2 Trigonometricas2

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones Trigonométricas 
Estudio de las funciones seno y coseno 
 
f(x) = sen x Vamos a analizar la función seno a partir de su gráfica: 
 
 • Como los valores de senx corresponden a las ordenadas de los puntos de 
una circunferencia de radio 1, se verifica que -1 ≤ senx ≤ 1. Por lo tanto la 
imagen es el intervalo [-1; 1]: Im(senx) = [-1; 1]: 
• La función es periódica de período T = 2π . Observamos en el gráfico que 
para x y x’ = x+ 2kπ (con k entero) es senx = sen(x + 2kπ) 
Por ejemplo para : 
2
5y
2
ππ .es 1
2
5sen
2
sen =π=π 
• En el intervalo [0; 2π] es: 
o C0 = {0¸ π, 2π} 
o C+ = (0; π) 
o C- = (π, 2π) 
o El valor mínimo lo alcanza en 
2
3x π= y es -1. 
Es decir Mín = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π 1;
2
3 
o El valor máximo lo alcanza en 
2
x π= y es 1. 
Es decir Máx = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π 1;
2
 
• Es creciente en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π 2;
2
3eny
2
;0 Es decreciente en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
2
3;
2
 
Extendiendo estos observaciones por la periodicidad de la función seno, es: 
o C0 = {0 + 2k π ó π + 2kπ; k entero} = {kπ; k entero} 
o C+ = (2kπ;(2k+1)π) con k entero 
o C- = ((2k-1)π, 2kπ) con k entero 
 
o Tiene mínimos π+π= k2
2
3x (k entero ) 
o Tiene máximos en π+π= k2
2
x (k entero ) 
 
1
 
 
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o Es creciente en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
π+
π
− k2
2
;k2
2
 
o Es decreciente en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
π+
π k2
2
3;k2
2
 
 
• La función sen: ℜ→ [-1; 1] es continua en todo su dominio 
 
f(x) = cosx En forma similar, es posible analizar la función coseno. 
 
 
• Como los valores de cosx corresponden a las ordenadas de los puntos de 
una circunferencia de radio 1, se verifica que -1 ≤ cosx ≤ 1. Por lo tanto la 
imagen es el intervalo [-1; 1]: Im(cosx) = [-1; 1]: 
• La función es periódica de período T = 2π . Observamos en el gráfico que 
para x y x’ = x+ 2kπ (con k entero) es cosx = cos(x + 2kπ) 
• C0 = 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ π+
π enterokcon,k
2
 
• Es positiva en los intervalos de la forma ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π++
π
−π+
π
− )1k2(
2
;k2
2
 con k 
entero 
• Es negativa en los intervalos de la forma ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
−π−+
π
− k2
2
;)1k2(
2
 con 
k entero. 
• Alcanza su máximo en x = 2kπ y su mínimo en x = π + 2kπ con k entero. 
• Es creciente en ((2k-1)π; 2kπ) con k entero 
• Y decreciente en (2kπ; (2k+1) π) con k entero 
 
 
2
 
 
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 Para recordar De la definición de las funciones trigonométricas y a través de los ejemplos, se derivan 
estas propiedades: 
• x y x’ son tales que x’ = x + 2 k π (k entero) entonces es: 
senx = senx’ y cosx = cosx’ 
• sen (-x) = - senx y cos(-x) = cosx 
• -1 ≤ senx ≤ 1 y -1 ≤ cosx ≤ 1 
• senx = sen(x + 2kπ) y cosx = cos(x + 2kπ) con k entero, por ser funciones 
periódicas de periodo 2π. 
 
Vamos a usar estas propiedades en la resolución de ecuaciones del tipo: 
sen x = a ó cos x = b 
por lo que plantearnos algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 1. 
Encontrar los valores reales de x que verifican: 
 
[ ]
[ ]
] ;[- y x 1- x cos c)
 ;- y x 
2
3 x sen .)b
 2;0 y x 
2
1 x sen a)
ππ∈=
ππ∈=
π∈=
 
 Solución 
[ ]π∈= 2;0 y x 
2
1 x sen a) 
 
Debemos hallar un número real x que pertenezca al intervalo [ y que además 
verifique que su seno es igual a un medio. Esto ocurre cuando x pertenece al 
primero o al segundo cuadrante. 
]π2;0
 
En el primer cuadrante, 
 
6
 x 
2
1 x sen π=⇔= 
En el segundo cuadrante, el ángulo que tiene 
el mismo seno que 
6
π es su suplementario: 
6
5 
6
π
=
π
−π . 
Luego en el intervalo [ ]π2;0 los x que 
satisfacen 
2
1 x sen = son: 
π=∨
π
=
6
5x
6
x 21 
 
3
 
 
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 [ ] ;- y x 
2
3 x sen b) ππ∈= 
2
3 x sen = se verifica para x = 
3
π + 2kπ (k ∈Z) ó x = 
3
2π + 2kπ (k ∈Z) 
Damos valores a k para encontrar los que pertenecen al intervalo [-π;π] 
 
