Cálculo Integral - Problemas Resueltos

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2010 
INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL 
CECyT “WILFRIDO MASSIEU” 
Departamento de Unidades de Aprendizaje 
Del Área Básica 
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G. 
 
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS 
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES 
 
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PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS . 
Verificación por derivación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II 
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y 
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS. 
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas 
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas 
contenidas en las integrales. 
 Identidades trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
Problema 1 
   
  xdxxdxdxdxxx
dxxdxxsenxdxsen
2cos
4
1
2cos
2
1
4
1
2cos2cos21
4
1
2cos1
2
1
22
2
2
24
 









 
 
du
du
dxdu
xu



2
2
2 
dx
dv
dxdv
xv



2
2
2
 
1)  dxsen
4 6)  xdx
3tan 11)  dxxxsen
32 cos 16)  xdxxtg 4sec4
43 
2)  dxsen
5 7)  xdx3tan
4 12) dxxxsen
43 cos 17) 
 xdxxsen
23 cos 
3)  xdx3cos
4 8)  xdxctg
2
 13)  xdxxsen 2cos2
35
 18)  xdxx
43 sectan 
4)  xdx2cos
5 9)  xdxctg
3 14)
  xdxx
53 sectan
 
19)  xdxx
35 sectan 
5)
  xdx
2tan 10)  dxxctg
4 
15)  xdxx
63 sectan 20)  xdxxsen
33 cos 
 
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 dvvsenuxvdvudux
dv
v
du
ux
2cos1
2
1
8
1
4
1
4
1
cos
8
1
cos
4
1
4
1
2
cos
4
1
2
cos
2
1
4
1
2
2




 
    vdvdvxsenxdvvxsenx 2cos16
1
16
1
2
4
1
4
1
2cos1
16
1
2
4
1
4
1
 
 
dv
dw
dvdw
vw



2
2
2
 
xsenxxsenx
senwxxsenx
dw
wvxsenx
4
32
1
8
1
2
4
1
4
1
32
1
2
16
1
2
4
1
4
1
2
cos
16
1
16
1
2
4
1
4
1

 
 
cxsenxsenx  4
32
1
2
4
1
8
3 
Problema 2 
 
   
 
xsenxdxxsenxdxsenxdx
dxxsenxxsenxsenx
senxdxxxsenxdxx
dxxsensenxxdxsenxsenxdxsen
 







42
42
42
2
2
2245
coscos2
coscos2
coscos21cos1
 
 
 
   
53
2
cos2cos2cos
53
4242 vuxdvvduuxduvduux  
 
c
x
xx 
5
cos
cos
3
2
cos
5
3
 
senxdxdu
senxdxdu
xu


 cos
senxdxdv
senxdxdv
xv


 cos
 
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Problema 3 
 
 
 
 
 
Problema 4 
 
 
 
Problema 5 
     dxxdxdxxxdx
222 sec1sectan 
cxx  tan 
Problema 6 
 
 
  


xdxxdxx
xdxxxdxxxdx
tantansec
tan1sectantantan
2
223
 
 
xdxdu
xu
2sec
tan


 
cxLn
u
cxLnudu   sec2
sec
2
cxLn
x
 sec
2
tan2
 
 
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Problema 7 
     duuuuduuxdx 1sectan3
1
tantan
3
1
3tan 22224 
 
  duuduuu
222 tan
3
1
sectan
3
1 
 v = tg u ; dv = sec2u du 
 
)3(
3
1
3tan
3
1
3tan
9
1
3
1
tan
9
1
3
1
3
1
9
1
3
1
sec
3
1
33
1
1sec
3
1
3
1
33
32
3
22
xxxcxvu
uutgvduudu
v
duudvv

   
cxxx  3tan
3
1
3tan
9
1 3 
Problema 8 
      dxxdxdxxxdx
222 csc1csccot cxctgx  
Problema 9 
 
