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Luis Manuel Sánchez Ruiz 
Matilde Pilar Legua Fernández 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo matemático con 
aplicaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EDITORIAL 
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA 
 
Quinta edición, 2008 ▪ reimpresión 2015 
 
 
 
© Luis Manuel Sánchez Ruiz 
 Matilde Pilar Legua Fernández 
 
 
© de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València 
 distribución: Telf. 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0994_01_05_14 
 
 
Imprime: Byprint Percom, sl 
 
ISBN: 978-84-8363-295-6 
Impreso bajo demanda 
 
 
Queda prohibida la reproducción, la distribución, la comercialización, la transformación y, en 
general, cualquier otra forma de explotación, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de 
cualquier parte de esta obra sin autorización expresa y por escrito de los autores. 
 
Impreso en España 
 
 
 
 
Índice General
1 Algunas funciones reales 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 El Número complejo 27
2.1 Operaciones y representación . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Fórmula de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 La exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Métodos computacionales 45
3.1 Raíces de ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Descomposición factorial de un polinomio . . . . 45
3.1.2 Raíces enteras y fraccionarias . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Acotación de las raíces . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Resolución aproximada de ecuaciones . . . . . . . . . . . 61
i
ii
3.2.1 Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Método iterativo de punto fijo . . . . . . . . . . . 63
3.2.3 Método de regula-falsi o de las cuerdas . . . . . . 66
3.2.4 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Descomposición en fracciones simples . . . . . . . . . . . 72
3.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Cálculo de primitivas 81
4.1 Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Métodos elementales de integración . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Integrales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Integrales irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.1 Integral
R
R
³
x,
¡
ax+b
cx+d
¢ p1
m1 , . . . ,
¡
ax+b
cx+d
¢ pn
mn
´
dx . . . 94
4.4.2 Integrales
R
R
¡
x,
√
ax2 + bx+ c
¢
dx . . . . . . . . 96
4.4.3 Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5 Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.1 Función inversa racional . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.2 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 Integral definida: aplicaciones 113
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Función integrable Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.2 Cálculo de la integral definida . . . . . . . . . . . 122
5.2.3 Aplicación: Trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 Coordenadas polares y paramétricas . . . . . . . . . . . . 126
5.4 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4.1 Cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4.2 Volúmenes de revolución . . . . . . . . . . . . . . 134
iii
5.4.3 Otros volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.4 Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.5 Áreas de superficies de revolución . . . . . . . . . 147
5.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6 Integración aproximada 161
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 Métodos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 Métodos de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.1 Fórmula de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.2 Fórmula de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.3 Fórmula de 3/8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7 Integrales impropias 173
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.3 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4 Las funciones gamma y beta . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.5 Valor principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.6 Aplicación: Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.7 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.8 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8 Series 195
8.1 Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.1.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 195
8.1.2 Series de términos positivos . . . . . . . . . . . . 199
8.1.3 Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . 202
8.2 Sucesiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3 Series funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
iv
8.4 Series potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.4.1 Intervalo y radio de convergencia . . . . . . . . . 208
8.4.2 Desarrollo en serie de potencias . . . . . . . . . . 212
8.4.3 Aplicación: Cálculo integral . . . . . . . . . . . . 217
8.5 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5.1 Series trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5.2 Desarrollos en serie de Fourier . . . . . . . . . . . 220
8.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9 Funciones de varias variables 239
9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.2 Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.2.1 Nociones topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.2.2 Definición y cálculo de límites . . . . . . . . . . . 242
9.2.3 Límites en dos variables . . . . . . . . . . . . . . 244
9.2.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3 Funciones diferenciables y derivadas parciales . . . . . . 247
9.3.1 Derivadas direccionales y derivadas parciales . . . 247
9.3.2 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 251
9.3.3 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . 256
9.4 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.5 Aplicación: Estimación de errores . . . . . . . . . . . . . 262
9.6 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.6.1 Funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.6.2 Derivadas de funciones implícitas . . . . . . . . . 269
9.6.3 Aplicación: cambios de variable . . . . . . . . . . 273
9.7 Aplicación: Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.7.1 Extremos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.7.2 Extremos condicionados . . . . . . . . . . .. . . 279
9.8 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
v
10 Integrales paramétricas 293
10.1 Derivación bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . . . 293
10.2 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.3 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11 Integral curvilínea 303
11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.2 Integral de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . 304
11.3 Aplicaciones de la integral curvilínea . . . . . . . . . . . 307
11.3.1 Longitudes, masas y promedios . . . . . . . . . . 307
11.3.2 Áreas de superficies cilíndricas . . . . . . . . . . . 308
11.4 Integral de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.5 Aplicación: Cálculo de trabajos . . . . . . . . . . . . . . 313
11.6 Nociones de análisis vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.7 Teoría del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
11.8 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12 Integración superior 333
12.1 Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
12.1.1 Definición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
12.1.2 Cálculo de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . 340
12.1.3 Áreas y masas planas. Promedios . . . . . . . . . 342
12.1.4 Fórmula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.1.5 Cambios en integrales dobles . . . . . . . . . . . . 346
12.2 Superficies alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12.2.1 Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . 351
12.2.2 Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . 354
12.2.3 Área de una superficie alabeada . . . . . . . . . . 356
12.3 Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
12.3.1 Definición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
12.3.2 Aplicación: Masas y promedios . . . . . . . . . . 360
vi
12.4 Integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.4.1 Definición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.4.2 Volúmenes, masas y promedios . . . . . . . . . . 365
12.4.3 Cambios en integrales triples . . . . . . . . . . . . 366
12.5 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
12.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
13 Aplicaciones físicas 387
13.1 Centros de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2 Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
13.3 Integral de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.3.1 Definición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.3.2 Teoremas de Stokes y Ostrogradski . . . . . . . . 407
13.3.3 Aplicaciones de la integral de flujo . . . . . . . . 416
13.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
13.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14 Ecuaciones diferenciales 429
14.1 Introducción y conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . 429
14.2 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 431
14.2.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . 431
14.2.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.3.1 Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.3.2 Trayectorias isogonales . . . . . . . . . . . . . . . 434
14.3.3 Algunas ecuaciones de orden superior . . . . . . . 435
14.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
14.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
15 Anexo Sucesiones 441
15.0.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 441
15.0.2 Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
vii
Prólogo
Esta publicación persigue cubrir las necesidades básicas de conoci-
mientos de cálculo matemático que tienen los alumnos de Ingeniería. La
presentación de los temas tratados se hace del modo más simple posible
pero, siguiendo la recomendación de Albert Einstein, se ha procurado
no caer en presentarlos más simples de lo que son en realidad. Así se
tendrá ocasión de encontrar ejemplos que muestran el cuidado que se ha
de tener en verificar las hipótesis de los resultados que queramos utilizar;
de otro modo podemos llegar a conclusiones erróneas.
Se han incluido las demostraciones de aquellos resultados que se con-
sideran formativas o que acostumbran a realizar razonamientos lógicos
y un análisis crítico. Por otra parte, a lo largo de todo el texto, hay
una amplia exposición de ejemplos seleccionados para ayudar a entender
y asimilar los resultados presentados, finalizando cada capítulo con una
lista de ejercicios propuestos cuya resolución consolidará los conocimien-
tos adquiridos.
Comenzamos nuestra exposición viendo algunos aspectos relevantes
de algunas funciones de variable real y del cuerpo de los números com-
plejos, necesarios para poder afrontar el cálculo integral. De las técnicas
de integración deseamos resaltar las correspondientes a las integrales ra-
cionales ya que otros tipos de integrales, como pueden ser las irracionales
o trigonométricas, usualmente se reducen a resolver una integral racio-
nal. La técnica normalmente empleada, así como en otras aplicaciones
matemáticas, de descomponer una fracción propia en suma de fraccio-
nes simples, es expuesta previamente junto con algunos métodos para el
cálculo de raíces de ecuaciones.
Las aplicaciones de la integral definida presentadas incluyen el cálculo
de áreas de regiones planas y de superficies de revolución, longitudes de
curvas, volúmenes de algunos sólidos y el trabajo realizado por fuerzas
con punto de aplicación desplazado rectilíneamente. Dichas aplicaciones
son seguidas de métodos que permiten la evaluación aproximada de las
integrales definidas. Las integrales con límites de integración infinitos, y
que aparecen con frecuencia en algunas ramas de la Matemática, como
por ejemplo en Estadística, son estudiadas dentro del capítulo dedicado
a las integrales impropias.
Dentro del tema dedicado al estudio de las series, que son una herra-
viii
mienta básica en muchas técnicas de aproximación, resaltamos las series
potenciales y las de Fourier.
