
 
Z(impar)n
2
n.π
x


 
 
 
Re(-1,1) 
 
Par 
 
 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
y = cotg x 
 
Zn
nπx


 
 
Re(-1,1) 
 
Impar 
 
 
 
 
 
2 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 34 - 
 
 
2.5.3 FUNCIONES ESPECIALES 
 
Función Valor Absoluto 
Presenta la forma: 
 xy)/y(x,f  
 domf = (-, ) 
 rgo f = [0, ) 
según la definición de Valor Absoluto tenemos: 








0xsix
0xsix
xf(x) 
 
 
 
Función Parte Entera o Función del mayor entero 
Está definida de la siguiente forma:  xyyxf  /),( 
se define como el mayor entero que no supera a x . domf= (-. ) rgof= {Z} 
 
xxf )( 
x y 
-2,1 -3 
2 -2 
-1,8 -2 
-1,5 -2 
-1,1 -2 
-0,2 -1 
0 0 
0,2 0 
0,6 0 
1 1 
1,2 1 
1.4 1 
1.8 1 
2 2 
2,3 2 
 
Ejemplo vida cotidiana: 
En un país cualquiera… 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 35 - 
 
Función Signo 
Está definida por: 
 









0 x si 1
0 x si 
0 x si 
xxf 0
1
)sgn()( domf= (-. ) ; rgof= {-1, 0 , 1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función Parte Decimal o Función Mantisa 
 La función parte decimal o función mantisa M(x) = x -E(x) hace corresponder a cada número real 
x el mismo número menos su parte entera. 
Esta función tiene aplicaciones en la electrónica 
 
x [|E|] x-[|E|] 
-2,1 -3 0,9 
2 -2 0 
-1,8 -2 0,2 
-1 -1 0 
-1,1 -2 0,9 
-0,2 -1 0,8 
0 0 0 
0,2 0 0,2 
0,6 0 0,6 
1 1 0 
1,2 1 0,2 
1.4 1 0,4 
1.8 1 0,8 
2 2 0 
2,3 2 0,3 
3 3 0 
3,1 3 0,1 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 36 - 
 
2.6.- FUNCIÓN INVERSA 
Sea una función biunívoca f: 
𝑓 = {(1,2); (2 ,4); (3, −1); (4, −2)} 
la nueva función g , obtenida al intercambiar los pares ordenados de f: 
𝑔 = {(2, 1); (4, 2); (−1, 3); (−2, 4)} 
es la FUNCIÓN INVERSA de f. 
 
Definición de función inversa 
Si f es una función biunívoca, el conjunto de pares ordenados obtenido al intercambiar el orden 
de las componentes de cada uno de los pares ordenados de f, se llama función inversa de f y la 
designamos por f-1 
 
Definición rigurosa 
Sea la función biunívoca f está definida por la ecuación y = f(x) , es decir: 
𝑓 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)} 
La función inversa de f será: 
𝑓−1(𝑦) = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑥 = 𝑓
−1(𝑦)} 
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente. 
 
Para poder graficar ambas funciones, f y f-1, en un mismo sistema de ejes coordenados y como 
las letras que se usan para designar las variables de una función pueden ser cualesquiera, 
escribimos la expresión (1) de la siguiente forma: 
𝑓−1
(𝑥)
= {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓−1(𝑥)} 
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente. 
 