   
 


senxLnduuxdxxdxx
dxxxxdxxxdx
cotcsccot
1csccotcotcotcot
2
223
 
 
 
xdxdu
xdxdu
ctgxu
2
2
csc
csc



 
 
senxLn
u
senxLnudu   2
2
 csenxLn
xctg

2
2
 
Problema 10 
 
 
 


xdxxdxx
dxxxxdxxxdx
222
22224
cotcsccot
1csccotcotcotcot
 
xdxdu
xdxdu
xu
2
2
csc
csc
cot



 
dxdu
xu


3
1
3
 
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    cxxctgudxxdxduudxxduu   3
csc1csc
3
2222
cxx
x
 cot
3
cot 3
 
Problema 11 
 
 
 
Problema 12 
 
 
 
Problema 13 
 
= 
 
 
 Problema 14 
 
 
 
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  dxxx
53 sectan cxx  57 sec
5
1
sec
7
1
 
Problema 15 
 
  dxxxxxdxxxx
dxxxxdxxxxxdxx
24232223
2
2
2324363
sec)tantan21(tansectan1tan
secsectansecsectansectan




 
   xdxxxdxxxdxx
272523 sectansectan2sectan 
 
 
 c
uuu
uduuduu   86
2
4
2
864
753
 c
xxx

8
tan
3
tan
4
tan 864
 
Problema 16 
 
= 
 
Problema 17 
  dxsenxxdxsenxxdxsenxxx
dxsenxxxsenxdxxsen




4222
2223
coscoscoscos1
coscos
 
senxdxdu
senxdxdu
xu


 cos
 
c
uu
duuduu   53
53
42
c
xx

5
cos
3
cos 53
 
 
 
 
xdxdu
xu
2sec
tan


 
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Problema 18 
  dxxxdxxxdxxxx
dxxxxdxxx
2523223
22343
sectansectansectan1tan
secsectansectan




 
 
 
 c
uu
duuduu   64
64
53 c
xx

6
tan
4
tan 64 
Problema 19 
 
    dxxxxxxdxxxxx
dxxxxxdxxxxxdxxx
tansecsec1sec2sectansecsec1sec
tansecsectantansecsectansectan
2242
2
2
2
2
22435




 
dxxxxdxxxdxxxx tansecsectansecsec2tansecsec 246   
 
c
uuu
duuduuduu   35
2
7
2
357
246
 
cxxx  357 sec
3
1
sec
5
2
sec
7
1Problema 20 
 
dxxxsendxxxsen
dxxxsenxsendxxxxsendxxxsen
coscos
cos1coscoscos
53
232333




 
 
    c
uu
duuduu   64
64
53 c
xsenxsen

64
64
 
 
xdxdu
senxu
cos

xdxdu
xu
2sec
tan


xxdu
xu
tansec
sec


 
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I . 
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II 
 
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y 
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS. 
 
S o l u c i o n e s 
 
 
 1. Solución: 
 
 
 
2. Solución: 
 
 
 
 
 
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3. Solución: 
 
 
 
 
 4. Solución: 
 
 
 
 5. Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Solución: 
 
 
 
 7. Solución: 
 
 
 
 8. Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Solución: 
 
 
 
 
 10. Solución: 
 
 
 
 
 11. Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el 
siguiente ejercicio. 
 
 
 
 
 12. Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO 
 
 
 
 
 
 
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Actividad complementaria II: Soluciones 
Problema 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 
 
 
 
 
 
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Problema 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5 
 
 
 
 
 
 
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Problema 6 
 
 
 
 
Problema 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 8 
 
 
 
 
 
Problema 9 
 
 
 
 
Problema 10 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 14 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 16 
 
 
 
 
 
 
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Problema 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTEGRACIÓN POR PARTES. 
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II 
PROBLEMAS RESUELTOS. 
1.        cxxsenxcxxsenxsenxdxsenxxxdxx coscoscos 
 
xdxdv
xu
cos

 
senxv
dxdu


 
2. 
 
  
cxxsenxxx
xxsenxxx
dxxsenxsenxxx
dxxxxx
dxxxxx
vduuvdvudxxsenx










cos22cos
cos2cos
2cos
cos2cos
2coscos
2
2
2
2
2
2
 
xsenv
dxdu
dxxdv
xu
dxxsendv
xv
dxxdu
xu








cos
cos
2
2
 
3. 
cexe
dxexedxxe
xx
xxx

  
x
x
ev
dxdu
dxedv
xu




 
4. 
 