A continuación estudiamos las funciones de varias variables las cua-
les, además de tener interesantes aplicaciones en el cálculo de valores
extremos, son necesarias para abordar el tema de integrales dependien-
tes de un parámetro y realizar operaciones que aparecen con frecuencia,
por ejemplo derivar respecto de un parámetro introduciendo la derivación
bajo el signo integral.
Todos estos contenidos constituyen los primeros fundamentos mate-
máticos necesarios a alumnos de ingeniería en cuestiones de cálculo ma-
temático. Otras aplicaciones en las que aparezcan superficies alabeadas,
sólidos que no sean de revolución, fuerzas cuyos puntos de aplicación
siguen curvas alabeadas o flujos de campos vectoriales, por ejemplo, re-
quieren otros tipos de integrales: curvilíneas, dobles, triples, de superficie
y flujo, que son estudiadas sucesivamente.
Finaliza el texto con una introducción a las técnicas fundamentales de
resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ampliación
del estudio de técnicas de resolución y aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales puede encontrarse en nuestro texto Ecuaciones Diferenciales
y Transformadas de Laplace con Aplicaciones.
Los autores expresan su reconocimiento al profesor Manuel Legua
(1924—99), catedrático desde 1964 a 1989 de la Escuela Universitaria
de Ingeniería Técnica Industrial de Valencia —transformada en Escuela
Técnica Superior de Ingeniería del Diseño en 2002—, que lestransmitió
la forma de enfocar la didáctica de las matemáticas destinadas a cubrir
las necesidades de los ingenieros.
Agradecemos las sugerencias recibidas de Jose Antonio Moraño y Do-
lors Roselló respecto de la edición anterior y que son incorporadas en di-
versos capítulos de este texto. También ha mejorado esta edición gracias
a los alumnos que han detectado algunas erratas y que, con sus dudas
y querer saber, han señalado los temas en los cuales tenían una mayor
dificultad. Esperamos que este texto facilite el trabajo de aprendizaje de
los futuros usuarios del cálculo matemático y sus aplicaciones.
Los autores
Capítulo 1
Algunas funciones reales
1.1 Introducción
En este primer capítulo estudiaremos las funciones hiperbólicas y sus
inversas, previa definición de dicho concepto y estudio de ciertas propie-
dades que poseen éstas. Las funciones hiperbólicas son de gran utilidad
en la técnica y el cálculo integral, y están íntimamente relacionadas con
el número e cuya definición recordamos mas adelante y, que si bien pue-
de parecer artificiosa y poco más que un ingenioso invento, no deja de
ser sorprendente la cantidad de fenómenos de la naturaleza, económicos,
científicos y técnicos en cuya explicación aparece dicho número y estas
funciones.
También en este primer capítulo repasaremos las derivadas de las
funciones trigonométricas inversas.
Comenzamos recordando algunas nociones relacionadas con la deri-
vada de una función real de variable real que son de utilidad para la
representación gráfica de las mismas.
Una función f de variable real tiene derivada en x0 ∈ R si existe
f 0(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
valor que coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma
OX con la tangente geométrica a la gráfica de f en (x0, f (x0)).
Si f 0(x0)
(
> 0⇒ f es creciente en x0.
< 0⇒ f es decreciente en x0.
1
2 Capítulo 1
Si f 0(x0) = 0 y f 0 cambia de signo en x0 pasando de tomar valores
positivos a negativos, entonces f tiene un máximo en x0. Si el cambio de
signos es el contrario, f tiene un mínimo en x0.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (x0, f (x0)) es
y − f (x0) = f 0 (x0) (x− x0) .
Y la recta normal en (x0, f (x0)) es
y − f (x0) = −
1
f 0 (x0)
(x− x0)
si f 0(x0) 6= 0, y x = x0 si f 0(x0) = 0.
1.2 Funciones inversas
Se dice que g es una función inversa de f , y se indica denotando
g = f−1, si f (g(x)) = x, para cada x del dominio de g, y g (f(x)) = x
para cada x del dominio de f . Por tanto la función inversa de f−1 es f,
y el dominio de f−1 coincide con el rango de f .
Ejemplo 1.2.1 Comprobar que f(x) = 5x3 + 2 y g(x) = 3
q
x−2
5
son
funciones inversas.
Sol.: Como el rango de cada una de estas dos funciones, R en este caso,
coincide con el dominio de la otra, es posible componerlas. De
f (g(x)) = 5
Ã
3
r
x− 2
5
!3
+ 2 = x, g (f(x)) =
3
r
(5x3 + 2)− 2
5
= x,
se deduce que f y g son funciones inversas.
No toda función admite función inversa. De hecho, una función f
posee función inversa si y sólo si f es inyectiva en su dominio Df . Si f
no es inyectiva en Df pero sí en algún subconjunto D ⊂ Df entonces la
restricción de f a D tiene inversa.
El método general de encontrar la función inversa de y = f(x) es:
• Despejar x de esta ecuación, x = g(y).
Algunas funciones reales 3
• Intercambiar las variables x e y, escribiendo y = g(x).
• Tomar como dominio de g el rango de f .
• Comprobar que f(g(x)) = x, g(f(x)) = x.
Ejemplo 1.2.2 Encontrar la función inversa de f(x) = 5x3 + 2.
Sol.: Despejando x de y = 5x3 + 2 nos da
x3 =
y − 2
5
⇒ x = 3
r
y − 2
5
.
Intercambiando las variables x e y,
y =
3
r
x− 2
5
= g(x).
La comprobación de que efectivamente g = f−1 ha sido realizada en el
ejercicio anterior.
Ejemplo 1.2.3 Estudiar si la función f(x) = x2 tiene función inversa.
Sol.: La función dada no es inyectiva en R, por lo que considerada la
función f definida en toda la recta real, no tiene función inversa.
x 420-2-4
25
20
15
10
5
0
f(x) = x2
Sin embargo f(x) = x2 sí que es inyectiva en ]−∞, 0] y [0,+∞[. En
cada uno de estos intervalos, siguiendo el método descrito anteriormente,
obtenemos como función inversa de f a las funciones g y h definidas por
g(x) = f−1(x) = −
√
x, h(x) = f−1(x) =
√
x.
Dos importantes propiedades de la función inversa son las siguientes.
4 Capítulo 1
Teorema 1.2.4 Las gráficas de funciones inversas f y g son simétricas
respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Dem.: Hay que probar que el punto (x, y) pertenece a la gráfica de f si
y sólo si el punto (y, x) pertenece a la gráfica de g. Si (x, y) pertenece a
la gráfica de f , entonces y = f(x) por lo que g(y) = g (f(x)) = x por ser
g función inversa de f , y el punto (y, x) pertenece a la gráfica de g.
El recíproco es inmediato.
Teorema 1.2.5 Si f es derivable en su dominio y tiene función inversa
g, entonces la derivada de g viene dada por
g0(x) =
1
f 0 (g(x))
,
en cada punto x en que f 0 (g(x)) 6= 0.
Dem.: Una prueba formal de este resultado requiere probar previamente
la existencia de g0. Suponiendo que esto es cierto, es sencillo deducir la
fórmula. Partimos de
f(g(x)) = x,
por ser g función inversa de f , y derivamos en ambos miembros,
f 0 (g(x)) g0(x) = 1.
Si f 0 (g(x)) 6= 0, despejando g0(x) se obtiene la fórmula buscada.
En la práctica puede ser útil para aplicar esta fórmula simplemente
recordar que dy
dx
= 1dx
dy
, donde en el primer miembro estamos derivando
respecto de x la función inversa y = g(x), en el segundo la función
x = f(y) respecto de y, y tener en cuenta que posteriormente se ha
de sustituir la y del segundo miembro por su valor, g(x).
Ejemplo 1.2.6 Comprobar que la derivada de la función g, inversa de
f del Ejemplo 1.2.2, es la recíproca de la derivada de f evaluada en g(x).
Sol.: La recíproca de la derivada de f evaluada en g(x) es
1
15 (g(x))2
=
1
15
³
3
q
x−2
5
´2 .
Algunas funciones reales 5
La derivada de la función inversa coincide con ella ya que
g0(x) =
1
3
µ
x− 2
5
¶− 2
3 1
5
.
1.3 Logaritmos y exponenciales
Recordamos ahora que la sucesión½µ
1 +
1
n
¶n
, n = 1, 2, . . .
¾
,
es monótona creciente y acotada superiormente, por lo que converge a
un número real, el número e. Es un número real trascendente, lo cual
significa que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes
enteros
anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0, n ∈ N, ai ∈ Z, 0 ≤ i ≤ n.
