Rtas (AC TP4 - Funciones especiales)

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Matemática 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
 
PRÁCTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES 
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 
1. En el proceso de respiración se alternan períodos de inhalación y de exhalación que se 
pueden describir mediante la fórmula f(t) = 0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π t
2
 siendo t el tiempo medido en 
segundos y f(t) el caudal de aire en el tiempo t, medido en litros por segundo. 
a. Hallar el tiempo en que se completa un ciclo (una exhalación y una inhalación). 
b. Hacer el gráfico de la función para dos ciclos completos y hallar: 
i. Los lapsos en que el caudal de aire es positivo y los lapsos en que es 
negativo. 
ii. Los instantes en que el caudal de aire es nulo, máximo o mínimo. 
 
• Las formas de resolución de los ejercicios pueden no 
ser únicas. Si pensás que los podes resolver de otra 
manera y no estás seguro consúltanos en los foros. 
 
 
 
Solución y comentarios 
 
a) Interpretando que el ciclo completo del proceso de respiración se corresponde con el período de 
la función trigonométrica, para contestar lo calculamos, usando la expresión: 
|b|
2T π= 
Para la función f(t) = 0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π t
2
 es |b| = 
2
π . 
Reemplazando: 
4
2
2T =
π
π
= 
 
Luego el ciclo completo de respiración se realiza cada 4 segundos. 
 
b) Dos ciclos completos están comprendidos en el intervalo de tiempo:[0; 8] ya que un ciclo es de 
4 segundos. El gráfico para dos ciclos completos es el siguiente: 
 
 
 
 
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Para contestar a los dos ítems siguientes podemos apoyarnos en el gráfico: 
 
b.1. Vemos que la función es positiva en los intervalos de tiempo (0; 2) y (4; 6) y negativa en los 
intervalos (2; 4) y (6; 8) 
b.2. El caudal de aire nulo se corresponde con los ceros de la función. Y ésta es cero en: 
 t1 = 0; t2 = 2; t3 = 4; t4 = 6 y t5 = 8 
Pero no podemos determinar en el gráfico para qué valores de t la función alcanza los 
máximos y mínimos. 
Lo hacemos analíticamente. 
Empezamos buscando para qué valor de t alcanza su máximo. 
Como la imagen de la función es el intervalo [-0,6; 0,6] el valor máximo que toma es 0,6. 
Planteamos: 
0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π t
2
 = 0,6 
De donde es: 
sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π t
2
 = 1 
Si llamamos vt
2
=
π es sen v = 1 
Y sen v = 1 sí y solo sí π+π= k2
2
v (siendo k un número entero) 
Luego es: 
π+
π
=
π k2
2
t
2
 
Dividiendo miembro a miembro por 
2
π 
Ζ∈+=
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
=
kk41t
2
:k2
2
t
 
 
Damos valores a k, para ver qué valores de t = 1 + 4k se encuentran en el intervalo [0; 8] 
 
 k = -1 k = 0 k = 1 k = 2 
t = 1 + 4k t = 1 - 4 = -3 t = 1 t = 1 + 4 = 5 t = 1 + 8 = 9 
¿Pertenece a [0; 8] NO SÍ SÍ NO 
 
• Luego la función alcanza sus valores máximos en t = 1 ó t = 5 
 
De manera análoga buscamos los valores de t en los que la función alcanza sus valores 
mínimos. 
 
• Y encontramos t = 3 ó t = 7 (lo dejamos para que lo hagan) 
 
 
 
 
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Observación: El ítem b1 lo resolvimos gráficamente. Lo hacemos ahora analíticamente. 
Para ello, como la función seno es una función continua, podemos usar el teorema de Bolzano y sus 
consecuencias. 
Usamos en este caso que para una función continua en un intervalo, entre dos ceros de la función la 
misma se mantiene siempre positiva o siempre negativa en ese intervalo. 
 
