TEORIA TP 2 ANALISIS 1

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Análisis Matemático I 
Ing. Roberto Lamas
Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 2
Funciones de una variable.
Definición: Una función de A en B es una ley o regla a 
correspondencia que asigna a cada elemento de A un 
único elemento de B. 
A : dominio B: codominio
Si A y B son reales entonces se llama función real de 
variable real ( A , B R )
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Notación: f : A B A B
y = f(x) x f(x)
f : nombre de la función
x : variable independiente.
y : variable dependiente.
y = f(x) regla o correspondencia que establece la 
vinculación entre las variables y puede estar dada 
en distintas formas.
Ejemplo: f: { 2; 7 ; ; 1/7 } R
y = 7x
f(2) = 14 f(7) = 49 f( ) = 7 f(1/7) = 1
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Para describir esto vamos a utilizar un diagrama de 
Venn, si los elementos del conjunto A corresponden a 
un número finito:
Todo elemento de A debe estar relacionado con 
alguno de B y ese elemento debe ser único.
Vemos que no todos los elementos de B es 
correspondiente de alguno de A, los que son 
correspondientes constituyen un conjunto que 
llamamos IMAGEN.
Imagen(f) = I(f) = Img(f) = { y / y B x A / y = 
f(x) } = { f(x) / x A}
En general Img(f) B ( Imagen incluida en codominio)
Ejemplo: Img(f) = { 14 ; 49 ; 7 ; 1 } B = R.
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Ejemplo : g : R R / y = x2 +1
Como calculamos la imagen?
Sabemos que x : x2 0 x2 + 1 1 y 1 
en consecuencia Img (g) = [ 1 , )
Distintas formas de indicar la vinculación entre x e y.
1.-Diagrama de Venn.
2.-Tabla:
3.-Una o mas formulas:
Ej; h(x) = x2 +1
x 2 7 1/7
f(x) 14 49 7 1
z(x) = Cuál será el dominio ?
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4.- Mediante un gráfico en un sistema de coordenadas 
cartesianas.
5.- Mediante un enunciado coloquial.
Ejemplo: La función que asigna para un cuadrado de 
lado L, su perímetro. ( P(L) = 4L )
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Como reconocer funciones.
Si contamos con una formula debemos ver si las 
operaciones arrojan un único resultado.
y = x2 +1 si es función.
y2 = x +1 No es función y = 
Si está dado por un gráfico no será función si para 
un valor de x existen dos posibles resultados.
No es función Si es función
Sera función cuando toda recta vertical trazada por un punto del dominio 
corte al gráfico en un solo punto.
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Elementos que se deben definir al definir una función.
f : A B Dominio Codominio y ley de correspondencia
y = f(x)
1.- Si no se especifica B, se toma el conjunto mas 
amplio, es decir R.
2.- Si no se especifica A , se toma el conjunto mas 
amplio para el cual el valor de f(x) y la ley de 
correspondencia tengan sentido.
Ej :
a) y = 6 x3 + 7x2 – 8
b) y = 
( )( )
c) y= 
( )( )
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Igualdad de funciones:
Dos funciones son iguales cuando tienen igual 
dominio y toman los mismos valores.
f = g D(f) = D(g) f(x) = g(x)
Ejemplo: f : R R / y = 6x8
g : R [ 0 , ) / y = 6x8
h : [ 0 , ) [ 0 , ) / y = 6x8
f = g b) g h
Función acotada
Definición: Una función es acotada cuando su 
imagen es un conjunto acotado.
Ejemplo:
f : R R / y = sen x
g : R R / y = 6 x2
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Clasificación de funciones:
I) En cuanto a la expresión de su formula:
a) Explicita: Cuando en la formula esta 
despejada la variable dependiente.
Ej: y = 2x3 y= sen(5x) + 8
b) Implícita: Cuando en la formula no esta 
despejada la variable dependiente.
Ej: x2 + y = 9 y ln ( x ) + sen ( y x ) = 6
II) En cuanto a operaciones:
a) Algebraicas: cuando en la formula aparece un 
numero finito de operaciones algebraicas( suma, 
resta, multiplicación, división, potenciación y 
radicación)
b) Trascendentes: cuando no son algebraicas. 
Ej: 
y = sen(x) 
y = ln x + tg x + ex
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Paridad de una función.