Sus primeras cifras son e = 2.718281828459 . . .
La función exponencial
exp(x) = ex, x ∈ R,
es positiva, estrictamente creciente, con el eje OX como asíntota cuando
x→ −∞, su derivada es ella misma, ex, y su rango es ]0,+∞[.
Para facilitar su comprensión damos su gráfica en escalas diferentes.
x 420-2-4
140
120
100
80
60
40
20
0
y = ex
x 1.510.50-0.5-1-1.5
4
3
2
1
y = ex
Por ser f(x) = ex biyectiva de R en R+ = ]0,+∞[ tiene función inversa
con dominio R+ y rango R. Se representa
f−1(x) = lnx
6 Capítulo 1
y se le denomina logaritmo neperiano o natural.
Por ser función inversa de ex,
ln ex = x, elnx = x,
y por ello ln 1 = 0. Además es fácil obtener:
ln (x · y) = lnx+ ln y, ln
µ
x
y
¶
= lnx− ln y, ln (xy) = y lnx.
Su gráfica es la curva simétrica respecto de la bisectriz del primer
y tercer cuadrante de la gráfica de y = ex. Por tanto es estrictamente
creciente, y tiene al semieje OY 0 como asíntota vertical cuando x→ 0+.
x 543210-1-2
2
1
0
-1
-2
-3
-4
y = lnx
Su derivada, como función inversa de la exponencial, viene dada por
d
dx
(lnx) =
1
elnx
=
1
x
.
Nota 1.3.1 Hemos introducido la función logaritmo a partir de la ex-
ponencial. Una introducción rigurosa de esta última es ardua, siendo
uno de los métodos más sencillos como la función definida por la serie de
potencias
ex =
∞X
n=0
xn
n!
, x ∈ R.
Pero esto conlleva no poder trabajar con ella hasta que se han estu-
diado las series de potencias.
Algunas funciones reales 7
Otra posibilidad es introducir primero la función logaritmo como
lnx =
Z x
1
1
x
dx ∀x > 0,
primitiva de 1
x
,por lo que d
dx
(lnx) = 1
x
. Si se hace esto, es inmediato que
ln 1 = 0, definiéndose el número e como el real que haceZ e
1
1
x
dx = 1,
el cual existe ya que la función lnx así definida es continua y en el inter-
valo [1,+∞[ toma todos los valores de [0,+∞[.
Entonces la exponencial es la función inversa del logaritmo pero esto
trae consigo no poder utilizar las funciones logaritmo y exponencial hasta
que se ha estudiado la integral indefinida.
Por tanto, si bien formalmente es más correcto seguir cualquiera de
estas dos vías, no consideramos que los beneficios reportados compensen
la rémora de no poder utilizar mientras tanto ambas funciones y las
supondremos ya conocidas.
Una vez definidas las funciones exponencial y logaritmo neperiano, es
posible definir la exponencial de base a para cada a > 0 como
ax = ex·ln a, x ∈ R.
x 3210-1-2-3
8
6
4
2
0
y = 2x
x 3210-1-2-3
120
100
80
60
40
20
0
y =
¡
1
5
¢x
Y dado a > 0, a 6= 1, se define logaritmo en base a, loga, como
la función inversa de ax (log1 no está definido ya que 1x no tiene fun-
ción inversa). Cuando la base a es 10 la función logaritmo se denomina
logaritmo decimal.
8 Capítulo 1
Es posible pasar de logaritmos neperianos a decimales y viceversa
aplicando que
lnx = log10 x
log10 e
, log10 e = 0.43429448 . . .
log10 x =
lnx
ln 10
, ln 10 = 2.302585093 . . .
Proponemos como ejercicio demostrar la fórmula general según la cual
dados a, b, x > 0, a, b 6= 1,
loga x =
logb x
logb a
.
x 543210-1-2
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
y = log10 x
x 543210-1-2
8
6
4
2
0
-2
y = log 1
2
x
1.4 Funciones trigonométricas inversas
Suponemos que se tiene una cierta familiaridad con las funciones trigo-
nométricas inversas,
arcsenx, arccosx, arctan x, arcsecx, arccscx, arccotx.
Recordemos, por ejemplo, que
y = arcsenx si x = sen y
y que arcsenx es la función inversa de la función senx en cualquier in-
tervalo en que esta última es inyectiva, considerándose de modo usual el
intervalo
£
−π
2
, π
2
¤
.
Algunas funciones reales 9
La siguiente tabla recoge el dominio Df , rango Rf y derivada f 0 de
cada función trigonométrica inversa. Se incluye también el dominio Df 0
de las derivadas.
Función f(x) Df Rf f
0 (x) Df 0
arcsenx [−1, 1]
£
−π
2
, π
2
¤
1√
1−x2 ]−1, 1[
arccosx [−1, 1] [0,π] −1√
1−x2 ]−1, 1[
arctanx R
¤
−π
2
, π
2
£
1
1+x2
R
arccscx R \ ]−1, 1[
£
−π
2
, π
2
¤
\ {0} −1|x|√x2−1 R \ [−1, 1]
arcsecx R \ ]−1, 1[ [0,π] \
©
π
2
ª
1
|x|√x2−1 R \ [−1, 1]
arccotx R ]0,π[ −1
1+x2
R
1.5 Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas se definen analíticamente del siguiente modo:
Seno hiperbólico shx = e
x−e−x
2
.
Coseno hiperbólico chx = e
x+e−x
2
.
Tangente hiperbólica thx = shx
chx
= e
x−e−x
ex+e−x .
Cosecante hiperbólica cschx = 1
shx
= 2
ex−e−x .
Secante hiperbólica sechx = 1
chx
= 2
ex+e−x .
Cotangente hiperbólica cothx = chx
shx
= e
x+e−x
ex−e−x .
Algunos valores de estas funciones son fáciles de calcular como por
ejemplo
sh 0 = 0, ch 0 = 1, th 0 = 0.
Por tanto, las funciones cosecante hiperbólica y cotangente hiperbólica
no están definidas en 0.
Para continuar el estudio de las funciones hiperbólicas, y facilitar su
representación gráfica, es conveniente calcular sus derivadas.
10 Capítulo 1
Seno hiperbólico
La gráfica de la función shx es sencilla de hallar como semidiferencia de
las exponenciales ex y e−x.
Además recordemos que una función de una variable real f(x) es
impar si
f(−x) = −f(x)
para todo x de su dominio, y cuando esto ocurre la representación gráfica
de la función es simétrica respecto del origen O.
Como la función shx es impar ya que
sh (−x) = e
−x − e−(−x)
2
= −e
x − e−x
2
= − shx, ∀x ∈ R,
basta hallar su gráfica para valores positivos de x y, por simetría respecto
de O, obtener su gráfica para los valores negativos de x.
Por otra parte, su derivada es
d
dx
(shx) =
d
dx
µ
ex − e−x
2
¶
=
ex + e−x
2
= chx,
que siempre toma valores positivos, por lo que la función shx es estric-
tamente creciente. Su pendiente en el origen es ch 0 = 1.
Por tanto, la función sh x tiene por dominio y rango R, es impar y
estrictamente creciente.
x 3210-1-2-3
10
5
0
-5
-10
y = shx
Algunas funciones reales 11
Coseno hiperbólico
La gráfica de chx puede hallarse como semisuma de las exponenciales ex
y e−x.
Por otra parte recordemos que una función de una variable real f(x)
es par si
f(−x) = f(x)
para todo x de su dominio. Cuando esto ocurre la gráfica de f es si-
métrica respecto del eje de ordenadas OY .
En este caso la función chx es par ya que
ch (−x) = e
−x + e−(−x)
2
=
ex + e−x
2
= chx ∀x ∈ R.
Por ello basta representarla para valores positivos de x y, por simetría
respecto de OY, obtener la representación para los valores negativos de
x. Además,
d
dx
(chx) =
d
dx
µ
ex + e−x
2
¶
=
ex − e−x
2
= shx,
que toma valores negativos si x < 0, nulo en x = 0, y positivos si x > 0.
La función ch x tiene por dominio R, rango [1,+∞[, es par, decre-
ciente para valores negativos de x, creciente para los valores positivos y
alcanza en x = 0 el valor mínimo 1.
x 3210-1-2-3
10
8
6
4
2
y = chx
12 Capítulo 1
Tangente hiperbólica
Es fácil obtener la gráfica de la función thx como cociente de las funciones
shx y chx. La función thx tiene por dominio R, rango ]−1, 1[ y es
estrictamente creciente.
