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Funciones inversas
Introducción
x
f(x)
f
El concepto matemático de función expresa
la idea intuitiva acerca de una cantidad (va-
riable independiente, “valor de entrada”) que
determina por completo a otra cantidad (va-
riable dependiente, “valor de salida”). Una
función asigna a cada “valor de entrada” un
único “valor de salida”. Este tipo especial de
relación lo podemos encontrar en diversas si-
tuaciones de la vida diaria como por ejemplo
en un supermercado, cuando a cada producto
(variable independiente) el dueño le asigna su costo (variable dependiente).
Como vimos anteriormente, una función f : X → Y establece una relación
especial entre los elementos de los conjuntos X e Y : esquemáticamente (ver
figura a la izquierda), a cada “valor de entrada” x ∈ X, la función f le asigna
exactamente un “valor de salida” y = f(x) ∈ Y .
El problema que nos interesa ahora estudiar es la situación inversa: si cono-
cemos el “valor de salida” y ∈ Y , ¿cómo determinar el “valor de entrada”
x ∈ X para el cual y = f(x)? La relación que nos permite responder a este
interrogante se llama función inversa de f .
OBJETIVO GENERAL
Comprender el concepto de función inversa.
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OBJETIVOS ESPEĆIFICOS
Estudiar la relación que existe entre una función y su inversa.
Identificar las simetŕıas que existen entre la gráfica de una función y la
gráfica de su inversa.
Conocer las propiedades que nos relacionan el concepto de inversa con el
de composición de funciones.
Estudiar cierto tipo de transformaciones que es posible realizar sobre las
funciones.
INTRODUCCIÓN
Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, que se presenta en
esta sección, analicemos el siguiente ejemplo:
Sea y = f(x) = x3 − 1 una función cuyo dominio y rango es el conjunto
de los números reales. Al despejar x en la ecuación anterior se obtiene que
x = 3
√
y + 1.
Por la forma que presenta esta ecuación, estudiaremos más adelante que da-
do cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de R), existe uno y
sólo un valor de x situado en el dominio de f . En consecuencia, la segunda
ecuación nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango
es el domino de f .
Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independien-
te y con y a la dependiente, se intercambia x con y en la ecuación anterior y
aśı se obtiene que y = 3
√
x+ 1.
La función definida anteriormente, y que se representa en forma general por
f−1 se conoce como la inversa de la función f definida al principio. Igualmen-
te, la función definida primeramente es la inversa de la función f−1 definida
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por y = 3
√
x+ 1. Es decir, y = f(x) = x3 − 1 ⇐⇒ f−1(x) = 3
√
x+ 1.
Las gráficas de f(x) y de f−1(x) representadas en el mismo plano cartesiano
aparecen en la Figura 9.1.
−1
−2
1
2
1 2−1−2
x
y
y = 3
√
x+ 1
y = x3 − 1
Figura 9.1: Gráfica de la funciones y = x3 − 1 y y = 3
√
x+ 1
Considere ahora la función y = f(x) = x2+1. El dominio de f lo constituye el
conjunto R de los números reales y el rango es el intervalo [1,∞). Al despejar
x, se obtiene x = ±√y − 1.
Esta última ecuación dice que para cada valor que se le asigne a la variable
y, le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última
ecuación no define una función. En este caso se dice que la función y = f(x) =
x2 + 1 no tiene inversa o que f−1 no existe.
Antes de abordar el concepto de invertibilidad, estudiemos la definición de
función 1-1 y sobre:
Definición 9.1.
uno a uno, sobre y biyectividad Sea f : X → Y una función.
1. f es inyectiva (uno a uno) si para cualquier par de elementos x1,
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x2 ∈ X,
x1 6= x2 =⇒ f(x1) 6= f(x2) o también: f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2
2. f es sobreyectiva (sobre) si para todo y ∈ Y existe un x ∈ X tal que
y = f(x).
3. f es biyectiva (biuńıvoca) si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Ejercicio 9.1. Pruebe que la función f : R → R dada por f(x) = 2x + 1 es
biyectiva.
Solución.
1. f es inyectiva, pues
f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 + 1 = 2x2 + 1 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2
2. f es sobre:
Debemos demostrar que para cualquier y ∈ R existe un x ∈ R tal que
f(x) = y. (9.1)
Para que esto último se cumpla,
f(x) = y =⇒ 2x+ 1 = y =⇒ 2x = y − 1 =⇒ x = y − 1
2
Nuestro candidato entonces es x = y−12 . Evaluemos f en dicho x para ver
si cumple (9.1):
f(x) = f
(
y − 1
2
)
= 2 ·
(
y − 1
2
)
+ 1 = y
Esto prueba que f es sobre.
Por tanto f es biuńıvoca. �X
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FUNCIONES INVERSAS
Dada una función f : X → Y , estudiaremos el siguiente problema:
Si conocemos el “valor de salida” y ∈ Y , ¿cómo determinar el
“valor de entrada” x ∈ X para el cual y = f(x)?
La relación que nos permite responder a este interrogante se llama función
inversa de f y para poderla definir, la función f debe cumplir ciertos requisitos
como lo muestra el ejemplo de la figura.
1
2
3
a
b
c
f
X Y
El primer inconveniente que se presenta con esta función es que para el “valor
de salida” c ∈ Y no existe un “valor de entrada” x ∈ X para el cual f(x) = c.
La otra dificultad es que para el “valor de salida” b ∈ Y existen dos “valores
de entrada” x = 2 y x = 3 para los cuales f(x) = b. La primera dificultad
se presenta porque f no es sobreyectiva, la segunda porque f no es inyecti-
va. Para poder definir la inversa de una función f necesitamos que ésta sea
biuńıvoca.
Definición 9.2 (Función inversa).
Considera f : X → Y biuńıvoca. La función inversa de f , denotada
por f−1, es la función f−1 : Y → X definida por:
f−1(y) = x ⇐⇒ y = f(x) (9.2)
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X Y
f
f−1
Ejemplo 9.1. La función f : R → R, dada por f(x) = 2x es biuńıvoca y su
inversa es la función f−1 : R → R, dada por f−1(x) = 12x porque
y = f(x) = 2x ⇐⇒ x = 1
2
y = f−1(y)
En particular, f−1(4) = 2 porque f(2) = 2 · 2 = 4.
Observación 9.1. Considera f : X → Y biuńıvoca. Entonces:
i. f−1 : Y → X.
ii. Dominio de f−1 = rango de f .
iii. Rango de f−1 = dominio de f .
Si nos dan una función f : X → Y biuńıvoca, ¿cómo determinar su inversa?.
El siguiente teorema nos puede resultar útil para verificar que una función
g : Y → X es la inversa de f .
Teorema 9.1. Considera una función f : X → Y biuńıvoca. Una fun-
ción g : Y → X es la inversa de f si, y sólo si se cumplen las dos
siguientes condiciones:
1. g(f(x)) = x para todo x ∈ X
2. f(g(y)) = y para todo y ∈ Y
Del teorema anterior se deduce que
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Corolario 1. Si f : X → Y es biuńıvoca,su inversa f−1 : Y → X
satisface
1. f−1(f(x)) = x para todo x ∈ X
2. f(f−1(y)) = y para todo y ∈ Y
En términos de la operación composición de funciones vista anteriormente,
el corolario anterior queda
f−1 ◦ f = f ◦ f−1 = i
donde i es la función identidad i(x) = x. En el ejemplo 9.1, f(x) = 2x,
f−1(x) = 12x y
f−1(f(x)) = f−1(2x) =
1
2
· 2x = x y f(f−1(x)) = f
(
1
2
x
)
= 2 · 1
2
x = x
Los anteriores resultados nos proporcionan herramientas para hallar la inversa
de una función f : X → Y en algunos casos (no siempre es posible). A
continuación escribimos una serie de pasos que nos pueden ayudar a encontrar
la inversa de una función:
Paso i. Comprueba que f es biuńıvoca.
Paso ii. Despeja x de la ecuación y = f(x) en términos de y para obtener
una ecuación de la forma x = f−1(y).
Paso iii. Verifica las condiciones del corolario (1):
(a) f−1(f(x)) = x para todo x ∈ X
(b) f(f−1(y)) = y para todo y ∈ Y
Ejemplo 9.2. Determinemos (si es posible) la inversa de la función f(x) =
2x + 1. La función f es biuńıvoca como se mostró en el Ejemplo 9.1. Proce-
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damos ahora a despejar x de y = 2x+ 1:
y = 2x+ 1 ⇐⇒ 2x = y − 1 ⇐⇒ x = y − 1
2
.
Como x = f−1(y), obtenemos
f−1(y) =
y − 1
2
(9.3)
El śımbolo “y” que denota a la variable independiente en (9.3) no tiene im-
portancia, lo podemos cambiar por “x”,“z”,“a”,“b”,. . . Como se acostumbra
denotar a la variable independiente con el śımbolo “x”, la inversa la escribimos
f−1(x) =
x− 1
2
Finalmente verificamos las condiciones del corolario (1):
f−1(f(x)) = f−1(2x+ 1)
=
2x+ 1− 1
2
=
2x
2
= x
f
(
f−1(x)
)
= f
(
x− 1
2
)
= 2 ·
(
x− 1
2
)
+ 1
= (x− 1) + 1 = x
Ejemplo 9.3. En este ejemplo vamos a hallar la inversa de la función f(x) =
x2, x ≥ 0. Como f es biuńıvoca (¿por qué?), procedamos a despejar x de
y = x2:
y = x2 =⇒ x = ±√y = +√y pues x es no-negativo.
Como x = f−1(y), obtenemos
f−1(y) =
√
y
Continuando con la tradición y cambiando el śımbolo “y” por “x” obtenemos
f−1(x) =
√
x
Finalmente verificamos las condiciones del corolario (1):
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a) f−1 (f(x)) = f−1
(
x2
)
=
√
x2 = |x| = x porque x ≥ 0.
b) f
(
f−1(x)
)
= f (
√
x) = (
√
x)
2
= x.
GRÁFICAS DE FUNCIONES INVERSAS
a
b
b
a
f−1
f
(a, b)
(b, a)
y
=
x
x
y
En esta sección estudiamos la relación que
existe entra la gráfica de una función f y la
gráfica de su inversa f−1.
Por la definición (9.2) de función inversa
f−1(b) = a ⇐⇒ b = f(a),
y por tanto el punto de coordenadas (a, b)
pertenece a la gráfica de f si, y sólo si el punto
(b, a) pertenece a la gráfica de f−1. Aśı, la gráfica de f−1 es la misma que la
de f excepto que los roles de los ejes x e y se cambian.
Observemos que los puntos (a, b) y (b, a) son simétricos respecto a la recta
y = x y por tanto las gráficas de f y f−1 son simétricas a dicha recta.
Ejemplo 9.4. A continuación graficamos las funciones inversas de los ejem-
plos (9.2) y (9.3) aśı como la inversa de f(x) = x3.
f−1
f
y
=
x
x
y
−1
−1
1
1
2
2
f−1
f
x
y
1
1
2
2
3
3
f−1
f
x
y
−2
−2
−1
−1
1
1
2
2
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES E INVERSAS
Teorema 9.2. Si f : X → Y y g : Y → X tienen inversas, entonces la
función compuesta g ◦ f : X → Y también tiene inversa y está dada por
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(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
•
x
•
f(x)
•
g(f(x))
f g
(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1
X Y X
Ejemplo 9.5. Consideremos las funciones f(x) = 1
x
y g(x) = x+1, entonces,
h(x) = (g ◦ f) (x) = g(f(x)) = g
(
1
x
)
=
1
x
+ 1
h−1(x) =
1
x− 1
Por otra parte,
f−1(x) =
1
x
, g−1(x) = x− 1
(f−1 ◦ g−1)(x) = f−1(g−1(x)) = f−1(x− 1) = 1
x− 1
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