Ejercicio3_TP6

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Matemática
P
S
E
p
R
s
a
3. Hallá g tal que:
a. g’(x) = 3x -1 y g(0) = -2
b. g’(x) = cos x y g() = 1
c. g’(x) = x-1 y g(1) = 0
ráctico 6 – Integrales - EJERCICIO 3 1
OLUCION Y COMENTARIOS
n este ejercicio nos piden hallar una primitiva de g’, esto es, una función g que al ser derivada nos de
or resultado g’.
ecordamos que no hay una sola primitiva de las funciones g’ dadas, ya que si una primitiva le
umamos una constante, al derivar, siendo la derivada de una constante igual a cero, esta desaparece.
. g’(x) = 3x -1 y g(0) = - 2
Analizamos los sumandos de g’
 3x es la derivada de una función de la forma k . H(x).
Y la derivada de k . H(x) es k.H’(x) donde, podemos pensar que k = 3 y H’(x) = x.
Si hacemos H(x) = x2, es H’(x) =2x, que se parece a H’(x) = x, pero nos “sobra” el 2.
Si hacemos 2x
2
1
)x(H  es H’(x) = x)x('Hxx2
2
1
)x('H  que es la misma H’(x)
que habíamos propuesto.
Entonces 3x es la derivada de 2x
2
13 
 -1 es la derivada de una función de la forma k.M(x) donde k = -1 y M’(x) = 1.
Pero si M’(x) = 1 es M(x) = x.
Con lo que -1 es la derivada de -1x = -x
Así, si g’(x) = 3x – 1; una primitiva de g’ es:
g(x) = Cxx
2
13 2 
Para hallar el valor de la constante C, tenemos en cuenta que g(0) = -1.
1C1C00
2
1
31)0(g 2 
Por lo tanto;
g(x) = 1xx
2
13 2 
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Matemática
Práctico 6 – Integrales - EJERCICIO 3 2
b. g’(x) = cos x y g() = 1
Recordando que g’(x) = cos x si es g(x) = sen x entonces una primitiva de g’ es
g(x) = sen x + C
Buscamos C, usando que g() = 1
g() = 1 g() = sen + C = 1 C = 1 (ya que sen= 0 )
Entonces la primitiva de g’(x) = cos x cuando g() = 1 es:
g(x) = sen x + 1
c. g’(x) = x-1 y g(1) = 0
Vemos que:
x
1)x('gx)x('g 1  
Como
x
1 es la derivada de ln x, una primitiva de g’ es:
Cxln)x(g 
Buscamos C considerando que g(1) = 0.
0C0C1ln)x(g0)1(g 
Entonces la primitiva de g’ que verifica que g(1) = 0 es:
g(x) = ln x