Su gráfica tiene asíntota horizontal y = −1 por la izquierda, e y = 1
por la derecha. Su derivada es
d
dx
(thx) = sech2x = 1− th2x.
.
x 420-2-4
1
0.5
0
-0.5
-1
y = thx
Cosecante hiperbólica
La derivada de la cosecante hiperbólica es
d
dx
(cschx) = − chx csch2x.
La función cschx tiene por dominio y rango R \ {0}, es estrictamente
decreciente en ]−∞, 0[ y en ]0,+∞[ , pero no en todo su dominio.
Su gráfica tiene como asintota horizontal y = 0, por la derecha e
izquierda, y es asintótica verticalmente con x = 0.
x 3210-1-2-3
6
4
2
0
-2
-4
-6
y = cschx
Algunas funciones reales 13
Secante hiperbólica
La derivada de la secante hiperbólica es
d
dx
(sechx) = −shx sech2x.
La función sechx tiene por dominio R, rango ]0, 1] y alcanza su valor
máximo, 1, en x = 0.
Su gráfica es asintótica a y = 0 por la derecha e izquierda.
x 420-2-4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
y = sechx
Cotangente hiperbólica
La derivada de la cotangente hiperbólica es
d
dx
(cothx) = −csch2x = 1− coth2 x.
La función cothx tiene por dominio R \ {0} y rango R \ [−1, 1].
Su gráfica es asintótica horizontalmente con y = 1 por la derecha, con
y = −1 por la izquierda, y verticalmente en x = 0.
x 420-2-4
3
2
1
0
-1
-2
-3
y = cothx
14 Capítulo 1
Fórmulas fundamentales
Se puede observar que algunas de las derivadas de las funciones hiper-
bólicas coinciden con sus homólogas trigonométricas y otras difieren en
algún signo. Esto ocurre también con algunas fórmulas fundamentales
de trigonometría.
Así, las fórmulas análogas a
cos2 x+ sen2x = 1, cos2 x− sen2x = cos 2x,
vienen incluidas en el siguiente teorema.
Teorema 1.5.1 Para cada x ∈ R se verifica:
ch2x− sh2x = 1, ch2x+ sh2x = ch2x.
Dem.: Sumando y restando miembro a miembro las expresiones de chx
y shx,
chx+ shx =
ex + e−x
2
+
ex − e−x
2
= ex,
chx− shx = e
x + e−x
2
− e
x − e−x
2
= e−x.
Multiplicando las fórmulas anteriores miembro a miembro,
(chx+ shx)(chx− shx) = ex · e−x = e0 = 1.
Y como suma por diferencia es diferencia de cuadrados, queda la primera
fórmula buscada
ch2x− sh2x = 1.
Elevando al cuadrado las dos primeras fórmulas obtenidas en la presente
demostración queda,
ch2x+ 2 chx shx+ sh2x = e2x,
ch2x− 2 chx shx+ sh2x = e−2x.
Sumando miembro a miembro las expresiones obtenidas y dividiendo por
dos ambos términos queda
ch2x+ sh2x =
e2x + e−2x
2
= ch 2x.
Algunas funciones reales 15
Existen fórmulas similares a las trigonométricas cuando éstas actúan
sobre una suma o diferencia de argumentos. Dejamos su demostración
como sencillo ejercicio a realizar.
Teorema 1.5.2 Para cada x, y ∈ R se verifica:
sh (x± y) = shx ch y ± sh y chx,
ch (x± y) = chx ch y ± sh y shx,th (x± y) = th x± th y
1± th x th y .
Corolario 1.5.3 Para cada x ∈ R se verifica:
sh 2x = 2 shx chx, ch 2x = ch2x+ sh2x, th 2x =
2 th x
1 + th2x
.
1.6 Funciones hiperbólicas inversas
Las funciones inversas de las hiperbólicas se definen de modo análogo a
las inversas de las trigonométricas.
Se dice que y = argshx si x =sh y.
Se dice que y = argchx si x =ch y.
Se dice que y =argthx si x =th y.
Se dice que y =argsechx si x = sech y.
Se dice que y =argcschx si x = csch y.
Se dice que y = argcothx si x = coth y.
Las gráficas se obtienen por simetría, respecto de la bisectriz del pri-
mer y tercer cuadrante, de las funciones hiperbólicas directas.
16 Capítulo 1
Argumento seno hiperbólico
x 151050-5-10-15
y
3
2
1
0
-1
-2
-3
y = argsh x
La función argsh x tiene por dominio y rango R, es impar y estrictamente
creciente.
Argumento coseno hiperbólico
Las funciones chx y sechx no son inyectivas por lo que deberíamos res-
tringir su dominio de modo que lo fuesen. No obstante, representaremos
sus funciones inversas, argchx y argsechx, tomando dos posibles valores
en cada x 6= 1 ya que eventualmente puede ser útil.
x 86420
y
2
1
0
-1
-2
y = argch x
La función argch x tiene por dominio [1,+∞[ y rango R.
Para cada x ∈ ]1,+∞[ existen dos posibles valores de argch x, siendo
creciente la rama superior y decreciente la inferior.
Algunas funciones reales 17
Argumento tangente hiperbólica
x 10.50-0.5-1
y
6
4
2
0
-2
-4
-6
y = argth x
La función argthx tiene por dominio ]−1, 1[, rango R y es estrictamente
creciente.
Su gráfica tiene como asíntotas verticales las rectas x = −1 y x = 1.
Argumento cosecante hiperbólica
x 3210-1-2-3
6
4
2
0
-2
-4
-6
y = arg csch x
La función argcschx tiene por dominio y rango R \ {0}, es estrictamente
decreciente en R− = ]−∞, 0[ y en R+ = ]0,+∞[ pero no en todo su
dominio.
Su gráfica es asintótica a los ejes coordenados.
18 Capítulo 1
Argumento secante hiperbólica
x 10.80.60.40.20
y
3
2
1
0
-1
-2
-3
y = arg sech x
La función argsechx tiene por dominio ]0, 1] y su rango es R.
Para cada x ∈ ]0, 1[ existen dos posibles valores de argsechx, siendo
decreciente la rama superior y creciente la inferior.
Argumento cotangente hiperbólica
x 210-1-2
4
2
0
-2
-4
y = arg coth x
La función argcothx tiene por dominio R \ [−1, 1] y rango R \ {0}.
Su gráfica es asintótica verticalmente a x = −1 por la izquierda, a
x = 1 por la derecha, y horizontalmente al eje OX por ambos lados.
Teorema 1.6.1 Las seis funciones hiperbólicas inversas admiten una ex-
presión logarítmica que viene recogida en la tabla siguiente junto con el
Algunas funciones reales 19
dominio de definición correspondiente.
Función f(x) Expresión logarítmica Df
argshx ln
¡
x+
√
x2 + 1
¢
R
argchx ln
¡
x±
√
x2 − 1
¢
[1,+∞[
argthx 1
2
ln 1+x
1−x ]−1, 1[
argcschx ln 1±
√
1+x2
x
“ + ” en R+
“− ” en R−
argsechx ln 1±
√
1−x2
x
]0, 1]
arg cothx 1
2
ln x+1
x−1 R \ [−1, 1]
Dem.: Para deducir la primera fórmula llamamos y = argshx. Entonces
x = sh y =
ey − e−y
2
.
Multiplicando por 2ey queda
2xey = (ey)2 − 1⇔ (ey)2 − 2xey − 1 = 0.
La solución de esta ecuación de segundo grado con incógnita ey es
ey = x±
√
x2 + 1.
En esta expresión se prescinde del signo negativo porque ey > 0 para
todo y ∈ R. Tomando logaritmos obtenemos
argshx = ln
³
x+
√
x2 + 1
´
, x ∈ R.
Para deducir la segunda fórmula consideramos y = argchx, es decir
x = ch y =
ey + e−y
2
.
Entonces
2xey = (ey)2 + 1⇔ (ey)2 − 2xey + 1 = 0,
ey = x±
√
x2 − 1.
Ahora el segundo miembro es positivo para ambos signos para todo x ≥ 1,
por lo que no debemos desechar ninguna solución como hicimos antes.
20 Capítulo 1
De hecho es lógico que esto ocurra ya que argchx existe para x ≥ 1
tomando dos valores diferentes para cada x > 1,
argchx = ln
³
x±
√
x2 − 1
´
, x ≥ 1.
Para la tercera expresión, y = argthx si
x = th y =
ey − e−y
ey + e−y
.
Operando,
xey + xe−y = ey − e−y ⇔ 1 + x = (ey)2 (1− x)⇔ e2y = 1 + x
1− x.