• Si k = 0, es x = 
3
π ó x = 
3
2π y ambos pertenecen a [-π;π] 
• Si k = 1, es 
3
72
3
x π=π+π= ó 
3
82
3
2x π=π+π= y ninguno de ellos 
pertenece a [-π;π] 
• Si k = -1, es 
3
52
3
x π−=π−π= ó 
3
42
3
2x π−=π−π= y ninguno de ellos 
pertenece a [-π;π] 
Luego es 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ππ=
3
2;
3
1S 
 
] ;[- y x 1- x cos c) ππ∈= 
cosx = -1 ⇔ x = (2k +1) π (k entero) 
Damos valores a k para encontrar los que pertenecen al intervalo [-π;π] 
• Si k = 0; x = π pertenece al intervalo [-π;π] 
• Si k = 1; x = 3π no pertenece al intervalo [-π;π] 
• Si k = -1; x = -π pertenece al intervalo [-π;π] 
Para cualquier otro valor de k, x no pertenece al intervalo [-π;π] 
Entonces es S = {-π; π} 
 
f(x) = sen(bx) 
f(x) = cos(bx) 
Hasta aquí trabajamos con las funciones seno y coseno en su expresión más sencilla: 
 f(x) = senx y g(x) = cosx 
En este apartado, nos proponemos estudiar, otras expresiones de las funciones seno y 
coseno. Comenzamos por analizar las transformaciones que sufren sus gráficas, cuando 
las escribimos en la forma 
f(x) = sen(bx) ó f(x) = cos(bx) 
 
Lo haremos para la función seno. 
Observemos primero que si b = 1, tenemos, 
 f(x) = sen(1.x) = senx 
 g(x) = cos(1.x) = cosx 
 • Consideremos f(x) = sen(4x) 
En este caso, b = 4. 
Dibujamos la función sen(4x) y sen(x) en el mismo gráfico (en rojo y azul 
respectivamente) 
 
4
 
 
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 Vemos que al multiplicar x por 4 la función se comprime horizontalmente modificando su 
período. Ahora cada ciclo completo se repite cada 
2
π unidades. 
Si la función senx tiene período T = 2π, la función sen(4x) tiene período 
24
2T π=π= 
La imagen de la función es la misma: Im(f) = [-1; 1] 
 
Algo similar ocurre cuando b = 
2
1 . 
La función que nos ocupa ahora es x
2
1sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ . 
La representamos en el mismo gráfico que senx 
 
 
 
 En este caso, la función también tiene la misma imagen que sen x pero la gráfica se 
dilata horizontalmente modificando su período: T = 4π . 
Observemos que si la función senx tiene período T = 2π, la función x
2
1sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ tiene 
período π=π= 4
2
1
2T 
 Les dejamos probar que lo mismo ocurre para las funciones: 
f(x) = cos(4x) y f(x) = x
2
1cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
 
 
5
 
 
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 En general podemos decir que para las funciones de la forma 
f(x) = sen(bx) ó f(x) =cos(bx) 
el parámetro b influye sobre el período de la función, de modo que es 
|b|
2T π= 
• Si |b| es un número grande, el período es pequeño, las ondas son más frecuentes. 
• Si |b| es un número pequeño, el período es grande, las ondas son menos 
frecuentes. 
 
 
 
f(x) = a senx 
f(x) = a cosx 
Al número a también modifica la grafica de la funciones seno y coseno, cuando las 
escribimos en la forma 
f(x) = asenx ó f(x) = acosx 
 
Observemos que si a = 1, tenemos, 
 f(x) = 1. senx = senx 
 g(x) = 1.cosx = cosx 
 Consideremos la función f(x) = 2 senx y comparemos su gráfica con la de senx. 
Aquí es a = 2. 
 
 
 En este caso el período se conserva.; T = 2π , pero se modifica el conjunto de 
imágenes: 
Im(2senx) = [-2; 2] 
 
Algo similar sucede parasenx
2
1)x(f = .En este caso es 
2
1a = 
El período se conserva, mientras que el conjunto de imágenes se modifica: 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1;
2
1senx
2
1Im 
Lo vemos en el gráfico. 
6
 
 
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 En general, podemos decir que al multiplicar a la función seno por |a| , la función toma 
valores entre -|a| y |a| por lo que el conjunto de imágenes es Im(f) = [-|a| ; |a|] 
El número |a| nos da la amplitud que toma la función. 
 Les dejamos probar qué sucede para 
f(x) = 2 cosx ; xcos
2
1)x(f = 
y en ambas funciones para a = -2 y 
2
1a −= 
f(x) = senx + k 
f(x) = cosx + k 
Al igual que en otros casos, al sumarle una constante k, la función se desplaza 
verticalmente |k| unidades. 
Es de prever que al hacerlo, se modifiquen al menos, el conjunto de imágenes y los 
ceros de la función. 
 Aquí graficamos: f(x) = senx + 3 y f(x) = cosx – 2 para que usted analice. 
 
