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1er 2017-2
Janet Guevara
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Material de uso exclusivamente didáctico
1
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
MESA COMBINADA (4/10/2017)
TEMA 1
EJERCICIO 1 (2 puntos)
De la función 𝑓(𝑥) =
−7𝑥
𝑐𝑥+𝑑
se sabe que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−
3
2
} y que 𝑓(2) = −1. Hallar 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ.
Respuesta
Como 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = ℝ − {−
3
2
} (y por el tipo de función) esto implica que en 𝑥 = −
3
2
se anula el denominador.
Es decir:
𝑐 · (−
3
2
) + 𝑑 = 0 ⇔
−3𝑐 + 2𝑑
2
= 0 ⇔ −3𝑐 + 2𝑑 = 0 ⇔ 𝑐 =
2
3
𝑑
Por otro lado, se sabe que 𝑓(2) = −1.
Esto significa que:
𝑓(2) =
−7 · 2
𝑐 · 2 + 𝑑
= −1 ⇔
−14
2𝑐 + 𝑑
= −1
Simplificamos un poco la ecuación:
−14 = −1 · (2𝑐 + 𝑑)
−14 = −2𝑐 − 𝑑
𝑑 = −2𝑐 + 14
Dado que 𝑐 =
2
3
𝑑
𝑑 = −2 (
2
3
𝑑) + 14
𝑑 = −
4
3
𝑑 + 14
𝑑 +
4
3
𝑑 = 14
7
3
𝑑 = 14 ⇔ 𝑑 = 14 ∙
3
7
⇔ 𝑑 = 6 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐 =
2
3
∙ 6 = 4
Los valores pedidos son: 𝑐 = 4, 𝑑 = 6.
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2
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
MESA COMBINADA (4/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Siendo
ℎ(𝑥) =
1
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
con 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 8 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥, determinar analíticamente el dominio de ℎ(𝑥) y las ecuaciones de las
asíntotas verticales de ℎ(𝑥)
Respuesta
Para determinar el dominio de la función ℎ(𝑥) debemos hallar su expresión general.
El denominador de la función es:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 4 · (𝑥2 + 3𝑥) + 8 = 4𝑥2 + 12𝑥 + 8
Luego,
ℎ(𝑥) =
1
4𝑥2 + 12𝑥 + 8
El dominio de la función serán todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ en donde NO se anula el denominador.
Vamos a hallar los valores de 𝑥 para los cuales el denominador se anula. Para ello resolvemos la ecuación
4𝑥2 + 12𝑥 + 8 = 0
o bien (dividiendo la ecuación por 4)
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0
𝑥1,2 =
−3 ± √32 − 4 · 1 · 2
2 · 1
=
−3 ± √9 − 8
2
=
−3 ± √1
2
=
−3 ± 1
2
⇔ 𝑥1 = −2 𝑦 𝑥2 = −1
Entonces,
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ − {−𝟐; −𝟏}
Para determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales (en caso de que existan) debemos verificar si existe
límite o no de la función cuando 𝑥 → −2 y cuando 𝑥 → −1.
lim
𝑥→−2
1
4𝑥2 + 12𝑥 + 8
= ∞
Por lo tanto, 𝒙 = −𝟐 es la ecuación de una asíntota vertical.
lim
𝑥→−1
4𝑥 + 8
4𝑥2 + 12𝑥 + 8
= ∞
Por lo tanto, 𝒙 = −𝟏 es la ecuación de una asíntota vertical.
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
MESA COMBINADA (4/10/2017)
Ejercicio 3 (3 puntos)
Dada la función 𝑔(𝑥) = √3 − 2𝑥, hallar el dominio de la función 𝑔 y el valor de 𝑔−1(1)
Respuesta
Para determinar el dominio de la función "𝑔", partimos de la condición de que el argumento de la raíz
cuadrada debe ser mayor o igual que cero:
3 − 2𝑥 ≥ 0
−2𝑥 ≥ −3
𝑥 ≤
−3
−2
⟺ 𝑥 ≤
3
2
Por lo tanto,
𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−∞;
𝟑
𝟐
]
Para poder determinar 𝑔−1(1) primero hay que determinar la expresión de 𝑔−1(𝑥) (que es la función inversa
de 𝑔(𝑥))
Entonces planteamos:
𝑦 = √3 − 2𝑥
𝑦2 = 3 − 2𝑥
𝑦2 − 3 = −2𝑥
𝑦2 − 3
−2
= 𝑥
Luego hacemos el cambio de variables:
𝑦 =
𝑥2 − 3
−2
= −
1
2
𝑥2 +
3
2
Por lo tanto,
𝑔−1(𝑥) = −
1
2
𝑥2 +
3
2
Ahora determinamos 𝑔−1(1) :
𝑔−1(1) = −
1
2
(1)2 +
3
2
= 1
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
MESA COMBINADA (4/10/2017)
Ejercicio 4 (2 puntos)
El punto 𝑄 = (3; 2) pertenece a la recta determinada por la función 𝑔(𝑥) =
4
3
𝑥 + 𝑏
Escribir el siguiente conjunto como intervalo o unión de intervalos
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 3𝑔(𝑥) ≤ 7}
Respuesta
Primero debemos hallar el valor de la constante "𝑏". Para esto, tenemos como dato que el punto 𝑄 = (3; 2)
pertenece a la recta determinada por la función, entonces:
𝑔(3) = 2
𝑔(3) =
4
3
· 3 + 𝑏
Hallamos el valor de “b”:
4
3
· 3 + 𝑏 = 2
4 + 𝑏 = 2
𝑏 = −2
Por lo tanto,
𝑔(𝑥) =
4
3
𝑥 − 2
Luego, escribimos la expresión 3𝑔(𝑥) ≤ 7 y resolvemos la inecuación
3 · (
4
3
𝑥 − 2) ≤ 7
4𝑥 − 6 ≤ 7
4𝑥 ≤ 13 ⟺ 𝑥 ≤
13
4
Por lo tanto,
𝑨 = (−∞;
𝟏𝟑
𝟒
]
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
TEMA 1
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el valor de la constante 𝑚 ∈ ℝ para que lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = −3 siendo
𝑓(𝑥) =
𝑚𝑥 + 6𝑥 − 2
3𝑥 − 1
Respuesta
Primero calculamos el límite de la función
lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶∞
𝑚𝑥 + 6𝑥 − 2
3𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶∞
𝑥 (𝑚 + 6 −
2
𝑥)
𝑥 (3 −
1
𝑥)
= lim
𝑥⟶∞
𝑚 + 6 −
2
𝑥
3 −
1
𝑥
=
𝑚 + 6
3
ya que lim
𝑥→∞
1
𝑥⁄ = 0, lim
𝑥→∞
2
𝑥⁄ = 0
Luego
𝑚 + 6
3
= −3 ⇔ 𝑚 + 6 = −9 ⇔ 𝑚 = −15
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝒃 la función lineal cuyo gráfico contiene al punto 𝑃0 = (2; 5). Hallar la ecuación de la asíntota
vertical de la función 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) si se sabe que
𝑔(𝑥) =
7
3𝑥 − 5
Respuesta
Hallemos el valor de “b”. Para ello tengamos en cuenta que:
𝑓(2) = 4 + 𝑏 = 5 ⟺ 𝑏 = 1
Entonces,
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) =
7
3(2𝑥 + 1) − 5
=
7
6𝑥 − 2
Para que la función "ℎ" tenga una asíntota vertical en algún valor “𝑎” debe cumplirse que:
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
7
6𝑥 − 2
= ∞
por lo tanto, debe anularse el denominador en 𝑥 = 𝑎 (esto es para que el límite sea infinito)
Esto ocurrirá si
6𝑎 − 2 = 0 ⟺ 𝑎 =
1
3
Por lo tanto la ecuación de la ecuación de la asíntota vertical es 𝒙 =
𝟏
𝟑
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el conjunto de positividad (𝐶+) del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 8𝑥2
Respuesta
Si sacamos a 𝑥² de factor común la expresión del polinomio resulta ser:
𝑃(𝑥) = 𝑥²(𝑥² − 2𝑥 − 8)
Hallemos primeramente las raíces de 𝑃(𝑥). Una es claramente el cero y las otras se obtienen de hallar las raíces
de 𝑥2 − 6𝑥 + 8 que, dado que se trata de una expresión cuadrática, pueden encontrarse mediante la resolvente:
𝑥1,2 =
2 ± √(−2)² − 4 ∙ 1 ∙ (−8)
2 ∙ 1
obteniéndose dos raíces en los valores -2 y 4.