Buscamos los ceros de f igualando la función a cero (lo podríamos haber hecho cuando 
respondimos gráficamente). 
 0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π t
2
= 0 
 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π t
2
= 0 dividiendo miembro a miembro por 0,6 
Si llamamos vt
2
=
π es sen v = 0 1 
Y sen v = 0 sí y sólo sí π= kv (siendo k un número entero) 
Luego es: 
π=
π kt
2
 
Dividiendo miembro a miembro por 
2
π 
Ζ∈=
π
π=
kk2t
2
:kt 
 
Demos valores a k, para ver qué valores de t = 2k se encuentran en el intervalo [0; 8] 
 
 k = -1 k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 
t = 2k t = -2 t = 0 t = 2 t = 4 t = 6 t = 8 t = 10 
¿Pertenece a [0; 8] NO SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ NO 
 
Luego el conjunto de ceros de la función es: C0 = {0; 2; 4; 6; 8} 
Buscamos ahora los intervalos en que el caudal de aire es positivo o negativo. . 
Para ayudarnos, ubicamos los ceros en la recta numérica: 
 
Los ceros determinan en el dominio los intervalos: (0; 2); (2; 4); (4; 6) y (6; 8). 
Consideremos un valor de t en cada intervalo y veamos que signo toma la función: 
o En (0; 2), t = 1, entonces es: f(1) = 0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
2
= 0,6 > 0 
o En (2; 4) ; t = 3, entonces es: f(3) = 0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
2
3 = - 0,6 < 0 
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o En (4; 6) , t = 5, entonces es: f(5) = 0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
2
5 = 0,6 > 0 
o En (6; 8) , t = 7, entonces es: f(7) = 0,6 sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
2
7 = - 0,6 < 0 
Luego la función: 
• es positiva en el intervalo (0; 2) U (4; 6) 
• y negativa en el intervalo (2; 4) U (6; 8) 
 
 
 
 
Contenidos 
involucrados 
 
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a: 
• Funciones trigonométricas. 
• Período 
• Ceros, máximo y mínimo de la función seno. 
• Composición de funciones. 
• Teorema de Bolzano y sus consecuencias, 
 
 
 
2. El valor de una máquina industrial disminuye de modo que después de t años está dado 
por la función t04,00 e . Sabiendo que después de 20 años tiene un valor de 8987$ 
¿cuál fue su valor inicial? 
Q)t(Q −=
 
Solución y comentarios 
La forma de la función que da el valor de la máquina es el de una función exponencial, definida en 
este caso para t mayor o igual que cero. Para valores cada vez más grandes de t, el valor se acerca 
cero. 
Luego es Dom(Q) = [0; + ∞) 
Analizamos la fórmula t04,00 eQ)t(Q
−=
• el coeficiente Q0 nos da el valor inicial, esto es el valor de la máquina cuando t = 0. 
Es decir que Q(0) = Q0 cuyo valor hay que averiguar. 
 
Además de la fórmula el enunciado dice que para t = 20 el valor de la máquina es de 8987$. 
Podemos escribir; 
 Q(20) = 8997 
Si ahora reemplazamos en la fórmula es: 
20.04,0
0eQ)20(Q
−= = 8987 
 
Debemos resolver la ecuación 
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8987 20.04,0eQ − = 0
94,20000Q
e.8987
e
8987Q
8987eQ
0
8,0
8,00
8,0
0
≡
==
=
−
−
 
El valor inicial de la máquina es de 20000, 94$ 
 
Observación: 
r resuelto la ecuación tomando logaritmo natural a ambos miembros. 
8,0
0
0
=−
 
Y usando propiedades de logaritmos: 
0
0
0
0
0
=
+=
+=
==−
=−+
 
 
Con lo que llegamos al mismo resultado. 
 
 
Podríamos habe
8987eQ 8,0 =−
)8987ln()e.Qln(
7658379,90353436)Qln(
0,87658379,10353436)Qln(
8,08987ln)Qln(
1eln8987ln8,0)Qln(
potencialadearitmolog8987lneln)8,0()Qln(
productodelaritmolog8987ln)eln(.)Qln( 8,00 =+
−
Por lo que 
20000,94Q
31194720000,9363Q
eQ
0
0
7658379,18353436
0
≅
=
=
 
 
 
 
 
 
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a: 
Contenidos 
involucrados
• Función exponencial 
• Dominio de funciones 
• Función inversa