5 Notas sobre Integrales

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Práctico 6 – Integrales - NOTAS 1
INTEGRALES
PARA RECORDAR: Integrales inmediatas
1 1n;C
1n
x
dxx
1n
n 



 8 Csenxlndxgxcot 
2 Cxlndx
x
1
 9 Caln
adxa
x
x 
3 Cxcosdxsenx  10   Cedxe xx
4 Csenxdxxcos  11 Ca
x
arctg
a
1
dx
xa
1
22


5 Ctgxdx
xcos
1dxxsec
2
2  12 Cxkdxk 
6 Cgxcotdx
xsen
1dxxeccos
2
2  13   dx)x(fkdx)x(fk
7 Cxcoslndxtgx  14    dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad de la integral indefinida:
  dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
METODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por sustitución
C))x(g(F
C)u(F
du)u(fdx)x('g))x(g(f


 
Integración por partes
dx)x(v)x('u)x(v)x(udx)x('v)x(u  
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Resaltar
Andres
Rectángulo
Andres
Rectángulo
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Práctico 6 – Integrales - NOTAS 2
UN EJEMPLO PARA TENER EN CUENTA
INTEGRALES DEL TIPO
 Cálculo de dxxsen2
  dxsenxsenxdxxsen2
Usamos el método de integración por partes:
u = senx v’ = senx
u’ = cosx v = -cosx
Así:
dxxsenxxcossenx
dxxsendxxcossenx
dx)xsen1(xcossenxdxxcosxcossenx
dx)xcos(xcosxcossenxdxsenxsenxdxxsen
2
2
22
2








Luego:
C)xxcossenx(
2
1
dxxsenxxcossenxdxxsen2
xxcossenxdxxsendxxsen
22
22




Procediendo de manera análoga es posible resolver integrales como:



dxxcos
dxsenxe
dxxcose
2
x
x
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Práctico 6 – Integrales - NOTAS 3
INTEGRAL DEFINIDA
Integral definida. Regla de Barrow:
 
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f
PROPIEDADES
1  
a
a
0dx)x(f 4   
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
2  
a
b
b
a
basi;dx)x(fdx)x(f 5  
b
c
c
a
b
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
3  
b
a
b
a
dx)x(fkdx)x(fk
Observación
Tener en cuenta que el resultado de la integral
definida es un número real y por lo tanto puede
tomar valores negativos mientras no estemos
calculando áreas.
CALCULO DE AREAS
1. Cuando la región está limitada por los ejes coordenados, se nos pueden presentar situaciones
similares a las siguientes:
La función es siempre
positiva en el intervalo.
f(x) 0 en [a; b]

b
a
dx)x(f)R(A
La función es siempre
negativa en el intervalo.
f(x)0 en [a; b]

b
a
dx)x(f)R(A o
bien 
B
A
dx)X(f)R(A
a y b son los puntos entre los que
queremos calcular el área (límites
de la integral).
Habitualmente son los puntos de
intersección de la función con el
eje x.
La función es a veces
positiva y a veces
negativa en el intervalo.
En la figura:
 
b
a
c
b
dx)x(fdx)x(f)R(A
Se calculan los puntos de
intersección y se calculan las
integrales sucesivas
Uno de los límites de
integración es x = 0
En la figura:

a
0
dx)x(f)R(A
Se calcula el punto de
intersección con el eje x
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Práctico 6 – Integrales - NOTAS 4
En todos estos casos es necesario buscar la intersección de la gráfica de la función con el eje x. De este
modo obtenemos los límites de integración.
Para hallar el área de estas regiones, procedemos de la siguiente manera:
1. Calculamos los puntos de intersección de la función con el eje x.
Esto nos da el intervalo donde calculamos el área y constituyen los límites de integración.
2. Estudiar el signo de la función entre los puntos de intersección.
Esto nos permite saber si el gráfico de f se encuentra por encima del eje x (f(x) 0) o por debajo del
mismo (f(x) 0).
3. Calcular las integrales correspondientes, o bien utilizar siempre el valor absoluto para asegurarnos que el
resultado sea positivo.
Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como se comporta la gráfica en el
intervalo y así determinar área a calcular.
2. Cuando la región está limitada por la gráfica de una función, el eje de abscisas y las rectas x = a y
x = b se nos pueden presentar situaciones similares a las siguientes:
La función es siempre
positiva en el intervalo.
f(x) 0 en [a; b]

b
a
dx)x(f)R(A
La función es siempre
negativa en el intervalo.
f(x)0 en [a; b]

b
a
dx)x(f)R(A o
bien 
B
A
dx)X(f)R(A
a y b son los puntos entre los que
queremos calcular el área (límites
de la integral)
La función toma
valores positivos y
negativos en el
intervalo [a; b]
En la primer figura:
 
m
a
c
m
dx)x(fdx)x(f)R(A
Se calculan los puntos de
intersección, y se suman las áreas
de cada región.
En todos estos casos es necesario buscar la intersección de la gráfica de la función con el eje x. De este
modo obtenemos los límites de integración.
Para hallar el área de estas regiones, procedemos de la siguiente manera:
1. Calcular los puntos de intersección de la función con el eje x en el intervalo [a,b].
2. Ordenar de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son
a<x1<x2<x3<b. Estudiar el signo de la función en los subintervalos [a,x1], [x1; x2], [x2; x3], [x3; xb],
Esto nos permite saber si el gráfico de f se encuentra por encima del eje x (f(x) 0) o por debajo del
mismo (f(x) 0) en cada subintervalo.
4. Calcular las integrales correspondientes en cada subintervalo.
Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como se comporta la gráfica en el intervalo y
así determinar área a calcular.
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Práctico 6 – Integrales - NOTAS 5
3. Cuando la región está limitada por la gráfica de dos o más funciones y/o las rectas x = a y x = b.
Se nos pueden presentar gran variedad de situaciones. Por ejemplo:
En todos los casos procedemos de esta manera:
1. Buscamos los puntos de intersección entre las curvas, que utilizaremos como límites de integración.
2. Si hay más de un punto de intersección el intervalo de integración queda dividido en subintervalos.
3. Determinar en cada subintevalo qué función queda por encima y cuál por debajo.
4. En un intervalo el área será:
A(R) =  
b
a
dx))x(g)x(f( si f queda por encima de g en todo ese intervalo
5. Si tenemos varios subintervalos, calculamos el área en cada uno de ellos y las sumamos:
A(R) = A(R1) + A(R2) +…+ A(RN)