Aplicando el método de Bolzano, o sea, verificando que signo toman los valores de la función en los intervalos
limitados por las raíces 0, 2 y 4 de la función 𝑃(𝑥), obtenemos:
x (−∞; −2) -2 (−2,0) 0 (0,4) 4 (4, +∞)
𝑃(𝑥) + 0 - 0 - 0 +
Por lo tanto 𝑪⁺ = (−∞; −𝟐) ∪ (𝟒; +∞)
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
3𝑥−𝑘
hallar su función inversa 𝑓−1(𝑥) y obtener el valor de la constante 𝑘 ∈ ℝ para
que se cumpla que 𝑓−1(2) = 4
Respuesta
Para calcular 𝑓−1(𝑥) planteamos:
𝑦 =
𝑥
3𝑥 − 𝑘
𝑦(3𝑥 − 𝑘) = 𝑥
3𝑥𝑦 − 𝑘𝑦 = 𝑥
3𝑥𝑦 − 𝑥 = 𝑘𝑦
𝑥(3𝑦 − 1) = 𝑘𝑦
𝑥 =
𝑘𝑦
3𝑦 − 1
Por lo tanto, haciendo un cambio en el nombre de la variable,
𝑓−1(𝑥) =
𝑘𝑥
3𝑥 − 1
Para que 𝑓−1(2) = 4 debe cumplirse que
2𝑘
5
= 4 ⟺ 𝑘 = 10
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
TEMA 2
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el conjunto de positividad (𝐶+) del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 10𝑥2
Respuesta
Si sacamos a x² de factor común la expresión del polinomio resulta ser:
𝑃(𝑥) = 𝑥²(𝑥² + 3𝑥 − 10)
Hallemos primeramente las raíces de 𝑃(𝑥). Una es claramente el cero y las otras se obtienen de hallar las
raíces de 𝑥² + 3𝑥 − 10 que, dado que se trata de una expresión cuadrática, pueden encontrarse mediante la
resolvente
𝑥1,2 =
−3 ± √3² − 4 ∙ 1 ∙ (−10)
2
obteniéndose las dos raíces en los valores -5 y 2.
Aplicando el método de Bolzano, o sea, verificando que signo toman los valores de la función en los
intervalos limitados por las raíces -5, 0 y 2 de la función 𝑃(𝑥), obtenemos:
x (−∞; −5) -5 (−5,0) 0 (0,2) 2 (2, +∞)
𝑃(𝑥) + 0 - 0 - 0 +
Por lo tanto 𝑪⁺ = (−∞; −𝟓) ∪ (𝟐; +∞)
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sean las funciones
𝑓(𝑥) = 𝒄𝑥 + 1 ; 𝑔(𝑥) =
3𝑥
−𝑥 + 10
Hallar el valor de la constante 𝑐 ∈ ℝ para que se cumpla que
(𝑔 ∘ 𝑓)(2) = 3
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión general de la función "(𝑔 ∘ 𝑓)"
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) =
3(𝑐𝑥 + 1)
−(𝑐𝑥 + 1) + 10
=
3(𝑐𝑥 + 1)
−𝑐𝑥 − 1 + 10
=
3(𝑐𝑥 + 1)
−𝑐𝑥 + 9
Entonces, para que (𝑔𝑜𝑓)(2) = 3, debe ser:
3(𝑐 ∙ 2 + 1)
−𝑐 ∙ 2 + 9
= 3
2𝑐 + 1
−2𝑐 + 9
= 1
2𝑐 + 1 = −2𝑐 + 9
4𝑐 = 8 ⟺ 𝑐 = 2
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ para que lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = −1 siendo
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 6𝑥 − 3
2𝑥 − 1
Respuesta
Primero calculamos el límite de la función
lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶∞
𝑎𝑥 + 6𝑥 − 3
2𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶∞
𝑥 (𝑎 + 6 −
3
𝑥)
𝑥 (2 −
1
𝑥)
= lim
𝑥⟶∞
𝑎 + 6 −
3
𝑥
2 −
1
𝑥
=
𝑎 + 6
2
ya que lim
𝑥→∞
1
𝑥⁄ = 0, lim
𝑥→∞
3
𝑥⁄ = 0
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
.Luego
𝑎 + 6
2
= −1 ⇔ 𝑎 + 6 = −2 ⇔ 𝑎 = −8
Ejercicio 4 (3 puntos)
Dada la función ℎ(𝑥) =
2𝑥
5𝑥−𝑐
, hallar su función inversa ℎ−1(𝑥) y obtener el valor de la constante 𝑐 ∈ ℝ para
que se cumpla que ℎ−1(1) = 2
Respuesta
Para calcular 𝑓−1(𝑥) planteamos:
𝑦 =
2𝑥
5𝑥 − 𝑐
𝑦(5𝑥 − 𝑐) = 2𝑥
5𝑥𝑦 − 𝑐𝑦 = 2𝑥
5𝑥𝑦 − 2𝑥 = 𝑐𝑦
𝑥(5𝑦 − 2) = 𝑐𝑦
𝑥 =
𝑐𝑦
5𝑦 − 2
Por lo tanto,
ℎ−1(𝑥) =
𝑐𝑥
5𝑥 − 2
Para que ℎ−1(1) = 2 debe cumplirse que
𝑐 ∙ 1
5 ∙ 1 − 2
= 2 ⟺
𝑐
3
= 2 ⟺ 𝑐 = 6
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
TEMA 3
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el valor de la constante 𝑡 ∈ ℝ para que lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = −2 siendo
𝑓(𝑥) =
𝑡𝑥 + 8𝑥 − 2
4𝑥 − 1
Respuesta
Primero calculamos el límite de la función
lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶∞
𝑡𝑥 + 8𝑥 − 2
4𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶∞
𝑥 (𝑡 + 8 −
2
𝑥)
𝑥 (4 −
1
𝑥)
= lim
𝑥⟶∞
𝑡 + 8 −
2
𝑥
4 −
1
𝑥
=
𝑡 + 8
4
ya que lim
𝑥→∞
1
𝑥⁄ = 0, lim
𝑥→∞
2
𝑥⁄ = 0Luego
𝑡 + 8
4
= −2 ⇔ 𝑡 + 8 = −8 ⇔ 𝑡 = −16
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sea 𝑔(𝑥) = 𝑚 𝑥 + 4 la función lineal cuyo gráfico contiene al punto 𝑃0 = (2; 10). Hallar la ecuación de la
asíntota vertical de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) si se sabe que
𝑓(𝑥) =
1
2𝑥 − 4
Respuesta
Hallemos el valor de "𝑚". Para ello tengamos en cuenta que:
𝑔(2) = 10
𝑔(2) = 2𝑚 + 4
2𝑚 + 4 = 10 ⟺ 𝑚 = 3
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
Luego, 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 + 4
Entonces,
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) =
1
2(3𝑥 + 4) − 4
=
1
6𝑥 + 4
Para que la función (𝑓𝑜𝑔) tenga una asíntota vertical en algún valor “𝑎” debe cumplirse que:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
1
6𝑥 + 4
= ∞
por lo tanto, debe anularse el denominador en 𝑥 = 𝑎
Esto ocurrirá si
6𝑎 + 4 = 0 ⟺ 𝑎 = −
2
3
Por lo tanto la ecuación de la asíntota vertical es
𝑥 = −
2
3
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el conjunto de positividad (𝐶+) del polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 6𝑥2
Respuesta
Si sacamos a 𝑥² de factor común la expresión del polinomio resulta ser:
𝑄(𝑥) = 𝑥²(𝑥² − 𝑥 − 6)
Hallemos primeramente las raíces de 𝑄(𝑥). Una es claramente el cero y las otras se obtienen de hallar las raíces
de 𝑥² − 𝑥 − 6 que, dado que se trata de una expresión cuadrática, pueden encontrarse mediante la resolvente
𝑥1,2 =
1 ± √(−1)² − 4 ∙ 1 ∙ (−6)
2 ∙ 1
obteniéndose las dos raíces en los valores -2 y 3.
Aplicando el método de Bolzano, o sea, verificando que signo toman los valores de la función en los intervalos
limitados por las raíces -2, 0 y 3 de la función 𝑄(𝑥), obtenemos:
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
x (−∞; −2) -2 (−2,0) 0 (0,3) 3 (3, +∞)
𝑄(𝑥) + 0 - 0 - 0 +
Por lo tanto 𝑪⁺ = (−∞; −𝟐) ∪ (𝟑; +∞)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Dada la función 𝑔(𝑥) =
3𝑥
𝑎+4𝑥
, hallar su función inversa 𝑔−1(𝑥) y obtener el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ para
que se cumpla que 𝑔−1(1) = 10
Respuesta
Para calcular 𝑔−1(𝑥) planteamos:
𝑦 =
3𝑥
𝑎 + 4𝑥
𝑦(𝑎 + 4𝑥) = 3𝑥
𝑎𝑦 + 4𝑥𝑦 = 3𝑥
4𝑥𝑦 − 3𝑥 = −𝑎𝑦
𝑥(4𝑦 − 3) = −𝑎𝑦
𝑥 =
−𝑎𝑦
4𝑦 − 3
Por lo tanto, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑔−1(𝑥) =
−𝑎𝑥
4𝑥 − 3
(o también puede que en el cálculo final se obtenga, también correctamente 𝑔−1 =
𝑎𝑥
−4𝑥+3
. De todas maneras el
valor final de “𝑎” será el mismo).