Para −1 < x < 1, donde argthx existe, la última operación es correcta
pues entonces 1 − x 6= 0 y el segundo miembro es positivo. Tomando
logaritmos y despejando y, obtenemos
2y = ln
1 + x
1− x ⇒ argthx =
1
2
ln
1 + x
1− x, −1 < x < 1.
Se deja como ejercicio deducir las tres últimas fórmulas.
Nota 1.6.2 Una vez obtenidas las tres primeras expresiones logarítmicas
el método más rápido de calcular las tres últimas es aplicar que
argcschx = argsh
1
x
, argsechx = argch
1
x
, arg cothx = argth
1
x
.
En efecto, la primera de estas identidades se deduce de
y = argcschx⇔ x = csch y = 1
sh y
⇔ sh y = 1
x
⇔ y = argsh 1
x
.
Las otras se deducen de modo análogo. Así, por ejemplo,
argcschx = argsh
1
x
= ln
Ã
1
x
+
r
1
x2
+ 1
!
= ln
Ã
1
x
+
√
1 + x2
|x|
!
= ln
1±
√
1 + x2
x
(
tomar “ + ” ∀x > 0,
tomar “− ” ∀x < 0.
Algunas funciones reales 21
Teorema 1.6.3 Las derivadas y dominio de existencia de las funciones
hiperbólicas inversas son:
Función f(x) f 0 (x) Df 0
argshx 1√
x2+1
R
argchx ±1√
x2−1 ]1,+∞[
argthx 1
1−x2 ]−1, 1[
argcschx ∓1
x
√
1+x2
“− ” en R+
“ + ” en R−
argsechx ∓1
x
√
1−x2 ]0, 1[
arg cothx 1
1−x2 R \ [−1, 1]
Dem.: Teniendo en cuenta las expresiones logarítmicas de estas funciones,
d
dx
(argshx) =
d
dx
³
ln(x+
√
x2 + 1)
´
=
1 + x√
x2+1
x+
√
x2 + 1
=
1√
x2 + 1
,
d
dx
(argchx) =
d
dx
³
ln
³
x±
√
x2 − 1
´´
=
1± x√
x2−1
x±
√
x2 − 1
=
√
x2−1±x√
x2−1
x±
√
x2 − 1
=
±1√
x2 − 1
.
El ±1 se debe a que estamos simultaneando dos cálculos, con los signos
que aparecen superiormente y con los que aparecen inferiormente.
Se propone como ejercicio obtener las restantes derivadas.
Nota 1.6.4 En las tres últimas derivadas existe la alternativa de apro-
vechar las tres primeras teniendo en cuenta las expresiones dadas al prin-
cipio de la Nota 1.6.2.
1.7 Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.7.1 Halla la inversa, si existe, de
f(x) =
2x
1 + 2x
.
22 Capítulo 1
Sol.: La función f es inyectiva en todo su dominio, R, ya que ∀x1, x2 ∈ R
f(x1) = f(x2)⇔
2x1
1 + 2x1
=
2x2
1 + 2x2
⇒
2x1 (1 + 2x2) = 2x2 (1 + 2x1)⇒ 2x1 = 2x2 ⇒ x1 = x2.
Por lo tanto f admite función inversa en R. Para su obtención despeja-
mos x de y = 2
x
1+2x
y =
2x
1 + 2x
⇒ (1 + 2x) y − 2x = 0⇒ 2x(y − 1) = −y
⇒ 2x = y
1− y ⇒ x = lg2
y
1− y .
Intercambiamos las variables x e y,
y = lg2
x
1− x.
Luego f−1 (x) = lg2
x
1−x .
Ejercicio 1.7.2 Halla la derivada de la función y = x
(1+x)x
.
Sol.: Para derivar funciones del tipo f(x)g(x) se utiliza la derivación
logaritmica consistente en tomar previamente logaritmos en la función a
derivar. En este caso,
ln y = lnx− x ln(1 + x)
Derivando respecto a x ambos miembros,
y0
y
=
1
x
− ln(1 + x)− x
x+ 1
⇒
y0 =
1
(1 + x)x
− 1
(1 + x)x
µ
x ln(1 + x)− x
2
x+ 1
¶
.
Ejercicio 1.7.3 Halla los puntos críticos de
f(x) = ln
µ
cosh
x
x− 1
¶
.
En cada uno de ellos indica si la función alcanza un máximo, mínimo o
tiene un punto de inflexión
Algunas funciones reales 23
Sol.: Los puntos críticos de f(x) son aquellos valores de x para los que
f 0(x) se anula.
f 0(x) =
sinh x
x−1
cosh x
x−1
· −1
(x− 1)2 =
−1
(x− 1)2 tanh
x
x− 1 .
Como f 0(x) = 0 únicamente para x = 0, éste es el único punto crítico.
Derivando nuevamente,
f 00(x) = − 1
(x− 1)4 tanh
2 x
x− 1 +
2
(x− 1)3 tanh
x
x− 1 +
1
(x− 1)4 .
Sustituyendo en x = 0, f 00(0) = 1 > 0. Por tanto f alcanza en x = 0 un
mínimo.
Ejercicio 1.7.4 Demuestra que
d
dx
[loga x] =
loga e
x
, x > 0, a > 1
Sol.: Dados a, b, x > 0 y a, b 6= 1
loga x =
logb x
logb a
.
Tomando b = e,
loga x =
loge x
loge a
=
lnx
loge a
loge a =
loga a
loga e
=
1
loga e
⇒ loga x = loga e · lnx
Derivando,
d
dx
[loga x] =
loga e
x
.
Ejercicio 1.7.5 Teniendo en cuenta que d
dx
[loga f(x)] =
f 0(x)
f(x)
loga e, ob-
tén la derivada de
y = log10 cosh(
√
x3 − 1)
Sol.:
y0(x) =
d
dx
cosh
¡√
x3 − 1
¢
cosh
¡√
x3 − 1
¢ log10 e = sinh
¡√
x3 − 1
¢
· 3x2
2
√
x3−1
cosh
¡√
x3 − 1
¢ log10 e
=
3x2
2
√
x3 − 1
· 1
ln 10
tanh
³√
x3 − 1
´
.
24Capítulo 1
1.8 Ejercicios propuestos
1. La carga Q de un condensador sigue la ecuación
Q = K
¡
1− e−50t
¢
, K cte.,
donde t es la variable tiempo. ¿Qué significado físico tiene la cons-
tante K?¿Tras cuánto tiempo se tendrá que Q
K
= 1
2
?
2. La presión atmosférica a h metros de altura viene dada por
p(h) = p(0)e−15·10
−5h,
donde p(0) es la presión a nivel del mar, 105 pascals. Calcula la
presión a 3000 m, de altitud y averigua a qué altitud la presión
atmosférica es 1/3 de la que hay a nivel del mar.
3. Se dice que un capital C(0) devenga un interés compuesto al r
por uno anual, con intereses devengados mensualmente si, tras m
meses, el capital obtenido es
C(m) = C(0)
³
1 +
r
12
´m
, m ∈ N.
Y que devenga un interés continuo al r por uno anual si, tras t
años, el capital obtenido es
C(t) = C(0)ert, t ∈ R+.
Averigua el tiempo que hemos de mantener un capital invertido a
un interés continuo del 8% anual para obtener al final un capital que
triplique la inversión original. ¿Y si el interés citado es compuesto
y se devenga mensualmente?
4. Explica si las funciones siguientes admiten función inversa en los
intervalos indicados.
f(x) = |x| , x ∈ [−1, 1] ; g(x) = 2 +
√
x, x ∈ [0,+∞[ .
En caso afirmativo, encuéntrala. En caso negativo, estudia si exis-
ten otros dominios donde sí tengan función inversa.
Algunas funciones reales 25
5. Encuentra la función inversa de
y =
x√
x2 + 1
.
6. Demuestra que
log10 e · ln 10 = 1.
7. Demuestra que dados a, x > 0, a 6= 1,
loga x+ log 1
a
x = 0.
8. Dado a > 0, a 6= 1, demuestra, a partir de la definición de ax, que
d
dx
¡
af(x)
¢
= af(x)f 0(x) ln a.
9. Demuestra que el producto de dos funciones pares o impares es par
y que el producto o cociente de una función par por una impar es
impar.
