Antiderivadas

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UNIDAD 1: ATIDERIVADA
METODO DE SUSTITUCIÓN E INTEGRACIÓN POR PARTE
Definición de Antiderivada de una función
Se dice que una función es una antiderivada de una función , en un intervalo si 
 para todo en . 
Ejemplo: 
 es una antiderivada de por que
2. Es una antiderivada de 
Ejemplo
	Función 	Antiderivada 
		
		
		
		
Teorema
El siguiente teorema generaliza el concepto de antiderivada:
 Si Fes una antiderivada de en un intervalo entonces ) es una antiderivada de en si y solo si para todo en 
Definición
El proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada se conoce como antiderivación y se simboliza de la siguiente forma
Con y 
Donde el símbolo denota la operación de antiderivación y se le conoce como símbolo de la integral, es el integrando que es la función que se pretende encontrar su antiderivada, es conocido como el diferencial y nos indica con respecto a que variable debo hallar la antiderivada. Se lee “la integral de de diferencial de 
Ejemplo
Por que 
Por que 
Por que 
PROPIEDADES
, donde k es una constante
Ejemplo 
PROPIEDADES
II) para 
Ejemplo 
8
PROPIEDADES
III) 
Ejemplo 
PROPIEDADES 
V) 
Ejemplo 
Algunas antiderivadas 
Ejemplo
Encontrar la integral indefinida
Solución 
Para encontrar la integral indefinida muchas veces se deben seguir los siguientes pasos: reescribir la integral, integrar y luego simplificar
Primer paso reescribir la integral para poder encontrar la integral indefinida, para este hecho recurrimos al algebra elemental 
Reescribir
Integrar 
El segundo paso es integrar, para este hecho usamos las distintas propiedades vistas anteriormente 
Simplificar
Por lo tanto 
Ejercicios
Propiedades
 para 
 
Método de sustitución
Si es una función diferenciable cuyo rango es un intervalodonde, es una función continua sobre y es una antiderivada de sobre , entonces
Con 
Ejemplo
Se reescribe la integral de la forma para este fin se multiplica por 2 y se divide por 2
Ahora se toma la sustitución 
 con 
Ejemplo
En consecuencia 
Por lo tanto se tiene que 
Ejercicios
Integración por parte
 La integración por parte esta basada en la regla del producto de la derivación
Donde y son funciones derivable en . Si y son funciones continuas se puede integrar ambos lados de la igualdad
En consecuencia se puede anunciar el siguiente teorema
Teorema
Si y son funciones de y tienen derivadas continuas, entonces 
Esta ultima ecuación es llamada
Fórmula de integración por parte.
Nota: para determinar el termino debemos integrar al termino y para hallar se deriva la función 
La fórmula de integración por parte lo que hacer es hacer un intercambio de derivadas entre las funciones y 
Ejemplo
Evaluar 
Para aplicar la formula de integración por parte hay que escoger adecuadamente las funciones y , donde la función siempre estará acompañada por el diferencial teniendo en cuenta el termino que resulte más sencillo de resolver, se presentan las siguientes alternativas 
Ejemplo
La opción adecuada es la segunda dado el termino de la integrar en la formula de integración por parte resulta mas sencillo de resolver, por lo tanto 
Sea derivando se tiene que 
 integrando se tiene que 
Ejercicios
Evaluar las siguientes integrales
UNIDAD 2: 
INTEGRAL DEFINIDA, AREA BAJO LA CURVA, TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Integral definida
Definición: Sea f una función definida sobre un intervalo cerrado Entonces la integral definida de de a que se denota por se define como
Donde y .
Siempre y cuando dicho limite existe.
	Área bajo la curva
Si es una función continua sobre el intervalo cerrado y
para toda en el intervalo, entonces el área bajo la grafica sobre es , es
Ejemplo
Determinar el área bajo la grafica de la parábola
, en el intervalo 
Solución
, 
Solución 
Aplicando las siguientes propiedades de las sumatorias
donde es una constante
Solución 
Solución 
Teorema fundamental del cálculo
Si una función es continua en el intervalo cerrado y es una antiderivada de en el intervalo entonces
Ejemplo: evalué la siguiente integral 
Propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definida
Área entre curvas
Ejemplo
Encuentre el área acotada por las graficas de y 
 Solución 
Primero encontramos los puntos de intersección entre las curva, para esto igualamos las dos funciones
Ejemplo
Entonces y 
Se tiene que para 
Por lo tanto 
Ejemplo
Volúmenes de Solidos en revolución
Método del disco
Si una región plana se hace girar entorno a una recta, el solido
resultante es un solido de revolución y esa recta se llama eje de revolución (eje de giro).
Eje de revolución horizontal
 
Volúmenes de Solidos en revolución
Método del disco
Si una región plana se hace girar entorno a una recta, el solido
resultante es un solido de revolución y esa recta se llama eje de revolución (eje de giro).
Eje de revolución horizontal
 
Ejemplo
Encontrar el volumen del solido formado al girar la región acotada por la gráfica de , la recta y el eje x alrededor del eje .
Solución
Se tiene que para , entonces
Método de arandela
Si y son dos funciones continuas en un intervalo cerrado tales que para todo entonces el volumen del solido en revolución generado al girar alrededor la recta la región acotada por curvas y y las rectas verticales y está dado por
Ejemplo