Para que 𝑔−1(1) = 10 debe cumplirse que
−𝑎
4 − 3
= 10 ⟺ 𝑎 = −10
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PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
TEMA 4
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el conjunto de positividad (𝐶+) del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 8𝑥2
Respuesta
Si sacamos a 𝑥² de factor común la expresión del polinomio resulta ser:
𝑃(𝑥) = 𝑥²(𝑥² − 2𝑥 − 8)
Hallemos primeramente las raíces de 𝑃(𝑥). Una es claramente el cero y las otras se obtienen de hallar las raíces
de 𝑥2 − 6𝑥 + 8 que, dado que se trata de una expresión cuadrática, pueden encontrarse mediante la resolvente:
𝑥1,2 =
2 ± √(−2)² − 4 ∙ 1 ∙ (−8)
2 ∙ 1
obteniéndose dos raíces en los valores -2 y 4.
Aplicando el método de Bolzano, o sea, verificando que signo toman los valores de la función en los intervalos
limitados por las raíces 0, 2 y 4 de la función 𝑃(𝑥), obtenemos:
x (−∞; −2) -2 (−2,0) 0 (0,4) 4 (4, +∞)
𝑃(𝑥) + 0 - 0 - 0 +
Por lo tanto 𝑪⁺ = (−∞; −𝟐) ∪ (𝟒; +∞)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
3𝑥−𝑘
hallar su función inversa 𝑓−1(𝑥) y obtener el valor de la constante 𝑘 ∈ ℝ para
que se cumpla que 𝑓−1(2) = 4
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
Respuesta
Para calcular 𝑓−1(𝑥) planteamos:
𝑦 =
𝑥
3𝑥 − 𝑘
𝑦(3𝑥 − 𝑘) = 𝑥
3𝑥𝑦 − 𝑘𝑦 = 𝑥
3𝑥𝑦 − 𝑥 = 𝑘𝑦
𝑥(3𝑦 − 1) = 𝑘𝑦
𝑥 =
𝑘𝑦
3𝑦 − 1
Por lo tanto, haciendo un cambio en el nombre de la variable,
𝑓−1(𝑥) =
𝑘𝑥
3𝑥 − 1
Para que 𝑓−1(2) = 4 debe cumplirse que
2𝑘
5
= 4 ⟺ 𝑘 = 10
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el valor de la constante 𝑚 ∈ ℝ para que lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = −3 siendo
𝑓(𝑥) =
𝑚𝑥 + 6𝑥 − 2
3𝑥 − 1
Respuesta
Primero calculamos el límite de la función
lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶∞
𝑚𝑥 + 6𝑥 − 2
3𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶∞
𝑥 (𝑚 + 6 −
2
𝑥)
𝑥 (3 −
1
𝑥)
= lim
𝑥⟶∞
𝑚 + 6 −
2
𝑥
3 −
1
𝑥
=
𝑚 + 6
3
ya que lim
𝑥→∞
1
𝑥⁄ = 0, lim
𝑥→∞
2
𝑥⁄ = 0
Luego
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
𝑚 + 6
3
= −3 ⇔ 𝑚 + 6 = −9 ⇔ 𝑚 = −15
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝒃 la función lineal cuyo gráfico contiene al punto 𝑃0 = (2; 5). Hallar la ecuación de la asíntota
vertical de la función 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) si se sabe que
𝑔(𝑥) =
7
3𝑥 − 5
Respuesta
Hallemos el valor de “b”. Para ello tengamos en cuenta que:
𝑓(2) = 4 + 𝑏 = 5 ⟺ 𝑏 = 1
Entonces,
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) =
7
3(2𝑥 + 1) − 5
=
7
6𝑥 − 2
Para que la función "ℎ" tenga una asíntota vertical en algún valor “𝑎” debe cumplirse que:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
7
6𝑥 − 2
= ∞
por lo tanto, debe anularse el denominador en 𝑥 =𝑎 (esto es para que el límite sea infinito)
Esto ocurrirá si
6𝑎 − 2 = 0 ⟺ 𝑎 =
1
3
Por lo tanto la ecuación de la ecuación de la asíntota vertical es 𝒙 =
𝟏
𝟑
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
TEMA 5
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ para que lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = −1 siendo
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 6𝑥 − 3
2𝑥 − 1
Respuesta
Primero calculamos el límite de la función
lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶∞
𝑎𝑥 + 6𝑥 − 3
2𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶∞
𝑥 (𝑎 + 6 −
3
𝑥)
𝑥 (2 −
1
𝑥)
= lim
𝑥⟶∞
𝑎 + 6 −
3
𝑥
2 −
1
𝑥
=
𝑎 + 6
2
ya que lim
𝑥→∞
1
𝑥⁄ = 0, lim
𝑥→∞
3
𝑥⁄ = 0
.Luego
𝑎 + 6
2
= −1 ⇔ 𝑎 + 6 = −2 ⇔ 𝑎 = −8
Ejercicio 2 (3 puntos)
Dada la función ℎ(𝑥) =
2𝑥
5𝑥−𝑐
, hallar su función inversa ℎ−1(𝑥) y obtener el valor de la constante 𝑐 ∈ ℝ para
que se cumpla que ℎ−1(1) = 2
Respuesta
Para calcular 𝑓−1(𝑥) planteamos:
𝑦 =
2𝑥
5𝑥 − 𝑐
𝑦(5𝑥 − 𝑐) = 2𝑥
5𝑥𝑦 − 𝑐𝑦 = 2𝑥
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
5
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
5𝑥𝑦 − 2𝑥 = 𝑐𝑦
𝑥(5𝑦 − 2) = 𝑐𝑦
𝑥 =
𝑐𝑦
5𝑦 − 2
Por lo tanto,
ℎ−1(𝑥) =
𝑐𝑥
5𝑥 − 2
Para que ℎ−1(1) = 2 debe cumplirse que
𝑐 ∙ 1
5 ∙ 1 − 2
= 2 ⟺
𝑐
3
= 2 ⟺ 𝑐 = 6
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el conjunto de positividad (𝐶+) del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 10𝑥2
Respuesta
Si sacamos a x² de factor común la expresión del polinomio resulta ser:
𝑃(𝑥) = 𝑥²(𝑥² + 3𝑥 − 10)
Hallemos primeramente las raíces de 𝑃(𝑥). Una es claramente el cero y las otras se obtienen de hallar las
raíces de 𝑥² + 3𝑥 − 10 que, dado que se trata de una expresión cuadrática, pueden encontrarse mediante la
resolvente
𝑥1,2 =
−3 ± √3² − 4 ∙ 1 ∙ (−10)
2
obteniéndose las dos raíces en los valores -5 y 2.
Aplicando el método de Bolzano, o sea, verificando que signo toman los valores de la función en los
intervalos limitados por las raíces -5, 0 y 2 de la función 𝑃(𝑥), obtenemos:
x (−∞; −5) -5 (−5,0) 0 (0,2) 2 (2, +∞)
𝑃(𝑥) + 0 - 0 - 0 +
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
6
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
Por lo tanto 𝑪⁺ = (−∞; −𝟓) ∪ (𝟐; +∞)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sean las funciones
𝑓(𝑥) = 𝒄𝑥 + 1 ; 𝑔(𝑥) =
3𝑥
−𝑥 + 10
Hallar el valor de la constante 𝑐 ∈ ℝ para que se cumpla que
(𝑔 ∘ 𝑓)(2) = 3
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión general de la función "(𝑔 ∘ 𝑓)"
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) =
3(𝑐𝑥 + 1)
−(𝑐𝑥 + 1) + 10
=
3(𝑐𝑥 + 1)
−𝑐𝑥 − 1 + 10
=
3(𝑐𝑥 + 1)
−𝑐𝑥 + 9
Entonces, para que (𝑔𝑜𝑓)(2) = 3, debe ser:
3(𝑐 ∙ 2 + 1)
−𝑐 ∙ 2 + 9
= 3
2𝑐 + 1
−2𝑐 + 9
= 1
2𝑐 + 1 = −2𝑐 + 9
4𝑐 = 8 ⟺ 𝑐 = 2
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
7
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
TEMA 6
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el conjunto de positividad (𝐶+) del polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 6𝑥2
Respuesta
Si sacamos a 𝑥² de factor común la expresión del polinomio resulta ser:
𝑄(𝑥) = 𝑥²(𝑥² − 𝑥 − 6)
Hallemos primeramente las raíces de 𝑄(𝑥). Una es claramente el cero y las otras se obtienen de hallar las raíces
de 𝑥² − 𝑥 − 6 que, dado que se trata de una expresión cuadrática, pueden encontrarse mediante la resolvente
𝑥1,2 =
1 ± √(−1)² − 4 ∙ 1 ∙ (−6)
2 ∙ 1
obteniéndose las dos raíces en los valores -2 y 3.
Aplicando el método de Bolzano, o sea, verificando que signo toman los valores de la función en los intervalos
limitados por las raíces -2, 0 y 3 de la función 𝑄(𝑥), obtenemos:
x (−∞; −2) -2 (−2,0) 0 (0,3) 3 (3, +∞)
𝑄(𝑥) + 0 - 0 - 0 +
Por lo tanto 𝑪⁺ = (−∞; −𝟐) ∪ (𝟑; +∞)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Dada la función 𝑔(𝑥) =
3𝑥
𝑎+4𝑥
, hallar su función inversa 𝑔−1(𝑥) y obtener el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ para
que se cumpla que 𝑔−1(1) = 10
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
8
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
Respuesta
Para calcular 𝑔−1(𝑥) planteamos:
𝑦 =
3𝑥
𝑎 + 4𝑥
𝑦(𝑎 + 4𝑥) = 3𝑥
𝑎𝑦 + 4𝑥𝑦 = 3𝑥
4𝑥𝑦 − 3𝑥 = −𝑎𝑦
𝑥(4𝑦 − 3) = −𝑎𝑦
𝑥 =
−𝑎𝑦
4𝑦 − 3
Por lo tanto, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑔−1(𝑥) =
−𝑎𝑥
4𝑥 − 3
(o también puede que en el cálculo final se obtenga, también correctamente 𝑔−1 =
𝑎𝑥
−4𝑥+3
. De todas maneras el
valor final de “𝑎” será el mismo).
Para que 𝑔−1(1) = 10 debe cumplirse que
−𝑎
4 − 3
= 10 ⟺ 𝑎 = −10
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el valor de la constante 𝑡 ∈ ℝ para que lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = −2 siendo
𝑓(𝑥) =
𝑡𝑥 + 8𝑥 − 2
4𝑥 − 1
Respuesta
Primero calculamos el límite de la función
lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶∞
𝑡𝑥 + 8𝑥 − 2
4𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶∞
𝑥 (𝑡 + 8 −
2
𝑥)
𝑥 (4 −
1
𝑥
)
= lim
𝑥⟶∞
𝑡 + 8 −
2
𝑥
4 −
1
𝑥
=
𝑡 + 8
4
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________Material de uso exclusivamente didáctico
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
PRIMER TURNO (09/10/2017)
ya que lim
𝑥→∞
1
𝑥⁄ = 0, lim
𝑥→∞
2
𝑥⁄ = 0
Luego
𝑡 + 8
4
= −2 ⇔ 𝑡 + 8 = −8 ⇔ 𝑡 = −16
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sea 𝑔(𝑥) = 𝑚 𝑥 + 4 la función lineal cuyo gráfico contiene al punto 𝑃0 = (2; 10). Hallar la ecuación de la
asíntota vertical de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) si se sabe que
𝑓(𝑥) =
1
2𝑥 − 4
Respuesta
Hallemos el valor de "𝑚". Para ello tengamos en cuenta que:
𝑔(2) = 10
𝑔(2) = 2𝑚 + 4
2𝑚 + 4 = 10 ⟺ 𝑚 = 3
Luego, 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 + 4
Entonces,
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) =
1
2(3𝑥 + 4) − 4
=
1
6𝑥 + 4
Para que la función (𝑓𝑜𝑔) tenga una asíntota vertical en algún valor “𝑎” debe cumplirse que:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
1
6𝑥 + 4
= ∞
por lo tanto, debe anularse el denominador en 𝑥 = 𝑎
Esto ocurrirá si
6𝑎 + 4 = 0 ⟺ 𝑎 = −
2
3
Por lo tanto la ecuación de la asíntota vertical es
𝑥 = −
2
3
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
1
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
TEMA 1
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el conjunto de negatividad del polinomio 𝑆 de grado 3 que verifica
𝑆(−2) = 𝑆(1) = 𝑆(2) = 0
y que pasa por el punto (0; −4)
Respuesta
Primero debemos buscar la ecuación del polinomio 𝑆(𝑥).
Dado que 𝑆(−2) = 𝑆(1) = 𝑆(2) = 0, tenemos que las raíces del polinomio son −2, 1 y 2.
Entonces,
𝑆(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Reemplazamos las coordenadas del punto (0; −4) para hallar el coeficiente 𝑎:
𝑆(0) = −4
𝑎 ∙ (0 + 2)(0 − 1)(0 − 2) = −4
𝑎 ∙ (2)(−1)(−2) = −4
𝑎 ∙ 4 = −4 ⇔ 𝑎 = −1
Luego,
𝑆(𝑥) = −1 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Para hallar el conjunto de negatividad del polinomio (aplicamos el teorema de Bolzano) debemos analizar el
signo del polinomio en los intervalos determinados por los ceros. Es decir, debemos analizar el signo en los
intervalos
(−∞; −2) ; (−2; 1); (1; 2); (2; +∞)
𝑥 (−∞; −2) −2 (−2; 1) 1 (1; 2) 2 (2; +∞)
𝑆(𝑥) 𝑆(−3) > 0 0 𝑆(0) < 0 0 𝑆(1,5) > 0 0 𝑆(3) < 0
Luego 𝑪− = (−𝟐; 𝟏) ∪ (𝟐; +∞)
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
2
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sea 𝑃 el punto medio del segmento determinado por los puntos (−1; 4) y (5; 4).
Hallar todos los puntos 𝑄 = (𝑎, 𝑎 + 4) de manera tal que la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 sea igual a √10,
es decir, 𝑑(𝑃; 𝑄) = √10
Respuesta
En primer lugar debemos buscar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos
(−1; 4) y (5; 4).
𝑃 = (
−1 + 5
2
;
4 + 4
2
) = (2; 4)
𝑑(𝑃; 𝑄) = √10
Recordamos la definición de distancia entre los puntos 𝑃 = (𝑥1; 𝑦1) y 𝑄 = (𝑥2; 𝑦2)
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √𝑑(𝑃; 𝑄)
√(𝑎 − 2)2 + (𝑎 + 4 − 4)2 = √10
√𝑎2 − 4𝑎 + 4 + 𝑎2 = √10
√2𝑎2 − 4𝑎 + 4 = √10
2𝑎2 − 4𝑎 + 4 = 10
2𝑎2 − 4𝑎 − 6 = 0
𝑎2 − 2𝑎 − 3 = 0
⇔ 𝑎1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± 4
2
⇒ 𝑎1 = 3 𝑎2 = −1
Por lo tanto, los puntos buscados son
𝑸𝟏 = (𝟑; 𝟕) 𝑸𝟐 = (−𝟏; 𝟑)
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
3
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Dadas las funciones
𝑓(𝑥) = −
3
𝑥 + 1
− 4 ; 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 − 5𝑥 − 1
Hallar el dominio de la función 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥)
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑓 ∘ 𝑔.
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = −
3
4𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1
− 4 = −
3
4𝑥2 − 5𝑥
− 4 = −
3
𝑥(4𝑥 − 5)
− 4
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = −
3
𝑥(4𝑥 − 5)
− 4
Para que la función esté bien definida el denominador no debe anularse.
El denominador se anula si
𝑥(4𝑥 − 5) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 4𝑥 − 5 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 𝑥 =
5
4
Luego,
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ − {0;
5
4
}
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sea 𝑓(𝑥) =
5
7−2𝑥
+ 3. Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales de 𝑓−1(𝑥).
Respuesta
Calculamos la inversa de la función 𝑓:
𝑓(𝑥) =
5
7 − 2𝑥
+ 3
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
4
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
𝑦 =
5
7 − 2𝑥
+ 3
𝑦 − 3 =
5
7 − 2𝑥
(7 − 2𝑥) =
5
(𝑦 − 3)
−2𝑥 =
5
(𝑦 − 3)
− 7
−2𝑥 =
5 − 7(𝑦 − 3)
(𝑦 − 3)
−2𝑥 =
5 − 7𝑦 + 21
(𝑦 − 3)
−2𝑥 =
26 − 7𝑦
𝑦 − 3
𝑥 =
26 − 7𝑦
−2(𝑦 − 3)
𝑥 =
−7𝑦 + 26
−2𝑦 + 6
Por lo que resulta, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑓−1(𝑥) =
−7𝑥 + 26
−2𝑥 + 6
El dominio de 𝑓−1 es el conjunto ℝ − {3}
Verificamos mediante el límite si la recta de ecuación 𝑥 = 3 es una asíntota vertical.
lim
𝑥→3
−7𝑥 + 26
−2𝑥 + 6
= ∞
Por lo tanto, en 𝒙 = 𝟑 tenemos una asíntota vertical.
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
5
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
TEMA 2
Ejercicio 1 (2 puntos)
Dadas las funciones
ℎ(𝑥) = −
2
𝑥 + 4
− 4 ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 4
Hallar el dominio de la función ℎ ∘ 𝑓(𝑥)
Respuesta
Primero debemos hallar laexpresión de la función 𝑓 ∘ 𝑔.
(ℎ ∘ 𝑓)(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥)) = −
2
3𝑥2 + 2𝑥 − 4 + 4
− 4 = −
2
3𝑥2 + 2𝑥
− 4 = −
2
𝑥 ∙ (3𝑥 + 2)
− 4
(ℎ ∘ 𝑓)(𝑥) = −
2
𝑥 ∙ (3𝑥 + 2)
− 4
Para que la función esté bien definida el denominador no debe anularse.
El denominador se anula si
𝑥 ∙ (3𝑥 + 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 3𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 𝑥 = −
2
3
Luego,
𝐷𝑜𝑚(ℎ ∘ 𝑓) = ℝ − {0; −
2
3
}
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
6
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sea
𝑓(𝑥) = 2 − 7/(𝑥 − 3)
Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales de 𝑓−1(𝑥).
Respuesta
Calculamos la inversa de la función 𝑓:
𝑓(𝑥) = 2 −
7
𝑥 − 3
𝑦 = 2 −
7
𝑥 − 3
𝑦 − 2 = −
7
𝑥 − 3
(𝑥 − 3) = −
7
(𝑦 − 2)
𝑥 = 3 −
7
(𝑦 − 2)
𝑥 =
3(𝑦 − 2) − 7
(𝑦 − 2)
𝑥 =
3𝑦 − 6 − 7
(𝑦 − 2)
𝑥 =
3𝑦 − 13
𝑦 − 2
Por lo que resulta, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑓−1(𝑥) =
3𝑥 − 13
𝑥 − 2
El dominio de 𝑓−1 es el conjunto ℝ − {2}
Verificamos mediante el límite si la recta 𝑥 = 2 es una asíntota vertical.
lim
𝑥→2
3𝑥 − 13
𝑥 − 2
= ∞
Por lo tanto, en 𝑥 = 2 tenemos una asíntota vertical.
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_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
7
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el conjunto de negatividad del polinomio 𝑃 de grado 3 que verifica
𝑃(−3) = 𝑃(−1) = 𝑃(1) = 0
y que pasa por el punto (0; 6)
Respuesta
Primero debemos buscar la ecuación del polinomio 𝑃(𝑥).
Dado que 𝑃(−3) = 𝑃(−1) = 𝑃(1) = 0, tenemos que las raíces del polinomio son −3, −1 y 1.
Entonces,
𝑃(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Reemplazamos las coordenadas del punto (0; 6) para hallar el coeficiente 𝑎:
𝑃(0) = 6
𝑎 ∙ (0 + 3)(0 + 1)(0 − 1) = 6
𝑎 ∙ (3)(1)(−1) = 6
𝑎 ∙ (−3) = 6 ⇔ 𝑎 = −2
Luego,
𝑃(𝑥) = −2 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Para hallar el conjunto de negatividad del polinomio (aplicamos el teorema de Bolzano) debemos analizar el
signo del polinomio en los intervalos determinados por los ceros. Es decir, debemos analizar el signo en los
intervalos
(−∞; −3) ; (−3; −1); (−1; 1); (1; +∞)
𝑥 (−∞; −3) −3 (−3; −1) −1 (−1; 1) 2 (1; +∞)
𝑃(𝑥) 𝑃(−4) > 0 0 𝑃(−2) < 0 0 𝑃(0) > 0 0 𝑃(2) < 0
Luego 𝑪− = (−𝟑; −𝟏) ∪ (𝟏; +∞)
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Material de uso exclusivamente didáctico
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Hallar todos los puntos de la forma 𝑄 = (𝐾 + 3, 𝐾) de manera tal que la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 sea
igual a √10 (es decir, 𝑑(𝑃; 𝑄) = √10) siendo 𝑃 el punto medio del segmento determinado por los puntos
(−2; 0) y (4; 0).
Respuesta
En primer lugar debemos buscar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos
(−2; 0) y (4; 0).
𝑃 = (
−2 + 4
2
;
0 + 0
2
) = (1; 0)
Recordamos la definición de distancia entre los puntos 𝑃 = (𝑥1; 𝑦1) y 𝑄 = (𝑥2; 𝑦2)
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √𝑑(𝑃; 𝑄)
𝑃 = (1; 0)
𝑄 = (𝐾 + 3, 𝐾)
𝑑(𝑃; 𝑄) = √10
√(𝐾 + 3 − 1)2 + (𝐾 − 0)2 = √10
√(𝐾 + 2)2 + (𝐾)2 = √10
√𝐾2 + 4𝐾 + 4 + 𝐾2 = √10
√2𝐾2 + 4𝐾 + 4 = √10
2𝐾2 + 4𝐾 + 4 = 10
2𝐾2 + 4𝐾 − 6 = 0
𝐾2 + 2𝐾 − 3 = 0
𝐾1,2 =
−(2) ± √(2)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
−2 ± √4 + 12
2
=
−2 ± 4
2
⇒ 𝐾1 = 1 𝐾2 = −3
Por lo tanto, los puntos buscados son
𝑸𝟏 = (𝟒; 𝟏) 𝑸𝟐 = (𝟎; −𝟑)
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
TEMA 3
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el conjunto de negatividad del polinomio 𝑄 de grado 3 que verifica
𝑄(−1) = 𝑄(1) = 𝑄(2) = 0
y que pasa por el punto (0; −2)
Respuesta
Primero debemos buscar la ecuación del polinomio 𝑄(𝑥).
Dado que 𝑄(−1) = 𝑄(1) = 𝑄(2) = 0, tenemos que las raíces del polinomio son −1, 1 y2.
Entonces,
𝑄(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Reemplazamos las coordenadas del punto (0; −2) para hallar el coeficiente 𝑎:
𝑄(0) = −2
𝑎 ∙ (0 + 1)(0 − 1)(0 − 2) = −2
𝑎 ∙ (1)(−1)(−2) = −2
𝑎 ∙ (2) = −2 ⇔ 𝑎 = −1
Luego,
𝑄(𝑥) = −1 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Para hallar el conjunto de negatividad del polinomio (aplicamos el teorema de Bolzano) debemos analizar el
signo del polinomio en los intervalos determinados por los ceros. Es decir, debemos analizar el signo en los
intervalos
(−∞; −1) ; (−1; 1); (1; 2); (2; +∞)
𝑥 (−∞; −1) −1 (−1; 1) 1 (1; 2) 2 (2; +∞)
𝑄(𝑥) 𝑄(−2) > 0 0 𝑄(0) < 0 0 𝑄(1,5) > 0 0 𝑄(3) < 0
Luego 𝑪− = (−𝟏; 𝟏) ∪ (𝟐; +∞)
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
10
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sea 𝑃 el punto medio del segmento determinado por los puntos (4; 2) y (8; 2)
Hallar todos los puntos 𝑄 = (𝑁, 𝑁 − 2) de manera tal que la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 sea igual a √26,
es decir, 𝑑(𝑃; 𝑄) = √26
Respuesta
En primer lugar debemos buscar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos
(4; 2) y (8; 2)
𝑃 = (
4 + 8
2
;
2 + 2
2
) = (6; 2)
Recordamos la definición de distancia entre los puntos 𝑃 = (𝑥1;𝑦1) y 𝑄 = (𝑥2; 𝑦2)
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √𝑑(𝑃; 𝑄)
𝑃 = (6; 2)
𝑄 = (𝑁, 𝑁 − 2)
𝑑(𝑃; 𝑄) = √26
√(𝑁 − 6)2 + (𝑁 − 2 − 2)2 = √26
√(𝑁 − 6)2 + (𝑁 − 4)2 = √26
√𝑁2 − 12𝑁 + 36 + 𝑁2 − 8𝑁 + 16 = √26
√2𝑁2 − 20𝑁 + 52 = √26
2𝑁2 − 20𝑁 + 52 = 26
2𝑁2 − 20𝑁 − 26 = 0
𝑁2 − 10𝑁 − 13 = 0
𝑁1,2 =
−(−10) ± √(−10)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−13)
2 ∙ 1
=
10 ± √100 − 52
2
=
10 ± √48
2
= 5 ±
√48
2
= 5 ±
√48
√4
= 5 ± √12
⇒ 𝑁1 = 5 + √12 𝑁2 = 5 − √12
Por lo tanto, los puntos buscados son
𝑸𝟏 = (𝟓 + √𝟏𝟐; 𝟑 + √𝟏𝟐) 𝑸𝟐 = (𝟓 − √𝟏𝟐; 𝟑 − √𝟏𝟐)
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Material de uso exclusivamente didáctico
11
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Dadas las funciones
𝑔(𝑥) = −
7
𝑥 + 2
− 4 ; 𝑓(𝑥) = 8𝑥2 + 7𝑥 − 2
Hallar el dominio de la función 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥)
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑓 ∘ 𝑔.
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = −
7
8𝑥2 + 7𝑥 − 2 + 2
− 4 = −
7
8𝑥2 + 7𝑥
− 4 = −
7
𝑥 ∙ (8𝑥 + 7)
− 4
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = −
7
𝑥(8𝑥 + 7)
− 4
Para que la función esté bien definida el denominador no debe anularse.
El denominador se anula si
𝑥 ∙ (8𝑥 + 7) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 8𝑥 + 7 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 𝑥 = −
7
8
Luego,
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {0; −
7
8
}
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Material de uso exclusivamente didáctico
12
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sea
𝑓(𝑥) = −
8
𝑥 − 4
− 1
Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales de 𝑓−1(𝑥)
Respuesta
Calculamos la inversa de la función 𝑓:
𝑓(𝑥) = −
8
𝑥 − 4
− 1
𝑦 = −
8
𝑥 − 4
− 1
𝑦 + 1 = −
8
𝑥 − 4
(𝑥 − 4) = −
8
(𝑦 + 1)
𝑥 = 4 −
8
(𝑦 + 1)
𝑥 =
4(𝑦 + 1) − 8
(𝑦 + 1)
𝑥 =
4𝑦 + 4 − 8
(𝑦 + 1)
𝑥 =
4𝑦 − 4
𝑦 + 1
Por lo que resulta, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑓−1(𝑥) =
4𝑥 − 4
𝑥 + 1
El dominio de 𝑓−1 es el conjunto ℝ − {−1}
Verificamos mediante el límite si la recta 𝑥 = −1 es una asíntota vertical.
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Material de uso exclusivamente didáctico
13
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
lim
𝑥→−1
4𝑥 − 4
𝑥 + 1
= ∞
Por lo tanto, en 𝒙 = −𝟏 tenemos una asíntota vertical.
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Material de uso exclusivamente didáctico
1
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
TEMA 4
Ejercicio 1 (2 puntos)
Dadas las funciones
𝑓(𝑥) = −
3
𝑥 + 1
− 4 ; 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 − 5𝑥 − 1
Hallar el dominio de la función 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥)
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑓 ∘ 𝑔.
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = −
3
4𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1
− 4 = −
3
4𝑥2 − 5𝑥
− 4 = −
3
𝑥(4𝑥 − 5)
− 4
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = −
3
𝑥(4𝑥 − 5)
− 4
Para que la función esté bien definida el denominador no debe anularse.
El denominador se anula si
𝑥(4𝑥 − 5) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 4𝑥 − 5 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 𝑥 =
5
4
Luego,
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ − {0;
5
4
}
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sea 𝑓(𝑥) =
5
7−2𝑥
+ 3. Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales de 𝑓−1(𝑥).
Respuesta
Calculamos la inversa de la función 𝑓:
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Material de uso exclusivamente didáctico
2
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
𝑓(𝑥) =
5
7 − 2𝑥
+ 3
𝑦 =
5
7 − 2𝑥
+ 3
𝑦 − 3 =
5
7 − 2𝑥
(7 − 2𝑥) =
5
(𝑦 − 3)
−2𝑥 =
5
(𝑦 − 3)
− 7
−2𝑥 =
5 − 7(𝑦 − 3)
(𝑦 − 3)
−2𝑥 =
5 − 7𝑦 + 21
(𝑦 − 3)
−2𝑥 =
26 − 7𝑦
𝑦 − 3
𝑥 =
26 − 7𝑦
−2(𝑦 − 3)
𝑥 =
−7𝑦 + 26
−2𝑦 + 6
Por lo que resulta, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑓−1(𝑥) =
−7𝑥 + 26
−2𝑥 + 6
El dominio de 𝑓−1 es el conjunto ℝ − {3}
Verificamos mediante el límite si la recta de ecuación 𝑥 = 3 es una asíntota vertical.
lim
𝑥→3
−7𝑥 + 26
−2𝑥 + 6
= ∞
Por lo tanto, en 𝒙 = 𝟑 tenemos una asíntota vertical.
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Material de uso exclusivamente didáctico
3
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el conjunto de negatividad del polinomio 𝑆 de grado 3 que verifica
𝑆(−2) = 𝑆(1) = 𝑆(2) = 0
y que pasa por el punto (0; −4)
Respuesta
Primero debemos buscar la ecuación del polinomio 𝑆(𝑥).
Dado que 𝑆(−2) = 𝑆(1) = 𝑆(2) = 0, tenemos que las raíces del polinomio son −2, 1 y 2.
Entonces,
𝑆(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Reemplazamos las coordenadas del punto (0; −4) para hallar el coeficiente 𝑎:
𝑆(0) = −4
𝑎 ∙ (0 + 2)(0 − 1)(0 − 2) = −4
𝑎 ∙ (2)(−1)(−2) = −4
𝑎 ∙ 4 = −4 ⇔ 𝑎 = −1
Luego,
𝑆(𝑥) = −1 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Para hallar el conjunto de negatividad del polinomio (aplicamosel teorema de Bolzano) debemos analizar el
signo del polinomio en los intervalos determinados por los ceros. Es decir, debemos analizar el signo en los
intervalos
(−∞; −2) ; (−2; 1); (1; 2); (2; +∞)
𝑥 (−∞; −2) −2 (−2; 1) 1 (1; 2) 2 (2; +∞)
𝑆(𝑥) 𝑆(−3) > 0 0 𝑆(0) < 0 0 𝑆(1,5) > 0 0 𝑆(3) < 0
Luego 𝑪− = (−𝟐; 𝟏) ∪ (𝟐; +∞)
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Material de uso exclusivamente didáctico
4
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sea 𝑃 el punto medio del segmento determinado por los puntos (−1; 4) y (5; 4).
Hallar todos los puntos 𝑄 = (𝑎, 𝑎 + 4) de manera tal que la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 sea igual a √10,
es decir, 𝑑(𝑃; 𝑄) = √10
Respuesta
En primer lugar debemos buscar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos
(−1; 4) y (5; 4).
𝑃 = (
−1 + 5
2
;
4 + 4
2
) = (2; 4)
𝑑(𝑃; 𝑄) = √10
Recordamos la definición de distancia entre los puntos 𝑃 = (𝑥1; 𝑦1) y 𝑄 = (𝑥2; 𝑦2)
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √𝑑(𝑃; 𝑄)
√(𝑎 − 2)2 + (𝑎 + 4 − 4)2 = √10
√𝑎2 − 4𝑎 + 4 + 𝑎2 = √10
√2𝑎2 − 4𝑎 + 4 = √10
2𝑎2 − 4𝑎 + 4 = 10
2𝑎2 − 4𝑎 − 6 = 0
𝑎2 − 2𝑎 − 3 = 0
⇔ 𝑎1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± 4
2
⇒ 𝑎1 = 3 𝑎2 = −1
Por lo tanto, los puntos buscados son
𝑸𝟏 = (𝟑; 𝟕) 𝑸𝟐 = (−𝟏; 𝟑)
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Material de uso exclusivamente didáctico
5
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
TEMA 5
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar el conjunto de negatividad del polinomio 𝑃 de grado 3 que verifica
𝑃(−3) = 𝑃(−1) = 𝑃(1) = 0
y que pasa por el punto (0; 6)
Respuesta
Primero debemos buscar la ecuación del polinomio 𝑃(𝑥).
Dado que 𝑃(−3) = 𝑃(−1) = 𝑃(1) = 0, tenemos que las raíces del polinomio son −3, −1 y 1.
Entonces,
𝑃(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Reemplazamos las coordenadas del punto (0; 6) para hallar el coeficiente 𝑎:
𝑃(0) = 6
𝑎 ∙ (0 + 3)(0 + 1)(0 − 1) = 6
𝑎 ∙ (3)(1)(−1) = 6
𝑎 ∙ (−3) = 6 ⇔ 𝑎 = −2
Luego,
𝑃(𝑥) = −2 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Para hallar el conjunto de negatividad del polinomio (aplicamos el teorema de Bolzano) debemos analizar el
signo del polinomio en los intervalos determinados por los ceros. Es decir, debemos analizar el signo en los
intervalos
(−∞; −3) ; (−3; −1); (−1; 1); (1; +∞)
𝑥 (−∞; −3) −3 (−3; −1) −1 (−1; 1) 2 (1; +∞)
𝑃(𝑥) 𝑃(−4) > 0 0 𝑃(−2) < 0 0 𝑃(0) > 0 0 𝑃(2) < 0
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_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
6
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Luego 𝑪− = (−𝟑; −𝟏) ∪ (𝟏; +∞)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Hallar todos los puntos de la forma 𝑄 = (𝐾 + 3, 𝐾) de manera tal que la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 sea
igual a √10 (es decir, 𝑑(𝑃; 𝑄) = √10) siendo 𝑃 el punto medio del segmento determinado por los puntos
(−2; 0) y (4; 0).
Respuesta
En primer lugar debemos buscar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos
(−2; 0) y (4; 0).
𝑃 = (
−2 + 4
2
;
0 + 0
2
) = (1; 0)
Recordamos la definición de distancia entre los puntos 𝑃 = (𝑥1; 𝑦1) y 𝑄 = (𝑥2; 𝑦2)
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √𝑑(𝑃; 𝑄)
𝑃 = (1; 0)
𝑄 = (𝐾 + 3, 𝐾)
𝑑(𝑃; 𝑄) = √10
√(𝐾 + 3 − 1)2 + (𝐾 − 0)2 = √10
√(𝐾 + 2)2 + (𝐾)2 = √10
√𝐾2 + 4𝐾 + 4 + 𝐾2 = √10
√2𝐾2 + 4𝐾 + 4 = √10
2𝐾2 + 4𝐾 + 4 = 10
2𝐾2 + 4𝐾 − 6 = 0
𝐾2 + 2𝐾 − 3 = 0
𝐾1,2 =
−(2) ± √(2)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
−2 ± √4 + 12
2
=
−2 ± 4
2
⇒ 𝐾1 = 1 𝐾2 = −3
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Material de uso exclusivamente didáctico
7
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Por lo tanto, los puntos buscados son
𝑸𝟏 = (𝟒; 𝟏) 𝑸𝟐 = (𝟎; −𝟑)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Dadas las funciones
ℎ(𝑥) = −
2
𝑥 + 4
− 4 ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 4
Hallar el dominio de la función ℎ ∘ 𝑓(𝑥)
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑓 ∘ 𝑔.
(ℎ ∘ 𝑓)(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥)) = −
2
3𝑥2 + 2𝑥 − 4 + 4
− 4 = −
2
3𝑥2 + 2𝑥
− 4 = −
2
𝑥 ∙ (3𝑥 + 2)
− 4
(ℎ ∘ 𝑓)(𝑥) = −
2
𝑥 ∙ (3𝑥 + 2)
− 4
Para que la función esté bien definida el denominador no debe anularse.
El denominador se anula si
𝑥 ∙ (3𝑥 + 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 3𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 𝑥 = −
2
3
Luego,
𝐷𝑜𝑚(ℎ ∘ 𝑓) = ℝ − {0; −
2
3
}
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sea
𝑓(𝑥) = 2 − 7/(𝑥 − 3)
Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales de 𝑓−1(𝑥).
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Material de uso exclusivamente didáctico
8
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Respuesta
Calculamos la inversa de la función 𝑓:
𝑓(𝑥) = 2 −
7
𝑥 − 3
𝑦 = 2 −
7
𝑥 − 3
𝑦 − 2 = −
7
𝑥 − 3
(𝑥 − 3) = −
7
(𝑦 − 2)
𝑥 = 3 −
7
(𝑦 − 2)
𝑥 =
3(𝑦 − 2) − 7
(𝑦 − 2)
𝑥 =
3𝑦 − 6 − 7
(𝑦 − 2)
𝑥 =
3𝑦 − 13
𝑦 − 2
Por lo que resulta, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑓−1(𝑥) =
3𝑥 − 13
𝑥 − 2
El dominio de 𝑓−1 es el conjunto ℝ − {2}
Verificamos mediante el límite si la recta 𝑥 = 2 es una asíntota vertical.
lim
𝑥→2
3𝑥 − 13
𝑥 − 2
= ∞
Por lo tanto, en 𝑥 = 2 tenemos una asíntota vertical.__________________________________________________________________________
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Material de uso exclusivamente didáctico
9
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
TEMA 6
Ejercicio 1 (2 puntos)
Dadas las funciones
𝑔(𝑥) = −
7
𝑥 + 2
− 4 ; 𝑓(𝑥) = 8𝑥2 + 7𝑥 − 2
Hallar el dominio de la función 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥)
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑓 ∘ 𝑔.
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = −
7
8𝑥2 + 7𝑥 − 2 + 2
− 4 = −
7
8𝑥2 + 7𝑥
− 4 = −
7
𝑥 ∙ (8𝑥 + 7)
− 4
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = −
7
𝑥(8𝑥 + 7)
− 4
Para que la función esté bien definida el denominador no debe anularse.
El denominador se anula si
𝑥 ∙ (8𝑥 + 7) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 8𝑥 + 7 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ó 𝑥 = −
7
8
Luego,
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {0; −
7
8
}
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
10
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Sea 𝑓(𝑥) = −
8
𝑥−4
− 1
Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales de 𝑓−1(𝑥)
Respuesta
Calculamos la inversa de la función 𝑓:
𝑓(𝑥) = −
8
𝑥 − 4
− 1
𝑦 = −
8
𝑥 − 4
− 1
𝑦 + 1 = −
8
𝑥 − 4
(𝑥 − 4) = −
8
(𝑦 + 1)
𝑥 = 4 −
8
(𝑦 + 1)
𝑥 =
4(𝑦 + 1) − 8
(𝑦 + 1)
𝑥 =
4𝑦 + 4 − 8
(𝑦 + 1)
𝑥 =
4𝑦 − 4
𝑦 + 1
Por lo que resulta, haciendo un cambio en el nombre de la variable
𝑓−1(𝑥) =
4𝑥 − 4
𝑥 + 1
El dominio de 𝑓−1 es el conjunto ℝ − {−1}
Verificamos mediante el límite si la recta 𝑥 = −1 es una asíntota vertical.
lim
𝑥→−1
4𝑥 − 4
𝑥 + 1
= ∞
Por lo tanto, en 𝒙 = −𝟏 tenemos una asíntota vertical.
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Material de uso exclusivamente didáctico
11
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Hallar el conjunto de negatividad del polinomio 𝑄 de grado 3 que verifica
𝑄(−1) = 𝑄(1) = 𝑄(2) = 0
y que pasa por el punto (0; −2)
Respuesta
Primero debemos buscar la ecuación del polinomio 𝑄(𝑥).
Dado que 𝑄(−1) = 𝑄(1) = 𝑄(2) = 0, tenemos que las raíces del polinomio son −1, 1 y2.
Entonces,
𝑄(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Reemplazamos las coordenadas del punto (0; −2) para hallar el coeficiente 𝑎:
𝑄(0) = −2
𝑎 ∙ (0 + 1)(0 − 1)(0 − 2) = −2
𝑎 ∙ (1)(−1)(−2) = −2
𝑎 ∙ (2) = −2 ⇔ 𝑎 = −1
Luego,
𝑄(𝑥) = −1 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Para hallar el conjunto de negatividad del polinomio (aplicamos el teorema de Bolzano) debemos analizar el
signo del polinomio en los intervalos determinados por los ceros. Es decir, debemos analizar el signo en los
intervalos
(−∞; −1) ; (−1; 1); (1; 2); (2; +∞)
𝑥 (−∞; −1) −1 (−1; 1) 1 (1; 2) 2 (2; +∞)
𝑄(𝑥) 𝑄(−2) > 0 0 𝑄(0) < 0 0 𝑄(1,5) > 0 0 𝑄(3) < 0
Luego 𝑪− = (−𝟏; 𝟏) ∪ (𝟐; +∞)
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Material de uso exclusivamente didáctico
12
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
SEGUNDO TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Sea 𝑃 el punto medio del segmento determinado por los puntos (4; 2) y (8; 2)
Hallar todos los puntos 𝑄 = (𝑁, 𝑁 − 2) de manera tal que la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 sea igual a √26,
es decir, 𝑑(𝑃; 𝑄) = √26
Respuesta
En primer lugar debemos buscar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos
(4; 2) y (8; 2)
𝑃 = (
4 + 8
2
;
2 + 2
2
) = (6; 2)
Recordamos la definición de distancia entre los puntos 𝑃 = (𝑥1; 𝑦1) y 𝑄 = (𝑥2; 𝑦2)
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √𝑑(𝑃; 𝑄)
𝑃 = (6; 2)
𝑄 = (𝑁, 𝑁 − 2)
𝑑(𝑃; 𝑄) = √26
√(𝑁 − 6)2 + (𝑁 − 2 − 2)2 = √26
√(𝑁 − 6)2 + (𝑁 − 4)2 = √26
√𝑁2 − 12𝑁 + 36 + 𝑁2 − 8𝑁 + 16 = √26
√2𝑁2 − 20𝑁 + 52 = √26
2𝑁2 − 20𝑁 + 52 = 26
2𝑁2 − 20𝑁 − 26 = 0
𝑁2 − 10𝑁 − 13 = 0
𝑁1,2 =
−(−10) ± √(−10)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−13)
2 ∙ 1
=
10 ± √100 − 52
2
=
10 ± √48
2
= 5 ±
√48
2
= 5 ±
√48
√4
= 5 ± √12
⇒ 𝑁1 = 5 + √12 𝑁2 = 5 − √12
Por lo tanto, los puntos buscados son
𝑸𝟏 = (𝟓 + √𝟏𝟐; 𝟑 + √𝟏𝟐) 𝑸𝟐 = (𝟓 − √𝟏𝟐; 𝟑 − √𝟏𝟐)
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
1
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
TERCER TURNO (09/10/2017)
TEMA 1
Ejercicio 1 (2 puntos)
Dadas las funciones
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 ; 𝑔(𝑥) = 2(𝑥 − 5)2 + 1
determinar todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(36)
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑔 ∘ 𝑓.
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 2 ∙ (𝑓(𝑥) − 5)2 + 1 = 2 ∙ ((𝑥 − 3) − 5)2 + 1 = 2 ∙ (𝑥 − 8)2 + 1
Por otro lado
𝑓(36) = 36 − 3 = 33
Ahora debemos buscar para qué valores reales de 𝑥 se verifica que
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(36)
Entonces
2 ∙ (𝑥 − 8)2 + 1 = 33
2 ∙ (𝑥 − 8)2 = 32
(𝑥 − 8)2 = 16
|𝑥 − 8| = √16
|𝑥 − 8| = 4 ⟺ 𝑥 − 8 = 4 ó 𝑥 − 8 = −4
|𝑥 − 8| = 4 ⟺ 𝑥 = 12 ó 𝑥 = 4
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Material de uso exclusivamente didáctico
2
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
TERCERTURNO (09/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Dados los conjuntos
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 + 2 > 0}
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ |4 − 𝑥| ≥ 5}
hallar analíticamente el conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 y representarlo en la recta real.
Respuesta
Sabemos que pertenecerán al conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 todos aquellos números reales que pertenezcan simultáneamente
a los conjuntos A y B.
Si 𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 + 2 > 0 ⇔ 𝑥 > −2 ⟺ 𝑥 ∈ (−2; +∞), luego 𝑨 = (−𝟐; +∞)
Si 𝑥 ∈ 𝐵 ⟹ |4 − 𝑥| ≥ 5 ⇔ 4 − 𝑥 ≥ 5 ó 4 − 𝑥 ≤ −5
Analizamos por separado las dos posibilidades que surgen al plantear |4 − 𝑥| ≥ 5
4 − 𝑥 ≥ 5 ⇔ −𝑥 ≥ 1 ⇔ 𝑥 ≤ −1 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −1]
4 − 𝑥 ≤ −5 ⇔ −𝑥 ≤ −9 ⇔ 𝑥 ≥ 9 ⇔ 𝑥 ∈ [9; +∞)
Luego 𝑥 ∈ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −1] ó 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [9; +∞), que es lo mismo que decir que
𝑩 = (−∞; −𝟏] ∪ [𝟗; +∞)
Entonces
𝑨 ∩ 𝑩 = (−𝟐; +∞) ∩ ((−∞; −𝟏] ∪ [𝟗; +∞)) = (−𝟐; −𝟏] ∪ [𝟗; +∞)
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_______________________________________________________________________________________
Material de uso exclusivamente didáctico
3
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
TERCER TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Determinar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ para que se verifique que la recta de ecuación 𝑦 = 2 sea una asíntota
horizontal de la función
𝑓(𝑥) =
20𝑥2 − 𝑥 + 7
2𝑎𝑥2 + 1
Respuesta
Hallar la asíntota horizontal en 𝑦 = 2 es, por definición, encontrar el valor de “a” tal que
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
20𝑥2 − 𝑥 + 7
2𝑎𝑥2 + 1
= 2
Para calcular este límite podemos sacar factor común “𝑥2” tanto en el numerador como en el numerador para,
luego de simplificar el “𝑥2” y analizar a que tienden cada uno de los términos de la expresión obtenida.
Como
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
20𝑥² − 𝑥 + 7
2𝑎𝑥² + 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥² (20 −
1
𝑥 +
7
𝑥²
)
𝑥² (2𝑎 +
1
𝑥²
)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
20 −
1
𝑥 +
7
𝑥²
2𝑎 +
1
𝑥²
Salvo el primer término, tanto del numerador como del denominador, todos los demás tienden a cero cuando
𝑥 → ∞ , quiere decir que:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
20𝑥² − 𝑥 + 7
2𝑎𝑥² + 1
=
20
2𝑎
=
10
𝑎
y por lo tanto
10
𝑎
= 2 ⟹ 𝑎 = 5
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Material de uso exclusivamente didáctico
4
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
TERCER TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 4 (3 puntos)
Dadas las funciones 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) definidas como
𝑔(𝑥) =
2𝑥
𝑥 − 1
𝑓(𝑥) = 𝐾 ∙ 𝑔−1(𝑥)
hallar el valor de la constante 𝐾 ∈ ℝ sabiendo que 𝑓(1) = 3
Respuesta
En primer lugar debemos obtener la expresión de 𝑔−1(𝑥):
𝑦 =
2𝑥
𝑥 − 1
𝑦 (𝑥 − 1) = 2𝑥
𝑦𝑥 − 𝑦 = 2𝑥
𝑦𝑥 − 2𝑥 = 𝑦
𝑥(𝑦 − 2) = 𝑦
𝑥 =
𝑦
𝑦 − 2
Luego, haciendo un cambio en el nombre de la variables
𝑔−1(𝑥) =
𝑥
𝑥 − 2
Entonces
𝑓(𝑥) = 𝐾 ∙
𝑥
𝑥 − 2
Como
3 = 𝑓(1) ⟺ 3 = 𝐾 ∙
1
1 − 2
⟺ 𝐾 = −3
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Material de uso exclusivamente didáctico
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
TERCER TURNO (09/10/2017)
TEMA 2
Ejercicio 1 (2 puntos)
Determinar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ para que se verifique que la recta de ecuación 𝑦 = 3 sea una
asíntota horizontal de la función
𝑓(𝑥) =
36𝑥2 − 2𝑥 + 1
3𝑎𝑥2 + 6
Respuesta
Hallar la asíntota horizontal en 𝑦 = 3 es, por definición, encontrar el valor de “a” tal que
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
36𝑥2 − 2𝑥 + 1
3𝑎𝑥2 + 6
= 3
Para calcular este límite podemos sacar factor común “𝑥2” tanto en el numerador como en el numerador para,
luego de simplificar el “𝑥2” y analizar a que tienden cada uno de los términos de la expresión obtenida.
Como
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
36𝑥2 − 2𝑥 + 1
3𝑎𝑥2 + 6
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥² (36 −
2
𝑥 +
1
𝑥²
)
𝑥² (3𝑎 +
6
𝑥²
)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
36 −
2
𝑥 +
1
𝑥²
3𝑎 +
6
𝑥²
Salvo el primer término, tanto del numerador como del denominador, todos los demás tienden a cero cuando
𝑥 → ∞
Quiere decir que:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
36𝑥2 − 2𝑥 + 1
3𝑎𝑥2 + 6
=
36
3𝑎
=
12
𝑎
y por lo tanto
12
𝑎
= 3 ⟹ 𝑎 = 4
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Material de uso exclusivamente didáctico
6
CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
TERCER TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 2 (3 puntos)
Dadas las funciones 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) definidas como
𝑓(𝑥) =
5𝑥
𝑥 − 3
𝑔(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑓−1(𝑥)
hallar el valor de la constante 𝐴 ∈ ℝ sabiendo que 𝑔(2) = 10
Respuesta
En primer lugar debemos obtener la expresión de 𝑓−1(𝑥):
𝑦 =
5𝑥
𝑥 − 3
𝑦 (𝑥 − 3) = 5𝑥
𝑦𝑥 − 3𝑦 = 5𝑥
𝑦𝑥 − 5𝑥 = 3𝑦
𝑥(𝑦 − 5) = 3𝑦
𝑥 =
3𝑦
𝑦 − 5
Luego, haciendo un cambio en el nombre de la variables
𝑓−1(𝑥) =
3𝑥
𝑥 − 5
Entonces
𝑔(𝑥) = 𝐴 ∙
3𝑥
𝑥 − 5
Como
10 = 𝑔(2) ⟺ 10 = 𝐴 ∙
3 ∙ 2
2 − 5
⟺ 10 = 𝐴 ∙
6
−3
⟺ 𝐴 = −5
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Material de uso exclusivamente didáctico
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CLAVES DE CORRECCIÓN
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017
TERCER TURNO (09/10/2017)
Ejercicio 3 (2 puntos)
Dadas las funciones
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 ; 𝑔(𝑥) = 3(𝑥 + 1)2 − 2
determinar todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales
𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑓(20)
Respuesta
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑔 ∘ 𝑓.
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 3 ∙ (𝑓(𝑥) + 1)2 − 2 = 3 ∙ (𝑥 + 5 + 1)2 − 2 = 3 ∙ (𝑥 + 6)2 − 2
Por otro lado
𝑓(20) = 20 + 5 = 25
Ahora debemos buscar para qué valores reales de 𝑥 se verifica que
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(20)
Entonces
3 ∙ (𝑥 + 6)2 − 2 = 25
3 ∙ (𝑥 + 6)2 = 27
(𝑥 + 6)2 = 9
|𝑥 + 6| = √9
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