1er 2015-2

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Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Primer Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 1 
Hallar todos los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 que satisfacen las siguientes desigualdades 
33𝑥−1
27
< 1 𝑦 
𝑥
3
− 2 ≥ −5 
 
Solución y comentarios 
Primero se buscan los valores de x que cumplen la inecuación 
33𝑥−1
27
< 1 
Como 27 = 33 la inecuación queda como 
33𝑥−1
33
< 1 
Como 
33𝑥−1
33
= 33𝑥−1 ∙ 3 = 33𝑥−1−3 = 33𝑥−4 
La inecuación queda como 
33𝑥−4 < 1 
Al ser la función 33𝑥−4 creciente y además 30 = 1, para que se cumpla la inecuación, el exponente 
debe cumplir que: 
3𝑥 − 4 < 0 ⟺ 𝑥 <
4
3
 
La segunda inecuación es equivalente a 
𝑥
3
≥ −5 + 2 ⟺ 
𝑥
3
≥ −3 ⟺ 𝑥 ≥ −9 
Por lo tanto, para que se cumplan ambas inecuaciones 
 𝑥 <
4
3
 𝑦 𝑥 ≥ −9 que es equivalente a − 9 ≤ 𝑥 <
4
3
 
 
La solución del problema son los valores de x que pertenecen al intervalo [−9;
4
3
) 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Hallar analíticamente todos los valores de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la distancia entre 𝐴 = (4𝑘; −4) y 𝐵 = (3; 3𝑘) sea igual a 
5. 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦) y 𝐵 = (𝑏𝑥; 𝑏𝑦) se calcula mediante la fórmula: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)
2 + (𝑎𝑦 − 𝑦)
2
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sea igual a 5, debe cumplirse que: 
 
√(4𝑘 − 3)2 + ((−4) − 3𝑘)
2
= 5 
 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
 
(4𝑘 − 3)2 + ((−4) − 3𝑘)
2
= 25 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
(16𝑘2 − 24𝑘 + 9) + (16 + 24𝑘 + 9𝑘2) = 25 
16𝑘2 − 24𝑘 + 9 + 16 + 24𝑘 + 9𝑘2 = 25 
25𝑘2 + 25 = 25 
25(𝑘2 + 1) = 25 
𝑘2 + 1 = 1 
𝑘2 = 0 ⟺ 𝑘 = 0 
Existe un único valor de k para el cual la distancia entre los puntos es igual a 5 y es 𝑘 = 0 . 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 3 
Hallar el valor de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓(𝑥) = ln (𝑘𝑥 − 3) tenga una asíntota vertical de ecuación 𝑥 = 2 
 
Solución y comentarios 
La función ln(𝑡) tiene una asíntota vertical de ecuación 𝑡 = 0 pues 
 lim
𝑡⟶0+
ln(𝑡) = −∞ 
Entonces, para que la función ln (𝑘𝑥 − 3) tenga una asíntota vertical en 𝑥 = 2 debe cumplirse que 
𝑘 ∙ 2 − 3 = 0 ⟺ 𝑘 ∙ 2 = 3 ⟺ 𝑘 =
3
2
 
 
El valor buscado es 𝑘 =
3
2
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
Ejercicio 4 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 3 𝑦 𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 1 
Solución y comentarios 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 − 3 = −2𝑥 − 1 
𝑥2 − 3𝑥 − 3 + 2𝑥 + 1 = 0 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = −1 y 𝑐 = −2. 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) =
2 ∙ 1
=
1 ± √9
2
=
1 ± 3
2
 
Entonces 
𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = −1 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥 = 2. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
𝑔(2) = −2 ∙ 2 − 1 = −5 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −1 . El valor de la ordenada es 
𝑔(−1) = −2 ∙ (−1) − 1 = 1 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃1 = (2; −5) 𝑦 𝑃2 = (−1; 1) 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
5 
Ejercicio 5 
Hallar 𝑎 ∈ [0; 1] para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) − 1 verifique que 𝑓(𝜋) = 0 
 
Solución y comentarios 
𝑓(𝜋) = 0 ⟺ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝜋) − 1 = 0 ⟺ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝜋) = 1 
Como 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) = 1, resulta que 𝑎 =
1
2
. 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Primer Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 1 
Hallar todos los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 que satisfacen las siguientes desigualdades 
23𝑥+1
8
< 1 𝑦 
𝑥
4
− 1 ≥ −3 
 
Solución y comentarios 
Primero se buscan los valores de x que cumplen la inecuación 
23𝑥+1
8
< 1 
Como 
328  la inecuación queda como 
23𝑥+1
23
< 1 
Como 
23𝑥+1
23
= 23𝑥+1 ∙ 2−3 = 23𝑥+1−3 = 23𝑥−2 
La inecuación queda como 
23𝑥−2 < 1 
Al ser la función 23𝑥−2 creciente y además 20 = 1, para que se cumpla la inecuación, el exponente 
debe cumplir que: 
3𝑥 − 2 < 0 es decir 𝑥 <
2
3
 
La segunda inecuación es equivalente a 
𝑥
4
≥ −3 + 1 ⟺ 
𝑥
4
≥ −2 ⟺ 𝑥 ≥ −8 
Por lo tanto, para que se cumplan ambas inecuaciones 
 𝑥 <
2
3
 𝑦 𝑥 ≥ −8 que es equivalente a − 8 ≤ 𝑥 <
2
3
 
La solución del problema son los valores de x que pertenecen al intervalo [−8;
2
3
) 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Hallar analíticamente todos los valores de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la distancia entre 𝐴 = (4𝑘; 3𝑘) y 𝐵 = (3; −4) sea 
igual a 5. 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦) y 𝐵 = (𝑏𝑥; 𝑏𝑦) se calcula mediante la fórmula: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)
2 + (𝑎𝑦 − 𝑦)
2
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sea igual a 5, debe cumplirse que: 
 
√(4𝑘 − 3)2 + (3𝑘 − (−4))2 = 5 
 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
 
(4𝑘 − 3)2 + (3𝑘 − (−4))2 = 25 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
(16𝑘2 − 24𝑘 + 9) + (9𝑘2 + 24𝑘 + 16) = 25 
16𝑘2 − 24𝑘 + 9 + 9𝑘2 + 24𝑘 + 16 = 25 
25𝑘2 + 25 = 25 
25(𝑘2 + 1) = 25 
𝑘2 + 1 = 1 
𝑘2 = 0 ⟺ 𝑘 = 0 
Existe un único valor de k para el cual la distancia entre los puntos es igual a 5 y es 𝑘 = 0 . 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 3 
Hallar el valor de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓(𝑥) = ln (𝑘𝑥 − 4) tenga una asíntota vertical de ecuación 𝑥 = 1 
 
Solución y comentarios 
La función ln(𝑡) tiene una asíntota vertical de ecuación 𝑡 = 0 pues 
 lim
𝑡⟶0+
ln(𝑡) = −∞ 
Entonces, para que la función ln (𝑘𝑥 − 4) tenga una asíntota vertical en 𝑥 = 1 debe cumplirse que 
𝑘 ∙ 1 − 4 = 0 ⟺ 𝑘 = 4 
 
El valor buscado es 𝑘 = 4 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
Ejercicio 4 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑦 𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 1 
Solución y comentarios 
 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 + 𝑥 + 2 = −3𝑥 − 1 
𝑥2 + 𝑥 + 2 + 3𝑥 + 1 = 0 
𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = 4 y 𝑐 = 3. 
𝑥1,2 =
−4 ± √42 − 4 ∙ 1 ∙ 3
2 ∙ 1
=
−4 ± √4
2
=
−4 ± 2
2
 
