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Matemática
Material de uso exclusivamente educativo
PRÁCTICO 5. DERIVADAS
Aplicaciones
RESPUESTAS ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
Solución y comentarios
En los términos del problema esto significa que la ganancia crece si se producen entre 0 y 200
tocadiscos o entre 500 y 800 tocadiscos y decrece cuando se producen entre 200 y 500 tocadiscos.
 Las formas de resolución de los ejercicios pueden no
ser únicas. Si pensás que los podes resolver de otra
manera y no estás seguro consúltanos en los foros.
1. Un fabricante de tocadiscos ha determinado que la ganancia P(x) (en miles de
dólares) se relaciona con la cantidad x de tocadiscos fabricados (en cientos) por
mes por 2x10x
2
7
x
3
1
)x(P 23  , siempre que el número de unidades producidas
sea menor que 800 por mes. ¿En qué niveles de producción está creciendo la
ganancia? ¿En qué niveles está decreciendo?
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Solución y comentarios
a) Indicá en la gráfica de la función, los puntos en los que la derivada es cero.
Observemos el gráfico de la función. Vemos que se trata de una función derivable en todos sus
puntos.
Si recorremos la función de izquierda a derecha, vemos que
en x = -1 y en x = 1, la función toma un máximo y un mínimo y
que en ambos casos las rectas tangentes son horizontales, por
lo que sus pendientes son iguales a cero.
Por lo que es:
0)1(f)1(f '' 
b) En x = 2, la derivada ¿es positiva o negativa?
c) ¿Y en el intervalo (1; 2)
Tanto en el intervalo (1; 2) como en x = 2 las rectas
tangentes tienen pendientes positivas.
Solución y comentarios
Llamemos a los números que buscamos a y b siendo a 0 y b 0.
Y a la suma de a y b:
a + b = 36
2. a) Indicá en la gráfica de la función, los puntos en los que la derivada es cero.
b) En x = 2, la derivada ¿es positiva o negativa?
c) ¿Y en el intervalo (1; 2)
3. La suma de dos números no negativos es 36. Hallá dichos números para que:
a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible.
b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible.
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Entonces, si el primer ítem, lo interpretamos como:
a) La suma de dos números negativos es 36. Hallá dichos números para que la suma de sus
cuadrados sea lo más pequeña posible.
Podemos escribir;
a + b = 36
Y la expresión a minimizar es:
a2 + b2 = S
(por comodidad llamamos S a la suma de los cuadrados de a y b)
Si escribimos la primera igualdad como:
a = 36 – b
Y reemplazamos en la expresión a minimizar, resulta:
(36 – b)2 + b2 = S
Por lo que la suma de los cuadrados de a y b nos queda expresada en función de b . Es decir,
S(b) = (36 – b)2 + b2
Y ésta es la función a minimizar.
Calculemos su derivada:
S’ (b) = 2(36-b)(-1) + 2b
= -72 +2b + 2b
= -72 + 4b
Luego es
S’ (b) = -72 + 4b
Igualamos S’ a cero para buscar los puntos críticos:
-72 + 4b = 0  b = 18
Como es b = 18 0 (condición inicial del problema), nos interesa para analizar si es mínimo de
la función. Estudiamos si la función derivada cambia de negativa a positiva alrededor del punto
crítico.
Consideramos, en la recta real, el intervalo [0; +), y ubicamos el punto crítico.
Obtenemos los intervalos [0; 18) y (18; +).
En el intervalo [0; 18), tomamos b = 10
Y es SC’(10)= -72 + 40 = -32
Por lo que en el inervalo [0; 18), la derivada es negativa.
Del mismo modo en el intervalo (18; +), tomamos b = 20
Y es SC’(20)= -72 + 80 = 8
Por lo que en el inervalo (18; +), la derivada es positiva.
Como en b = 18, la función pasa de negativa a positiva, entonces b = 18 es un mínimo de la
función.
Buscamos a en a + b = 36.
Como b = 18 entonces es a = 18 por lo que los números que cumplen las condiciones del
problema son:
a = b = 18
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b) El segundo ítem lo interpretamos como
La suma de dos números negativos es 36. Hallá dichos números para que la suma de sus
raíces cuadradas sea lo mas grande posible.
Tenemos que hallar para qué valores de a y b (a 0 y b 0 ) se verifica que:
a + b = 36
ba  = R es lo más grande posible.
(Por comodidad llamamos R a la suma de las raíces cuadradas de a y b)
Hagamos a = 36 – b y reemplacemos en la segunda expresión:
bb36  = R
Por lo que R queda expresada en función de b y podemos escribir:
bb36)b(R 
Y es la función que queremos maximizar.
Para derivar la fucnión, escribimos la raíz cuadrada como un exponente fraccionario.
2
1
2
1
b)b36(bb36)b(R 
Observamos que, para que esté definida la raíz cuadrada debe ser
36 – b 0
por lo que 0 b 36
Ahora derivamos:
b
1
2
1
b36
1
2
1
b
2
1)b36(
2
1
b
2
1
)1()b36(
2
1
)b(R
2
1
2
1
2
1
2
1
'