ceexex
dxexeex
dxxeex
dxxeex
vduuvdvudxex
xxx
xxx
xx
xx
x









22
2
2
2
2
2
2
2
2
 
x
x
x
x
ev
dxdu
dxedv
xu
ev
dxxdu
dxedv
xu








2
2
 
 
 
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5.        dwewedwewedwwe
dw
wedxxexdxex wwwwwwxx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22 23 
 u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew 
 
 cewe ww
2
1
2
1 ceex xx 
22
2
1
2
1 2 
6. cxxLnxdxxLnx
x
dx
xxLnxdxxLn    
dxdv
xLnu


 
xv
x
dx
du


 
7. 
   




dxxdxxLnxxLnxx
dxxxLnxxxLnxdxxxLn
22
 
cxxx
x
xxLnx
dxxLnx
x
xxLnxdxxLnxdxLnxx





 
22
2
22
2
22
4
1
ln
2
1
2
2
2 
 
xxLnxv
dxdu
dxxLndv
xu




 
8 
 
 
 
cxsenxxxsenx
xsenxxxsenx
dxxxxxsenx
dxxxxxsenx
dxxsenxxsenx
dxxsenxxsenx
vduuvdvudxxx












2cos2
cos2
coscos2
coscos2
2
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
 
xv
dxdu
dxxsendv
xu
xsenv
dxxdu
dxxdv
xu
cos
2
cos
2








 
 
xdx
dw
xdxdw
xw



2
2
2
 
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9. 
x
x
ev
dxxdu
dxedv
xu
2
2
2
3
2
1
3




 
u
u
e
due
dx
du
dxdu
xu
2
1
2
1
2
2
2






 
 
c
exe
e
xe
dxe
xe
dxeexdxxe
xx
x
x
x
x
xxx 





  422
1
2
1
22
1
22
1
2
1 222
2
2
2
222 
 
 
 
  
x2uuux2 e
2
1
e
2
1
due
2
1
2
du
edxev
 
 
 
 
Finalmente la integral original se resuelve así: 
xxxx
xxx
x
xxx
x
x
xexeexex
cxexeex
ex
dxexeex
ex
dxex
222223
2222
23
2222
23
23
8
3
4
3
4
3
2
1
2
1
4
3
4
3
4
3
2
4
3
4
3
4
3
2








 
 
 
 






















dxxe
exex
dxxe
exex
dxex
ex
dxxe
ex
vduuvdvudxex
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
2
2223
2
2223
22
23
22
23
23
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
3
2
3
2
1
2
x
x
edvv
dxdu
dxedv
xu
2
2
2
1





dx
du
dxdu
xu



2
2
2
 
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10. 
 dxxe
x
cexe)e(xedxexedxe)e(x xxxxxxxx     
 
 
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES. 
PROBLEMA 1. 
 = 
 
 
 
 
 = 
PROBLEMA 2. 
 
 
 
 
x
x
evdxdu
dxedvxu




 
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= 
= 
= - 
 
= 
 
COMPROBACIÓN 
 
 = = 
 = = 
 = = 
PROBLEMA 3. 
 
 
 = 
= 
 
 
 
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= 
COMPROBACIÓN 
 
 
PROBLEMA 4. 
 
 = 
 
 
 
 = = 
PROBLEMA 5. 
 
= 
 
= 
 PROBLEMA 6. 
 





 

d
ctg
tg
3
 = = 
 
 
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 PROBLEMA7. 
 
