1er 2017-1

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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
MESA COMBINADA 
 
EJERCICIO 1 (3 puntos) 
Hallar la intersección entre los conjuntos y siendo 
 
 
 
 
 
Respuesta 
Primero vamos a desarrollar la desigualdad del conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces 
Ahora vamos a desarrollar la desigualdad del conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces 
 
 
 
Luego 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dadas las funciones 
 
Hallar el conjunto de ceros de la función sin dejar de tener en cuenta el dominio de la función . 
 
 
Respuesta 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
MESA COMBINADA 
La función está bien definida si . 
Hallamos la función : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos a encontrar los ceros de la función cuadrática: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El único cero posible es 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Encontrar los valores de y para que la función f(x) = 
 
 
 tenga asíntotas y 
 
Respuesta 
 
Si la función tiene una asíntota vertical en quiere decir que el denominador de la función se anula en dicho 
valor 
 
Calculamos el límite de la función cuando la variable tiende a infinto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si tiene que tener una asíntota horizontal en y = 5, entonces 
 
 
 
 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
MESA COMBINADA 
 
Ejercicio 4 (2 puntos) 
Dado el punto , hallar todos los puntos tales que la distancia entre los puntos sea 
igual a . 
 
Respuesta 
 
 
 
 
 
Por otro lado , entonces 
 
 
 
 
 
Buscamos las raíces de la cuadrática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los puntos son aquellos que tienen el valor de igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
TEMA 1 
 
EJERCICIO 1 (3 puntos) 
Encontrar el conjunto de positividad de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) siendo 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8 y 𝑔(𝑥) la función lineal que 
pasa por los puntos 𝑃 = (1; −2) y 𝑄 = (4; 1). 
 
Respuesta 
Primero debemos hallar la función lineal 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 que pasa por los puntos 𝑃 = (1; −2) y 𝑄 = (4; 1). 
Planteamos un sistema teniendo en cuenta los puntos por donde pasa 
−2 = 𝑚 ∙ 1 + 𝑏 (𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 
1 = 𝑚 ∙ 4 + 𝑏 (𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑄 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 
De la primera ecuación despejamos 𝑏 
𝑏 = −2 − 𝑚 
Reemplazamos en la segunda 
1 = 𝑚 ∙ 4 + (−2 − 𝑚) ⟺ 1 + 2 = 3 ∙ 𝑚 ⟺ 𝑚 = 1 ⟹ 𝑏 = −3 
La función lineal es 
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 
Ahora debemos hallar la composición 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 3) = −2(𝑥 − 3)2 + 8 
Para hallar el conjunto de positividad necesitamos primero encontrar las raíces de 𝑓 ∘ 𝑔 
−2(𝑥 − 3)2 + 8 = 0 ⟺ 2(𝑥 − 3)2 = 8 ⟺ (𝑥 − 3)2 = 4 ⟺ √(𝑥 − 3)2 = √4 ⟺ |𝑥 − 3| = 2 
⟺ 𝑥 − 3 = 2 ó 𝑥 − 3 = −2 ⟺ 𝑥 = 5 ó 𝑥 = 1 
Evaluamos qué sucede con el signo de la función tomando un valor cualquiera que se encuentre dentro del intervalo 
generado por dos raíces consecutivas. 
Debemos analizar que signo toma la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = −2(𝑥 − 3)2 + 8 en los intervalos 
(−∞, 1) ; (1,5) ; (5; +∞) 
 En el intervalo (−∞, 1) la función toma valores negativos ya que 𝑓(0) < 0 
 En el intervalo (1,5) la función toma valores positivos ya que 𝑓(2) > 0 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
 En el intervalo (5; +∞) la función toma valores positivos ya que 𝑓(6) < 0 
Entonces, el intervalo de positividad es 𝐶+ = (1,5) 
Otra manera: 
Como el gráfico de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = −2(𝑥 − 3)2 + 8 es cóncavo hacia abajo, deducimos que el conjunto 
de positividad es el intervalo (1; 5). 
 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
Dada la función lineal 𝑓(𝑥) = −
1
3
𝑥 + 1 escribir como intervalo o como unión de intervalos al conjunto: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/
𝑓(𝑥)
𝑥
≤ 2} 
 
Respuesta 
 
Debemos resolver la inecuación 
𝑓(𝑥)
𝑥
≤ 2 
−
1
3 𝑥 + 1
𝑥
≤ 2 ⟺ 
−
1
3 𝑥 + 1
𝑥
− 2 ≤ 0 ⟺ 
−
1
3 𝑥 + 1 − 2𝑥
𝑥
≤ 0 ⟺ 
−
7
3 𝑥 + 1
𝑥
≤ 0 
Notar que el denominador nunca puede tomar el valor cero. 
Se dan dos casos posibles: 
Caso I: 
−
7
3
𝑥 + 1 ≤ 0 y además 𝑥 > 0 
−
7
3
𝑥 + 1 ≤ 0 ⟺ −
7
3
𝑥 ≤ −1 ⟺ 
7
3
𝑥 ≥ 1 ⟺ 𝑥 ≥
3
7
 ⟺ 𝑥 ∈ [
3
7
, +∞) 
𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (0, +∞) 
Los valores de la variable que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de ambos 
intervalos, es decir,__________________________________________________________________________ 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
𝑥 ∈ [
3
7
, +∞) ∩ (0, +∞) = [
3
7
, +∞) 
Caso II: 
−
7
3
𝑥 + 1 ≥ 0 y además 𝑥 < 0 
−
7
3
𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ −
7
3
𝑥 ≥ −1 ⟺ 
7
3
𝑥 ≤ 1 ⟺ 𝑥 ≤
3
7
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,
3
7
] 
𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, 0) 
Los valores de la variable que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de ambos 
intervalos, es decir, 
𝑥 ∈ (−∞,
3
7
] ∩ (−∞, 0) = (−∞, 0) 
Finalmente, el conjunto solución del problema se puede expresar como: 
𝐴 = [
3
7
, +∞) ∪ (−∞, 0) 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dados los puntos 𝑃 = (𝑎; 3) y 𝑄 = (2; −1), hallar todos los valores de 𝑎 ∈ ℝ para los cuales la distancia 
entre 𝑃 y 𝑄 sea igual a 5. 
 
Respuesta 
 
𝑑(𝑃, 𝑄) = √(2 − 𝑎)2 + (−1 − 3)2 = √5 
(2 − 𝑎)2 + (−1 − 3)2 = 52 ⟺ (2 − 𝑎)2 + 16 = 25 ⟺ (2 − 𝑎)2 = 9 
√(2 − 𝑎)2 = √9 ⟺ |2 − 𝑎| = 3 ⟺ 2 − 𝑎 = 3 ó 2 − 𝑎 = −3 
Si 2 − 𝑎 = 3 entonces 𝑎 = −1 
Si 2 − 𝑎 = −3 entonces 𝑎 = 5 
Los valores posibles para 𝒂 son −𝟏 𝒚 𝟓 
 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 𝑎
 
determinar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑥 = 1 sea asíntota vertical de 𝑓. Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas 
verticales de 𝑓. 
 
Respuesta 
Para que 𝑥 = 1 sea asíntota vertical de 𝑓 necesitamos que el denominador de la expresión 
𝑥+2
𝑥2+𝑥−𝑎
 se anule 
cuando reemplazamos 𝑥 por 1, con lo cual 
12 + 1 − 𝑎 = 0 ⟺ 𝑎 = 2 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
El otro valor de 𝑥 candidato a ser asíntota vertical es otra raíz del denominador de la función. El denominador 
es una función cuadrática con lo cual sus ceros los podemos calcular como 
𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥1,2 =
−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2)
2 ∙ 1
=
−1 ± √9
2
=
−1 ± 3
2
 ⇒ 𝑥1 = 1 , 𝑥2 = −2 
Que el denominador se anule es una condición necesaria pero no suficiente; para comprobar si 𝑥 = −2 es una 
asíntota vertical debemos trabajar con el límite. 
lim
𝑥→−2
 
𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 2
= lim
𝑥→−2
𝑥 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
= lim
𝑥→−2
1
𝑥 − 1
= −
1
3
 
lo que muestra que 𝑥 = −2 no es asíntota vertical 
 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
TEMA 2 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1 
escribir como intervalo o como unión de intervalos al conjunto: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ / (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) < 2} 
 
Respuesta 
 
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑔𝑜𝑓 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔 (
1
2
𝑥 + 1) = 3 (
1
2
𝑥 + 1) + 1 =
3
2
𝑥 + 3 + 1 =
3
2
𝑥 + 4 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) =
3
2
𝑥 + 4 
Planteamos la condición establecida en el conjunto 𝐴: 
3
2
𝑥 + 4 < 2 ⟺ 
3
2
𝑥 < −2 ⟺ 𝑥 < (−2) ∙
2
3
 ⟺ 𝑥 < −
4
3
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −
4
3
) 
Entonces 
𝐴 = (−∞, −
4
3
) 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) = −
5
𝑥 − 3
− 𝑎 
encontrar el valor de 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑓(2) = 1. Hallar la expresión de la función 𝑓−1 y su dominio. 
 