10. Demuestra que
arcsenx = arccos
√
1− x2
arctan x = arcsen
x√
1 + x2
arcsenx± arcsen y = arcsen
³
x
p
1− y2 ± y
√
1− x2
´
arccosx± arccos y = arccos
³
xy ∓
p
(1− x2) (1− y2)
´
arctan x± arctan y = arctan x± y
1∓ xy
11. Comprueba las fórmulas de derivación,
d
dx
(thx) = sech2x = 1− th2x, d
dx
(cschx) = − chx csch2x,
d
dx
(cothx) = − csch2x = 1− coth2x, d
dx
(sechx) = − shx sech2x.
12. Demuestra las siguientes fórmulas de las funciones hiperbólicas,
shx+ sh y = 2 sh x+y
2
ch x−y
2
, argsechx = argch 1
x
,
chx+ ch y = 2ch x+y
2
ch x−y
2
, argcothx = argth 1
x
.
26 Capítulo 1
13. Demuestra que son opuestos entre sí los dos valores dados por la
expresión logarítmica
argchx = ln
³
x±
√
x2 − 1
´
, x ≥ 1.
14. Supongamos que un bote se encuentra a 20 m de distancia del
muelle de un puerto, unido a éste por una cuerda de 20 m de
longitud. Comenzamos a caminar a lo largo del muelle arrastrando
el bote por medio de la cuerda, ¿cuánto deberemos andar para
conseguir que el bote se encuentre a 5 m del muelle?
Se recuerda que si identificamos el muelle con el eje OY , la cuerda
es de longitud l y sus extremos se encuentran en el origen de co-
ordenadas y (l, 0) en el instante inicial, la curva descrita por este
segundo extremo, al desplazar el primero por eje OY , se denomina
tractriz y tiene por ecuación
y = l argsech
x
l
−
√
l2 − x2.
15. Halla las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas utilizando
el método general de derivación de funciones inversas.
Capítulo 2
El Número complejo
2.1 Operaciones y representación
Un número complejo (en forma cartesiana) es un par ordenado de
números reales z = (x, y). Al valor de la primera coordenada se le llama
parte real, y a la segunda parte imaginaria de z. Se representa por
x = Re(z), y = Im(z).
El conjunto de todos los números complejos se designa por C y dos núme-
ros z1, z2 ∈ C son iguales si Re(z1) = Re(z2), Im(z1) = Im(z2).
Así comoR se representa sobre una rec-
ta, C se representa en un plano car-
tesiano, denominado plano complejo,
donde el punto de coordenadas (x, y),
representación de z = (x, y) ∈ C, se
denomina afijo de z. Al eje de abscisas
se le llama eje real, y al de ordenadas
eje imaginario. -
6
X
Y
O
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡µ
z = (x, y)
A veces se representa a z = (x, y) mediante el vector que une al origen
O(0, 0) con su afijo. Cuando se hace esto, se dice que los complejos vienen
representados mediante un diagrama de Argand.
Definiremos las operaciones suma “+” y producto “·” en C que le
dotarán de estructura de cuerpo. Por el Teorema 3.1.1, las ecuaciones
algebraicas siempre tienen solución en él.
27
28 Capítulo 2
Suma de z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C viene definida por
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
Esta operación dota a (C,+) de estructura de grupo abeliano pues
cumple las propiedades siguientes (todas son consecuencia de las propie-
dades análogas de (R,+) y solo indicamos la prueba de la primera):
- Conmutativa, z1 + z2 = z2 + z1 ∀z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C.
En efecto, z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) =
= (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1.
- Asociativa, (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) ∀z1, z2, z3 ∈ C.
- Elemento neutro, que es el número complejo 0 = (0, 0).
- Elemento opuesto de z = (x, y) ∈ C es −z = (−x,−y).
El elemento opuesto aditivo permite definir la sustracción, o diferen-
cia, de dos complejos z1 y z2 como z1 − z2 = z1 + (−z2).
Ejemplo 2.1.1 Calcular la suma y diferencia de z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).
Sol.: Aplicando las definiciones dadas, tenemos:
z1 + z2 = (3, 5) + (4, 3) = (3 + 4, 5 + 3) = (7, 8),
z1 − z2 = (3, 5) + (−4,−3) = (3− 4, 5− 3) = (−1, 2).
Producto de z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C viene definido por
z1 · z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).
El simbolo “·” del producto suele omitirse. Solo probamos la cuarta
de las siguientes propiedades, dejando como ejercicio las otras:
- Conmutativa, z1z2 = z2z1 ∀z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C.
- Asociativa, z1(z2z3) = (z1z2)z3 ∀z1, z2, z3 ∈ C.
- Elemento neutro, que es el número complejo 1 = (1, 0).
- Elemento inverso para todo complejo z = (x, y) 6= 0. Para comprobar
que existe z−1 = (u, v) ∈ C tal que z−1z = zz−1 = 1, planteamos
(u, v)(x, y) = (1, 0)⇔ ux− vy = 1
uy + vx = 0
)
.
El número complejo 29
Como
¯̄̄̄
¯ x −yy x
¯̄̄̄
¯ = x2 + y2 6= 0, existe una única solución
u =
¯̄̄̄
¯̄̄̄ 1 −y
0 x
¯̄̄̄
¯̄̄̄
x2+y2
= x
x2+y2
, v =
¯̄̄̄
¯̄̄̄ x 1
y 0
¯̄̄̄
¯̄̄̄
x2+y2
= −y
x2+y2
⇒ z−1 =
³
x
x2+y2
, −y
x2+y2
´
ya que (C, ·) conmutativo.
El elemento inverso permite definir la división, o cociente, de dos
complejos z1 y z2, z2 6= 0, como
z1
z2
= z1z
−1
2 .
Ejemplo 2.1.2 Calcular z1z2 y z1z2 con z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).
Sol.: Aplicando las definiciones dadas,
z1z2 = (3, 5) · (4, 3) = (12− 15, 9 + 20) = (−3, 29).
Hallando z−12 =
¡
4
42+32
, −3
42+32
¢
=
¡
4
25
, −3
25
¢
, obtenemos
z1
z2
= z1z
−1
2 = (3, 5) ·
¡
4
25
, −3
25
¢
=
¡
12+15
25
, −9+20
25
¢
=
¡
27
25
, 11
25
¢
.
Es sencillo comprobar que la operación producto es distributiva res-
pecto a la adición por ambos lados, esto es, para cada z1, z2, z3 ∈ C,
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3.
Por tanto (C,+, ·) es un cuerpo conmutativo, con un subcuerpo iso-
morfo al cuerpo de los números reales. Esto se debe a que la aplicación
f : (R,+, ·) −→ (C,+, ·)
x −→ f(x) = (x, 0)
)
es un monomorfismo ya que :
a) f(x+ y) = (x+ y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f(x) + f(y).
b) f(xy) = (xy, 0) = (x, 0) · (y, 0) = f(x) · f(y).
c) f(x) = f(y)⇒ (x, 0) = (y, 0)⇒ x = y.
30 Capítulo 2
Como (f(R),+, ·) es un subcuerpo de (C,+, ·) isomorfo a (R,+, ·),
identificamos cada x ∈ R con el elemento (x, 0) de C quedando justificado
la denominación de eje real a {(x, 0), x ∈ R}.
Un número complejo (x, y) se dice imaginario si y 6= 0. Si además
x = 0, entonces se dice que es imaginario puro. A (0, 1) se le denomina
unidad imaginaria y se representa1 por i. Como (b, 0) · (0, 1) = (0, b),
podemos representar un número imaginario (0, b) por bi. Esto permite
atribuir un significado algebraico a
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x+ y i,
como suma de un número real y un imaginario puro. Cuando represente-
mos z de este modo decimosque z viene expresado en forma binómica.
La forma binómica permite operar en (C,+, ·) con las reglas usuales
del álgebra de polinomios teniendo en cuenta que
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0),
es decir i · i = i2 = −1.
Ejemplo 2.1.3 Calcular la suma y producto de z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).
Sol.: Escribiendo ambos números complejos en forma binómica,
z1 + z2 = (3 + 5i) + (4 + 3i) = 7 + 8i = (7, 8),
z1 · z2 = (3 + 5i)(4 + 3i) = 12 + 9i+ 20i+ 15i2 = (−3, 29).
Recordamos que una ecuación algebraica de grado n es una expresión
de la forma
anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0, 0 ≤ i ≤ n.
Los ai son los coeficientes de la ecuación y es sencillo encontrar ejemplos
de ecuaciones algebraicas con coeficientes reales que no tienen solución
real, por ejemplo
x2 + 1 = 0.
Sin embargo como i2 = −1, la ecuación anterior sí tiene solución en
C ya que tanto i como −i la satisfacen. Más adelante (Teorema 3.1.1)
veremos que toda ecuación algebraica de grado n > 1 con coeficientes
reales o complejos tiene solución en C.