 
 
 
 u cosy du seny dy seny dy 
 
( ) 2 ( 
 
 du du du 2 · 
 
 
 
 c 
 
 y y + 
 
 2 (1 y y) c 
 
 
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PROBLEMA 8 
 
 
 
 
 
 
 
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE 
 PROBLEMA 1. 



xx
dx
3
 
Hacemos la sustitución : 
 
xu 6
 
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3 
duudx
xu
56
6
1


 ; Además 
 
23 ux 
 
3ux 
 
   



 u
duu
uu
duu
xx
dx
1
6
6 3
32
5
3
 
 
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt 
 
   
 




t
dtttt
t
dtt 133
6
1
6
233
 
 
      cuuuu
ctt
tt
dt
t
tt













 
1ln61181912
ln3
2
3
3
6
1
336
23
23
2
 
Por lo tanto: 
      cxxxx
xx
dx


 1ln61181912
66
2
6
3
6
3
 
 
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡ 
 
 
 
 
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PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL! 
 dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical : 
 
 
dx = dx 
 u = 2 
 du = dx 
 =6 dx 
 dx 
 ⋅ du ⋅ c 
 
 
 
 
COMPROBACIÓN: 
 d ⋅ 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR 
PARTES 
 
PROBLEMA 1. 
 
PROBLEMA 2. 
 
 
 
 
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PROBLEMA 3. 
 
 
 
 
PROBLEMA 4. 
 
 
 
 
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PROBLEMA 5. 
- Demostrar la siguiente igualdad : 


 
 xdxsen
n
n
n
xxsen
xdxsen n
n
n 2
1 1cos
 
 
Solución: 
 
xsenxdxsenxdxsen nn 
 1 
 
Proponiendo: u= xsenn 1 
 Dv= senxdx 
 
 
  xdxxsennxxsenxdxsen nnn 221 cos1cos 
    
 xdxsennxdxsennxxsen nnn 11cos 21
 
Agrupando se tiene: 


 
 xdxsen
n
n
n
xxsen
xdxsen n
n
n 2
1 1cos
 …… Así queda demostrado 
PROBLEMA 6. 
  dx
x
Cose
x
Cosedx
x
Sene xxx
3
9
3
3
3
333
 
 xeu 3 dx
x
Sendv
3
 ; xeu 3 dx
x
Cosdv
3
 
 dxedu x33 dxedu
x
Cosv x33;
3
3  
3
3
x
Senv 
 
 
C
x
Cos
x
Sene
dx
x
Sene
x
Sene
x
Cose
x
xxx







 
33
9
82
3
3
81
3
27
3
3
3
333
 
 
 
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PROBLEMA 7. 
 xdxx
n ln 
 
 































dxx
n
x
n
x
x
dx
x
n
x
n
x
x
dx
n
x
x
n
x
n
n
n
n
nn
11
1
1
1
11
1
1
ln
1
1
1
ln
1
1
ln
1
 
 
c
n
x
n
x
c
n
x
x
n
x
c
n
x
n
l
x
n
x
dxx
n
l
x
n
x
n
nn
nn
n
n


































1
1
ln
1
1
ln
1
11
ln
1
1
ln
1
1
2
11
11
1
 
PROBLEMA 8. 
 
 Sea u= x ; du= dx 
 dv= ; 
w= ; 
 
V= - 
V= - 
 
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PROBLEMA 9 
 
u= arctanx ; 
dv = xdx ; v= 
 
 
Haciendo la división: 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 10. 
 
Sea u= 
 
 
 
 
 
Integrando por partes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 11. 
 
 
Sea 
 
 
 
 
Integrando esta ultima por partes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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x
u
x²-9
3
x
z
x²+16
4
 
ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS 
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR 
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 
PROBLEMA 1. 
 5 
 Secu 
 x 3 secu 
 dx 3 secu tgu du 
 
 5 45 
 
 15 15 udu 15tgu = 15 +C 
 
 5 
PROBLEMA 2 
 
 tg z 
 x 4 tgz 
 dx 4 
 4 
4 4 4 4tg z 4z 
 x 4arctg 
 
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x
u
9-x²
3
 
PROBLEMA 3 
 5 25 25 5 
Sen u 
 x 5 senu 
 dx 5 cos u du 
 
 
 
 
5 25 5 5 5 u al llegar a ésta 
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es 
el 
ángulo cuyo seno vale : , lo cual se escribe: arc sen 
 el resultado final es: 5 arcsen +c 
PROBLEMA 4 
 
 Sen u 
 x 3senu 
 dx 3cosu du 
 
 
 9 9 9 cos2u) du 
 
 
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 v 2u 
 dv 2du 
 du 
 u · arc sen senv 
 arc sen sen 2v c arc sen · · c 
 arc sen x 
PROBLEMA 5 
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado 
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo ! 
 