 
 
 
 
 
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f(x) =sen(x – h) 
f(x) = cos(x– h) 
En este caso las funciones f(x) = senx y f(x) = cosx sufren un desplazamiento horizontal. 
• |h| unidades hacia la derecha si es h > 0 
• |h| unidades hacia la izquierda si es h<0 
 Le dejamos que proponga ejemplos y los analice. 
 Proponemos un ejemplo donde usamos todo lo visto hasta aquí. 
 Ejemplo 2 
Para cada una de las funciones determiná: 
a. Amplitud, período y conjunto de imágenes. 
b. Su valor máximo y mínimo y en qué puntos se alcanzan dichos valores. 
 
( ) 2 x cos (x)f
 
2
-xsen 2- )x(f
 )x3(sen
3
1 (x)f
3
2
1
+π=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π=
=
 
 Solución. 
Para )x3(sen
3
1 (x)f1 = es a = 3
1 y b = 3, entonces: 
• Amplitud: |a| =
3
1 Período: 
3
2
b
2T π=π= Conjunto imagen: ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=
3
1;
3
1Im1 
• )x3(sen
3
1 (x)f1 = alcanza sus máximos cuando sen(3x) = 1 
Esto ocurre para 3:k2
2
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
= , entonces los máximos se 
alcanzan en x entero k con,k
3
2
6
 x π+π= 
El valor máximo que alcanza la función es 
3
1 
 
De la misma manera, los mínimos se alcanzan cuando : 1sen(3x) −=
entero. k con,k
3
2
2
x π+π= 
El valor mínimo que alcanza la función es 
3
1
− 
 
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Para ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π=
2
-xsen 2- )x(f2 es: 
a = -2 y b = 1, entonces: 
 
• Amplitud: |a| = |-2| = 2 Período: π=π=π= 2
1
2
b
2T 
Conjunto imagen: [ ]2;2Im1 −= 
• La función alcanza valores máximos cuando ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
2
-xsen = -1 y esto ocurre para 
entero. k con k22k2
22
3x
k2
2
3
2
x
π+π=π+
π
+
π
=
π+
π
=
π
−
 
Entonces en x = entero k con k22 π+π se alcanzan los máximos y su 
valor máximo es 2. 
De la misma manera los mínimos se alcanzan cuando ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
2
-xsen = 1. 
Entonces 
entero k con k2x
k2
22
x
π+π=
π+
π
=
π
− 
 El valor mínimo que alcanzan es -2. 
 
Para ( ) 2 x cos (x)f 3 +π= es a = 1 y b= π 
Luego es: 
• Amplitud = |a| = 1 Período: 22
b
2T =
π
π
=
π
= Conjunto imagen: [ ]3;1Im4 = 
• Los valores máximos se alcanzan cuando cos(πx) = 1. 
Esto ocurre para Z)(k 2k2kx ∈=
π
π
= 
El valor máximo alcanzado es 3. 
Los valores mínimos se alcanzan cuando cos(πx) = - 1. 
Esto ocurre para Z)(k 2k12kx ∈+=
π
π+π
= 
El valor mínimo alcanzado es 1. 
 
 
 
 
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Otras 
funciones 
trigonométricas 
A partir de las funciones seno y coseno se definen las restantes funciones 
trigonométricas; 
 • Si x es un número real y cosx es distinto de cero, definimos la tangente de x 
como: 
xcos
senx)x(tg = 
El dominio de la tangente es ℜ - { π+π k
2
} 
Los ceros de la tangente son los mismos que los de la función seno. 
La función tiene asíntotas verticales en las rectas de ecuación x = π+π k
2
 
Es una función periódica de período π 
• Si x es un número real y senx es distinto de cero, definimos la cotangente de x 
como: 
senx
xcos)x(ctg = 
El dominio de la cotangente es ℜ - { πk } con k entero 
Los ceros son los mismos que los de la función coseno. 
Tiene asíntotas verticales en las rectas de ecuación x = con k entero. πk
Es una función periódica de período π 
 
• Si cos x distinto de cero, se define la secante de x como: 
xcos
1)xsec( = 
El dominio es la ℜ - { π+π k
2
} con k entero 
La función no tiene ceros. 
Tiene asíntotas verticales en las rectas de ecuación x = π+π k
2
con k entero. 
Es una función periódica de período 2π 
 
• Si senx es distinto de cero, definimos cosecante de x mediante 
senx
1)x(eccos = 
El dominio es la ℜ - { πk } con k entero 
La función no tiene ceros. 
Tiene asíntotas verticales en las rectas de ecuación x = con k entero. πk
Es una función periódica de período 2π 
 
 
 
 
 
10