04 Trabajo Práctico Nro 4 (INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UN CAMPO ESCALAR)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 4 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UN CAMPO ESCALAR) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
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INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UN CAMPO ESCALAR 
Vamos a llamar incremento de un campo escalar 𝑓(𝑥 ; 𝑦) en un punto (𝑥0 ; 𝑦0) para los 
incrementos ∆𝑥, ∆𝑦 a: 
∆𝑓 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 ; 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0) 
y llamaremos diferencial de un campo escalar 𝑓(𝑥 ; 𝑦) en un punto (𝑥0 ; 𝑦0) para los incrementos 
∆𝑥, ∆𝑦 a: 
𝑑𝑓 = 𝑓𝑥(𝑥0 ; 𝑦0)∆𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥0 ; 𝑦0)∆𝑦 
Ejercicio 6 
En el ítem a de este ejercicio nos piden calcular los incrementos ∆𝑓 y los diferenciales 𝑑𝑓 para las 
distintas 𝑖 funciones que nos proponen; nosotrxs trabajaremos con la función 𝑖 = 1, es decir 
𝑓1(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥
2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 en el punto (3 ; −1) para ∆𝑥 = 0,1 y ∆𝑦 = −0,2 
Primero calculamos el incremento del campo escalar: 
∆𝑓1 = 𝑓1(3 + 0,1 ; −1 − 0,2) − 𝑓1(3 ; −1) 
∆𝑓1 = 𝑓1(3,1 ; −1,2) − 𝑓1(3 ; −1) 
∆𝑓1 = [(3,1)
2 + (−1,2)2 − 2 ∙ 3,1 + 4 ∙ (−1,2)] − [32 + (−1)2 − 2 ∙ 3 + 4 ∙ (−1)] 
∆𝑓1 = 0,05 − 0 
∆𝑓1 = 0,05 
Ahora calculamos el diferencial del campo escalar, calculando y evaluando las derivadas parciales: 
𝑓1(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥
2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 
𝑓1𝑥(𝑥 ; 𝑦) = 2𝑥 − 2 ⇒ 𝑓1𝑥(3 ; −1) = 2 ∙ 3 − 2 = 4 
𝑓1𝑦(𝑥 ; 𝑦) = 2𝑦 + 4 ⇒ 𝑓1𝑦(3 ; −1) = 2 ∙ (−1) + 4 = 2 
𝑑𝑓 = 𝑓1𝑥(3 ; −1) ∙ 0,1 + 𝑓1𝑦(3 ; −1) ∙ (−0,2) 
𝑑𝑓 = 4 ∙ 0,1 + 2 ∙ (−0,2) 
𝑑𝑓 = 0 
En el ítem b nos piden hallar la ecuación explícita del plano tangente. 
Cuando anteriormente trabajamos con funciones escalares, vimos que como resultado de 
graficar los puntos (𝑥 ; 𝑓(𝑥)) en el plano, obteníamos una curva. También habíamos llegado a la 
idea de que si la curva era suave (no tenía picos), podíamos calcular la recta tangente a la gráfica 
en un punto (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0)) y vimos que en el entorno de ese punto, la representación gráfica de la 
función y la de la recta tangente se encontraban próximas, y por eso podíamos utilizar la recta 
tangente para aproximar a la función en un punto cercano al punto de tangencia. La misma idea 
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se sigue en el caso de campos escalares, teniendo en cuenta que el gráfico (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑓(𝑥 ; 𝑦)) es 
una superficie en ℝ3, y ahora tenemos un plano tangente que está próximo a la superficie cerca 
del punto de tangencia, en el gráfico siguiente 𝑧 = 𝑙(𝑥 ; 𝑦) es el plano tangente a la superficie 
𝑧 = 𝑓(𝑥 ; 𝑦) en el punto (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0)) 
 