Respuesta 
𝑓(2) = −
5
2 − 3
− 𝑎 = 1 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Entonces 
−
5
2 − 3
− 𝑎 = 1 ⟺ −
5
−1
− 𝑎 = 1 ⟺ 5 − 𝑎 = 1 ⟺ 𝑎 = 4 
Luego 
𝑓(𝑥) = −
5
𝑥 − 3
− 4 
Calculemos la función inversa de 𝑓: 
−
5
𝑥 − 3
− 4 = 𝑦 
−
5
𝑥 − 3
= 𝑦 + 4 
−
5
𝑦 + 4
= 𝑥 − 3 
−
5
𝑦 + 4
+ 3 = 𝑥 
Por lo tanto 
𝑓−1(𝑥) = −
5
𝑥 + 4
+ 3 
Para hallar el dominio de 𝑓−1 debemos pedir que su denominador no se anule, es decir, 
𝑥 + 4 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −4 
Entonces, Dom 𝑓−1 = ℝ − {−4} 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar la función cuadrática que satisface: 
 La gráfica pasa por los puntos 𝐴 = (2; 0) y 𝐵 = (0; 6) 
 La abscisa del vértice está en 𝑥𝑣 = −1 
 
Respuesta 
Sea 𝑓 la función cuadrática que estamos buscando. 
La gráfica de la función pasa por el punto 𝐴 = (2; 0) , entonces 
𝑓(2) = 0 lo que nos está diciendo que en 𝑥 = 2 hay una raíz 𝑑𝑒 𝑓 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Si 𝑥𝑣 es la abscisa del vértice, 𝑥1 = 2 es una raíz y 𝑥2 es la otra raíz 
𝑥1 + 𝑥2
2
= 𝑥𝑣 ⇒ 
2 + 𝑥2
2
= −1 ⟺ 2 + 𝑥2 = −2 ⟺ 𝑥2 = −4 
Sabiendo cuales son las dos raíces trabajaremos con la expresión factorizada de la función cuadrática: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 4)(𝑥 − 2) 
Considerando que la función pasa por el punto (0; 6), tendremos en cuenta este dato para hallar el valor de 𝑎 
𝑎(0 + 4)(0 − 2) = 6 
𝑎(−8) = 6 
𝑎 = −
3
4
 
Finalmente se tiene que 
𝑓(𝑥) = −
3
4
(𝑥 + 4)(𝑥 − 2) 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Determinar el dominio de la función 
𝑓(𝑥) =
8𝑥 − 3
2𝑥 + 7
 
Hallar, en caso de existir, las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales. 
 
Respuesta 
Para determinar el dominio de la función debemos pedir que el denominador no se anule, con lo cual 
2𝑥 + 7 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −
7
2
 
Luego 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−
7
2
} 
La recta de ecuación 𝑥 = −
7
2
 es candidata a asíntota vertical. Debemos calcular el límite de la función cuando 𝑥 tiende 
a −
7
2
 y ver que es infinito 
lim
𝑥→−
7
2
 
8𝑥 − 3
2𝑥 + 7
 = ∞ 
ya que el denominador tiende a 0 y el numerador a -31. 
Para encontrar el valor dela asíntota horizontal calculamos 
 
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PRIMER TURNO 
 lim
𝑥→∞
 
8𝑥 − 3
2𝑥 + 7
= lim
𝑥→∞
 
𝑥(8 −
3
𝑥
)
𝑥(2 +
7
𝑥
)
= lim
𝑥→∞
 
(8 −
3
𝑥
)
(2 +
7
𝑥
)
 = 4 
por lo cual la ecuación de la asíntota horizontal es 𝑦 = 4 
 
 
 
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PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
TEMA 3 
 
EJERCICIO 1 (2 puntos) 
Dada la función lineal 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥 +
7
2
 escribir como intervalo o como unión de intervalos al conjunto: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 
𝑓(𝑥)
𝑥
≤ 0} 
 
Respuesta 
Primero vamos a hallar la expresión de 
𝑓(𝑥)
𝑥
 
𝑓(𝑥)
𝑥
=
−
1
2 𝑥 +
7
2
𝑥
 
Debemos ahora resolver la inecuación 
−
1
2 𝑥 +
7
2
𝑥
≤ 0 
Tener en cuenta que el denominador nunca puede tomar el valor cero. 
Se dan dos casos posibles: 
Caso I: 
𝑥 > 0 y además −
1
2
𝑥 +
7
2
≤ 0 
𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 ∈ (0, +∞) 
−
1
2
𝑥 +
7
2
≤ 0 ⇔ −
1
2
𝑥 ≤ −
7
2
 ⇔ 
1
2
𝑥 ≥
7
2
 ⇔ 𝑥 ≥ 7 ⇔ 𝑥 ∈ [7, +∞) 
Los valores de la variable 𝑥 que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de 
ambos intervalos, es decir, 
𝑥 ∈ (0, +∞) ∩ [7, +∞) = [7, +∞) 
Caso II: 
𝑥 < 0 y además −
1
2
𝑥 +
7
2
≥ 0 
𝑥 < 0 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞, 0) 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
−
1
2
𝑥 +
7
2
≥ 0 ⇔ −
1
2
𝑥 ≥ −
7
2
 ⇔ 
1
2
𝑥 ≤
7
2
 ⇔ 𝑥 ≤ 7 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞, 7] 
Los valores de la variable 𝑥 que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de 
ambos intervalos, es decir, 
𝑥 ∈ (−∞, 7] ∩ (−∞, 0) = (−∞, 0) 
Finalmente, el conjunto 𝑨 se puede expresar como: 
𝑨 = (−∞, 𝟎) ∪ [𝟕, +∞) 
 
 
 
EJERCICIO 2 (3 puntos) 
Hallar la función cuadrática 𝒈(𝒙) cuyo gráfico tiene vértice en el punto 𝑉 = (1; −8) y que además verifica 
que 𝑔(3) = −6. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 10, hallar el conjunto de positividad de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 
 
Respuesta 
Nos conviene trabajar con la expresión canónica de 𝑔(𝑥) ya que nos dan de dato las coordenadas del vértice, 
entonces 𝑔(𝑥) = 𝑎 (𝑥 − 1)2 − 8. 
Sabiendo que 𝑔(3) = −6 nos permite calcular el coeficiente principal 𝑎: 
𝑔(3) = 𝑎 (3 − 1)2 − 8 = −6 con lo cual 𝑎 =
1
2
. 
Luego 𝑔(𝑥) = 
1
2
(𝑥 − 1)2 − 8. 
Debemos componer 𝑓 con 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =
1
2
(𝑥 − 1)2 − 8 − 10 =
1
2
(𝑥 − 1)2 − 18. 
Hallamos las raíces de 𝑓 ∘ 𝑔 
1
2
(𝑥 − 1)2 − 18 = 0 ⟺ 
1
2
(𝑥 − 1)2 = 18 ⟺ (𝑥 − 1)2 = 36 
√(𝑥 − 1)2 = √36 ⟺ |𝑥 − 1| = 6 ⟺ 𝑥 − 1 = 6 ó 𝑥 − 1 = −6 
Si 𝑥 − 1 = 6 entonces 𝑥 = 7 
Si 𝑥 − 1 = −6 entonces 𝑥 = −5 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 es una función cuadrática cuya gráfica es cóncava hacia arriba con lo que podemos 
asegurar que su conjunto de positividad es (−∞; −5) ∪ (7; ∞). 
Otra manera de determinar el conjunto de positividad es analizando el signo de la función en los intervalos 
determinados por las raíces. 
 
EJERCICIO 3 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) = 2 −
7
2𝑥 + 3
 
hallar la función inversa 𝑓−1, indicar su dominio. 
Para la función 𝑓(𝑥) determinar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales. 
 
Respuesta 
Calculemos 𝑓−1: 
2 −
7
2𝑥 + 3
= 𝑦 
2 − 𝑦 =
7
2𝑥 + 3
 
2𝑥 + 3 =
7
2 − 𝑦
 
2𝑥 =
7
2 − 𝑦
− 3 
𝑥 =
1
2
(
7
2 − 𝑦
− 3) 
𝑥 =
7
4 − 2𝑦
−
3
2
 
Luego 
𝑓−1(𝑥) =
7
4 − 2𝑥
−
3
2
 
Para calcular el dominio de 𝑓−1(𝑥), pedimos que el denominador de la primer fracción no se anule: 
4 − 2𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 2 
Dom𝑓−1 = ℝ − {2} 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Nos piden calcula r las asíntotas de la función 𝑓 . Para esto nos basamos en el cálculo de límites. 
Asíntota vertical 
El candidato a ser AV es 𝑥 = −
3
2
, ya que en este valor se anula el denominador en la función 𝑓, pero 
debemos justificarlo calculando el límite: 
lim
𝑥→−
3
2
2 −
7
2𝑥 + 3
= lim
𝑥→−
3
2
2(2𝑥 + 3) − 7
2𝑥 + 3
= lim
𝑥→−
3
2
4𝑥 − −1
2𝑥 + 3
= ∞ 
Luego 𝑥 = −
3
2
 es la ecuación de la asíntota vertical. 
Para ver la existencia de asíntota horizontal calculamos el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ 
lim
𝑥→∞
2 −
7
2𝑥 + 3
= 2 
con lo que aseguramos que 𝑦 = 2 es la ecuación de la asíntota horizontal. 
 