Entonces 
 𝑥1 = −3 𝑦 𝑥2 = −1 
Existendos puntos donde se cruzan las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥 = −3. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
𝑔(−3) = −3 ∙ (−3) − 1 = 8 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −1 . El valor de la ordenada es 
𝑔(−1) = −3 ∙ (−1) − 1 = 2 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃1 = (−3; 8) 𝑦 𝑃2 = (−1; 2) 
 
 
 
 
 
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5 
Ejercicio 5 
Hallar 𝑎 ∈ [0; 1] para que la función 𝑓(𝑥) = cos(𝑎𝑥) + 2 verifique que 𝑓(𝜋) = 1 
 
Solución y comentarios 
𝑓(𝜋) = 1 ⇔ cos(𝑎 ∙ 𝜋) + 2 = 1 ⇔ cos(𝑎 ∙ 𝜋) = 1 − 2 ⇔ cos(𝑎 ∙ 𝜋) = −1 
Como cos(−𝜋) = −1, resulta que 𝑎 = 1. 
 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Primer Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 1 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 3 𝑦 𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 1 
Solución y comentarios 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 − 3 = −2𝑥 − 1 
𝑥2 − 3𝑥 − 3 + 2𝑥 + 1 = 0 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = −1 y 𝑐 = −2. 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) =
2 ∙ 1
=
1 ± √9
2
=
1 ± 3
2
 
Entonces 
𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = −1 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥 = 2. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
𝑔(2) = −2 ∙ 2 − 1 = −5 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −1 . El valor de la ordenada es 
𝑔(−1) = −2 ∙ (−1) − 1 = 1 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃1 = (2; −5) 𝑦 𝑃2 = (−1; 1) 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Hallar 𝑎 ∈ [0; 1] para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) − 1 verifique que 𝑓(𝜋) = 0 
 
Solución y comentarios 
𝑓(𝜋) = 0 ⟺ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝜋) − 1 = 0 ⟺ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝜋) = 1 
Como 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) = 1, resulta que 𝑎 =
1
2
. 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 3 
Hallar todos los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 que satisfacen las siguientes desigualdades 
33𝑥−1
27
< 1 𝑦 
𝑥
3
− 2 ≥ −5 
 
Solución y comentarios 
Primero se buscan los valores de x que cumplen la inecuación 
33𝑥−1
27
< 1 
Como 27 = 33 la inecuación queda como 
33𝑥−1
33
< 1 
Como 
33𝑥−1
33
= 33𝑥−1 ∙ 3 = 33𝑥−1−3 = 33𝑥−4 
La inecuación queda como 
33𝑥−4 < 1 
Al ser la función 33𝑥−4 creciente y además 30 = 1, para que se cumpla la inecuación, el exponente 
debe cumplir que: 
3𝑥 − 4 < 0 ⟺ 𝑥 <
4
3
 
La segunda inecuación es equivalente a 
𝑥
3
≥ −5 + 2 ⟺ 
𝑥
3
≥ −3 ⟺ 𝑥 ≥ −9 
Por lo tanto, para que se cumplan ambas inecuaciones 
 𝑥 <
4
3
 𝑦 𝑥 ≥ −9 que es equivalente a − 9 ≤ 𝑥 <
4
3
 
 
La solución del problema son los valores de x que pertenecen al intervalo [−9;
4
3
) 
 
 
 
 
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4 
Ejercicio 4 
Hallar analíticamente todos los valores de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la distancia entre 𝐴 = (4𝑘; −4) y 𝐵 = (3; 3𝑘) sea igual a 
5. 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦) y 𝐵 = (𝑏𝑥; 𝑏𝑦) se calcula mediante la fórmula: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)
2 + (𝑎𝑦 − 𝑦)
2
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sea igual a 5, debe cumplirse que: 
 
√(4𝑘 − 3)2 + ((−4) − 3𝑘)
2
= 5 
 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
 
(4𝑘 − 3)2 + ((−4) − 3𝑘)
2
= 25 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
(16𝑘2 − 24𝑘 + 9) + (16 + 24𝑘 + 9𝑘2) = 25 
16𝑘2 − 24𝑘 + 9 + 16 + 24𝑘 + 9𝑘2 = 25 
25𝑘2 + 25 = 25 
25(𝑘2 + 1) = 25 
𝑘2 + 1 = 1 
𝑘2 = 0 ⟺ 𝑘 = 0 
Existe un único valor de k para el cual la distancia entre los puntos es igual a 5 y es 𝑘 = 0 . 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
5 
Ejercicio 5 
Hallar el valor de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓(𝑥) = ln (𝑘𝑥 − 3) tenga una asíntota vertical de ecuación 𝑥 = 2 
 
Solución y comentarios 
La función ln(𝑡) tiene una asíntota vertical de ecuación 𝑡 = 0 pues 
 lim
𝑡⟶0+
ln(𝑡) = −∞ 
Entonces, para que la función ln (𝑘𝑥 − 3) tenga una asíntota vertical en 𝑥 = 2 debe cumplirse que 
𝑘 ∙ 2 − 3 = 0 ⟺ 𝑘 ∙ 2 = 3 ⟺ 𝑘 =
3
2
 
 
El valor buscado es 𝑘 =
3
2
 
 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Primer Turno - Tema 4 
 
Ejercicio 1 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑦 𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 1 
Solución y comentarios 
 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 + 𝑥 + 2 = −3𝑥 − 1 
𝑥2 + 𝑥 + 2 + 3𝑥 + 1 = 0 
𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = 4 y 𝑐 = 3. 
𝑥1,2 =
−4 ± √42 − 4 ∙ 1 ∙ 3
2 ∙ 1
=
−4 ± √4
2
=
−4 ± 2
2
 
Entonces 
 𝑥1 = −3 𝑦 𝑥2 = −1 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥 = −3. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
𝑔(−3) = −3 ∙ (−3) − 1 = 8 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −1 . El valor de la ordenada es 
𝑔(−1) = −3 ∙ (−1) − 1 = 2 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃1 = (−3; 8) 𝑦 𝑃2 = (−1; 2) 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 2 
Hallar 𝑎 ∈ [0; 1] para que la función 𝑓(𝑥) = cos(𝑎𝑥) + 2 verifique que 𝑓(𝜋) = 1 
 
Solución y comentarios 
𝑓(𝜋) = 1 ⇔ cos(𝑎 ∙ 𝜋) + 2 = 1 ⇔ cos(𝑎 ∙ 𝜋) = 1 − 2 ⇔ cos(𝑎 ∙ 𝜋) = −1 
Como cos(−𝜋) = −1, resulta que 𝑎 = 1. 
 
Ejercicio 3 
Hallar todos los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 que satisfacen las siguientes desigualdades 
23𝑥+1
8
< 1 𝑦 
𝑥
4
− 1 ≥ −3 
 
Solución y comentarios 
Primero se buscan los valores de x que cumplen la inecuación 
23𝑥+1
8
< 1 
Como 
328  la inecuación queda como 
23𝑥+1
23
< 1 
Como 
23𝑥+1
23
= 23𝑥+1 ∙ 2−3 = 23𝑥+1−3 = 23𝑥−2 
La inecuación queda como 
23𝑥−2 < 1 
Al ser la función 23𝑥−2 creciente y además 20 = 1, para que se cumpla la inecuación, el exponente 
debe cumplir que: 
3𝑥 − 2 < 0 es decir 𝑥 <
2
3
 
La segunda inecuación es equivalente a 
𝑥
4
≥ −3 + 1 ⟺ 
𝑥
4
≥ −2 ⟺ 𝑥 ≥ −8 
Por lo tanto, para que se cumplan ambas inecuaciones 
 𝑥 <
2
3
 𝑦 𝑥 ≥ −8 que es equivalente a− 8 ≤ 𝑥 <
2
3
 
La solución del problema son los valores de x que pertenecen al intervalo [−8;
2
3
) 
 
 
 
 
Matemática 
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3 
Ejercicio 4 
Hallar analíticamente todos los valores de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la distancia entre 𝐴 = (4𝑘; 3𝑘) y 𝐵 = (3; −4) sea 
igual a 5. 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦) y 𝐵 = (𝑏𝑥; 𝑏𝑦) se calcula mediante la fórmula: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)
2 + (𝑎𝑦 − 𝑦)
2
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sea igual a 5, debe cumplirse que: 
 
√(4𝑘 − 3)2 + (3𝑘 − (−4))2 = 5 
 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
 
(4𝑘 − 3)2 + (3𝑘 − (−4))2 = 25 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
(16𝑘2 − 24𝑘 + 9) + (9𝑘2 + 24𝑘 + 16) = 25 
16𝑘2 − 24𝑘 + 9 + 9𝑘2 + 24𝑘 + 16 = 25 
25𝑘2 + 25 = 25 
25(𝑘2 + 1) = 25 
𝑘2 + 1 = 1 
𝑘2 = 0 ⟺ 𝑘 = 0 
Existe un único valor de k para el cual la distancia entre los puntos es igual a 5 y es 𝑘 = 0 . 
 
