Ejercicio3_TP0

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Matemática – Práctico 0 – Ejercicio 3
SOLUCIÓN Y COMENTARIOS:
a. Te mostramos varias formas de resolver este ítem.
1º) Una de las formas es buscar el racional que se encuentra en el punto medio de los racionales
dados, del siguiente modo:
35
6
2
5
1
7
1


De este modo es:
5
1
35
6
7
1 
Buscamos otro entre
7
1 y
35
6
70
11
2
35
6
7
1


De este modo es:
5
1
35
6
70
11
7
1 
Observación.
Este procedimiento lo podemos realizar siempre, pues en el conjunto de los números
racionales, entre dos racionales siempre hay un racional. Esta propiedad se denomina de
densidad. Decimos que el conjunto de los racionales es un conjunto denso.
2º) Otra forma de resolver el mismo ejercicio es trabajando con expresiones decimales.
Para establecer rápidamente la relación que se verifica ente ellos, si la parte entera es igual,
comparamos sus cifras decimales.
Si hacemos:
...142857142,0
7
1  y 0,2
5
1 
podemos escribir:
2,0ba...142857142,0 
donde a y b son los números que estamos buscando.
Eligiendo, por ejemplo, a = 0,16, se cumple que:
16,0...142857142,0 
3. Dadas las fracciones
5
1
y
7
1
, escribí, si es posible, entre ellas:
a. Dos fracciones.
b. Una fracción con denominador 20.
c. Todas las fracciones con denominador 70.

Comprobá que
 28571420,14285714
7
1
La expresión decimal:
0,142857142857142…
es periódica y su período
1
es 142857.
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Observa que tienen la misma parte entera, por lo que comparamos la parte decimal.
Como la cifra de los décimos es la misma en ambos (es 1), comparamos los centésimos, al ser
6 > 4 resulta 0,16 > 0,142857142…
También se cumple que:
0,16 < 0,2
ya que tienen la misma cifra en los enteros y si comparamos las cifras de los décimos es 1<2.
Por lo que:
0,216,0...142857142,0 
Nos falta hallar el b que cumpla:
2,0b16,0...142857142,0 
Si elegimos b = 0,18 vemos que cumple con las condiciones pedidas (verificalo).
Así, podemos escribir:
2,018,016,0...142857142,0 
Como nos piden fracciones:
5
1
100
18
100
16
7
1 
O en forma equivalente:
5
1
50
9
25
4
7
1

Quizás se te ocurrieron otros dos números, sino intentá hacerlo. Recordá que hay
infinitas posibilidades, tan válidas como estas que hemos propuesto.
3º) Otra manera de resolverlo es buscar fracciones equivalentes a las fracciones dadas con igual
denominador.
Para encontrar fracciones equivalentes a una dada multiplicamos (o dividimos) el numerador y
denominador de la fracción por el mismo número.
5
1
7
1 
35
7
35
5 
En este punto podríamos encontrar sólo una fracción intermedia con el mismo denominador:
35
6
Pero como nos piden dos, trabajamos con otras fracciones equivalentes a las dadas, con igual
denominador, por ejemplo:
5
1
7
1

350
70
350
50

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Ahora sí encontramos más de una con ese denominador que se encuentren entre las dadas:
350
70
350
69
350
65
350
50 
O sea:
5
1
350
69
70
13
7
1 
b. Una fracción con denominador 20.
Como nos hablan de denominador 20, buscamos una fracción equivalente a alguna de las dadas
con ese denominador.
La única posibilidad es
5
1
20
4 
Para hallar un número entre ambas fracciones
20
4a
7
1  podemos probar con
20
3a  por
ejemplo.
Si es mayor que
7
1 ya encontraste la fracción. Si no lo es, diremos que no existe el racional
pedido, pues
0'2
1 y
0'2
2 son menores que
20
3 .
Comparamos
7
1 con
20
3 .
Para ello buscamos dos fracciones equivalentes a ellas con igual denominador.
7
1 …..
20
3
140
20 …..
140
21
Se ve que
140
21
140
20 
O sea
20
3
7
1  , con lo cual encontramos el número buscado.
Así, se cumple:
5
1
20
3
7
1 
También podríamos haber comparado sus expresiones decimales asociadas.
Te dejamos que lo hagas.
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c. Todas las fracciones con denominador 70.
Como ahora nos piden denominador 70, usando la misma metodología, buscamos una fracción
equivalente a alguna de las dadas con ese denominador.
En este caso podemos trabajar con las dos simultáneamente:
5
1
7
1 
70
14
70
10 
Todas las fracciones con denominador 70 que se encuentran entre ellas son:
70
13y
70
12,
70
11
Entonces es:
70
14
70
13
70
12
70
11
70
10 
O bien:
5
1
70
13
70
12
70
11
7
1 