 
EJERCICIO 4 (2 puntos) 
Dado el punto 𝑄 = (1; 2), hallar todos los puntos de la forma 𝑃 = (𝑎; 𝑎 + 2) tales que la distancia entre 𝑃 y 
𝑄 es √5. 
 
Respuesta 
La distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 es 
𝑑(𝑄, 𝑃) = √(1 − 𝑎)2 + (2 − (𝑎 + 2))2 
Entonces 
√(1 − 𝑎)2 + (2 − (𝑎 + 2))2 = √5 
(1 − 𝑎)2 + (2 − (𝑎 + 2))
2
= 5 
(1 − 𝑎)2 + (−𝑎)2 = 5 
1 − 2𝑎 + 𝑎2 + 𝑎2 = 5 
1 − 2𝑎 + 2𝑎2 = 5 
−4 − 2𝑎 + 2𝑎2 = 0 
Las raíces dela ecuación cuadrática son: 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
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Material de uso exclusivamentedidáctico 
13 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
𝑎1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−4)
2 ∙ 2
=
2 ± √4 + 32
4
=
2 ± √36
4
=
2 ± 6
4
 
 ⇒ 𝑎1 = 2 𝑎2 = −1 
 
Entonces hay dos posibles puntos 𝑃 que cumplen la condición pedida 
 𝑃 = (2; 4) y 𝑃 = (−1; 1). 
 
 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
14 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
TEMA 4 
 
Ejercicio 1 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 𝑎
 
determinar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑥 = 1 sea asíntota vertical de 𝑓. Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas 
verticales de 𝑓. 
 
Respuesta 
Para que 𝑥 = 1 sea asíntota vertical de 𝑓 necesitamos que el denominador de la expresión 
𝑥+2
𝑥2+𝑥−𝑎
 se anule 
cuando reemplazamos 𝑥 por 1, con lo cual 
12 + 1 − 𝑎 = 0 ⟺ 𝑎 = 2 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
El otro valor de 𝑥 candidato a ser asíntota vertical es otra raíz del denominador de la función. El denominador 
es una función cuadrática con lo cual sus ceros los podemos calcular como 
𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥1,2 =
−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2)
2 ∙ 1
=
−1 ± √9
2
=
−1 ± 3
2
 ⇒ 𝑥1 = 1 , 𝑥2 = −2 
Que el denominador se anule es una condición necesaria pero no suficiente; para comprobar si 𝑥 = −2 es una 
asíntota vertical debemos trabajar con el límite. 
lim
𝑥→−2
 
𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 2
= lim
𝑥→−2
𝑥 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
= lim
𝑥→−2
1
𝑥 − 1
= −
1
3
 
lo que muestra que 𝑥 = −2 no es asíntota vertical 
 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
Dados los puntos 𝑃 = (𝑎; 3) y 𝑄 = (2; −1), hallar todos los valores de 𝑎 ∈ ℝ para los cuales la distancia 
entre 𝑃 y 𝑄 sea igual a 5. 
 
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_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
15 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Respuesta 
 
𝑑(𝑃, 𝑄) = √(2 − 𝑎)2 + (−1 − 3)2 = √5 
(2 − 𝑎)2 + (−1 − 3)2 = 52 ⟺ (2 − 𝑎)2 + 16 = 25 ⟺ (2 − 𝑎)2 = 9 
√(2 − 𝑎)2 = √9 ⟺ |2 − 𝑎| = 3 ⟺ 2 − 𝑎 = 3 ó 2 − 𝑎 = −3 
Si 2 − 𝑎 = 3 entonces 𝑎 = −1 
Si 2 − 𝑎 = −3 entonces 𝑎 = 5 
Los valores posibles para 𝒂 son −𝟏 𝒚 𝟓 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función lineal 𝑓(𝑥) = −
1
3
𝑥 + 1 escribir como intervalo o como unión de intervalos al conjunto: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/
𝑓(𝑥)
𝑥
≤ 2} 
 
Respuesta 
 
Debemos resolver la inecuación 
𝑓(𝑥)
𝑥
≤ 2 
−
1
3 𝑥 + 1
𝑥
≤ 2 ⟺ 
−
1
3 𝑥 + 1
𝑥
− 2 ≤ 0 ⟺ 
−
1
3 𝑥 + 1 − 2𝑥
𝑥
≤ 0 ⟺ 
−
7
3 𝑥 + 1
𝑥
≤ 0 
Notar que el denominador nunca puede tomar el valor cero. 
Se dan dos casos posibles: 
Caso I: 
−
7
3
𝑥 + 1 ≤ 0 y además 𝑥 > 0 
−
7
3
𝑥 + 1 ≤ 0 ⟺ −
7
3
𝑥 ≤ −1 ⟺ 
7
3
𝑥 ≥ 1 ⟺ 𝑥 ≥
3
7
 ⟺ 𝑥 ∈ [
3
7
, +∞) 
𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (0, +∞) 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
16 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Los valores de la variable que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de ambos 
intervalos, es decir, 
𝑥 ∈ [
3
7
, +∞) ∩ (0, +∞) = [
3
7
, +∞) 
Caso II: 
−
7
3
𝑥 + 1 ≥ 0 y además 𝑥 < 0 
−
7
3
𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ −
7
3
𝑥 ≥ −1 ⟺ 
7
3
𝑥 ≤ 1 ⟺ 𝑥 ≤
3
7
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,
3
7
] 
𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, 0) 
Los valores de la variable que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de ambos 
intervalos, es decir, 
𝑥 ∈ (−∞,
3
7
] ∩ (−∞, 0) = (−∞, 0) 
Finalmente, el conjunto solución del problema se puede expresar como: 
𝐴 = [
3
7
, +∞) ∪ (−∞, 0) 
 
 
 
EJERCICIO 4 (3 puntos) 
Encontrar el conjunto de positividad de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) siendo 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8 y 𝑔(𝑥) la función lineal que 
pasa por los puntos 𝑃 = (1; −2) y 𝑄 = (4; 1). 
 
Respuesta 
Primero debemos hallar la función lineal 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 que pasa por los puntos 𝑃 = (1; −2) y 𝑄 = (4; 1). 
Planteamos un sistema teniendo en cuenta los puntos por donde pasa 
−2 = 𝑚 ∙ 1 + 𝑏 (𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 
1 = 𝑚 ∙ 4 + 𝑏 (𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑄 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 
De la primera ecuación despejamos 𝑏 
𝑏 = −2 − 𝑚 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
17 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Reemplazamos en la segunda 
1 = 𝑚 ∙ 4 + (−2 − 𝑚) ⟺ 1 + 2 = 3 ∙ 𝑚 ⟺ 𝑚 = 1 ⟹ 𝑏 = −3 
La función lineal es 
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 
Ahora debemos hallar la composición 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 3) = −2(𝑥 − 3)2 + 8 
Para hallar el conjunto de positividad necesitamos primero encontrar las raíces de 𝑓 ∘ 𝑔 
−2(𝑥 − 3)2 + 8 = 0 ⟺ 2(𝑥 − 3)2 = 8 ⟺ (𝑥 − 3)2 = 4 ⟺ √(𝑥 − 3)2 = √4 ⟺ |𝑥 − 3| = 2 
⟺ 𝑥 − 3 = 2 ó 𝑥 − 3 = −2 ⟺ 𝑥 = 5 ó 𝑥 = 1 
Evaluamos qué sucede con el signo de la función tomando un valor cualquiera que se encuentre dentro del intervalo 
generado por dos raíces consecutivas. 
Debemos analizar que signo toma la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = −2(𝑥 − 3)2 + 8 en los intervalos 
(−∞, 1) ; (1,5) ; (5; +∞) 
 En el intervalo (−∞, 1) la función toma valores negativos ya que 𝑓(0) < 0 
 En el intervalo (1,5) la función toma valores positivos ya que 𝑓(2) > 0 
 En el intervalo (5; +∞) la función toma valores positivos ya que 𝑓(6) < 0 
Entonces, el intervalo de positividad es 𝐶+ = (1,5) 
Otra manera: 
Como el gráfico de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = −2(𝑥 − 3)2 + 8 es cóncavo hacia abajo, deducimos que el conjunto 
de positividad es el intervalo (1; 5). 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
18 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
TEMA 5 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar la función cuadrática que satisface: 
 La gráfica pasa por los puntos 𝐴 = (2; 0) y 𝐵 = (0; 6) 
 La abscisa del vértice está en 𝑥𝑣 = −1 
 
