MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Segundo_turno_Tema_3_01_10_2019

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Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 3 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Segundo turno – Tema 3 - 01/10/2019 
 
 
 
Solución 
Tenemos que 
𝑥 ∈ 𝑀 ↔ |
1
5
− 3𝑥| < 6 
Por definición |𝑡| < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑡 < 𝑎. 
Entonces 
|
1
5
− 3𝑥| < 6 
−6 <
1
5
− 3𝑥 < 6 
restamos 
1
5
 a cada uno de los términos de la inecuación 
−6 −
1
5
< −3𝑥 < 6 −
1
5
 
−
31
5
< −3𝑥 <
29
5
 
dividimos por −3, con lo cual cambia el sentido de las desigualdades 
−
31
5
−3
>
−3𝑥
−3
>
29
5
−3
 
31
15
> 𝑥 > −
29
15
 
Luego 𝑀 = (−
29
15
;
31
15
) 
 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el siguiente conjunto 
𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ |
1
5
− 3𝑥| < 6} 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 3 2 
 
 
Solución 
El conjunto imagen es el intervalo (−∞; 𝑠]. Esto nos está diciendo que el 
vértice de la parábola (gráfica de la función) se encuentra en el punto 𝑉 =
(𝑥𝑣; 𝑠). 
La abscisa del vértice es 
𝑥𝑣 =
−(1)
2 ∙ (−1)
 → 𝑥𝑣 =
1
2
 
El vértice es el punto 𝑉 = (
1
2
; 𝑠). 
Evaluando en la función 
𝑦𝑣 = ℎ(𝑥𝑣) 
𝑠 = − (
1
2
)
2
+ (
1
2
) + 2 → 𝑠 =
9
4
 
 
 
 
 
Solución 
Encontrar los ceros (o raíces) del polinomio 𝑄 significa encontrar para qué 
valores del dominio la función es igual cero. Para esto debemos resolver la 
ecuación 𝑄(𝑥) = 0. 
Es decir, 
𝑥5 − 4𝑥4 + 𝑥3 + 6𝑥2 = 0 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de ceros del polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥5 − 4𝑥4 + 𝑥3 + 6𝑥2 si se 
sabe que cruza al eje de las abscisas (𝑒𝑗𝑒 𝑥) en 𝑥 = 2 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑠 ∈ ℝ si se sabe que el intervalo (−∞; 𝑠] es 
el conjunto imagen de la gráfica de la función ℎ(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 2 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 3 3 
Primero vamos a factorizar el polinomio. Sacando factor común 𝑥2 tenemos 
que 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 ∙ (𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6) 
El polinomio 𝑄 se anula en 𝑥 = 2 (ya que cruza al eje x en ese valor) y como 𝑥2 
no se anula cuando 𝑥 = 2 lo que debe suceder es que 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 se anule 
cuando 𝑥 = 2. Esto quiere decir que 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 es divisible por (𝑥 − 2). 
Por Ruffini 
 1 -4 1 6 
2 2 -4 -6 
 1 -2 -3 0 
 
Entonces tenemos que 
𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 3) → 𝑄(𝑥) = 𝑥3 ∙ (𝑥 − 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 3) 
 
Vamos ahora a resolver la ecuación 𝑥5 − 4𝑥4 + 𝑥3 + 6𝑥2 = 0 que es equivalente 
a resolver 
𝑥2 ∙ (𝑥 − 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 3) = 0 
Y como el producto es igual a cero si alguno de los factores lo es debe ser: 
𝑥2 = 0 ó (𝑥 − 2) = 0 ó (𝑥2 − 2𝑥 − 3) = 0 
 𝑥2 = 0 ↔ 𝑥 = 0 
 𝑥 − 2 = 0 ↔ 𝑥 = 2 
 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 si 
𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−3)
2 ∙ (1)
=
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± 4
2
 → 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 3 
Luego, 𝐶0 = {0,2, −1,3} 
 
 
 
 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 3 4 
 
 
Solución 
Para hallar el conjunto de ceros de la función 𝑔 primero debemos hallar la 
expresión de 𝑓−1 y luego la composición 𝑓−1 ∘ ℎ. 
Si llamamos 𝑓(𝑥) = 𝑦 
3𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 =
𝑦
3
 
Luego, haciendo un cambio en el nombre de la variable 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥
3
 
 
La composición de funciones es 
𝑔(𝑥) = 𝑓−1 ∘ ℎ(𝑥) = 𝑓−1(ℎ(𝑥)) =
1
3
(1 − √10 − 𝑥2) 
 
Para hallar el conjunto de ceros de la composición debemos resolver la ecuación 
1
3
(1 − √10 − 𝑥2) = 0 ↔ (1 − √10 − 𝑥2) = 0 ↔ 1 = √10 − 𝑥2 
↔ 1 = 10 − 𝑥2 ↔ 𝑥2 = 9 ↔ 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −3 
 
El conjunto de ceros de la función 𝑔 = 𝑓−1 ∘ ℎ es: 𝐶0 = {−3; 3}. 
 
 
Ejercicio 4(3 puntos) 
Hallar el conjunto de ceros de la función 𝑔 = 𝑓−1 ∘ ℎ siendo 𝑓(𝑥) = 3𝑥 y 
ℎ(𝑥) = 1 − √10 − 𝑥2