 
Características de f y f-1: 
i) Si f es creciente/decreciente, su inversa f-1 también será creciente/decreciente 
ii) 𝑑𝑜𝑚 𝑓−1 = 𝑖𝑚𝑔 𝑓 y 𝑖𝑚𝑔 𝑓−1 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓 
iii) las gráficas de f y f-1 resultan simétricas respecto 
a la recta y = x (1° bisectriz) 
 
 
 
 
 
Si f no es biunívoca, se restringe 
el dominio para poder formar f-1. 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 37 - 
 
2.7.- ALGEBRA DE FUNCIONES 
Dadas dos funciones definidas por y = f(x) , y = g(x) es posible formar, bajo ciertas condiciones, 
una nueva función resultante de sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas. 
Es así que : 
𝑖) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 } 
𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 } 
𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 } 
𝑖𝑣) 𝑓(𝑥)/ 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0} 
𝑣) 𝑔(𝑥)/ 𝑓(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑓(𝑥) ≠ 0} 
 
 Como vemos las operaciones : suma, diferencia y producto sólo podrán efectuarse si 
 domf domg   
 
 la operación cociente sólo podrá efectuarse si : 
domf domg   y g(x)  0 
 
Para comprender el condicionamiento que solo pueden formarse las operaciones entre funciones 
solo para los valores de x domf domg   observamos las graficas de f y g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En esta 
región sólo 
está 
definida la 
función f 
En esta 
región sólo 
está 
definida la 
función g. 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 38 - 
 
2. 8.- FUNCIÓN COMPUESTA 
Introducción 
 Además de las operaciones definidas anteriormente podemos definir otra operación 
llamada composición de funciones o función compuesta . 
 
Función compuesta gof 
Frecuentemente dos funciones definidas por y = f(x) ; y = g(x), que de ahora en adelante 
llamaremos f y g, están relacionadas de forma tal que el rango de una de una de ellas coincide 
con el dominio de la otra. 
Ejemplo : 
 f = { (-1,3) ; ( 2,4) ; (0,8 ) ; (8,6) } ; g = { (4,0) ; (3,-1) ; (6,5) } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i formamos una función F cuyos pares ordenados (x,y) estén formados por sólo aquellos valores de 
x cuyas imágenes sean a la vez parte del domino de g y su correspondientes imágenes, 
tendremos: 
F={(x,y) / (-1, -1); (2,0) ; (8,5) } 
Generalizando 
Si escogemos un x del domf tal que f(x) pertenezca al domg, entonces el elemento de la 
imagen de g correspondiente a f(x) de su dominio es g[f(x)], al cuál para simplificar lo llamamos 
y . Queda formado así el par (x,y) donde x pertenece al domf e y pertenece a Img. 
El conjunto de todos los pares ordenados (x,y) así formados recibe el nombre de FUNCIÓN 
COMPUESTA g def, que se simboliza por g(f) ó g o f . 
 
 
 
 
 
 -1 
 
 2 
 
 0 
 
 8 
 
 
 3 
 
 4 
 
 8 
 
 6 
 
 
 
 0 
 
 -1 
 
 5 
 
f 
g 
* xi 
* f(xi) 
f 
g 
* gf(xi) 
g[f (x)] 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 39 - 
 
 x 
 
 
 
 f 
 
 f(x) 
 
 g 
 
 gf (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 g 
 g [f(x)] 
Definición de gof 
Si f y g son funciones tales que Imf  domg  , la función g(f) definida por 
𝑔(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔[𝑓(𝑥)]} 
se llama función compuesta g de f. 
 
Dominio de gof 
El dominio de g(f) será:  domgf(x)/domfxg(f)dom  
 
Representación funcional de gof 
Podemos representar la función compuesta como una máquina, tal como se muestra a 
continuación. En este caso se representó g[f(x)]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Sean 
x xf )( y x1- xg )( 
La composición  f g es posible si el rango de f coincide con el dominio de g 
En este ejemplo   rgof ,0 y  1 -domg , 
No podemos realizar la composición ya que las imágenes de dominio de f no pertenecen al dominio de g 
 
 
 
 
 
La condición para que pueda definirse la composición gof es que la imagen de f esté incluida en el dominio 
de g. domg rgof  
ACTIVIDAD 
- representación funcional de fog 
- definición de fog 
- dominio de fog 
 
************************************* 
f f 
¿ x f 
rgof=[0, ∞) 
domg=(-∞,-1] 
g