Respuesta 
Sea 𝑓 la función cuadrática que estamos buscando. 
La gráfica de la función pasa por el punto 𝐴 = (2; 0) , entonces 
𝑓(2) = 0 lo que nos está diciendo que en 𝑥 = 2 hay una raíz 𝑑𝑒 𝑓 
Si 𝑥𝑣 es la abscisa del vértice, 𝑥1 = 2 es una raíz y 𝑥2 es la otra raíz 
𝑥1 + 𝑥2
2
= 𝑥𝑣 ⇒ 
2 + 𝑥2
2
= −1 ⟺ 2 + 𝑥2 = −2 ⟺ 𝑥2 = −4 
Sabiendo cuales son las dos raíces trabajaremos con la expresión factorizada de la función cuadrática: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 4)(𝑥 − 2) 
Considerando que la función pasa por el punto (0; 6), tendremos en cuenta este dato para hallar el valor de 𝑎 
𝑎(0 + 4)(0 − 2) = 6 
𝑎(−8) = 6 
𝑎 = −
3
4
 
Finalmente se tiene que 
𝑓(𝑥) = −
3
4
(𝑥 + 4)(𝑥 − 2) 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Determinar el dominio de la función 
𝑓(𝑥) =
8𝑥 − 3
2𝑥 + 7
 
Hallar, en caso de existir, las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales. 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
19 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Respuesta 
Para determinar el dominio de la función debemos pedir que el denominador no se anule, con lo cual 
2𝑥 + 7 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −
7
2
 
Luego 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−
7
2
} 
La recta de ecuación 𝑥 = −
7
2
 es candidata a asíntota vertical. Debemos calcular el límite de la función cuando 𝑥 tiende 
a −
7
2
 y ver que es infinito 
lim
𝑥→−
7
2
 
8𝑥 − 3
2𝑥 + 7
 = ∞ 
ya que el denominador tiende a 0 y el numerador a -31. 
Para encontrar el valor de la asíntota horizontal calculamos 
 lim
𝑥→∞
 
8𝑥 − 3
2𝑥 + 7
= lim
𝑥→∞
 
𝑥(8 −
3
𝑥)
𝑥(2 +
7
𝑥)
= lim
𝑥→∞
 
(8 −
3
𝑥)
(2 +
7
𝑥)
 = 4 
por lo cual la ecuación de la asíntota horizontal es 𝑦 = 4 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1 
escribir como intervalo o como unión de intervalos al conjunto: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ / (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) < 2} 
 
Respuesta 
 
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑔𝑜𝑓 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔 (
1
2
𝑥 + 1) = 3 (
1
2
𝑥 + 1) + 1 =
3
2
𝑥 + 3 + 1 =
3
2
𝑥 + 4 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) =
3
2
𝑥 + 4 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
20 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Planteamos la condición establecida en el conjunto 𝐴: 
3
2
𝑥 + 4 < 2 ⟺ 
3
2
𝑥 < −2 ⟺ 𝑥 < (−2) ∙
2
3
 ⟺ 𝑥 < −
4
3
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −
4
3
) 
Entonces 
𝐴 = (−∞, −
4
3
) 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) = −
5
𝑥 − 3
− 𝑎 
encontrar el valor de 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑓(2) = 1. Hallar la expresión de la función 𝑓−1 y su dominio. 
 
Respuesta 
𝑓(2) = −
5
2 − 3
− 𝑎 = 1 
Entonces 
−
5
2 − 3
− 𝑎 = 1 ⟺ −
5
−1
− 𝑎 = 1 ⟺ 5 − 𝑎 = 1 ⟺ 𝑎 = 4 
Luego 
𝑓(𝑥) = −
5
𝑥 − 3
− 4 
Calculemos la función inversa de 𝑓: 
−
5
𝑥 − 3
− 4 = 𝑦 
−
5
𝑥 − 3
= 𝑦 + 4 
−
5
𝑦 + 4
= 𝑥 − 3 
−
5
𝑦 + 4
+ 3 = 𝑥 
Por lo tanto 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
21 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
𝑓−1(𝑥) = −
5
𝑥 + 4
+ 3 
Para hallar el dominio de 𝑓−1 debemos pedir que su denominador no se anule, es decir, 
𝑥 + 4 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −4 
Entonces, Dom 𝑓−1 = ℝ − {−4} 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
22 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
TEMA 6 
 
 
EJERCICIO 1 (2 puntos) 
Dado el punto 𝑄 = (1; 2), hallar todos los puntos de la forma 𝑃 = (𝑎; 𝑎 + 2) tales que la distancia entre 𝑃 y 
𝑄 es √5. 
 
Respuesta 
La distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 es 
𝑑(𝑄, 𝑃) = √(1 − 𝑎)2 + (2 − (𝑎 + 2))2 
Entonces 
√(1 − 𝑎)2 + (2 − (𝑎 + 2))2 = √5 
(1 − 𝑎)2 + (2 − (𝑎 + 2))
2
= 5 
(1 − 𝑎)2 + (−𝑎)2 = 5 
1 − 2𝑎 + 𝑎2 + 𝑎2 = 5 
1 − 2𝑎 + 2𝑎2 = 5 
−4 − 2𝑎 + 2𝑎2 = 0 
Las raíces dela ecuación cuadrática son: 
𝑎1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−4)
2 ∙ 2
=
2 ± √4 + 32
4
=
2 ± √36
4
=
2 ± 6
4
 
 ⇒ 𝑎1 = 2 𝑎2 = −1 
 
Entonces hay dos posibles puntos 𝑃 que cumplen la condición pedida 
 𝑃 = (2; 4) y 𝑃 = (−1; 1). 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
23 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
 
EJERCICIO 2 (3 puntos) 
Hallar la función cuadrática 𝒈(𝒙) cuyo gráfico tiene vértice en el punto 𝑉 = (1; −8) y que además verifica 
que 𝑔(3) = −6. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 10, hallar el conjunto de positividad de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 
 
Respuesta 
Nos conviene trabajar con la expresión canónica de 𝑔(𝑥) ya que nos dan de dato las coordenadas del vértice, 
entonces 𝑔(𝑥) = 𝑎 (𝑥 − 1)2 − 8. 
Sabiendo que 𝑔(3) = −6 nos permite calcular el coeficiente principal 𝑎: 
𝑔(3) = 𝑎 (3 − 1)2 − 8 = −6 con lo cual 𝑎 =
1
2
. 
Luego 𝑔(𝑥) = 
1
2
(𝑥 − 1)2 − 8. 
Debemos componer 𝑓 con 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =
1
2
(𝑥 − 1)2 − 8 − 10 =
1
2
(𝑥 − 1)2 − 18. 
Hallamos las raícesde 𝑓 ∘ 𝑔 
1
2
(𝑥 − 1)2 − 18 = 0 ⟺ 
1
2
(𝑥 − 1)2 = 18 ⟺ (𝑥 − 1)2 = 36 
√(𝑥 − 1)2 = √36 ⟺ |𝑥 − 1| = 6 ⟺ 𝑥 − 1 = 6 ó 𝑥 − 1 = −6 
Si 𝑥 − 1 = 6 entonces 𝑥 = 7 
Si 𝑥 − 1 = −6 entonces 𝑥 = −5 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 es una función cuadrática cuya gráfica es cóncava hacia arriba con lo que podemos 
asegurar que su conjunto de positividad es (−∞; −5) ∪ (7; ∞). 
Otra manera de determinar el conjunto de positividad es analizando el signo de la función en los intervalos 
determinados por las raíces. 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
24 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
 
EJERCICIO 3 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) = 2 −
7
2𝑥 + 3
 
hallar la función inversa 𝑓−1, indicar su dominio. 
Para la función 𝑓(𝑥) determinar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales. 
 
Respuesta 
Calculemos 𝑓−1: 
2 −
7
2𝑥 + 3
= 𝑦 
2 − 𝑦 =
7
2𝑥 + 3
 
2𝑥 + 3 =
7
2 − 𝑦
 
2𝑥 =
7
2 − 𝑦
− 3 
𝑥 =
1
2
(
7
2 − 𝑦
− 3) 
𝑥 =
7
4 − 2𝑦
−
3
2
 
Luego 
𝑓−1(𝑥) =
7
4 − 2𝑥
−
3
2
 
Para calcular el dominio de 𝑓−1(𝑥), pedimos que el denominador de la primer fracción no se anule: 
4 − 2𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 2 
Dom𝑓−1 = ℝ − {2} 
Nos piden calcula r las asíntotas de la función 𝑓 . Para esto nos basamos en el cálculo de límites. 
Asíntota vertical 
El candidato a ser AV es 𝑥 = −
3
2
, ya que en este valor se anula el denominador en la función 𝑓, pero 
debemos justificarlo calculando el límite: 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
25 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
lim
𝑥→−
3
2
2 −
7
2𝑥 + 3
= lim
𝑥→−
3
2
2(2𝑥 + 3) − 7
2𝑥 + 3
= lim
𝑥→−
3
2
4𝑥 − −1
2𝑥 + 3
= ∞ 
Luego 𝑥 = −
3
2
 es la ecuación de la asíntota vertical. 
Para ver la existencia de asíntota horizontal calculamos el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ 
lim
𝑥→∞
2 −
7
2𝑥 + 3
= 2 
con lo que aseguramos que 𝑦 = 2 es la ecuación de la asíntota horizontal. 
 