 
 
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4 
Ejercicio 5 
Hallar el valor de 𝑘 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓(𝑥) = ln (𝑘𝑥 − 4) tenga una asíntota vertical de ecuación 𝑥 = 1 
 
Solución y comentarios 
La función ln(𝑡) tiene una asíntota vertical de ecuación 𝑡 = 0 pues 
 lim
𝑡⟶0+
ln(𝑡) = −∞ 
Entonces, para que la función ln (𝑘𝑥 − 4) tenga una asíntota vertical en 𝑥 = 1 debe cumplirse que 
𝑘 ∙ 1 − 4 = 0 ⟺ 𝑘 = 4 
 
El valor buscado es 𝑘 = 4 
 
 
 
 
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1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Segundo Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 1 
Hallar analíticamente el conjunto de negatividad de la siguiente función 
 
 
Solución y comentarios 
La función 
 
 
 
El conjunto de negatividad de la función es el intervalo 
 
 
 
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2 
 
Ejercicio 2 
Analizar la existencia de asíntota horizontal para la función 
 
Solución y comentarios 
Una función tiene en una asíntota horizontal si 
 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
 
dividiendo numerador y denominador por . 
 
 
Podemos ver que cuando 
 
Entonces, 
 
 
La función tiene una asíntota horizontal en 
 
 
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3 
 
Ejercicio 3 
Hallar para que la función definida por alcance un máximo en 
 
Solución y comentarios 
Como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, sabemos que alcanza el valor máximo 
en el vértice. 
Si la expresión de la parábola es , la abscisa del vértice la calculamos como: 
 
En nuestra función tenemos que , entonces 
 
Por otro lado, 
 
Entonces 
 
 
 
 
 
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4 
 
Ejercicio 4 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
 
Solución y comentarios 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
 
 
 
 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
 
siendo . 
 
Entonces 
 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones 
Uno de ellos tiene por abscisa . El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
 
El otro punto tiene por abscisa El valor de la ordenada es 
 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
 
 
 
 
 
Matemática 
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5 
 
Ejercicio 5 
Hallar analíticamente los valores de para que la distancia de a sea 2. 
 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos y se calcula mediante la fórmula: 
 
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos y sea igual a 2, debe cumplirse que: 
 
 
 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
 
 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
 
 
 
 
 
Existen dos valores de k para los cuales la distancia entre los puntos es igual a 2. Los valores son 
 . 
 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Segundo Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 1 
Hallar analíticamente el conjunto de negatividad de la siguiente función 
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 5
4 − 𝑥
 
 
Solución y comentarios 
La función 𝑓(𝑥) < 0 ⇔ (𝑥 − 5 > 0 𝑦 4 − 𝑥 < 0) 𝑜 𝑠𝑖 (𝑥 − 5 < 0 𝑦 4 − 𝑥 > 0 ) 
 𝑥 − 5 > 0 𝑦 4 − 𝑥 < 0 ⇔ 𝑥 > 5 𝑦 𝑥 > 4 ⇔ 𝑥 > 5 ⇔ 𝑥 ∈ (5; +∞) 
 𝑥 − 5 < 0 𝑦 4 − 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 < 5 𝑦 𝑥 < 4 ⇔ 𝑥 < 4 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; 4) 
El conjunto de negatividad de la función es el intervalo (−∞; 4) ∪ (5; +∞) 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Analizar la existencia de asíntota horizontal para la función 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
 
Solución y comentarios 
Una función tiene en 𝑦 = 𝑘 una asíntota horizontal si 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑅 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
 
dividiendo numerador y denominador por 𝑥2 ≠ 0. 
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
=
𝑥2 (1 −
1
𝑥2
)
𝑥2 (3 +
4
𝑥2
)
=
(1 −
1
𝑥2
)
(3 +
4
𝑥2
)
 
 
Podemos ver que cuando 𝑥 ⟶ ∞ 
1
𝑥2
→ 0 𝑦 
4
𝑥2
→ 0 
Entonces, 
lim
𝑥⟶∞
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
= lim
𝑥⟶+∞
(1 −
1
𝑥2
)
(3 +
4
𝑥2
)
=
1
3
 
 
La función tiene una asíntota horizontal en 𝑦 =
1
3
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 3 
Hallar 𝑎 ∈ 𝑅 para que la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑎𝑥 + 5 alcance un mínimo en (2; 1). 
 
Solución y comentarios 
Como la función es una parábola con las ramas hacia arriba, sabemos que alcanza el valor míniimo 
en el vértice. 
Si la expresión de la parábola es 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 , la abscisa del vértice la calculamos como: 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−𝛽
2𝛼
 
En nuestra función tenemos que 𝛼 = 1 𝑦 𝛽 = −𝑎, entonces 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−(−𝑎)
2 ∙ 1
=
𝑎
2
 
Por otro lado, 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = 2 (la abscisa del vértice es la misma que la del mí𝑛𝑖mo) 
Entonces 
𝑎
2
= 2 ⇔ 𝑎 = 4 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
Ejercicio 4 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑦 𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 5 
Solución y comentarios 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 + 𝑥 − 2 = −3𝑥 − 5 
𝑥2 + 𝑥 − 2 + 3𝑥 + 5 = 0 
𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0 
 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
𝑥 =
−𝑏± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = 4 y 𝑐 = 3. 
𝑥1,2 =
−4 ± √42 − 4 ∙ 1 ∙ 3 =
2 ∙ 1
=
−4 ± √4
2
=
−4 ± 2
2
 
Entonces 
𝑥1 = −3 𝑦 𝑥2 = −1 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥 = 2. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
𝑔(−3) = −3 ∙ (−3) − 5 = 4 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −1 . El valor de la ordenada es 
𝑔(−1) = −3 ∙ (−1) − 5 = −2 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃1 = (−3; 4) 𝑦 𝑃2 = (−1; −2) 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
5 
Ejercicio 5 
Hallar analíticamente los valores de 𝑘 para que la distancia de 𝐴 = (𝑘; −𝑘) a 𝐵 = (0; 3) sea 3. 
 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦) y 𝐵 = (𝑏𝑥; 𝑏𝑦) se calcula mediante la fórmula: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)
2 + (𝑎𝑦 − 𝑦)
2
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sea igual a 3, debe cumplirse que: 
√(𝑘 − 0)2 + (−𝑘 − 3)2 = 3 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
(𝑘 − 0)2 + (−𝑘 − 3)2 = 9 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
𝑘2 + (𝑘2 + 6𝑘 + 9) = 9 
𝑘2 + 6𝑘 + 9 + 𝑘2 = 9 
2𝑘2 + 6𝑘 = 0 
𝑘(2𝑘 + 6) = 0 ⟺ 𝑘 = 0 𝑜 2𝑘 + 6 = 0 ⟺ 𝑘 = 0 𝑜 𝑘 = −3 
 
Existen dos valores de k para los cuales la distancia entre los puntos es igual a 3. Los valores son 
𝑘 = 0 y 𝑘 = −3. 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Segundo Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 1 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 9 
Solución y comentarios 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 4𝑥2 + 1 = 4𝑥 + 9 
4𝑥2 + 1 − 4𝑥 − 9 = 0 
4𝑥2 − 4𝑥 − 8 = 0 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = −1 y 𝑐 = −2. 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) =
2 ∙ 1
=
1 ± √9
2
=
1 ± 3
2
 
Entonces 
𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = −1 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥 = 2. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
𝑔(2) = 4 ∙ 2 + 9 = 17 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −1 . El valor de la ordenada es 
𝑔(−1) = 4 ∙ (−1) − 1 = 3 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃1 = (2; 17) 𝑦 𝑃2 = (−1; 5) 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Hallar analíticamente los valores de 𝑘 para que la distancia de 𝐴 = (2; 0) a 𝐵 = (𝑘; −𝑘) sea 2. 
 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦) y 𝐵 = (𝑏𝑥; 𝑏𝑦) se calcula mediante la fórmula: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)
2 + (𝑎𝑦 − 𝑦)
2
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sea igual a 2, debe cumplirse que: 
 
√(2 − 𝑘)2 + (0 − (−𝑘))2 = 2 
 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
 
(2 − 𝑘)2 + (0 − (−𝑘))2 = 4 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
(4 − 4𝑘 + 𝑘2) + 𝑘2 = 4 
4 − 4𝑘 + 𝑘2 + 𝑘2 = 4 
2𝑘2 − 4𝑘 = 0 
𝑘(2𝑘 − 4) = 0 ⟺ 𝑘 = 0 𝑜 2𝑘 − 4 = 0 ⟺ 𝑘 = 0 𝑜 𝑘 = 2 
 
Existen dos valores de k para los cuales la distancia entre los puntos es igual a 2. Los valores son 𝑘 =
0 y 𝑘 = 2. . 
Ejercicio 3 
Hallar analíticamente el conjunto de negatividad de la siguiente función 
𝑓(𝑥) =
3 − 𝑥
𝑥 − 2
 
 
Solución y comentarios 
La función 𝑓(𝑥) < 0 ⇔ (3 − 𝑥 > 0 𝑦 𝑥 − 2 < 0) 𝑜 𝑠𝑖 (3 − 𝑥 < 0 𝑦 𝑥 − 2 > 0 ) 
 3 − 𝑥 > 0 𝑦 𝑥 − 2 < 0 ⇔ 𝑥 < 3 𝑦 𝑥 < 2 ⇔ 𝑥 < 2 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; 2) 
 3 − 𝑥 < 0 𝑦 𝑥 − 2 > 0 ⇔ 𝑥 > 3 𝑦 𝑥 > 2 ⇔ 𝑥 > 3 ⇔ 𝑥 ∈ (3; +∞) 
El conjunto de negatividad de la función es el intervalo (−∞; 2) ∪ (3; +∞) 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 4 
Analizar la existencia de asíntota horizontal para la función 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
 
Solución y comentarios 
Una función tiene en 𝑦 = 𝑘 una asíntota horizontal si 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑅 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
2𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
 
dividiendo numerador y denominador por 𝑥2 ≠ 0. 
2𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
=
𝑥2 (2 +
1
𝑥2
)
𝑥2 (1 −
4
𝑥2
)
=
(2 +
1
𝑥2
)
(1 −
4
𝑥2
)
 
 
Podemos ver que cuando 𝑥 ⟶ ∞ 
1
𝑥2
→ 0 𝑦 
4
𝑥2
→ 0 
Entonces, 
lim
𝑥⟶∞
2𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
= lim
𝑥⟶+∞
(2 +
1
𝑥2
)
(1 −
4
𝑥2
)
= 2 
La función tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 2 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
Ejercicio 5 
Hallar 𝑎 ∈ 𝑅 para que la función definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑎𝑥 − 8 alcance un máximo en (3; 1). 
 
Solución y comentarios 
Como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, sabemos que alcanza el valor máximo en 
el vértice. 
Si la expresión de la parábola es 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 , la abscisa del vértice la calculamos como: 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−𝛽
2𝛼
 
En nuestra función tenemos que 𝛼 = −1 𝑦 𝛽 = 𝑎, entonces 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−𝑎
2 ∙ (−1)
=
𝑎
2
 
Por otro lado, 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = 3 (la abscisa del vértice es la misma que la del máximo) 
Entonces 
𝑎
2
= 3 ⇔ 𝑎 = 6 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Segundo Turno - Tema 4 
 
Ejercicio 1 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑦 𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 5 
Solución y comentarios 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que 
cumplen 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 + 𝑥 − 2 = −3𝑥 − 5 
𝑥2 + 𝑥 − 2 + 3𝑥 + 5 = 0 
𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0 
 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = 4 y 𝑐 = 3. 
𝑥1,2 =
−4 ± √42 − 4 ∙ 1 ∙ 3 =
2 ∙ 1
=
−4 ± √4
2
=
−4 ± 2
2
 
Entonces 
𝑥1 = −3 𝑦 𝑥2 = −1 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥 = 2. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
𝑔(−3) = −3 ∙ (−3) − 5 = 4 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −1 . El valor de la ordenada es 
𝑔(−1) = −3 ∙ (−1) − 5 = −2 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃1 = (−3; 4) 𝑦 𝑃2 = (−1; −2) 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Hallar analíticamente los valores de 𝑘 para que la distancia de 𝐴 = (𝑘; −𝑘) a 𝐵 = (0; 3) sea 3. 
 
Solución y comentarios 
La distancia entre dos puntos 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦) y 𝐵 =(𝑏𝑥; 𝑏𝑦) se calcula mediante la fórmula: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)
2 + (𝑎𝑦 − 𝑦)
2
 
 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sea igual a 3, debe cumplirse que: 
√(𝑘 − 0)2 + (−𝑘 − 3)2 = 3 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
(𝑘 − 0)2 + (−𝑘 − 3)2 = 9 
 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente 
 
𝑘2 + (𝑘2 + 6𝑘 + 9) = 9 
𝑘2 + 6𝑘 + 9 + 𝑘2 = 9 
2𝑘2 + 6𝑘 = 0 
𝑘(2𝑘 + 6) = 0 ⟺ 𝑘 = 0 𝑜 2𝑘 + 6 = 0 ⟺ 𝑘 = 0 𝑜 𝑘 = −3 
 
Existen dos valores de k para los cuales la distancia entre los puntos es igual a 3. Los valores son 𝑘 =
0 y 𝑘 = −3. 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 3 
Hallar analíticamente el conjunto de negatividad de la siguiente función 
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 5
4 − 𝑥
 
 
Solución y comentarios 
La función 𝑓(𝑥) < 0 ⇔ (𝑥 − 5 > 0 𝑦 4 − 𝑥 < 0) 𝑜 𝑠𝑖 (𝑥 − 5 < 0 𝑦 4 − 𝑥 > 0 ) 
 𝑥 − 5 > 0 𝑦 4 − 𝑥 < 0 ⇔ 𝑥 > 5 𝑦 𝑥 > 4 ⇔ 𝑥 > 5 ⇔ 𝑥 ∈ (5; +∞) 
 𝑥 − 5 < 0 𝑦 4 − 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 < 5 𝑦 𝑥 < 4 ⇔ 𝑥 < 4 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; 4) 
El conjunto de negatividad de la función es el intervalo (−∞; 4) ∪ (5; +∞) 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
Ejercicio 4 
Analizar la existencia de asíntota horizontal para la función 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
 
Solución y comentarios 
Una función tiene en 𝑦 = 𝑘 una asíntota horizontal si 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑅 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
 
dividiendo numerador y denominador por 𝑥2 ≠ 0. 
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
=
𝑥2 (1 −
1
𝑥2
)
𝑥2 (3 +
4
𝑥2
)
=
(1 −
1
𝑥2
)
(3 +
4
𝑥2
)
 
 
Podemos ver que cuando 𝑥 ⟶ ∞ 
1
𝑥2
→ 0 𝑦 
4
𝑥2
→ 0 
Entonces, 
lim
𝑥⟶∞
𝑥2 − 1
3𝑥2 + 4
= lim
𝑥⟶+∞
(1 −
1
𝑥2
)
(3 +
4
𝑥2
)
=
1
3
 
 
La función tiene una asíntota horizontal en 𝑦 =
1
3
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
5 
Ejercicio 5 
Hallar 𝑎 ∈ 𝑅 para que la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑎𝑥 + 5 alcance un mínimo en (2; 1). 
 
Solución y comentarios 
Como la función es una parábola con las ramas hacia arriba, sabemos que alcanza el valor míniimo en 
el vértice. 
Si la expresión de la parábola es 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 , la abscisa del vértice la calculamos como: 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−𝛽
2𝛼
 
En nuestra función tenemos que 𝛼 = 1 𝑦 𝛽 = −𝑎, entonces 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−(−𝑎)
2 ∙ 1
=
𝑎
2
 
Por otro lado, 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = 2 (la abscisa del vértice es la misma que la del mí𝑛𝑖mo) 
Entonces 
𝑎
2
= 2 ⇔ 𝑎 = 4 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Tercer Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 1 
Hallar las raíces de la función 𝑓(𝑥) = −3 + 3 cos(𝜋 − 2𝑥) en el intervalo [0; 2𝜋]. 
 
Solución y comentarios 
Buscamos los valores de x tales que 𝑓(𝑥) = 0. 
Entonces 
−3 + 3 cos(𝜋 − 2𝑥) = 0 
 3 cos(𝜋 − 2𝑥) = 3 
 cos(𝜋 − 2𝑥) = 1 (dividimos ambos miembros por 3) 
Si llamamos 𝑡 = 𝜋 − 2𝑥, la ecuación anterior es equivalente a 𝑐𝑜𝑠(𝑡) = 1 y esto ocurre sí y solo sí 𝑡 =
2𝑘𝜋, con k un número entero. 
Entonces, 
𝜋 − 2𝑥 = 2𝑘𝜋 
2𝑥 = 𝜋 − 2𝑘𝜋 
𝑥 =
𝜋 − 2𝑘𝜋
2
 
𝑥 =
𝜋(2𝑘 − 1)
2
 
Como 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
0 ≤
𝜋(2𝑘 − 1)
2
≤ 2𝜋 (usamos la expresión hallada para x en función de k) 
Dividiendo todos los términos de la última desigualdad por 𝜋 
0 ≤
(2𝑘 − 1)
2
≤ 2 
0 ≤ 2𝑘 − 1 ≤ 4 
1 ≤ 2𝑘 ≤ 5 
1
2
≤ 𝑘 ≤
5
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Como k es un número entero, los posibles valores que puede tomar son: 1 y 2 
 Si k=1 tenemos que 
 𝑥 =
𝜋(2 ∙ 1 − 1)
2
=
𝜋
2
 
 Si k=2 tenemos que 
 𝑥 =
𝜋(2 ∙ 2 − 1)
2
=
3𝜋
2
 
Luego, el conjunto formado por las raíces de la función 𝑓(𝑥) es: 
C0 = {
𝜋
2
;
3𝜋
2
} 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 2 
Hallar el conjunto de números reales donde se verifica que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) siendo 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
 
Solución y comentarios 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ −𝑥2 + 𝑥 > 𝑥2 − 𝑥 − 2 
Entonces, 
−𝑥2 + 𝑥 > 𝑥2 − 𝑥 − 2 
−𝑥2 + 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥 + 2 > 0 
 −2𝑥2 + 2𝑥 + 2 > 0 (dividimos ambos lados por (−2)) 
𝑥2 − 𝑥 − 1 < 0 (al dividir por un nro negativo cambia el sentido de la desigualdad) 
 
Vamos a encontrar los ceros de la función cuadrática 𝑥2 − 𝑥 − 1 para poder escribirla 
en forma factorizada. 
Para encontrar los ceros usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = −1 y 𝑐 = −1. 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−1)
2 ∙ 1
=
1 ± √5
2
 
Entonces 
𝑥1 =
1 − √5
2
 y 𝑥2 =
1 + √5
2
 
 
Por lo tanto podemos escribir 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 − (
1 − √5
2
)) ∙ (𝑥 − (
1 + √5
2
)) 
 
Volviendo a nuestro problema, debemos buscar los valores de x que cumplen con la desigualdad 
𝑥2 − 𝑥 − 1 < 0 
Reemplazando la función cuadrática por su forma factorizada 
(𝑥 − (
1 − √5
2
)) ∙ (𝑥 − (
1 + √5
2
)) < 0 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
Para que el producto de los monomios sea menor a cero hay dos posibilidades: 
 Primer caso: 
𝑥 − (
1 − √5
2
) < 0 𝑦 𝑥 − (
1 + √5
2
) > 0 (𝐀) 
⟺ 𝑥 < (
1 − √5
2
) 𝑦 𝑥 > (
1 + √5
2
) 
⟺ 𝑥 ∈ (−∞;
1 − √5
2
) ∩ (
1 + √5
2
; +∞) 
Pero 
(−∞;
1 − √5
2
) ∩ (
1 + √5
2
; +∞) = ∅ 
Es decir, no hay ningún valor de x que cumpla con la condición (A). 
 Segundo caso 
 𝑥 − (
1 − √5
2
) > 0 𝑦 𝑥 − (
1 + √5
2
) < 0 (𝐁) 
⟺ 𝑥 > (
1 − √5
2
) 𝑦 𝑥 < (
1 + √5
2
) 
⟺ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
; +∞) ∩ (−∞;
1 + √5
2
) = (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
Luego, la condición (B) se cumple si 
𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
 
Luego, 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
 
Vamos a encontrar otra manera de escribir la función cuadrática 𝑥2 − 𝑥 − 1 utilizando el método para 
completar cuadrados 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥2 − 𝑥 − 1) = (𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 − 1) = (𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 + (
1
2
)
2
− (
1
2
)
2
− 1) = 
= ((𝑥 −
1
2
)
2
− (
1
2
)
2
− 1) = ((𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
) = (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
 
Resumiendo 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
5 
Entonces 
−𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 ⟺ (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
< 0 
(𝑥 −
1
2
)
2
<
5
4
 
 | 𝑥 −
1
2
| <
√5
2
 
 
−
√5
2
< 𝑥 −
1
2
 <
√5
2
 
−
√5
2
+
1
2
< 𝑥 <
√5
2
+
1
2
 
1 − √5
2
< 𝑥 <
1 + √5
2
 ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
Luego, 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
)Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
6 
Ejercicio 3 
Hallar el valor de a para que la función definida por 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
 
tenga una asíntota horizontal en la recta de ecuación 𝑦 = 2. 
 
Solución y comentarios 
Para que la función 𝑓(𝑥) tenga una asíntota horizontal en 𝑦 = 2 debe valer que 
 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= 2 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= 2 
 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
 
dividiendo numerador y denominador por 𝑥 ≠ 0. 
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
=
𝑥 (𝑎 +
3
𝑥
)
𝑥 (1 −
1
𝑥
)
=
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
 
Entonces, 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶+∞
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶−∞
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
 
Podemos ver que cuando 𝑥 ⟶ +∞ , o 𝑥 ⟶ −∞ 
3
𝑥
→ 0 𝑦 
1
𝑥
→ 0 
Entonces 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶+∞
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
= 𝑎 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶−∞
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
= 𝑎 
Como la recta de ecuación 𝑦 = 2 es asíntota horizontal de 𝑓(𝑥) debe cumplirse que 
𝑎 = 2 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
7 
Ejercicio 4 
Hallar las coordenadas del mínimo de la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 
 
Solución y comentarios 
Como la función es una parábola con las ramas hacia arriba, sabemos que alcanza el valor mínimo 
en el vértice. 
Si la expresión de la parábola es 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 , la abscisa del vértice la calculamos como: 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−𝛽
2𝛼
 
En nuestra función tenemos que 𝛼 = 1 𝑦 𝛽 = 1, entonces 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−1
2 ∙ 1
= −
1
2
 
 
Para encontrar la ordenada del vértice evaluamos la función en el 𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 
𝑓(𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒) = (−
1
2
)
2
+ (−
1
2
) − 12 =
1
4
−
1
2
− 12 = −
49
4
 
 
Entonces, el mínimo de la función se encuentra en el punto 
𝐴 = (−
1
2
; −
49
4
) 
 
El gráfico de la función es 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
8 
Ejercicio 5 
Considerando 
𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥−1
3−𝑥 
hallar el valor de 𝑎 para que 𝑓(−𝑎 + 2) = 1 
 
Solución y comentarios 
 
𝑓(−𝑎 + 2) = 𝑒
(−𝑎+2)−1
3−(−𝑎+2) = 𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 
𝑓(−𝑎 + 2) = 1 
 
entonces 
𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 = 1 ⇔ 
−𝑎 + 1
3 − 𝑎
= 0 ⇔ −𝑎 + 1 = 0 ⇔ 𝑎 = 1 
Otra forma. 
Aplicando y usando propiedades del logaritmo natural 
 
𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 = 1 ⇔ 𝑙𝑛 (𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 ) = ln (1) ⇔ 
−𝑎 + 1
3 − 𝑎
∙ ln (𝑒) = ln (1) 
 ⇔ 
−𝑎 + 1
3 − 𝑎
 = 0 ⇔ −𝑎 + 1 = 0 ⇔ 𝑎 = 1 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Tercer Turno - Tema 2 
 
 
Ejercicio 1 
Hallar las raíces de la función en el intervalo . 
 
Solución y comentarios 
Buscamos los valores de x tales que 
Entonces 
 
 
 
Si llamamos , la ecuación anterior es igual a 
 
y esto ocurre sí y solo sí , con k un número entero. 
Entonces, 
 
 
 
 
Vamos a hallar cuales son los posibles valores que puede tomar k. 
Como 
 
 
Dividiendo todos los términos de la última desigualdad por 
 
 
 
Como k es un número entero, los posibles valores que puede tomar son: 1, 2, 3, 4 y 5 
 
Valores de k k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
 
Luego, el conjunto formado por las raíces de la función es: 
 
 
 
 
Ejercicio 2 
Hallar el conjunto de números reales donde se verifica que siendo 
 
 
Solución y comentarios 
 
Entonces, 
 
 
 
 
 
Vamos a encontrar los ceros de la función cuadrática para poder escribirla 
en forma factorizada. 
Para encontrar los ceros usamos la fórmula 
 
siendo . 
 
Entonces 
 
Por lo tanto podemos escribir 
 
 
Volviendo a nuestro problema, debemos buscar los valores de x que cumplen con la desigualdad 
 
 
Reemplazando la función cuadrática por su forma factorizada 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
 
 
Para que el producto de los monomios sea menor a cero hay dos posibilidades: 
 Primer caso: 
 
 
 
Pero 
 
Es decir, no hay ningún valor de x que cumpla con la condición (A). 
 Segundo caso 
 
 
 
Luego, la condición (B) se cumple si 
 
 
Luego, 
 
 
Vamos a encontrar otra manera de escribir la función cuadrática utilizando el método para 
completar cuadrados 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
Resumiendo 
 
 
Entonces 
 
 
 
 
 
 
 
Luego, 
 
 
 
Ejercicio 3 
Hallar el valor de a para que la función definida por 
 
tenga una asíntota horizontal en la recta de ecuación . 
 
Solución y comentarios 
Para que la función tenga una asíntota horizontal en debe valer que 
 
 
 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
 
dividiendo numerador y denominador por . 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
5 
 
Entonces, 
 
Podemos ver que cuando 
 
Entonces 
 
Como la recta de ecuación es asíntota horizontal de debe cumplirse que 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
6 
 Ejercicio 4 
Hallar las coordenadas del máximo de la función 
 
 
Solución y comentarios 
 
Como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, sabemos que alcanza el valor máximo 
en el vértice. 
Si la expresión de la parábola es , la abscisa del vértice la calculamos como: 
 
 
En nuestra función tenemos que , entonces 
 
 
Para encontrar la ordenada del vértice evaluamos la función en el 
 
Entonces, el máximo de la función se encuentra en el punto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
7 
 
Ejercicio 5 
Considerando 
 
hallar el valor de para que . 
 
Solución y comentarios 
 
 
 
entonces 
 
 
Otra forma de resolver el problema. 
Aplicando y usando propiedades del logaritmo natural 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Tercer Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 1 
Hallar el valor de a para que la función definida por 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
 
tenga una asíntota horizontal en la recta de ecuación 𝑦 = 2. 
 
Solución y comentarios 
Para que la función 𝑓(𝑥) tenga una asíntota horizontal en 𝑦 = 2 debe valer que 
 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= 2 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= 2 
 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
 
dividiendo numerador y denominador por 𝑥 ≠ 0. 
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
=
𝑥 (𝑎 +
3
𝑥
)
𝑥 (1 −
1
𝑥
)
=
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
 
Entonces, 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶+∞
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶−∞
(𝑎 +
3
𝑥)
(1 −
1
𝑥
)
 
Podemos ver que cuando 𝑥 ⟶ +∞ , o 𝑥 ⟶ −∞ 
3
𝑥
→ 0 𝑦 
1
𝑥
→ 0 
Entonces 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶+∞
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
= 𝑎 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶−∞
(𝑎 +
3
𝑥
)
(1 −
1
𝑥
)
= 𝑎 
Como la recta de ecuación 𝑦 = 2 es asíntota horizontal de 𝑓(𝑥) debe cumplirse que 
𝑎 = 2 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Considerando 
𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥−1
3−𝑥 
hallar el valor de 𝑎 para que 𝑓(−𝑎 + 2) = 1 
 
Solución y comentarios 
 
𝑓(−𝑎 + 2) = 𝑒
(−𝑎+2)−1
3−(−𝑎+2) = 𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 
𝑓(−𝑎 + 2) = 1 
 
entonces 
𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 = 1 ⇔ 
−𝑎 + 1
3 − 𝑎
= 0 ⇔ −𝑎 + 1 = 0 ⇔ 𝑎 = 1 
Otra forma. 
Aplicando y usando propiedades del logaritmo natural 
 
𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 = 1 ⇔ 𝑙𝑛 (𝑒
−𝑎+1
3−𝑎 ) = ln (1) ⇔ 
−𝑎 + 1
3 − 𝑎
∙ ln (𝑒) = ln (1) 
 ⇔ 
−𝑎 + 1
3 − 𝑎
 = 0 ⇔ −𝑎 + 1 = 0 ⇔ 𝑎 = 1 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
Ejercicio 3 
Hallar las raíces de la función 𝑓(𝑥) = −3 + 3 cos(𝜋 − 2𝑥) en el intervalo [0; 2𝜋]. 
 
Solución y comentarios 
Buscamos los valores de x tales que 𝑓(𝑥) = 0. 
Entonces 
−3 + 3 cos(𝜋 − 2𝑥) = 0 
 3 cos(𝜋 − 2𝑥) = 3 
 cos(𝜋 − 2𝑥) = 1 (dividimos ambos miembros por 3) 
Si llamamos 𝑡 = 𝜋 − 2𝑥, la ecuación anterior es equivalente a 𝑐𝑜𝑠(𝑡) = 1 y esto ocurre sí y solo sí 𝑡 =
2𝑘𝜋, con k un número entero. 
Entonces, 
𝜋 − 2𝑥 = 2𝑘𝜋 
2𝑥 = 𝜋 − 2𝑘𝜋 
𝑥 =
𝜋 − 2𝑘𝜋
2
 
𝑥 =
𝜋(2𝑘 − 1)
2
 
Como 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
0 ≤
𝜋(2𝑘 − 1)
2
≤ 2𝜋 (usamos la expresión hallada para x en función de k) 
Dividiendo todos los términos de la última desigualdad por 𝜋 
0 ≤
(2𝑘 − 1)
2
≤ 2 
0 ≤ 2𝑘 − 1 ≤ 4 
1 ≤ 2𝑘 ≤ 5 
1
2
≤ 𝑘 ≤
5
2
 
Como k es un número entero, los posibles valores que puede tomar son: 1 y 2 
 Si k=1 tenemos que 
 𝑥 =
𝜋(2 ∙ 1 − 1)
2
=
𝜋
2
 
 Si k=2 tenemos que 
 𝑥 =
𝜋(2 ∙ 2 − 1)
2
=
3𝜋
2
 
Luego, el conjunto formado por las raíces de la función 𝑓(𝑥) es: 
C0 = {
𝜋
2
;
3𝜋
2
} 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
4 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 4 
Hallar las coordenadas del mínimo de la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 
 
Solución y comentarios 
Como la función es una parábola con las ramas hacia arriba, sabemos que alcanza el valor mínimo 
en el vértice. 
Si la expresión de la parábola es 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 , la abscisa del vértice la calculamos como: 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−𝛽
2𝛼
 
En nuestra función tenemos que 𝛼 = 1 𝑦 𝛽 = 1, entonces 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−1
2 ∙ 1
= −
1
2
 
 
Para encontrar la ordenada del vértice evaluamos la función en el 𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 
𝑓(𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒) = (−
1
2
)
2
+ (−
1
2
) − 12 =
1
4
−
1
2
− 12 = −
49
4
 
 
Entonces, el mínimo de la función se encuentra en el punto 
𝐴 = (−
1
2
; −
49
4
) 
 
El gráfico de la función es 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
5 
 
 
Ejercicio 5 
Hallar el conjunto de números reales donde se verifica que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) siendo 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
 
Solución y comentarios 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ −𝑥2 + 𝑥 > 𝑥2 − 𝑥 − 2 
Entonces, 
−𝑥2 + 𝑥 > 𝑥2 − 𝑥 − 2 
−𝑥2 + 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥 + 2 > 0 
 −2𝑥2 + 2𝑥 + 2 > 0 (dividimos ambos lados por (−2)) 
𝑥2 − 𝑥 − 1 < 0 (al dividir por un nro negativo cambia el sentido de la desigualdad) 
 
Vamos a encontrar los ceros de la función cuadrática 𝑥2 − 𝑥 − 1 para poder escribirla 
en forma factorizada. 
Para encontrar los ceros usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = −1 y 𝑐 = −1. 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−1)
2 ∙ 1
=
1 ± √5
2
 
Entonces 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
6 
𝑥1 =
1 − √5
2
 y 𝑥2 =
1 + √5
2
 
 
Por lo tanto podemos escribir 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 − (
1 − √5
2
)) ∙ (𝑥 − (
1 + √5
2
)) 
 
Volviendo a nuestro problema, debemos buscar los valores de x que cumplen con la desigualdad 
𝑥2 − 𝑥 − 1 < 0 
Reemplazando la función cuadrática por su forma factorizada 
(𝑥 − (
1 − √5
2
)) ∙ (𝑥 − (
1 + √5
2
)) < 0 
 
 
 
Para que el producto de los monomios sea menor a cero hay dos posibilidades: 
 Primer caso: 
𝑥 − (
1 − √5
2
) < 0 𝑦 𝑥 − (
1 + √5
2
) > 0 (𝐀) 
⟺ 𝑥 < (
1 − √5
2
) 𝑦 𝑥 > (
1 + √5
2
) 
⟺ 𝑥 ∈ (−∞;
1 − √5
2
) ∩ (
1 + √5
2
; +∞) 
Pero 
(−∞;
1 − √5
2
) ∩ (
1 + √5
2
; +∞) = ∅ 
Es decir, no hay ningún valor de x que cumpla con la condición (A). 
 Segundo caso 
 𝑥 − (
1 − √5
2
) > 0 𝑦 𝑥 − (
1 + √5
2
) < 0 (𝐁) 
⟺ 𝑥 > (
1 − √5
2
) 𝑦 𝑥 < (
1 + √5
2
) 
⟺ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
; +∞) ∩ (−∞;
1 + √5
2
) = (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
Luego, la condición (B) se cumple si 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
7 
𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
 
Luego, 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
 
Vamos a encontrar otra manera de escribir la función cuadrática 𝑥2 − 𝑥 − 1 utilizando el método para 
completar cuadrados 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥2 − 𝑥 − 1) = (𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 − 1) = (𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 + (
1
2
)
2
− (
1
2
)
2
− 1) = 
= ((𝑥 −
1
2
)
2
− (
1
2
)
2
− 1) = ((𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
) = (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
 
Resumiendo 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
 
 
Entonces 
−𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 ⟺ (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
< 0 
(𝑥 −
1
2
)
2
<
5
4
 
 | 𝑥 −
1
2
| <
√5
2
 
 
−
√5
2
< 𝑥 −
1
2
 <
√5
2
 
−
√5
2
+
1
2
< 𝑥 <
√5
2
+
1
2
 
1 − √5
2
< 𝑥 <
1 + √5
2
 ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
Luego, 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
8 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
1 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Segundo Cuatrimestre 2015 – Tercer Turno - Tema 4 
 
 
Ejercicio 1 
Hallar el valor de a para que la función definida por 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
 
tenga una asíntota horizontal en la recta de ecuación 𝑦 = 3. 
 
Solución y comentarios 
Para que la función 𝑓(𝑥) tenga una asíntota horizontal en 𝑦 = 3 debe valer que 
 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
= 3 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
= 3 
 
Primero vamos a escribir en una forma equivalente 
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
 
dividiendo numerador y denominador por 𝑥 ≠ 0. 
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
=
𝑥 (𝑎 +
2
𝑥
)
𝑥 (1 −
3
𝑥
)
=
(𝑎 +
2
𝑥
)
(1 −
3
𝑥
)
 
Entonces, 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
= lim
𝑥⟶+∞
(𝑎 +
2
𝑥
)
(1 −
3
𝑥
)
 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
= lim
𝑥⟶−∞
(𝑎 +
2
𝑥
)
(1 −
3
𝑥
)
 
Podemos ver que cuando 𝑥 ⟶ +∞ , o 𝑥 ⟶ −∞ 
2
𝑥
→ 0 𝑦 
3
𝑥
→ 0 
Entonces 
lim
𝑥⟶+∞
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
= lim
𝑥⟶+∞
(𝑎 +2
𝑥
)
(1 −
3
𝑥
)
= 𝑎 𝑦 lim
𝑥⟶−∞
𝑎𝑥 + 2
𝑥 − 3
= lim
𝑥⟶−∞
(𝑎 +
2
𝑥
)
(1 −
3
𝑥
)
= 𝑎 
Como la recta de ecuación 𝑦 = 3 es asíntota horizontal de 𝑓(𝑥) debe cumplirse que 
𝑎 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
2 
Ejercicio 2 
Considerando 
𝑓(𝑥) = 𝑒
2−𝑥
𝑥+4 
hallar el valor de 𝑎 para que 𝑓(−𝑎 + 3) = 1. 
 
Solución y comentarios 
𝑓(−𝑎 + 3) = 𝑒
2−(−𝑎+3)
(−𝑎+2)+4 = 𝑒
𝑎−1
6−𝑎 
𝑓(−𝑎 + 3) = 1 
 
entonces 
𝑒
𝑎−1
6−𝑎 = 1 ⇔ 
𝑎 − 1
6 − 𝑎
= 0 ⇔ 𝑎 − 1 = 0 ⇔ 𝑎 = 1 
 
Otra forma de resolver el problema. 
Aplicando y usando propiedades del logaritmo natural 
𝑒
𝑎−1
6−𝑎 = 1 ⇔ 𝑙𝑛 (𝑒
𝑎−1
6−𝑎) = ln (1) ⇔ 
𝑎 − 1
6 − 𝑎
∙ ln (𝑒) = ln (1) 
 ⇔ 
𝑎 − 1
6 − 𝑎
 = 0 ⇔ 𝑎 − 1 = 0 ⇔ 𝑎 = 1 
 
Ejercicio 3 
Hallar las raíces de la función 𝑓(𝑥) = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 2𝑥) en el intervalo [0; 2𝜋]. 
 
Solución y comentarios 
Buscamos los valores de x tales que 𝑓(𝑥) = 0. 
Entonces 
 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 2𝑥) = 0 
 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 2𝑥) = 0 (dividimos ambos miembros por 5) 
𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 0 
Si llamamos 𝑡 = 𝜋 − 2𝑥 , la ecuación anterior es igual a 
𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 0 
y esto ocurre sí y solo sí 𝑡 = 𝑘𝜋, con k un número entero. 
Entonces, 
𝜋 − 2𝑥 = 𝑘𝜋 
2𝑥 = 𝑘𝜋 − 𝜋 
𝑥 =
𝑘𝜋 − 𝜋
2
 
 
 
Matemática 
Material de uso exclusivamente didáctico 
 
3 
𝑥 =
𝜋(𝑘 − 1)
2
 
Vamos a hallar cuales son los posibles valores que puede tomar k. 
Como 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
0 ≤
𝜋(𝑘 − 1)
2
≤ 2𝜋 (usamos la expresión hallada para x en función de k) 
Dividiendo todos los términos de la última desigualdad por 𝜋 
0 ≤
(𝑘 − 1)
2
≤ 2 
0 ≤ 𝑘 − 1 ≤ 4 
1 ≤ 𝑘 ≤ 5 
Como k es un número entero, los posibles valores que puede tomar son: 1, 2, 3, 4 y 5 
 
Valores de k k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 
𝑥 =
𝜋(𝑘 − 1)
2
 𝑥 = 0 𝑥 =
𝜋
2
 𝑥 = 𝜋 𝑥 =
3𝜋
2
 𝑥 = 2𝜋 
 
Luego, el conjunto formado por las raíces de la función 𝑓(𝑥) es: 
C0 = {0;
𝜋
2
; 𝜋;
3𝜋
2
; 2𝜋} 
 
 
 
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4 
 Ejercicio 4 
Hallar las coordenadas del máximo de la función 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 − 4 
 
Solución y comentarios 
 
Como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, sabemos que alcanza el valor máximo en 
el vértice. 
Si la expresión de la parábola es 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 , la abscisa del vértice la calculamos como: 
 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−𝛽
2𝛼
 
En nuestra función tenemos que 𝛼 = −1 𝑦 𝛽 = 3, entonces 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 =
−3
2 ∙ (−1)
=
3
2
 
 
Para encontrar la ordenada del vértice evaluamos la función en el 𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 
𝑓(𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒) = − (
3
2
)
2
+ 3 ∙ (
3
2
) − 4 = −
7
4
 
Entonces, el máximo de la función se encuentra en el punto 
𝐴 = (
3
2
; −
7
4
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
Ejercicio 5 
Hallar el conjunto de números reales donde se verifica que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) siendo 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 
 
Solución y comentarios 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ −𝑥2 + 𝑥 + 2 > 𝑥2 − 𝑥 
Entonces, 
−𝑥2 + 𝑥 + 2 > 𝑥2 − 𝑥 
−𝑥2 + 𝑥 + 2 − 𝑥2 + 𝑥 > 0 
 −2𝑥2 + 2𝑥 + 2 > 0 (dividimos ambos lados por (−2)) 
𝑥2 − 𝑥 − 1 < 0 (al dividir por un nro negativo cambia el sentido de la desigualdad) 
 
Vamos a encontrar los ceros de la función cuadrática 𝑥2 − 𝑥 − 1 para poder escribirla 
en forma factorizada. 
Para encontrar los ceros usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 𝑎 = 1; 𝑏 = −1 y 𝑐 = −1. 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−1)
2 ∙ 1
=
1 ± √5
2
 
Entonces 
𝑥1 =
1 − √5
2
 y 𝑥2 =
1 + √5
2
 
Por lo tanto podemos escribir 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 − (
1 − √5
2
)) ∙ (𝑥 − (
1 + √5
2
)) 
 
Volviendo a nuestro problema, debemos buscar los valores de x que cumplen con la desigualdad 
𝑥2 − 𝑥 − 1 < 0 
 
Reemplazando la función cuadrática por su forma factorizada 
(𝑥 − (
1 − √5
2
)) ∙ (𝑥 − (
1 + √5
2
)) < 0 
 
 
 
 
 
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6 
Para que el producto de los monomios sea menor a cero hay dos posibilidades: 
 Primer caso: 
𝑥 − (
1 − √5
2
) < 0 𝑦 𝑥 − (
1 + √5
2
) > 0 (𝐀) 
⟺ 𝑥 < (
1 − √5
2
) 𝑦 𝑥 > (
1 + √5
2
) 
⟺ 𝑥 ∈ (−∞;
1 − √5
2
) ∩ (
1 + √5
2
; +∞) 
Pero 
(−∞;
1 − √5
2
) ∩ (
1 + √5
2
; +∞) = ∅ 
Es decir, no hay ningún valor de x que cumpla con la condición (A). 
 Segundo caso 
 𝑥 − (
1 − √5
2
) > 0 𝑦 𝑥 − (
1 + √5
2
) < 0 (𝐁) 
⟺ 𝑥 > (
1 − √5
2
) 𝑦 𝑥 < (
1 + √5
2
) 
⟺ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
; +∞) ∩ (−∞;
1 + √5
2
) = (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
Luego, la condición (B) se cumple si 
𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
 
Luego, 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
 
Vamos a encontrar otra manera de escribir la función cuadrática 𝑥2 − 𝑥 − 1 utilizando el método para 
completar cuadrados 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥2 − 𝑥 − 1) = (𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 − 1) = (𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 + (
1
2
)
2
− (
1
2
)
2
− 1) = 
= ((𝑥 −
1
2
)
2
− (
1
2
)
2
− 1) = ((𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
) = (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
 
Resumiendo 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
 
 
 
 
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7 
Entonces 
−𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 ⟺ (𝑥 −
1
2
)
2
−
5
4
< 0 
(𝑥 −
1
2
)
2
<
5
4
 
 | 𝑥 −
1
2
| <
√5
2
 
 
−
√5
2
< 𝑥 −
1
2
 <
√5
2
 
−
√5
2
+
1
2
< 𝑥 <
√5
2
+
1
2
 
1 − √5
2
< 𝑥 <
1 + √5
2
 ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
) 
Luego, 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (
1 − √5
2
;
1 + √5
2
)