La ecuación explicita del plano tangente a la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥 ; 𝑦) en el punto 
(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0)) es: 
𝑧 = 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0) + 𝑓𝑥(𝑥0 ; 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0 ; 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) 
Vamos a calcular el plano tangente para una función, por ejemplo, la 𝑓3(𝑥 ; 𝑦) = 𝑦√𝑥 en el punto 
(1 ; 1) 
𝑓3(𝑥 ; 𝑦) = 𝑦√𝑥 ⇒ 𝑓3(1 ; 1) = 1√1 = 1 
𝑓3𝑥(𝑥 ; 𝑦) = 𝑦
1
2√𝑥
⇒ 𝑓3𝑥(1 ; 1) = 1
1
2√1
=
1
2
 
𝑓3𝑦(𝑥 ; 𝑦) = √𝑥 ⇒ 𝑓3𝑦(1 ; 1) = √1 = 1 
La ecuación del plano tangente es: 
𝑧 = 𝑓(1 ; 1) + 𝑓𝑥(1 ; 1)(𝑥 − 1) + 𝑓𝑦(1 ; 1)(𝑦 − 1) 
𝑧 = 1 +
1
2
(𝑥 − 1) + 1(𝑦 − 1) 
Ahora, para el campo escalar 𝑓1(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥
2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 en el punto (3 ; −1) vamos a hallar 
el valor aproximado de 𝑓(3,1 ; −1,2) y 𝑓(2,8 ; −0,9) 
𝑓1(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥
2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 
𝑓1𝑥(𝑥 ; 𝑦) = 2𝑥 − 2 ⇒ 𝑓1𝑥(3 ; −1) = 2 ∙ 3 − 2 = 4 
4 
 
𝑓1𝑦(𝑥 ; 𝑦) = 2𝑦 + 4 ⇒ 𝑓1𝑦(3 ; −1) = 2 ∙ (−1) + 4 = 2 
El plano tangente resulta: 
𝑧 = 0 + 4(𝑥 − 3) + 2(𝑦 + 1) 
𝑧 = 4𝑥 + 2𝑦 − 10 
Aproximamos 𝑓(3,1 ; −1,2) y 𝑓(2,8 ; −0,9) utilizando el plano tangente: 
𝑓(3,1 ; −1,2) ≅ 4 ∙ 3,1 + 2 ∙ (−1,2) − 10 
𝑓(3,1 ; −1,2) ≅ 0 
𝑓(2,8 ; −0,9) ≅ 4 ∙ 2,8 + 2 ∙ (−0,9) − 10 
𝑓(2,8 ; −0,9) ≅ −0,6 
Ejercicio 7 
En este ejercicio nos piden calcular aproximadamente, con 4 cifras significativas, el valor de las 
funciones que nos presentan en los puntos indicados utilizando diferenciales. Nosotrxs vamos a 
tomar la función 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥2 ln 𝑦 para (𝑥 ; 𝑦) = (3,9 ; 1,2) 
Para ello, tenemos que recordar que el incremento de la función se aproxima con el diferencial, 
en este caso el punto que elegimos es (𝑥0 ; 𝑦0) = (4 ; 1) y entonces nos queda que ∆𝑥 = 3,9 −
4 = −0,1 y ∆𝑦 = 1,2 − 1 = 0,2 
Como dijimos anteriormente, el incremento se aproxima con el diferencial: 
∆𝑓 ≅ 𝑑𝑓 
𝑓(3,9 ; 1,2) − 𝑓(4 ; 1) ≅ 𝑑𝑓 
𝑓(3,9 ; 1,2) ≅ 𝑑𝑓 + 𝑓(4 ; 1) 
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥2 ln 𝑦 ⇒ 𝑓(4; 1) = 42 ln 1 = 0 
𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 ln 𝑦 ⇒ 𝑓𝑥(4; 1) = 2 ∙ 4 ln 1 = 0 
𝑓𝑦(4 ; 1) = 𝑥
2
1
𝑦
⇒ 𝑓𝑦(4 ; 1) = 4
2
1
1
= 16 
𝑓(3,9 ; 1,2) ≅ 𝑓𝑥(4 ; 1) ∙ (−0,1) + 𝑓𝑦(4 ; 1) ∙ 0,2 + 𝑓(4 ; 1) 
𝑓(3,9 ; 1,2) ≅ 0 ∙ (−0,1) + 16 ∙ 0,2 + 0 
𝑓(3,9 ; 1,2) ≅ 3,2