La derivada está definida para 0 < b < 36
Vemos cuando es R’(b) = 0
b
1
b36
1
b
1
2
1
b36
1
2
1
:bienO
0
b
1
2
1
b36
1
2
1
0)b(R '








Como es 0 < b < 36, podemos escribir
b36b 
Elevando al cuadrado ambos miembros:
b = 36 – b
De donde
b = 18
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Como elevamoa al cuadrado para despejar las raíces, verificamos que b = 18 es solución de la
ecuación
0
b
1
2
1
b36
1
2
1



Reemplazamos
0
18
1
2
1
18
1
2
1
18
1
2
1
1836
1
2
1 


Luego b = 18 es un punto crítico. Debemos ver si es máximo.
En el intervalo (0; 36) donde está definido b, consideremos un punto a la izquierda de b y otro a
la derecha y veamos que sucede con el signo de la derivada.
Para b = 16; la derivada es positiva (verificar)
Para b = 20; la derivada es negativa (verificar)
Luego como la función derivada cambia de positiva a negativa alrededor de b = 18, en este
punto, la función alcanza un máximo.
Buscamos el valor de a en a+ b = 36
Como b = 18 entonces es a = 18 por lo que los números que cumplen las condiciones del
problema son:
a = b = 18
Solución y comentarios
La función f está definida para todo número real. Por lo que es Dom(f) = 
Para poder resolver el problema buscamos la derivada de la función 1x2 ex)x(f  , aplicando
la derivada del producto y de la función compuesta:
)xx2(e
)e(x)e(x2)x(f
21x
1x21x'




La función derivada tiene como dominio Dom(f ’) = 
Buscamos los puntos críticos igualando a cero la derivada:
2xó0x
0)x2(x
0xx2
0)xx2(e0)x(f
2
21x'



 
Los puntos críticos determinan en el dominio tres intervalos:
(-; -2); (-2; 0) y (0, +)
Analizamos el signo de la derivada en cada uno de ellos.
4. Indicá los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallá los extremos relativos,
si existen, de la función 1x2 ex)x(f 
1x
1x''1x
e
e)1x()e(




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En (-; -2); tomamos x = -4 y es 0))4()4(2(e 214  .
Luego f’ es positiva en (-; -2)
En (-2; 0), tomamos x = -1 y es 0))1()1(2(e 211 
Luego f’ es negativa en (-2; 0)
En (0, +) tomamos x = 1 y es 0))1()1(2(e 211 
Luego f’ es positiva en (0; +)
 Como en x = -2 la función derivada pasa de positiva a negativa la función alcanza un
máximo en x = 2 y es
Máx = (-2; 4e-1)
 Como en x = 0 la función derivada pasa de negativa a positiva la función alcanza un
mínimo en x = 0 y es:
Min = (0; 0)
Además, la función
 crece en (-; -2) U (0; +)
 decrece en (-2; 0)
Aunque no lo pide el ejercicio, la gráfica de la función es la siguiente: