1 Funciones trigonométricas 1

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones Trigonométricas 1
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Para recordar Consideremos en el plano, una circunferencia trigonométrica
de radio 1 y centro en el origen de coordenadas, como en la
figura.
Y un punto P de coordenadas (1; 0), que es el punto de
intersección de la circunferencia con el semieje positivo de las
abscisas.
Imaginemos que podemos mover el punto P sobre la
circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj.
Al hacerlo, el punto recorre un arco de longitud |t|.
Las coordenadas de P dependen del arco que recorre. Para
cada nueva posición que tome P sobre la circunferencia
trigonométrica, sus coordenadas variarán en función de la
longitud del arco recorrido.
Por lo que P es una función de la longitud del arco recorrido,
es P = P(t)
Como el punto P(t) está además en el plano 2, podemos
escribir, P(t) = (xt; yt).
Además, al mover el punto sobre la circunferencia, queda
determinado un ángulo (t) con origen en el origen de
coordenadas y cuyos lados son el semieje positivo de las x y
la semirrecta con origen en el origen de coordenadas que
pasa por P.
Nos interesa conocer cuáles son las coordenadas de P(t) cuando este ocupa distintas
posiciones sobre la circunferencia trigonométrica.
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Cuando P se encuentra en la intersección de la circunferencia
con el semieje positivo de las abscisas, es P(0) = (1; 0) ya la
longitud del arco que recorre es cero.
(recordemos que t es la longitud del arco que recorre P al ser
desplazado sobre la circunferencia)
Si P recorre un arco igual a la longitud de la circunferencia,
vuelve a encontrarse en el mismo lugar, su posición es
nuevamente (1; 0). Debemos determinar la longitud del arco t.
Como la longitud de la circunferencia es igual a 2.r y
además es el radio igual a 1 (pues estamos en la
circunferencia trigonométrica), cuando P recorre toda la
circunferencia, la longitud del arco es 2.
Luego podemos escribir P(2) = (1; 0)
Si P recorre un cuarto de la circunferencia, la longitud del arco
es
24
2 
 y será )1;0(
2
P 




En forma similar, tenemos
que:
)1;0(
2
3
P
)0;1()(P








Como vemos, para cada t comprendido entre 0 y 2(0 t 2) tenemos un punto P en la
circunferencia y recíprocamente a todo punto de la circunferencia, le corresponde un arco
de longitud t.
Ahora, si estamos en 





2
P  y damos una vuelta completa a la circunferencia en el
sentido antihorario, hasta volver al mismo lugar, habremos recorrido un arco de longitud
2
52
2
 . Las coordenadas de 




2
5P coinciden con las de 




2
P
Esto es )1;0(
2
5P 




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Y si damos dos vueltas a la circunferencia, a partir de 




2
P  la longitud del arco recorrido
será igual a
2
92.2
2
 . Entonces es )1;0(
2
9P 




Esto sucederá cada vez, que demos k vueltas de circunferencia, a partir de 




2
P

Con lo que las coordenadas de 




2
P

son iguales a las coordenadas de 



  

k2
2
P
Podemos escribir: 




2
P

= 



  

k2
2
P siendo k un número entero.
Si k es negativo, el giro lo hacemos en el sentido horario.
En general, para cualquier punto P que recorra arcos de longitud t y t’ tales que t’ = 2k,
con k entero, es P(t) = P(t’)
Ejemplo 1. Vamos a determinar las coordenadas de P(3), 




2
11
P

y 




2
P

 P(3)
Para determinar las coordenadas de P(3), vemos que podemos escribir 3
como + 2.
Entonces es: P(3) = P(+ 2) = P() (-1; 0)
Observamos que en este ejemplo es t =  y t’ = + 2. 1. (k = 1)
 




2
11
P

Escribamos a
2
11
como 







.2.2
2
3
4
2
3
2
8
2
3
De este modo es )1;0(.2.2
2
3
P
2
11
P 



 





 
En este ejemplo es t =
2
11
y t’ = 

.2.2
2
3
(k = 2)
 




2
P

En este caso, el movimiento de P es el sentido
de las agujas del reloj.
Y es )1;0(
2
3P
2
P 









 
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Calculemos ahora las coordenadas de un punto P que
recorre una longitud de arco igual a
3
.
Esto es buscamos 





3
P 
Imaginemos que el punto P recorre sucesivos arcos de longitud
3
. Por lo que se
encontrará en las posiciones:





 















 








2
3
6P;
3
5P;
3
4P
;
3
3P;
3
2P;
3
P
Si unimos esos puntos, nos queda determinado un
hexágono regular inscripto en la circunferencia. Por lo
que sabemos, el lado de este hexágono es igual al
radio de la circunferencia.
Y cada uno de los triángulos que resultan de unir los
vértices del hexágono con el centro de la
circunferencia es un triángulo equilátero, ya que sus
lados son iguales entre sí e iguales al radio de la
circunferencia.
Luego el triángulo sombreado en la figura, es
equilátero.
Entonces, la altura del triángulo por el vértice






3
P  corta a la base opuesta en su punto medio.
Con lo que la abscisa de 





3
P es
2
1x 
Para calcular la ordenada de 





3
P  tenemos que
calcular la longitud de la altura del triángulo. Tenemos
en cuenta que el triángulo OMP es rectángulo, por lo
que usando el teorema de Pitágoras, resulta:
OP2 = PM2 + OM2
Pero OP = 1 (ya que es el radio de la circunferencia) y
2
1OM , por lo tanto
reemplazando en la igualdad anterior es:
4
1
PM1
2
1
PM1 2
2
2 




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Despejando PM, es:
PM
2
3
PM
4
3
PM
4
3
PM
4
1
1 22 
Luego la longitud e la altura es
2
3
y la ordenada de 




3
P es
2
3
.
De este modo es 












2
3
;
2
1
3
P
De manera similar es posible demostrar que:
 













2
1;
2
3
6
P
 













2
2;
2
2
4
P
Como ya hemos visto, para cada arco de longitud t comprendido entre 0 y 2(0 t 2)
tenemos un punto P(t) en la circunferencia y recíprocamente a todo punto P(t) de la
circunferencia, le corresponde un arco de longitud t.
Esta correspondencia, nos permite definir las funciones trigonométricas seno y coseno
con dominio en el conjunto de los números reales.
Definición Dado t si P(t) = (x; y) es:
sent = y
cost = x
Es decir para cada t, seno de t y coseno
de t, son respectivamente iguales a la
ordenada y la abscisa de P(t).
Por lo que podemos escribir:
P(t) = (cost; sent)
Observar que P(t) = (cost; sent) es un punto de la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 1
Por lo que sus coordenadas verifican la relación pitagórica;
cos2t+ sen2t = 1
A partir de la definición de seno y coseno de t, podemos calcular el valor que toman
estas funciones para distintos valores de t.
Ejemplo 2.
Consideremos estas funciones para los distintos valores de t que ya hemos trabajado.
 Si t = 0; P(0) = (1, 0) , por lo que es sen0 = 0 y cos0 = 1.
 Si t = 2; P(2) = (1; 0) por lo que es sen2= 0 y cos2= 1.
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 Si
2
t  ; )1;0(
2
P 




 , por lo que es
2
sen = 1 y cos
2
= 0.
 Si
2
3t  ; )1;0(
2
3P 




 por lo que es ;1
2
3sen  y 0
2
3cos 
 Si t =
3
; 













2
3;
2
1
3
P por lo que es sen
3
=
2
3 y cos
3
=
2
1

3
7
t


Hacemos: t =  2
33
7
Esto quiere decir que  2
3
y
3
toman los mismos valores para seno y coseno.
Entonces:
2
3
3
sen2
3
sen 




  y
2
1
3
cos2
3
cos 




 
Conviene recordar que si dos números reales t y t’ son tales que t’ = t + 2 k (k entero)
entonces es:
sent = sent’ y cost = cost’
Por ello se dice que las funcionesseno y coseno son funciones periódicas de período
2.
Recíprocamente si sent = sent’ y cost = cost’, entonces es t’ = t + 2 k (k entero)
Los ángulos Dijimos antes que al mover el punto P sobre la
circunferencia, queda determinado un ángulo (t) con
origen en el origen de coordenadas y cuyos lados son el
semieje positivo de las x y la semirrecta con origen en el
origen de coordenadas que pasa por P.
Para medir la amplitud del ángulo (t), probablemente
hayan trabajado con grados sexagesimales. Así a un
ángulo recto le corresponde un amplitud de 90º y a un
ángulo igual a dos rectos, una amplitud igual a 180º.
Como nos interesa trabajar con números
reales, vamos a considerar una nueva
unidad de medida: el radian.
Se define el radian mediante la relación:
nciacircunfereladeradio
arcodelLongitud
Si el arco de tiene una longitud igual a la circunferencia, como ésta tiene una longitud
de 2r, entonces esta relación queda:
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

2
r
r2
Por lo que para un ángulo  que subtiende un arco igual a la longitud de la
circunferencia su amplitud es 2 radianes.
 Para un ángulo  que subtiende un arco igual a la mitad de la longitud de la
circunferencia su amplitud es radianes.
 Para un ángulo recto, que subtiende un arco igual a la cuarta parte de la longitud de
la circunferencia, su amplitud es de
2

radianes.
Para pasar del sistema sexagesimal al sistema en radianes, solo hay que recordar que
un ángulo de 180º equivale a radianes.
Así para calcular por ejemplo, a cuántos radianes equivale un ángulo de 45º, hacemos:
4º180
º45.
x
x
º45º180 




Recordamos que:
 Dos ángulos son complementarios si su suma es
2

 Dos ángulos son complementarios si su suma es 
Y resolvemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Veamos como calcular seno y coseno para algunos valores de t
3
2t 

3
2t 
3
2y
3
 son ángulos suplementarios (su
suma es por lo tanto:












3
2Py
3
P
tienen la misma ordenada y su abscisa de
signo contrario.
Entonces si 



























2
3
;
2
1
3
2
Pes
2
3
;
2
1
3
P
Por lo que
2
1
3
2cos
2
3
3
2sen 








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En general si t y t’ son
 Suplementarios: t + t’ = ó bien t’ = - t
es:
sen t = sent’ y cost = -cost’
 Complementarios t + t’ =
2

ó bien t’ =
2

- t
es
sen t = cost’ y cost = sent’
Conviene recordar los valores del seno y coseno para algunos valores de .
medido en radianes
Para recordar 0
6

4

3

2
 
2
3 2
y = sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
x = cos 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1