 
EJERCICIO 4 (2 puntos) 
Dada la función lineal 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥 +
7
2
 escribir como intervalo o como unión de intervalos al conjunto: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 
𝑓(𝑥)
𝑥
≤ 0} 
 
Respuesta 
Primero vamos a hallar la expresión de 
𝑓(𝑥)
𝑥
 
𝑓(𝑥)
𝑥
=
−
1
2 𝑥 +
7
2
𝑥
 
Debemos ahora resolver la inecuación 
−
1
2 𝑥 +
7
2
𝑥
≤ 0 
Tener en cuenta que el denominador nunca puede tomar el valor cero. 
Se dan dos casos posibles: 
Caso I: 
𝑥 > 0 y además −
1
2
𝑥 +
7
2
≤ 0 
𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 ∈ (0, +∞) 
−
1
2
𝑥 +
7
2
≤ 0 ⇔ −
1
2
𝑥 ≤ −
7
2
 ⇔ 
1
2
𝑥 ≥
7
2
 ⇔ 𝑥 ≥ 7 ⇔ 𝑥 ∈ [7, +∞) 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
26 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO 
Los valores de la variable 𝑥 que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de 
ambos intervalos, es decir, 
𝑥 ∈ (0, +∞) ∩ [7, +∞) = [7, +∞) 
Caso II: 
𝑥 < 0 y además −
1
2
𝑥 +
7
2
≥ 0 
𝑥 < 0 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞, 0) 
−
1
2
𝑥 +
7
2
≥ 0 ⇔ −
1
2
𝑥 ≥ −
7
2
 ⇔ 
1
2
𝑥 ≤
7
2
 ⇔ 𝑥 ≤ 7 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞, 7] 
Los valores de la variable 𝑥 que cumplen ambas condiciones son los que pertenecen a la intersección de 
ambos intervalos, es decir, 
𝑥 ∈ (−∞, 7] ∩ (−∞, 0) = (−∞, 0) 
Finalmente, el conjunto 𝑨 se puede expresar como: 
𝑨 = (−∞, 𝟎) ∪ [𝟕, +∞) 
 
 
 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
TEMA 1 
 
 
Ejercicio 1 (3 puntos) 
Sea 𝑓(𝑥) la función lineal que pasa por los puntos 𝐴 = (1; −3) y 𝐵 = (2; 5) . 
Sea 
𝑔(𝑥) =
4
𝑥 + 7
− 1 
Hallar el conjunto de ceros de la función (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥). 
 
Respuesta 
 
En primer lugar debemos hallar la fórmula de la función 𝑓. 
Como es una función lineal es de la forma 
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 
La gráfica de la función pasa por los puntos 𝐴 = (1; −3) y 𝐵 = (2; 5) 
 𝑓(1) = −3 ⟹ −3 = 𝑚 ∙ 1 + 𝑏 
 𝑓(2) = 5 ⟹ 5 = 𝑚 ∙ 2 + 𝑏 
Hay que resolver el sistema: 
{
−3 = 𝑚 + 𝑏
 5 = 2𝑚 + 𝑏
 
De la primer ecuación tenemos que 
𝑏 = −3 − 𝑚 
Reemplazando en la segunda ecuación 
5 = 2𝑚 + (−3 − 𝑚) ⟺ 5 = 𝑚 − 3 ⟺ 𝑚 = 8 ⇒ 𝑏 = −11 
Entonces 
𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 11 
Luego debemos encontrar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(8𝑥 − 11) =
4
(8𝑥 − 11) + 7
− 1 =
4
8𝑥 − 4
− 1 
Para encontrar el conjunto de ceros de la función de 𝑔𝑜𝑓 debemos resolver: 
4
8𝑥 − 4
− 1 = 0 
4 − (8𝑥 − 4)
8𝑥 − 4
= 0 ⟺ 
8 − 8𝑥
8𝑥 − 4
= 0 ⟺ 8 − 8𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 
 
Por lo tanto 𝐶0 = {1} 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1 
𝑔(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥 + 11 
 
Respuesta 
 
Supongamos que las gráficas de las funciones se cortan en por lo menos un punto. 
Para hallar analíticamente el valor de la abscisa del punto de intersección debemos igualar ambas funciones y resolver 
la ecuación 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
−𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1 = −𝑥3 + 𝑥 + 11 
−𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1 + 𝑥3 − 𝑥 − 11 = 0 
2𝑥2 − 2𝑥 − 12 = 0 
Nos queda una ecuación cuadrática igualada a cero. Para hallar la solución aplicaremos la fórmula resolvente:𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
2 ∙ 𝑎
 
Reemplazamos los valores de la ecuación: 𝑎 = 2 𝑏 = −2 𝑐 = −12 
𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−12)
2.2
 
𝑥1,2 =
2 ± √4 + 96
4
 
𝑥1,2 =
2 ± √100
4
=
2 ± 10
4
 ⇒ 𝑥1 = 3 𝑥2 = −2 
Para hallar las ordenadas de los puntos donde se cruzan evaluamos cualquiera de las funciones en los valores de 𝑥 
hallados. 
Para 𝑥1 = 3 la ordenada del punto es 𝑦1 = 𝑔(3) = −3
3 + 3 + 11 = −13, entonces el punto es 
𝑃1 = (3; −13) 
Para 𝑥2 = −2 la ordenada del punto es 𝑦2 = 𝑔(−2) = −(−2)
3 + (−2) + 11 = 17, entonces el punto es 
𝑃2 = (−2; 17) 
Los puntos de intersección son: 𝑃1 = (3; −13) y 𝑃2 = (−2; 17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
3 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
En una fábrica la función “beneficio semanal” 𝐵(𝑥) viene dada por 
𝐵(𝑥) = −2(𝑥 − 10)(𝑥 − 40) 
donde 𝐵 es el beneficio en pesos y 𝑥 la cantidad de unidades producidas. 
¿Cuántas unidades deben producirse para que el beneficio sea siempre positivo? 
 
Respuesta 
 
El beneficio será siempre positivo si 
𝐵(𝑥) > 0 ⟺ −2(𝑥 − 10)(𝑥 − 40) > 0 ⟺ (𝑥 − 10)(𝑥 − 40) < 0 
La función beneficio −2(𝑥 − 10)(𝑥 − 40) = 0 ⟺ 𝑥 = 10 ó 𝑥 = 40 
Para hallar en que conjunto de puntos el beneficio es positivo podemos analizar el signo de la función beneficio en los 
intervalos determinados por los ceros de dicha función: 
 En el intervalo (−∞, 10) el beneficio es negativo ya que si evaluamos el beneficio cuando 𝑥 = 1 ∈ (−∞, 10) 
tenemos que 𝐵(1) = −2(1 − 10)(1 − 40) = −2 ∙ (−9) ∙ (−39) = −702 
 En el intervalo (10,40) el beneficio es positivo ya que si evaluamos el beneficio cuando 𝑥 = 20 ∈ (10,40) 
tenemos que 𝐵(20) = −2(20 − 10)(20 − 40) = −2 ∙ (10) ∙ (−20) = 400 
 En el intervalo (40, +∞) el beneficio es negativo ya que si evaluamos el beneficio cuando 𝑥 = 50 ∈
(40, +∞) tenemos que 𝐵(50) = −2(50 − 10)(50 − 40) = −2 ∙ (40) ∙ (10) = −800 
 
Otra manera: ya que la gráfica de la función beneficio es una parábola cóncava hacia abajo, es positiva en el intervalo 
(10,40). 
 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
−5
𝑥 − 4
− 𝑏 
Encontrar el valor de 𝑏 ∈ ℝ para el cual 𝑓(5) = −1. 
Utilizando el valor hallado, calcular dominio e imagen de la función 𝑓−1(𝑥) 
 
Respuesta 
 
Como nos dicen que 𝑓(5) = −1 , entonces reemplazamos en la fórmula de la función para hallar el valor de b. 
−1 =
−5
5 − 4
− 𝑏 
−1 =
−5
1
− 𝑏 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
4 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
−1 + 5 = −𝑏 
4 = −𝑏 
−4 = 𝑏 
Por lo tanto, nos queda: 
𝑓(𝑥) =
−5
𝑥 − 4
+ 4 
Ahora nos piden hallar 𝑓−1(𝑥): 
𝑦 =
−5
𝑥 − 4
+ 4 
𝑦 − 4 =
−5
𝑥 − 4
 
(𝑥 − 4) ∙ (𝑦 − 4) = −5 
𝑥 − 4 =
−5
𝑦 − 4
 
𝑥 =
−5
𝑦 − 4
+ 4 
Por lo tanto: 
𝑓−1(𝑥) =
−5
𝑥 − 4
+ 4 
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1 == ℜ − {4} 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛(𝑓−1) = ℜ − {4} 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
5 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
TEMA 2 
 
Ejercicio 1 (3 puntos) 
Sea 𝑔 una función lineal que cumple 
𝑔(2) − 𝑔(1) = 3 
𝑔(0) = −6 
Hallar, si existen, el o los puntos de intersección entre los gráficos de la función 𝑔 y la función 
𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 1)(2 − 𝑥) 
 
Respuesta 
 
Como la función )(xg es lineal entonces debe cumplir que baxxg )( , teniendo en cuenta los datos dados: 
𝑔(2) − 𝑔(1) = 𝑎2 + 𝑏 − (𝑎1 + 𝑏) = 2𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 
Por otro lado 𝑔(2) − 𝑔(1) = 3, entonces 𝑎 = 3 
Como 𝑔(0) = −6 tenemos que la ordenada al origen es 𝑏 = −6 
Nos queda entonces que 
𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 6 
Ahora queremos hallar, si existen, los puntos de corte entre los gráficos de 𝑔 y 𝑓. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
3 ∙ (𝑥 + 1)(2 − 𝑥) = 3𝑥 − 6 
3 ∙ (2𝑥 − 𝑥2 + 2 − 𝑥) = 3𝑥 − 6 
3 ∙ (𝑥 − 𝑥2 + 2) = 3𝑥 − 6 
−3𝑥2 + 3𝑥 + 6 = 3𝑥 − 6 
−3𝑥2 + 6 = −6 
−3𝑥2 = −12 ⟺ 𝑥2 = 4 ⟺ 𝑥 = 2 ó 𝑥 = −2 
Para hallar las ordenadas de los puntos donde se cruzan evaluamos cualquiera de las funciones en los valores de 𝑥 
hallados. 
Para 𝑥 = 2 la ordenada del punto es 𝑔(2) = 3 ∙ 2 − 6 = 0, entonces el punto es 𝑃1 = (2; 0) 
Para 𝑥 = −2 la ordenada del punto es 𝑔(−2) = 3 ∙ (−2) − 6 = −12, entonces el punto es 𝑃2 = (−2; −12) 
Los puntos de intersección son: 𝑃1 = (2; 0) y 𝑃2 = (−2; −12) 
 
 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
La aceleración con la cual se propaga una enfermedad en el tiempo está dada por la fórmula 
𝐴(𝑡) = 20 − 5(𝑡 − 2)2 
donde t representa el tiempo que debe considerarse siempre mayor o igual que cero. 
¿Para qué valores de 𝑡 la aceleración será positiva? 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
6 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
Respuesta 
 
La aceleración será positiva si 
𝐴(𝑡) > 0 ⟺ 20 − 5(𝑡 − 2)2 > 0 ⟺ 20 > 5(𝑡 − 2)2 ⟺ 4 > (𝑡 − 2)2 
𝐴(𝑡) > 0 ⟺ √4 > √(𝑡 − 2)2 ⟺ 2 > |𝑡 − 2| 
Luego 
|𝑡 − 2| < 2 ⟺ −2 < 𝑡 − 2 < 2 ⟺ 0 < 𝑡 < 4 
La aceleración será positiva para valores de 𝑡 ∈ (0,4) 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ sabiendo que 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 5𝑏𝑥 
𝑄(𝑥) = (𝑏 − 2𝑎)𝑥 − 4 
cumplen las siguientes relaciones 
2𝑃(1) + 𝑄(4) = 0 
𝑃(0) − 𝑄(1) = 0 
 
Respuesta 
 
Vamos a evaluar los polinomios en cada uno de los puntos involucrados: 
𝑃(1) = 𝑎 ∙ 13 − 5𝑏 ∙ 1 = 𝑎 − 5𝑏 
𝑃(0) = 𝑎 ∙ 03 − 5𝑏 ∙ 0 = 0 
𝑄(1) = (𝑏 − 2𝑎) ∙ 1 − 4 = 𝑏 − 2𝑎 − 4 
𝑄(4) = (𝑏 − 2𝑎) ∙ 4 − 4 = 4𝑏 − 8𝑎 − 4 
𝑃(0) − 𝑄(1) = 0 ⟹ 0 − (𝑏 − 2𝑎 − 4) = 0 ⟺ 𝑏 = 2𝑎 + 4 
2𝑃(1) + 𝑄(4) = 0 ⟹ 2(𝑎 − 5𝑏) + 4𝑏 − 8𝑎 − 4 = 0 
2𝑎 − 10𝑏 + 4𝑏 − 8𝑎 − 4 = 0 ⟺ −6𝑎 − 6𝑏 −4 = 0 
 
Reemplazando el valor de 𝑏 
−6𝑎 − 6(2𝑎 + 4) − 4 = 0 
−6𝑎 − 12𝑎 − 24 − 4 = 0 
−18𝑎 − 28 = 0 
𝑎 = −
14
9
 𝑦 𝑏 = 2 (−
14
9
) + 4 = −
28
9
+ 4 =
8
9
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
7 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
2
3 − 𝑥
+ 𝑎 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 1 
se sabe que (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 2. Hallar la expresión de (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y, si existe, la ecuación de la asíntota vertical 
de (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 
 
Respuesta 
 
Primero debemos hallar el valor de 𝒂 sabiendo que (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 2. 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(−𝑥 + 1) =
2
3 − (−𝑥 + 1)
+ 𝑎 =
2
2 + 𝑥
+ 𝑎 
(𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 2 ⟹ 
2
2 + 0
+ 𝑎 = 2 ⟺ 𝑎 = 1 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =
2
2 + 𝑥
+ 1 
Para que la función 𝑓 ∘ 𝑔 esté bien definida 
2 + 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −2 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ − {−2} 
Para afirmar que 𝑥 = −2 es una asíntota vertical el límite de la función cuando x tiende a -2 debe ser infinito 
lim
𝑥⟶−2
2
2 + 𝑥
+ 1 = lim
𝑥⟶−2
2 + (2 + 𝑥)
2 + 𝑥
= lim
𝑥⟶−2
4 + 𝑥
2 + 𝑥
= ∞ 
Entonces 𝑥 = −2 es la asíntota vertical. 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
8 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
TEMA 3 
 
Ejercicio 1 (3 puntos) 
Hallar la intersección entre los conjuntos 𝐴 y 𝐵 siendo 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 |𝑥 +
1
2
| > 1} 
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 |𝑥| < 2} 
 
Respuesta 
 
Si 𝑥 ∈ 𝐴 
|𝑥 +
1
2
| > 1 ⟺ 𝑥 +
1
2
> 1 ó 𝑥 +
1
2
< −1 
𝑥 +
1
2
> 1 ⟺ 𝑥 > 1 −
1
2
 ⟺ 𝑥 >
1
2
 ⟺ 𝑥 ∈ (
1
2
, +∞) 
𝑥 +
1
2
< −1 ⟺ 𝑥 < −1 −
1
2
 ⟺ 𝑥 < −
3
2
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −
3
2
) 
Luego 
𝐴 = (
1
2
, +∞) ∪ (−∞, −
3
2
) 
Si 𝑥 ∈ 𝐵 
|𝑥| < 2 ⟺ −2 < 𝑥 < 2 ⟺ 𝑥 ∈ (−2,2) 
 
Luego 𝐵 = (−2,2) 
Entonces 
𝐴 ∩ 𝐵 = [(
1
2
, +∞) ∪ (−∞, −
3
2
)] ∩ (−2,2) = (−2, −
3
2
) ∪ (
1
2
, 2) 
 
 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
El costo (expresado en pesos) para producir 𝑥 unidades de un nuevo producto de limpieza esta definido 
como 𝐶(𝑥) = 1200 − 𝑏𝑥. 
Se sabe que el costo de 100 unidades es de $600. ¿Cuántas unidades serán necesarias producir para que el 
costo sea menor o igual a $420? 
 
Respuesta 
 
Se sabe que el costo de 100 unidades es de $600, entonces 
𝐶(100) = 600 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
9 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
1200 − 𝑏 ∙ 100 = 600 ⟺ −100𝑏 = 600 − 1200 ⟺ −100𝑏 = −600 ⟺ 𝑏 = 6 
Se tiene que 𝐶(𝑥) = 1200 − 6𝑥 
El costo será menor o igual a $420 si y sólo si 
1200 − 6𝑥 ≤ 420 ⟺ −6𝑥 ≤ 420 − 1200 ⟺ −6𝑥 ≤ −780 ⟺ 𝑥 ≥ 130 
Se deberán producir por lo menos 130 unidades para que el costo sea menor o igual a $420 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
2
2𝑥 − 3
− 1 
Hallar la función 𝑓−1(𝑥) y su dominio 
 
Respuesta 
 
Hallamos 𝑓−1: 
2
2𝑥 − 3
− 1 = 𝑦 
2
2𝑥 − 3
= 𝑦 + 1 
2
𝑦 + 1
= 2𝑥 − 3 
2
𝑦 + 1
+ 3 = 2𝑥 
1
𝑦 + 1
+
3
2
= 𝑥 
 
Entonces 
𝑓−1(𝑥) =
1
𝑥 + 1
+
3
2
 
La función inversa está bien definida si 𝑥 + 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −1 
Entonces 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = ℝ − {−1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
10 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
2
(3 − 𝑥)2
 
 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 
Hallar la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas horizontales. 
 
 
Respuesta 
 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 es: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(1 − 2𝑥) =
2
(3 − (1 − 2𝑥))2
=
2
(2 + 2𝑥)2
 
Para analizar la existencia de asíntotas horizontales debemos calcular el límite de la función cuando 𝑥 tiende a infinito 
lim
𝑥⟶∞
2
(2 + 2𝑥)2
= 0 
En 𝑦 = 0 hay una asíntota horizontal. 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
11 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
TEMA 4 
 
 
Ejercicio 1 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
−5
𝑥 − 4
− 𝑏 
Encontrar el valor de 𝑏 ∈ ℝ para el cual 𝑓(5) = −1. 
Utilizando el valor hallado, calcular dominio e imagen de la función 𝑓−1(𝑥) 
 
Respuesta 
 
Como nos dicen que 𝑓(5) = −1 , entonces reemplazamos en la fórmula de la función para hallar el valor de b. 
−1 =
−5
5 − 4
− 𝑏 
−1 =
−5
1
− 𝑏 
−1 + 5 = −𝑏 
4 = −𝑏 
−4 = 𝑏 
Por lo tanto, nos queda: 
𝑓(𝑥) =
−5
𝑥 − 4
+ 4 
Ahora nos piden hallar 𝑓−1(𝑥): 
𝑦 =
−5
𝑥 − 4
+ 4 
𝑦 − 4 =
−5
𝑥 − 4
 
(𝑥 − 4) ∙ (𝑦 − 4) = −5 
𝑥 − 4 =
−5
𝑦 − 4
 
𝑥 =
−5
𝑦 − 4
+ 4 
Por lo tanto: 
𝑓−1(𝑥) =
−5
𝑥 − 4
+ 4 
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1 == ℜ − {4} 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛(𝑓−1) = ℜ − {4} 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
12 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIALMATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
En una fábrica la función “beneficio semanal” 𝐵(𝑥) viene dada por 
𝐵(𝑥) = −2(𝑥 − 10)(𝑥 − 40) 
donde 𝐵 es el beneficio en pesos y 𝑥 la cantidad de unidades producidas. 
¿Cuántas unidades deben producirse para que el beneficio sea siempre positivo? 
 
Respuesta 
 
El beneficio será siempre positivo si 
𝐵(𝑥) > 0 ⟺ −2(𝑥 − 10)(𝑥 − 40) > 0 ⟺ (𝑥 − 10)(𝑥 − 40) < 0 
La función beneficio −2(𝑥 − 10)(𝑥 − 40) = 0 ⟺ 𝑥 = 10 ó 𝑥 = 40 
Para hallar en que conjunto de puntos el beneficio es positivo podemos analizar el signo de la función beneficio en los 
intervalos determinados por los ceros de dicha función: 
 En el intervalo (−∞, 10) el beneficio es negativo ya que si evaluamos el beneficio cuando 𝑥 = 1 ∈ (−∞, 10) 
tenemos que 𝐵(1) = −2(1 − 10)(1 − 40) = −2 ∙ (−9) ∙ (−39) = −702 
 En el intervalo (10,40) el beneficio es positivo ya que si evaluamos el beneficio cuando 𝑥 = 20 ∈ (10,40) 
tenemos que 𝐵(20) = −2(20 − 10)(20 − 40) = −2 ∙ (10) ∙ (−20) = 400 
 En el intervalo (40, +∞) el beneficio es negativo ya que si evaluamos el beneficio cuando 𝑥 = 50 ∈
(40, +∞) tenemos que 𝐵(50) = −2(50 − 10)(50 − 40) = −2 ∙ (40) ∙ (10) = −800 
 
Otra manera: ya que la gráfica de la función beneficio es una parábola cóncava hacia abajo, es positiva en el intervalo 
(10,40). 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones 
𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1 
𝑔(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥 + 11 
 
Respuesta 
 
Supongamos que las gráficas de las funciones se cortan en por lo menos un punto. 
Para hallar analíticamente el valor de la abscisa del punto de intersección debemos igualar ambas funciones y resolver 
la ecuación 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
−𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1 = −𝑥3 + 𝑥 + 11 
−𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1 + 𝑥3 − 𝑥 − 11 = 0 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
13 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
2𝑥2 − 2𝑥 − 12 = 0 
Nos queda una ecuación cuadrática igualada a cero. Para hallar la solución aplicaremos la fórmula resolvente: 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
2 ∙ 𝑎
 
Reemplazamos los valores de la ecuación: 𝑎 = 2 𝑏 = −2 𝑐 = −12 
𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−12)
2.2
 
𝑥1,2 =
2 ± √4 + 96
4
 
𝑥1,2 =
2 ± √100
4
=
2 ± 10
4
 ⇒ 𝑥1 = 3 𝑥2 = −2 
Para hallar las ordenadas de los puntos donde se cruzan evaluamos cualquiera de las funciones en los valores de 𝑥 
hallados. 
Para 𝑥1 = 3 la ordenada del punto es 𝑦1 = 𝑔(3) = −3
3 + 3 + 11 = −13, entonces el punto es 
𝑃1 = (3; −13) 
Para 𝑥2 = −2 la ordenada del punto es 𝑦2 = 𝑔(−2) = −(−2)
3 + (−2) + 11 = 17, entonces el punto es 
𝑃2 = (−2; 17) 
Los puntos de intersección son: 𝑃1 = (3; −13) y 𝑃2 = (−2; 17) 
 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Sea 𝑓(𝑥) la función lineal que pasa por los puntos 𝐴 = (1; −3) y 𝐵 = (2; 5) . 
Sea 
𝑔(𝑥) =
4
𝑥 + 7
− 1 
Hallar el conjunto de ceros de la función (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥). 
 
Respuesta 
 
En primer lugar debemos hallar la fórmula de la función 𝑓. 
Como es una función lineal es de la forma 
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 
La gráfica de la función pasa por los puntos 𝐴 = (1; −3) y 𝐵 = (2; 5) 
 𝑓(1) = −3 ⟹ −3 = 𝑚 ∙ 1 + 𝑏 
 𝑓(2) = 5 ⟹ 5 = 𝑚 ∙ 2 + 𝑏 
Hay que resolver el sistema: 
{
−3 = 𝑚 + 𝑏
 5 = 2𝑚 + 𝑏
 
De la primer ecuación tenemos que 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
14 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
𝑏 = −3 − 𝑚 
Reemplazando en la segunda ecuación 
5 = 2𝑚 + (−3 − 𝑚) ⟺ 5 = 𝑚 − 3 ⟺ 𝑚 = 8 ⇒ 𝑏 = −11 
Entonces 
𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 11 
Luego debemos encontrar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(8𝑥 − 11) =
4
(8𝑥 − 11) + 7
− 1 =
4
8𝑥 − 4
− 1 
Para encontrar el conjunto de ceros de la función de 𝑔𝑜𝑓 debemos resolver: 
4
8𝑥 − 4
− 1 = 0 
4 − (8𝑥 − 4)
8𝑥 − 4
= 0 ⟺ 
8 − 8𝑥
8𝑥 − 4
= 0 ⟺ 8 − 8𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 
 
Por lo tanto 𝐶0 = {1} 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
15 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
TEMA 5 
 
 
Ejercicio 1 (3 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
2
3 − 𝑥
+ 𝑎 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 1 
se sabe que (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 2. Hallar la expresión de (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y, si existe, la ecuación de la asíntota vertical 
de (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 
 
Respuesta 
 
Primero debemos hallar el valor de 𝒂 sabiendo que (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 2. 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(−𝑥 + 1) =
2
3 − (−𝑥 + 1)
+ 𝑎 =
2
2 + 𝑥
+ 𝑎 
(𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 2 ⟹ 
2
2 + 0
+ 𝑎 = 2 ⟺ 𝑎 = 1 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =
2
2 + 𝑥
+ 1 
Para que la función 𝑓 ∘ 𝑔 esté bien definida 
2 + 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −2 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ − {−2} 
Para afirmar que 𝑥 = −2 es una asíntota vertical el límite de la función cuando x tiende a -2 debe ser infinito 
lim
𝑥⟶−2
2
2 + 𝑥
+ 1 = lim
𝑥⟶−2
2 + (2 + 𝑥)
2 + 𝑥
= lim
𝑥⟶−2
4 + 𝑥
2 + 𝑥
= ∞ 
Entonces 𝑥 = −2 es la asíntota vertical. 
 
 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
Hallar los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ sabiendo que 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 5𝑏𝑥 
𝑄(𝑥) = (𝑏 − 2𝑎)𝑥 − 4 
cumplen las siguientes relaciones 
2𝑃(1) + 𝑄(4) = 0 
𝑃(0) − 𝑄(1) = 0 
 
Respuesta 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
16 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
Vamos a evaluar los polinomios en cada uno de los puntos involucrados: 
𝑃(1) = 𝑎 ∙ 13 − 5𝑏 ∙ 1 = 𝑎 − 5𝑏 
𝑃(0) = 𝑎 ∙ 03 − 5𝑏 ∙ 0 = 0 
𝑄(1) = (𝑏 − 2𝑎) ∙ 1 − 4 = 𝑏 − 2𝑎 − 4 
𝑄(4) = (𝑏 − 2𝑎) ∙ 4 − 4 = 4𝑏 − 8𝑎 − 4 
𝑃(0) − 𝑄(1) = 0 ⟹ 0 − (𝑏 − 2𝑎 − 4) = 0 ⟺ 𝑏 = 2𝑎 + 4 
2𝑃(1) + 𝑄(4) = 0 ⟹ 2(𝑎 − 5𝑏) + 4𝑏 − 8𝑎 − 4 = 0 
2𝑎 − 10𝑏 + 4𝑏 − 8𝑎 − 4 = 0 ⟺ −6𝑎− 6𝑏 − 4 = 0 
 
Reemplazando el valor de 𝑏 
−6𝑎 − 6(2𝑎 + 4) − 4 = 0 
−6𝑎 − 12𝑎 − 24 − 4 = 0 
−18𝑎 − 28 = 0 
𝑎 = −
14
9
 𝑦 𝑏 = 2 (−
14
9
) + 4 = −
28
9
+ 4 =
8
9
 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
La aceleración con la cual se propaga una enfermedad en el tiempo está dada por la fórmula 
𝐴(𝑡) = 20 − 5(𝑡 − 2)2 
donde t representa el tiempo que debe considerarse siempre mayor o igual que cero. 
¿Para qué valores de 𝑡 la aceleración será positiva? 
 
Respuesta 
 
La aceleración será positiva si 
𝐴(𝑡) > 0 ⟺ 20 − 5(𝑡 − 2)2 > 0 ⟺ 20 > 5(𝑡 − 2)2 ⟺ 4 > (𝑡 − 2)2 
𝐴(𝑡) > 0 ⟺ √4 > √(𝑡 − 2)2 ⟺ 2 > |𝑡 − 2| 
Luego 
|𝑡 − 2| < 2 ⟺ −2 < 𝑡 − 2 < 2 ⟺ 0 < 𝑡 < 4 
La aceleración será positiva para valores de 𝑡 ∈ (0,4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
17 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Sea 𝑔 una función lineal que cumple 
𝑔(2) − 𝑔(1) = 3 
𝑔(0) = −6 
Hallar, si existen, el o los puntos de intersección entre los gráficos de la función 𝑔 y la función 
𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 1)(2 − 𝑥) 
 
Respuesta 
 
Como la función )(xg es lineal entonces debe cumplir que baxxg )( , teniendo en cuenta los datos dados: 
𝑔(2) − 𝑔(1) = 𝑎2 + 𝑏 − (𝑎1 + 𝑏) = 2𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 
Por otro lado 𝑔(2) − 𝑔(1) = 3, entonces 𝑎 = 3 
Como 𝑔(0) = −6 tenemos que la ordenada al origen es 𝑏 = −6 
Nos queda entonces que 
𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 6 
Ahora queremos hallar, si existen, los puntos de corte entre los gráficos de 𝑔 y 𝑓. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
3 ∙ (𝑥 + 1)(2 − 𝑥) = 3𝑥 − 6 
3 ∙ (2𝑥 − 𝑥2 + 2 − 𝑥) = 3𝑥 − 6 
3 ∙ (𝑥 − 𝑥2 + 2) = 3𝑥 − 6 
−3𝑥2 + 3𝑥 + 6 = 3𝑥 − 6 
−3𝑥2 + 6 = −6 
−3𝑥2 = −12 ⟺ 𝑥2 = 4 ⟺ 𝑥 = 2 ó 𝑥 = −2 
Para hallar las ordenadas de los puntos donde se cruzan evaluamos cualquiera de las funciones en los valores de 𝑥 
hallados. 
Para 𝑥 = 2 la ordenada del punto es 𝑔(2) = 3 ∙ 2 − 6 = 0, entonces el punto es 𝑃1 = (2; 0) 
Para 𝑥 = −2 la ordenada del punto es 𝑔(−2) = 3 ∙ (−2) − 6 = −12, entonces el punto es 𝑃2 = (−2; −12) 
Los puntos de intersección son: 𝑃1 = (2; 0) y 𝑃2 = (−2; −12) 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
18 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
TEMA 6 
 
 
Ejercicio 1 (3 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
2
(3 − 𝑥)2
 
 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 
Hallar la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). Hallar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas horizontales. 
 
 
Respuesta 
 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 es: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(1 − 2𝑥) =
2
(3 − (1 − 2𝑥))2
=
2
(2 + 2𝑥)2
 
Para analizar la existencia de asíntotas horizontales debemos calcular el límite de la función cuando 𝑥 tiende a infinito 
lim
𝑥⟶∞
2
(2 + 2𝑥)2
= 0 
En 𝑦 = 0 hay una asíntota horizontal. 
 
 
 
Ejercicio 2 (2 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
2
2𝑥 − 3
− 1 
Hallar la función 𝑓−1(𝑥) y su dominio 
 
Respuesta 
 
Hallamos 𝑓−1: 
2
2𝑥 − 3
− 1 = 𝑦 
2
2𝑥 − 3
= 𝑦 + 1 
2
𝑦 + 1
= 2𝑥 − 3 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
19 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
2
𝑦 + 1
+ 3 = 2𝑥 
1
𝑦 + 1
+
3
2
= 𝑥 
 
Entonces 
𝑓−1(𝑥) =
1
𝑥 + 1
+
3
2
 
La función inversa está bien definida si 𝑥 + 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −1 
Entonces 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = ℝ − {−1} 
 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
El costo (expresado en pesos) para producir 𝑥 unidades de un nuevo producto de limpieza esta definido 
como 𝐶(𝑥) = 1200 − 𝑏𝑥. 
Se sabe que el costo de 100 unidades es de $600. ¿Cuántas unidades serán necesarias producir para que el 
costo sea menor o igual a $420? 
 
Respuesta 
 
Se sabe que el costo de 100 unidades es de $600, entonces 
𝐶(100) = 600 
1200 − 𝑏 ∙ 100 = 600 ⟺ −100𝑏 = 600 − 1200 ⟺ −100𝑏 = −600 ⟺ 𝑏 = 6 
Se tiene que 𝐶(𝑥) = 1200 − 6𝑥 
El costo será menor o igual a $420 si y sólo si 
1200 − 6𝑥 ≤ 420 ⟺ −6𝑥 ≤ 420 − 1200 ⟺ −6𝑥 ≤ −780 ⟺ 𝑥 ≥ 130 
Se deberán producir por lo menos 130 unidades para que el costo sea menor o igual a $420 
 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar la intersección entre los conjuntos 𝐴 y 𝐵 siendo 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 |𝑥 +
1
2
| > 1} 
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 |𝑥| < 2} 
 
Respuesta 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA – 1Cuat. 2017 
TERCER TURNO 
Si 𝑥 ∈ 𝐴 
|𝑥 +
1
2
| > 1 ⟺ 𝑥 +
1
2
> 1 ó 𝑥 +
1
2
< −1 
𝑥 +
1
2
> 1 ⟺ 𝑥 > 1 −
1
2
 ⟺ 𝑥 >
1
2
 ⟺ 𝑥 ∈ (
1
2
, +∞) 
𝑥 +
1
2
< −1 ⟺ 𝑥 < −1 −
1
2
 ⟺ 𝑥 < −
3
2
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −
3
2
) 
Luego 
𝐴 = (
1
2
, +∞) ∪ (−∞, −
3
2
) 
Si 𝑥 ∈ 𝐵 
|𝑥| < 2 ⟺ −2 < 𝑥 < 2 ⟺ 𝑥 ∈ (−2,2) 
 
Luego 𝐵 = (−2,2) 
Entonces 
𝐴 ∩ 𝐵 = [(
1
2
, +∞) ∪ (−∞, −
3
2
)] ∩ (−2,2) = (−2, −
3
2
) ∪ (
1
2
, 2)