1De imaginaria. También se emplea la letra j, especialmente en Electrónica donde
se suele representar por i la intensidad.
El número complejo 31
Ejemplo 2.1.4 Calcular las raíces de la ecuación x2 + x+ 1 = 0.
Sol.: Aplicando la fórmula de las raíces de la ecuación de segundo grado,
x = −1±
√
1−4
2
= −1
2
±
√
3
2
i.
Al número complejo x− iy se le llama conjugado de z = x+ iy. Se
representa mediante z o z∗, y es simétrico de z respecto del eje real. En el
último ejemplo las raíces obtenidas han sido dos números complejos con-
jugados. Esto ocurre siempre: Si una ecuación algebraica con coeficientes
reales tiene por raíz a un determinado número complejo imaginario, en-
tonces el conjugado también es raíz. Este hecho, con una mayor precisión,
será justificado en el Teorema 3.1.5.
Es fácil comprobar que zz∗ siempre es real. En efecto si z = x+ iy,
zz∗ = (x+ iy) (x− iy) = x2 − (iy)2 = x2 − (−1) y2 = x2 + y2.
Definición 2.1.5 Dado un número complejo z = x + iy, el módulo o
valor absoluto de z, es el número real
|z| =
p
x2 + y2.
La distancia entre los números complejos z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) es
|z1 − z2| =
q
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Se observa que mientras en general la proposición z1 < z2 no tiene
sentido en el cuerpo de los complejos, |z1| < |z2| significa que el afijo de
z1 está más cerca del origen que el afijo de z2.
Es fácil comprobar que
|z| = |z∗| , zz∗ = |z|2 .
Esta última propiedad facilita una sencilla prueba de la fórmula para
hallar el inverso de z 6= 0, ya que
z∗ = z−1zz∗ = z−1 |z|2 ⇒ z−1 = z
∗
|z|2
.
Y la división de dos complejos z1 y z2 6= 0, se puede hallar multipli-
cando numerador y denominador por el conjugado del denominador,
z1
z2
= z1z
−1
2 = z1
z∗2
|z2|2 =
z1z∗2
z2z∗2
.
32 Capítulo 2
Ejemplo 2.1.6 Calcular el cociente entre 3 + 5i y −2− 3i.
Sol.: Multiplicando numerador y denominador por −2 + 3i, obtenemos
3 + 5i
−2− 3i =
(3 + 5i)(−2 + 3i)
(−2− 3i)(−2 + 3i) =
−6 + 9i− 10i+ 15i2
(−2)2 + 32 = −
21
13
− 1
13
i.
Definición 2.1.7 Dado un número complejo z = x + iy no nulo, se
llama argumento de z al ángulo α formado por el semieje positivo de
abscisas, y el vector definido por el origen de coordenadas y el afijo de z.
Se representa α = arg z.
El argumento puede tomar infinitos valores reales que difieren entre
sí en múltiplos enteros de 2π. Estos valores se pueden encontrar a partir
de la ecuación tanα = y
x
, es decir
α = arctan
y
x
,
teniendo en cuenta el cuadrante en que se encuentra el afijo de z.
Para cada z 6= 0, el valor o determinación principal del argumento
de z se denota por Arg z y se define como el único valor de arg z tal que
−π < arg z ≤ π.
En general, dado α0 ∈ R, se define determinación α0 del argumento, y
se denota por argα0z, como el único valor de arg z tal que
α0 − π < arg z ≤ α0 + π.
Es evidente que Arg z = arg0z.
Ejemplo 2.1.8 Calcular el módulo y argumento del número complejo
−1 + i, indicando el valor de la determinación principal.
Sol.: De las definiciones dadas se tiene,
|−1 + i| =
p
(−1)2 + 12 =
√
2,
arg (−1 + i) = arctan 1−1 =
3π
4
+ 2kπ, k ∈ Z,
donde se ha tenido en cuenta que el número complejo −1 + i se halla en
el segundo cuadrante. Claramente la determinación principal es
Arg (−1 + i) = 3π
4
.
El número complejo 33
Ejemplo 2.1.9 Calcular arg6π(−1 + i), arg7π(−1 + i) y arg 7π
4
(−1 + i).
Sol.: Por el ejercicio anterior ya sabemos que
arg(−1 + i) = 3π
4
+ 2kπ, k ∈ Z.
Para hallar la determinación 6π de arg(−1 + i), buscamos el valor que
pertenece al intervalo
]6π − π, 6π + π] = ]5π, 7π] .
Dicho valor se obtiene para k = 3, por tanto
arg6π(−1 + i) =
3π
4
+ 6π =
27
4
π.
Para hallar la determinación 7π buscamos el valor que pertenece al in-
tervalo
]7π − π, 7π + π] = ]6π, 8π] ,
resultando que es el mismo que antes,
arg7π(−1 + i) =
3π
4
+ 6π =
27
4
π.
La determinación 7π
4
corresponde al valor de arg(−1 + i) que pertenece
al intervalo ¸
7π
4
− π, 7π
4
+ π
¸
=
¸
3π
4
,
11π
4
¸
,
luego
arg 7π
4
(−1 + i) = 3π
4
+ 2π =
11
4
π.
Conocidos el módulo r y argumento α de un número complejo z,
la forma polar de representarlo es z = rα, que es sencilla de obtener
a partir de la forma cartesiana o binómica según la definición dada de
módulo y argumento.
Recíprocamente, si conocemos el módulo r y argumento α de z, la
forma binómica, y en consecuencia también la cartesiana de z, puede
obtenerse a partir de
x = r cosα, y = r senα.
34 Capítulo 2
Sustituyendo en z = x+ iy, nos queda
z = r(cosα+ i senα),
que se conoce como la forma trigonométrica del número complejo z.
Ejemplo 2.1.10 Representar en forma trigonométrica los complejos
2− 2i, i, −1 +
√
3i.
Sol.: Previo cálculo del módulo y argumento de los complejos dados,
2− 2i = 2
√
2
¡
cos
¡−π
4
¢
+ i sen
¡−π
4
¢¢
,
i = 1
¡
cos
¡
π
2
¢
+ i sen
¡
π
2
¢¢
,
−1 +
√
3i = 2
¡
cos
¡
2π
3
¢
+ i sen
¡
2π
3
¢¢
.
Veamos ahora que expresión toma el producto de dos números com-
plejos z y z0 dados en forma trigonométrica,
z · z0 = (r(cosα+ i senα)) · (r0(cosα0 + i senα0))
= rr0 ((cosα cosα0 − senα senα0) + i (senα cosα0 + cosα senα0)) .
Teniendo en cuenta las fórmulas trigonométricas del coseno y seno de la
suma de dos ángulos,
z · z0 = rr0 (cos(α+ α0) + i sen (α+ α0)) .
De aquí deducimos que
|z · z0| = |z| |z0| , arg (z · z0) = arg (z) + arg (z0).
Esto es, el módulo del producto de dos números complejos es el producto
de módulos, y su argumento la suma de argumentos. En forma polar,
rα · r0α0 = (rr0)α+α0 .
Análogamente el cociente de z, z0 ∈ C, z0 6= 0, en forma trigonométrica
viene dado por
z
z0
=
r(cosα+ i senα)
r0(cosα0 + i senα0)
=
r
r0
(cosα+ i senα)(cosα0 − i senα0)
(cosα0 + i senα0)(cosα0 − i senα0)
=
r
r0
(cosα cosα0 + senα senα0) + i( senα cosα0 − cosα senα0)
cos2 α0 + sen2 α0
=
r
r0
(cos(α− α0) + i sen (α− α0)) .
El número complejo 35
Por tanto, ¯̄
z
z0
¯̄
= |z||z0| , arg
¡
z
z0
¢
= arg (z)− arg (z0).
Esto es, el módulo del cociente de dos números complejos es el cociente
de módulos, y su argumento la diferencia de argumentos,
rα
r0α0
=
³ r
r0
´
α−α0
.
2.2 Fórmula de Moivre
La fórmula de Moivre establece que si
z = r (cosα+ i senα)
y n es un entero positivo, entonces
zn = (r (cosα+ i senα))n = rn (cos(nα) + i sen(nα)) ,
que en forma polar queda
(rα)
n = (rn)nα .
Lo demostraremos por inducción completa.
Para n = 1, la fórmula es obvia. Supongámosla cierta para n = h y
probemos que también lo es para n = h+ 1. Es decir, suponemos
zh = rh (coshα+ i senhα) .
