Investigación de operaciones Teoria linea de espera, cadenas de Markov Modelos de poisson

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Universidad Panamericana del Puerto
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Contaduría Pública
 
Investigación de operaciones
Teoria linea de espera, cadenas de Markov. Modelos de poisson
Puerto cabello-diciembre-2023
1-   Defina, explique y de ejemplo de los siguientes conceptos:
a- Teoría de línea de espera 
b- Cadenas de Markov 
c- Modelos de líneas de espera de Poisson. 
2- La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. los clientes llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina
a)   El porcentaje de tiempo en el que el cajero esta desocupado.
b)  El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.
c)   La fracción de clientes que deben esperar en la cola
1. Respuesta :
1 – A : Teoría de línea de espera 
La teoría de la línea de espera es una rama de la investigación operativa que se encarga de estudiar y analizar los sistemas de colas o filas, es decir, situaciones en las que los clientes esperan para ser atendidos por un servicio. Esta teoría es utilizada para modelar y optimizar la eficiencia de sistemas en los que se presentan colas, como supermercados, bancos, centros de llamadas, entre otros.
Ejemplo:
Un ejemplo común de aplicación de la teoría de líneas de espera es en un supermercado. Cuando los clientes llegan a la caja para pagar sus compras, forman una fila y esperan su turno para ser atendidos por el cajero. La teoría de líneas de espera nos permite analizar el tiempo promedio que los clientes pasan en la fila, el número promedio de clientes en la fila, el tiempo promedio que el cajero pasa desocupado, entre otros aspectos. Esto permite a los gerentes del supermercado tomar decisiones para mejorar la eficiencia del servicio, como abrir más cajas en momentos de alta demanda o implementar sistemas de auto-pago para reducir el tiempo de espera.
2- B: Cadenas de Markov 
Las cadenas de Markov son un tipo de proceso estocástico en el que la probabilidad de que un sistema pase de un estado a otro depende únicamente del estado actual en el que se encuentra, y no de cómo llegó a ese estado. En otras palabras, las cadenas de Markov son procesos en los que las transiciones entre estados futuros solo dependen del estado presente y no de la historia pasada del sistema.
Un ejemplo común de una cadena de Markov es el clima. Supongamos que queremos modelar el clima como un proceso de cadena de Markov con dos estados: soleado y lluvioso. La probabilidad de que el clima esté soleado mañana depende únicamente del clima de hoy, no de cómo fue el clima en días anteriores. Si hoy está soleado, la probabilidad de que mañana esté soleado podría ser alta, digamos 0.8, y la probabilidad de que esté lluvioso sería 0.2. Estas probabilidades representarían la matriz de transición para el proceso de cadena de Markov del clima.
En resumen, las cadenas de Markov son útiles para modelar sistemas en los que las transiciones entre estados futuros solo dependen del estado presente, lo que las hace especialmente útiles para modelar sistemas dinámicos y predecir comportamientos futuros.
3- C : Modelos de líneas de espera de Poisson.
Los modelos de líneas de espera de Poisson son un tipo de modelo matemático utilizado para analizar y predecir el comportamiento de sistemas de espera o colas, en los que los clientes llegan al sistema de forma aleatoria y siguen un proceso de llegada que sigue una distribución de Poisson.
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad que modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo fijo, dado que estos eventos ocurren de manera independiente y a una tasa promedio constante. Por lo tanto, en el contexto de las líneas de espera, la distribución de Poisson se utiliza para modelar la llegada aleatoria de clientes a un sistema de servicio.
Un ejemplo común de un modelo de líneas de espera de Poisson es el análisis de la cantidad de llamadas que llegan a un centro de atención telefónica en un intervalo de tiempo determinado. Si las llamadas llegan de manera aleatoria e independiente, y la tasa promedio de llegada de llamadas por minuto es constante, entonces el modelo de líneas de espera de Poisson puede utilizarse para predecir el tiempo promedio que un cliente tendrá que esperar antes de ser atendido.
En resumen, los modelos de líneas de espera de Poisson son útiles para analizar sistemas en los que los clientes llegan al sistema de forma aleatoria y siguen un proceso de llegada que se ajusta a la distribución de Poisson, lo que permite predecir tiempos de espera promedio y otros parámetros importantes del sistema.
2. Respuesta ejercicio :
Para resolver este problema, podemos utilizar la teoría de colas. Dado que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, podemos utilizar las fórmulas correspondientes.
a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero está desocupado se puede calcular utilizando la fórmula para el factor de utilización (ρ) en un sistema M/M/1 (llegadas Poisson, servicio exponencial), que es:
ρ = λ / μ
Donde:
ρ = Factor de utilización
λ = Tasa media de llegada (clientes por hora)
μ = Tasa media de servicio (clientes por hora)
En este caso, λ = 20 clientes/hora y μ = 1 / 2 clientes/minuto = 30 clientes/hora.
Por lo tanto, ρ = 20 / 30 = 2/3 = 0.6667
El porcentaje de tiempo en el que el cajero está desocupado es 1 - ρ = 1 - 0.6667 = 0.3333, es decir, el 33.33%
b) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola se puede calcular utilizando la fórmula para el tiempo medio de espera en un sistema M/M/1, que es:
Wq = ρ / (μ - λ)
Donde:
Wq = Tiempo medio de espera en la cola (en horas)
Sustituyendo los valores conocidos:
Wq = 0.6667 / (30 - 20) = 0.6667 / 10 = 0.06667 horas = 4 minutos
Por lo tanto, el tiempo medio de estancia de los clientes en la cola es de 4 minutos.
c) La fracción de clientes que deben esperar en la cola se puede calcular utilizando la fórmula para la probabilidad de que un cliente tenga que esperar en la cola en un sistema M/M/1, que es:
Pw = ρ
Sustituyendo los valores conocidos:
Pw = 0.6667
Por lo tanto, la fracción de clientes que deben esperar en la cola es del 66.67%.