Definición: La función f es impar sii x D(f) : 
f ( – x ) = – f ( x )
P1 (x,y) Gf ( Gráfico de f )
P2 ( – x , – y ) Gf ( Gráfico de f )
( en consecuencia) P1 y P2 son 
simétricos respecto al origen, por 
lo tanto el gráfico de una función 
impar es simétrico respecto al 
origen. 
Definición: La función f es par sii x D(f) :
f ( – x ) = f ( x )
P1 (x,y) Gf ( Gráfico de f )
P2 ( – x , y ) Gf ( Gráfico de f )
( en consecuencia) P1 y P2
son simétricos respecto al eje 
Y , por lo tanto el gráfico de 
una función par es simétrico 
respecto al eje Y.
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Ejemplo:
f/ f(x) = 4 x2 – 8 x6 + cos x
f(– x) = 4 (– x)2 – 8 (– x)6 + cos (– x) = 4 x2 – 8 x6 + cos x = f(x) 
f(– x )= f( x ) en consecuencia f es par.
g/ g(x) = 3 x3 – 2 x9 + sen x
g(– x) = 3 (– x)3 – 2 (– x)9 + sen (– x) = – 3 x3 + 2 x9 – sen x = 
= – (3 x3 – 2 x9 + sen x )= – g(x) 
g(– x )= – g( x ) en consecuencia g es impar.
Nota1: Una función puede ser par o impar pero no 
ambas a la vez.
Nota2: La grafica, si la función no tiene paridad, puede 
tener otra simetría. 
Nota3: La paridad nos sirve para hacer la tabla de 
valores.
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Monotonía:
Definición1: f es creciente en su dominio sii x1 , x2
D(f) : x1 < x2 f(x1)< f(x2) 
Definición2: f es decreciente en su dominio sii x1 , x2
D(f) : x1 < x2 f(x1) > f(x2) 
Definición3: f es monótona en su dominio si f es 
creciente o decreciente en su dominio.
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No es monótona en su 
dominio, es 
sectorialmente monótona 
o monótona a trozos.
Relación entre paridad y monotonía.
I) Si f es par: en intervalos simétricos respecto al origen 
cambia la monotonía.
II) Si f es impar: en intervalos simétricos respecto al 
origen mantienen la monotonía.
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Operaciones con funciones:
I) Operaciones algebraicas: 
Dadas f : A R / y = f(x) g : B R / y = g(x) 
Definimos:
a) Suma o diferencia: f g : A B R / (f g )(x)
= f (x) g (x)
b) Función producto por una constante: K . f : A R 
/ ( k . f ) (x) = K . f(x)
c) Función producto: f . g : A B R / 
(f . g )(x) = f (x) . g (x)
d) Función cociente: f / g : A B – { x / g(x) = 0 } R / 
(f / g )(x) = f (x) / g (x)
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Ejemplo:
f/ f(x) = x2 – 4 g/g(x) = (x + 5 ) / ( x – 3 ) 
f : R R g : R – { 3 } R
a) Obtener ( f + g )(1) = f(1) + g(1) = – 3 + ( – 3 ) = – 6 
b) Definir f + g
f + g : R – { 3 } R 
( f + g ) (x) = f(x) + g(x) = x2 – 4 + (x + 5 ) / ( x – 3 ) 
c) Definir f / g
f / g : R – { – 5 , 3 } R 
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II ) Operaciones no algebraicas:
Composición de funciones
Definición: Dadas las funciones f y g se define la 
función compuesta f con g ( g o f ) como g o f : 
D(f) – { x / f (x) D(g) } R 
( g o f ) = g ( f( x ))
Otra forma : D ( g o f ) = { x / x A f(x) B }
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Ejemplo:
Dadas f / f(x) = (x – 3 )2 ; g/g(x) = ; h / h(x) = 
a) Obtener ( h o f )(5) = h ( f(5)) = h ( 4 ) = 2
b) Obtener ( f o g ) (4) = f ( g(4)) = f ( 6 ) = 9
c) Obtener ( g o h )(x) = g ( h(x)) = + 4 con x > 0
d) Obtener ( h o g o f )(x) = h ( g ( f(x)))= 
 
h o g o f : R R / y = 
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Descomposición en funciones simples:
Función simple: es aquella en la que en su fórmula 
interviene una única operación.
Ejemplo: f / f(x) = 
Cuáles serán las funciones simples que al 
componerlas daría esta función ?
f / f(x) = 
f1(x) = x – 4 f2(x) = x2 f3(x) = x + 5 
f4(x) = 7 / x f5(x) = x9
f(x) = ( f5 o f4 o f3 o f2 o f1 )(x)