Entonces, por las propiedades del producto vistas en la sección anterior¯̄
zh+1
¯̄
=
¯̄
z · zh
¯̄
= |z| ·
¯̄
zh
¯̄
= r · rh = rh+1,
arg
¡
zh+1
¢
= arg
¡
z · zh
¢
= arg (z) + arg (zh) = α+ hα = (1 + h)α,
por lo que
zh+1 = rh+1 (cos(h+ 1)α+ i sen(h+ 1)α) .
Esta fórmula puede generalizarse a cualquier entero, teniendo en cuen-
ta que si n ∈ Z+, entonces −n ∈ Z− y
z−n =
1
zn
=
10
(rn)nα
=
µ
1
rn
¶
0−nα
=
¡
r−n
¢
−nα
36 Capítulo 2
Por último, si seguimos el convenio de los reales de que un número distinto
de0, elevado a 0 tome el valor 1, la fórmula de Moivre también se cumple
para n = 0 ya que
1 = z0 = (r(cosα+ i senα))0 = r0(cos 0 + i sen 0).
La fórmula de Moivre es particularmente útil para hallar senos y
cosenos de múltiplos de α.
Ejemplo 2.2.1 Calcular sen (3α) en función de senos y cosenos de α.
Sol.: Por la fórmula de Moivre sabemos que
cos(3α) + i sen(3α) = (cosα+ i senα)3
= cos3α+ 3i cos2α senα− 3 cosα sen2α− i sen3α
= cos3α− 3 cosα sen2α+ i (3 cos2α senα− sen3α),
donde hemos empleado la fórmula del binomio de Newton y tenido en
cuenta el valor de las potencias de i. Igualando partes reales e imagina-
rias se obtienen expresiones de cos(3α) y sen (3α) en función de senos y
cosenos de α. En particular, igualando las partes imaginarias,
sen (3α) = 3 cos2 α senα− sen3α.
2.3 Raíces de un número complejo
Un número complejo w se dice que es raíz n-sima de z ∈ C si
wn = z.
Supongamos que z = rα y hallemos sus raíces n-simas, que denotaremos
n
√
z. Como buscamos los valores w = Rϕ tales que
wn = z ⇒ (Rϕ)n = (Rn)nϕ = rα.
Por tanto,
Rn = r
nϕ = α+ 2kπ
)
⇒ R =
n
√
r
ϕ = α
n
+ 2πk
n
, k = 0, 1, . . . , n− 1
)
.
El número complejo 37
En forma polar,
w = n
√
rα =
¡
n
√
r
¢
α
n
+2πk
n
, k = 0, 1, . . . , n− 1.
El módulo de todos los w es n
√
r y sus argumentos difieren en múltiplos
de 2π
n
. Por ello hay exactamente n valores distintos de n
√
z y sus afijos
constituyen los vértices de un polígono regular de n lados centrado en
(0, 0), uno de los cuales es ³
n
p
|z|
´
Arg z
n
.
Ejemplo 2.3.1 Encontrar las raíces cuadradas del número i.
Sol.: Los afijos de las raíces son los extremos de un segmento centrado
en (0,0) y uno de cuyos extremos es
p
|i|Arg i
2
= 1π
4
.
De modo analítico se obtienen escribiendo
√
i =
q
1π
2
= (1) π
2 +2πk
2
, k = 0, 1.
Dando a k estos dos valores obtenemos que las raíces cuadradas de i son
√
i =
(
1π
4
= 1(cos π
4
+ i sen π
4
) =
√
2
2
+
√
2
2
i,
1 5π
4
= 1(cos 5π
4
+ i sen 5π
4
) = −
√
2
2
−
√
2
2
i.
Ejemplo 2.3.2 Encontrar las raíces cuadradas de z = −1 +
√
3 i.
Sol.: Escribiendo z en forma polar, z = 2 2π
3
, se tiene
√
z =
q
2 2π
3
= (
√
2) 2π
3 +2πk
2
, k = 0, 1.
Dando a k estos dos valores obtenemos que las raíces cuadradas de z sonq
−1 +
√
3 i =
( √
2π
3
=
√
2(cos π
3
+ i sen π
3
) =
√
2
2
+
√
6
2
i,
√
2 4π
3
=
√
2(cos 4π
3
+ i sen 4π
3
) = −
√
2
2
−
√
6
2
i.
38 Capítulo 2
Ejemplo 2.3.3 Resolver
z4 − 16 = 0.
Sol.: La solución de la ecuación dada es
z =
4
√
16 = 4
√
160 =
³
4
√
16
´
0+2πk
4
, k = 0, 1, 2, 3.
Dando a k estos cuatro valores obtenemos cuatro números diferentes, que
se corresponden con las raíces cuartas del número complejo 16,
z =

20 = 2 (cos 0 + i sen 0) = 2,
2π
2
= 2
¡
cos π
2
+ i sen π
2
¢
= 2i,
2π = 2 (cosπ + i senπ) = −2,
2 3π
2
= 2
¡
cos 3π
2
+ i sen 3π
2
¢
= −2i.
Los afijos de las raíces forman los vértices de un cuadrado centrado
en (0,0) uno de cuyos vértices es
³
4
p
|16|
´
Arg 16
4
= 20.
2.4 La exponencial compleja
Terminamos definiendo la exponencial compleja de z = x+ yi ∈ C,
ez = ex+yi = ex (cos y + i sen y) .
Es decir, la exponencial de z ∈ C es un complejo con módulo eRe z y ar-
gumento Im z. Observemos que la restricción de la exponencial compleja
a R coincide con la exponencial de variable real ya que si
z = x+ 0i ∈ R⇒ ez = ex.
El número complejo 39
Nota 2.4.1 Si α ∈ R se obtiene la fórmula de Euler
eiα = cosα+ i senα.
El producto zeiα, z ∈ C, es un número complejo cuyo afijo es el obtenido
a partir del de z por una rotación de α radianes en sentido contrario a
las agujas del reloj respecto de (0, 0).
Ejemplo 2.4.2 Calcular la exponencial de los números complejos
π
2
i, πi, −πi, 3π
2
i, −π
2
i, 2πi.
Sol.: De la definición dada de exponencial compleja, se tiene:
e
π
2
i = i, eπi = e−πi = −1,
e
3π
2
i = e−
π
2
i = −i, e2πi = 1.
En este ejemplo observamos cosas que no ocurren en la exponencial
real, que es una función estrictamente creciente y toma todos los valo-
res de ]0,∞[. Ya sabemos que C no es un conjunto ordenado pero la
exponencial compleja verifica que si Re(z1) < Re(z2), entonces
|ez1 | = eRe(z1) < eRe(z2) = |ez2 | .
Además hemos obtenido valores negativos. De hecho, la exponencial
compleja puede tomar cualquier valor complejo salvo 0, y dado un número
complejo z 6= 0 es fácil hallar un valor a e infinitos valores b tales que
ea+bi = z. Los valores a + bi constituyen el logaritmo neperiano de z, y
vienen dados por
ln (z) = ln |z|+ i arg z.
Se denomina determinación α0 (resp. principal) de ln (z) al valor obte-
nido al tomar la determinación α0 (resp. principal) del argumento. Se
denotan
(ln (z))α0 = ln |z|+ i argα0 z, Ln z = (ln (z))0 = ln z + iArg z.
Por último, si z es un número complejo de módulo r y argumento
α, de la representación trigonométrica z = r(cosα+ i senα), resulta que
z = reiα. Cuando representemos z de esta forma, decimos que viene dado
en forma exponencial.
40 Capítulo 2
Ejemplo 2.4.3 Representar en forma exponencial al complejo −1 + i.
Sol.: Como |−1 + i| =
√
2, arg (−1 + i) = 3π
4
+ 2kπ, k ∈ Z, una posible
representación en forma exponencial es
−1 + i =
√
2 e
3π
4
i.
2.5 Ejercicios resueltos
Ejercicio 2.5.1 Expresar en forma binómica
z =
1
(1 + i)8
.
Sol.: Por ser z el cociente de dos números complejos, su módulo es el
cociente de los módulos del numerador y denominador y su argumento
la diferencia de argumentos, esto es:
|z| = 1|(1 + i)8| , arg(z) = arg(1)− arg(1 + i)
8
Aplicando la fórmula de Moivre
|z| = 1
(
√
2)8
= 2−4, arg(z) = 0− 8 · π
4
= −2π
De donde se deduce:
z = 2−4(cos(−2π) + isen(2π)) = 2−4.
Ejercicio 2.5.2 Representa en forma exponencial el número complejo
z =
(1− i)2i
1 +
√
3 i
Sol.: Desarrollando el numerador,
z =
2 + 2i
1 +
√
3 i
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