05 Trabajo Práctico Nro 5 (INTEGRALES CURVILÍNEAS)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 5 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(INTEGRALES CURVILÍNEAS) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
INTEGRALES CURVILÍNEAS 
Para rescatar el concepto de integral curvilínea vamos a resolver algunas del ejercicio 3. 
Ejercicio 3 
En este ejercicio nos piden calcular las integrales curvilíneas por los caminos que se indican, esos 
caminos están descriptos por curvas que vamos a simbolizar con la letra 𝐶 y un subíndice si es 
que hay que señalizar a más de una. 
 a) 
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦
(1;2)
(0;0)
 𝐶1: 𝑦 = 2𝑥 
A la anterior integral vamos a resolverla transformándola en una integral definida para una sola 
variable, y para lograrlo tenemos que parametrizar la curva entre los puntos de integración en 
función de un solo parámetro. En este caso podemos expresar la curva, indicando los puntos que 
la determinan como parámetro 𝑥, lo que resulta en decir 𝐶1: (𝑥 ; 2𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, entonces 
la curva nos queda en función de 𝑥. Ahora, los extremos de integración de la integral definida son 
los de 𝑥, entonces se escribe 𝑦 en función de 𝑥 dado que 𝑦 = 2𝑥 y el diferencial de 𝑦 también, 
dado que 𝑑𝑦 = 2 𝑑𝑥. Entonces nos queda: 
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦
(1;2)
(0;0)
= ∫ 𝑥 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∙ 2𝑥 2𝑑𝑥
1
0
= ∫ 2𝑥2 𝑑𝑥 + 8𝑥 𝑑𝑥
1
0
= (2
𝑥3
3
+ 4𝑥2)|
0
1
= 
=
2
3
+ 4 =
14
3
 
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦
(1;2)
(0;0)
=
14
3
 
Si tenemos que calcular la integral curvilínea anterior por el camino 𝐶2: 𝑦 = 2𝑥
2 expresamos la 
curva como 𝐶2: (𝑥 ; 2𝑥
2) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y expresamos además 𝑦 y 𝑑𝑦 en función de 𝑥 como lo 
hicimos anteriormente, de manera que 𝑦 = 2𝑥2 y 𝑑𝑦 = 4𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦
(1;2)
(0;0)
= ∫ 𝑥 ∙ 2𝑥2 𝑑𝑥 + 2 ∙ 2𝑥2 4𝑥𝑑𝑥
1
0
= ∫ 2𝑥3 𝑑𝑥 + 16𝑥3 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 18𝑥3 𝑑𝑥
1
0
= 
=
18
4
14 =
18
4
 
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦
(1;2)
(0;0)
=
18
4
 
3 
 
Podemos observar que los resultados de la integral fueron distintos, siendo la integral 
dependiente del camino. 
 c) 
∫ (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦
(2;0)
(0;2)
 
 
Vemos que el camino parte del punto (0 ; 2) por un camino recto que llamaremos 𝐶1 hasta el 
punto (1 ; 1) y luego por la parábola indicada 𝐶2: 𝑦 = −𝑥
2 + 2𝑥 hasta el punto (2 ; 0). Al camino 
recto 𝐶1 vamos a calcularle la recta que pasa por esos dos puntos, que resulta ser 𝑦 = −𝑥 + 2, 
entonces 𝐶1: 𝑦 = −𝑥 + 2. Luego, calculamos la integral sumando las integrales por los caminos 
𝐶1 y 𝐶2 
Entonces, primero parametrizamos las curvas: 
𝐶1: (𝑥 ; −𝑥 + 2) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y como 𝑦 = −𝑥 + 2 entonces 𝑑𝑦 = −1 𝑑𝑥 
𝐶2: (𝑥 ; −𝑥
2 + 2𝑥) para 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 y como 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 entonces 𝑑𝑦 = (−2𝑥 + 2) 𝑑𝑥 
Ahora expresamos a la integral curvilínea en función de 𝑥: 
∫ (𝑥 + 2)2𝑑𝑥 + 𝑑𝑦
(2;0)
(0;2)
= ∫(𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 + (−1) 𝑑𝑥
1
0
+ ∫(𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 + (−2𝑥 + 2) 𝑑𝑥
2
1
= 
= [
(𝑥 + 2)3
3
− 𝑥]|
0
1
+ [
(𝑥 + 2)3
3
− 𝑥2 + 2𝑥]|
1
2
= 
= [(
33
3
− 1) − (
23
3
− 0)] + [(
43
3
− 22 + 2 ∙ 2) − (
33
3
− 12 + 2 ∙ 1)] = 
= [(9 − 1) −
8
3
] + [(
64
3
− 4 + 4) − (9 − 1 + 2)] = 8 −
8
3
+
64
3
− 10 =
50
3
 
∫ (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦
(2;0)
(0;2)
=
50
3
 
 
 
4 
 
d) 
∫ (1 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑦
(1;0)
(0;0)
 
 
Vemos que el camino 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 implica que se parte de (0 ; 0) hasta (1 ; 1) por la recta 
𝐶1: 𝑦 = 𝑥 y del punto (1 ; 1) hasta el punto (1 ; 0) por la recta 𝐶2: 𝑥 = 1 
Parametrizamos las curvas: 
𝐶1: (𝑥 ; 𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y como 𝑦 = 𝑥 entonces 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 
𝐶2: (1 ; 𝑦) para 1 ≥ 𝑦 ≥ 0, porque se parte de 𝑦 = 1 hasta 𝑦 = 0, y como 𝑥 = 1 entonces 𝑑𝑥 =
0 𝑑𝑦 
Vemos que para 𝐶1 el parámetro es 𝑥, mientras que para 𝐶2 el parámetro es 𝑦 dado que 𝑥 es 
constante. 
Entonces ahora resolvemos la integral: 
∫ (1 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑦
(1;0)
(0;0)
= ∫(1 + 𝑥)
1
0
𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + ∫(1 + 𝑦)
0
1
0 𝑑𝑦 + (1 + 1) 𝑑𝑦 = 
= ∫(2 + 2𝑥) 𝑑𝑥
1
0
+ ∫ 2 𝑑𝑦
0
1
= (2𝑥 + 𝑥2)|0
1 + (2𝑦)|1
0 = 
= (2 ∙ 1 + 12) − (2 ∙ 0 + 02) + (2 ∙ 0 − 2 ∙ 1) = 3 − 2 = 1 
∫ (1 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑦
(1;0)
(0;0)
= 1 
En el ítem b se pide calcular la misma integral por distintos caminos, veamos qué resulta por el 
camino 𝑦 = 0, entonces la curva queda descripta por: 
𝐶: (𝑥 ; 0) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y como 𝑦 = 0 entonces 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑥 
La integral nos queda: 
∫ (1 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑦
(1;0)
(0;0)
= ∫(1 + 0) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 1 𝑑𝑥
1
0
= 𝑥|0
1 = 1 
5 
 
Ahora veamos qué resulta por el camino 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥, entonces la curva queda descripta por: 
𝐶: (𝑥 ; −𝑥2 + 𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y como 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥 entonces 𝑑𝑦 = (−2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
La integral nos queda: 
∫ (1 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑦
(1;0)
(0;0)
= ∫(1 + −𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1)(−2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
0
= 
= ∫(1 + −𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + (−2𝑥2 + 𝑥 − 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
0
= ∫(−3𝑥2 + 2) 𝑑𝑥
1
0
= (−𝑥3 + 2𝑥)|0
1 = 1 
Hemos resuelto la integral por tres caminos distintos y en los tres casos el valor de la integral es 
1, esto se debe a que la forma diferencial que actúa como integrando es una forma diferencial 
exacta. 
 
6 
 
FORMA DIFERENCIAL 
Una forma diferencial es una expresión del tipo: 
𝑃(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑦 
siendo 𝑃 y 𝑄 campos escalares, y esta forma diferencial es exacta si: 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
)
𝑦
 
Entonces, sabiendo esto, veamos si (1 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1) 𝑑𝑦, que es el integrando de la integral 
del ítem d del ejercicio 5, es una forma diferencial exacta. 
𝑃(𝑥 ; 𝑦) = 1 + 𝑦 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= 1 
 𝑄(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥 + 1 
(
𝜕𝑄
𝜕𝑥
)
𝑦
= 1 
 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
)
𝑦
 
 
 
Si la forma diferencial es exacta, entonces la integral no depende del camino utilizado para 
calcularla, solamente depende del punto de partida y de llegada. En el caso que la curva sea 
cerrada, es decir que se parta y se llegue al mismo punto luego de recorrer cierto camino, 
entonces la integral de la forma diferencial exacta resulta cero. 
Ejercicio 4 
 a) 
∮ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦 
La notación  indica integral curvilínea por un camino cerrado. El camino que nos dan para la 
anterior integral es: 
 
En estos casos podemos partir de cualquier punto del camino, entonces elegimos partir del punto 
(0 ; 0) hasta el punto (0 ; 1) por la recta vertical 𝐶1: 𝑥 = 0, del punto (0 ; 1) al punto (1 ; 0) por 
7 
 
la recta oblicua 𝐶2: 𝑦 = −𝑥 + 1 y del punto (1 ; 0) al punto (0 ; 0) por la recta horizontal 𝐶3: 𝑦 =
0, así el camino es 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3 y tenemos que sumar tres integrales definidas. 
∮ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶1
+ ∫ 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶2
+ ∫ 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶3
 
Resolvemos integral por integral: 
Resolvemos la primera integral donde la curva es 𝐶1: (0 ; 𝑦) para 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 y como 𝑥 = 0 
entonces 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑦 
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶1
= ∫ 0 ∙ 0 𝑑𝑦 + 𝑦 ∙ 0 𝑑𝑦
1
0
= 0 
Resolvemos ahora la segunda integral donde la curva es 𝐶2: (𝑥 ; −𝑥 + 1) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y como 
𝑦 = −𝑥 + 1 entonces 𝑑𝑦 = (−1) 𝑑𝑥 
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶2
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + (−𝑥 + 1) ∙ 𝑥 ∙ (−1) 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝑥2 𝑑𝑥
1
0
= 
= (
𝑥3
3
)|
0
1
=
1
3
 
Por último, resolvemos la tercera integral donde la curva es 𝐶3: (𝑥 ; 0) para 0 ≥ 𝑥 ≥ 1 y como 
𝑦 = 0 entonces 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑥 
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶3
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 0 ∙ 𝑥 ∙ 0 𝑑𝑥
0
1
= (
𝑥2
2
)|
1
0
=
02
2
−
12
2
? −
1
2
 
La integral por el camino cerrado nos queda: 
∮ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶1
+ ∫ 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦𝐶2
+ ∫ 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝐶3
= 0 +
1
3
−
1
2
= −
1
6
 
 c) 
∮ (𝑦 + 1) 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 𝐶: {
𝑥 = sen 𝑡
𝑦 = cos 𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
 
Esta curva es una circunferencia de centro (0 ; 0) y radio 1, dado que 𝑥2 + 𝑦2 = 1, y nos la dan 
parametrizada. Como el parámetro es 𝑡 tenemos que llevar a la integral curvilínea a integral 
definida con variable 𝑡, así: 
Si 𝑥 = sen 𝑡 entonces 𝑑𝑥 = cos 𝑡 𝑑𝑡 
8 
 
Si 𝑦 = cos 𝑡 entonces 𝑑𝑦 = −sen 𝑡 𝑑𝑡 
Entonces: 
∮ (𝑦 + 1) 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = ∫ (cos 𝑡 + 1) cos 𝑡 𝑑𝑡 − sen 𝑡 (− sen 𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋
0
 
= ∫ (cos2 𝑡 + cos 𝑡 + sen2 𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋
0
= ∫ (1 + cos 𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋
0
= (𝑡 + sen 𝑡)|0
2𝜋 = 
= (2𝜋 − sen 2𝜋) − (0 − sen 0) = 2𝜋 
∮ (𝑦 + 1) 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 2𝜋