PROBLEMA 6 
 
 Sec w x 
 dx secw tgw dw 
= 
= = + c 
 
PROBLEMA 7 
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado 
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo ! 
 
 
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PROBLEMA 8 
= 
 
 
= = 
= = 
= + + c = + + C 
PROBLEMA 9 
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado 
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo ! 
PROBLEMA 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
x
1-x²
 
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PROBLEMA 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales 
indicando planteamientos ,operaciones y resultado. 
 
 
 
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: 
 
 
 
 
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
(Fig.1) 
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Solución: 
 
 
 Solución: 
 
 
 
 
 
 
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 Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV. 
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO 
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES 
 
 En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida: 
 
 
 
 
 
 
S o l u c i o n e s 
 
 
 
 
 
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Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, 
cuando el denominador contiene factores cuadráticos 
 
 Ejercicios resueltos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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S o l u c i o n e s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES. 
 
Caso 1- 
 
 
 
 
 
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema: A+B=1 
 A-4B=0 
Resolviendo este sistema obtenemos: A= 
 
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Efectuando la división 
 
 
Caso 2 
 
 
 
 
De ésta identidad obtenemos 
 A=6 
-2A-B=-8 
A+B+C=3 
Resolviendo el sistema tenemos 
A=6 ; B=-4 ; C=1 
 
= 
 
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Sea u=1-x ; 
=- 
=- +4 
=- 
 
 
 
 
Caso 
 
 
-x+3=A ( 
-x+3=A 
-x+3=(A+B) 
De esta identidad obtenemos que 
A+B= 0 -2ª+C= -1 3A= 3 
Resolviendo el sistema 
A= 1 , B = -1 , C = 1 
 
 
 
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Sea u= 
= 
= 
= 
 
Caso IV.- = 
 
 
+Cx+D 
+(A+C) x+B+D 
De esta identidad tenemos 
A=2 
B=0 
A+C=0 
B+D=0 
Resolviendo el sistema 
A=2 ;B=0 ; c=-2 ; D =0 
∴ 
Sea u= 
= 
 
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Realizando división: 
dx 
Caso 1 
 
5x+4 = A 
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B 
5x+4=(A+B) x + 2A-4B 
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema 
A+B = 5 
2A-4B = 
Resolviendo el sistema obtenemos 
A=4 ;B=1 
 
= x + 4 
= x + 
6) 
 Multiplicando ambos miembros por eliminamos los 
denominadores y obtenemos : 
 
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B 
 
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De esta identidad tenemos que: A=1 & -2A+B=0 
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2 
 
Sea 
= 
= 
= 
 
7) 
Caso 1 
 
 
 
Ax+A+Bx+2B 
 
De esta identidad tenemos: 
A+B=5 
A+2B=8 
Resolviendo el sistema tenemos que A=2 ,B=3 
 
=2 
 
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8) Caso 3 
 
 
 
 
(A+B) 
De esta identidad tenemos : A+B= 4 C= 0 3A=6 
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0 
 
=2 = 
9) 
 
 
 
 
 
A A+B +Ct-2C-2Bt 
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C 
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA: 
A+B=2 
C-2B=-4 
4A-2C=-4 
RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0 
 
 
 
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PROBLEMA DE CONCURSO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 
TRIGONOMÉTRICA! 
 
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P3) 
 
 
 
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La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes 
 
 
 
= 
 
 
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 = 
 
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P7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P9) 
 
 
 
 
Integrando ésta última por partes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P11) 
 
 
 
 
 
 
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P12) - 
 
 
 
 
 
 
P13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PÁGINAS ELECTRÓNICAS 
 
 
 http://www.vitutor.com 
 http://www.vadenumeros.es 
 http://www.vadenumeros.es/index.htm 
 http://www.acienciasgalilei.com 
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