Ejercicios de metodos numericos aplicados en la actualidad

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Investigación de Operaciones 
3°A ISC 
Lopez Quesada Carlos Emmanuel 
Guzmán Gutiérrez Hugo Enrique 
 
 Explicación del proceso de la muerte 
El termino nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, 
mientras que el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del 
sistema en el tiempo t (t ≥ 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el 
sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos 
probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t. En general, sostiene que los nacimientos 
y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia 
dependen del estado actual del sistema. 
La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de 
clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso 
de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene 
aplicaciones en varias áreas. Sin embargo, en el contexto de la teoría de colas. 
De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los 
siguientes. 
Supuesto 1 
Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo 
nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λ n (n 50, 1, 2,. . .). 
Supuesto 2 
Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima 
muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro µn (n = 1, 2,. . .). 
Supuesto 3 
La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la 
variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son 
mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es n→ n + 1 
(un solo nacimiento) o n→ n - 1 (una sola muerte), lo que depende de cuál de las dos 
variables es más pequeña. 
En el caso de un sistema de colas, λ n y µn representan, respectivamente, la tasa media de 
llegada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. 
En algunos sistemas de colas, los valores de las λ n serán las mismas para todos los valores 
de n, y las µn también serán las mismas para toda n excepto para aquella n tan pequeña 
que el servidor este desocupado (es decir, n = 0). Sin embargo, las λ n y las y µn también 
pueden variar en forma considerable con n para algunos sistemas de colas. Por ejemplo, 
una de las formas en las que λ n puede ser diferente para valores distintos de n es si los 
clientes potenciales que llegan se pueden perder (rechazar la entrada al sistema) con 
mayor probabilidad a medida que n aumenta. De manera similar, µn puede ser diferente 
ante valores distintos de n debido a que existe una mayor probabilidad de que los clientes 
renuncien (se vayan sin haber sido servidos) a medida que aumenta el tamaño de la cola. 
 
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 Distribución de llegadas: 
Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de 
probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de 
línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no 
podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has 
encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena 
descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la 
probabilidad de x llegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como 
sigue: 
P(x)=µx e^- λ / x! Para x= 0, 1, 2,… 
Modelo de muerte pura 
En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas 
nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo. Para 
desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad pn(t) de que n clientes 
permanezcan después de t unidades de tiempo, seguimos los argumentos utilizados con el 
modelo de nacimiento puro. 
 Explicación un ejemplo de la muerte 
Un estudiante recibe un depósito becario de $100 al mes desde su casa para que cubra los 
gastos impresivos. Los retiros de $20 cada uno ocurren al azar durante el mes y están 
esparcidos de acuerdo con una distribución exponencial con un valor medio de una 
semana. Determine la probabilidad de que el estudiante se quede sin dinero para gastos 
imprevistos antes del final de la cuarta semana. 
 Explicación de como resolverlo el ejemplo en Excel 
Procedimiento: 
1.- Primero buscamos los datos que se necesitan , por ejemplo en este ejercicio podemos 
encontrar los siguientes: 
 
N= $5 
µ= 1 retiro semanal 
 
2.- Proseguimos creamos una tabla en Excel, n=5 ( son la cantidad de retiros que puede 
hacer 5x20=100) y T es la cantidad de semanas x mes. 
 
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T 1 2 3 4 
n 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
3.- Despues se sustituyen los valores de la formula y llena todo el recuadro 
 
𝑃 ∩ ሺ𝑡ሻ =
ሺ𝜔ሻ𝑁−𝑛ⅇ−𝑤
ሺ𝑁 − 𝑛ሻ!
 
𝑃0ሺ𝑡ሻ = 1 −෍𝑃𝑛ሺ𝑡ሻ
𝑁
𝑡−1
 
Pn(t)= 
ሺ5∗1ሻሺ5−1ሻ𝑒ሺ−1∗1ሻ
ሺ5−1ሻ!
 =0.01535831 
T 1 2 3 4 
n 
0 
1 0.01535831 0.09022352 0.16803136 0.19836681 
2 0.06131324 0.18044704 0.22404181 0.19536681 
3 0.18393972 0.27067057 0.22404181 0.14652511 
4 0.36787944 0.27067057 0.14936121 0.07326256 
5 0.36787944 0.13533528 0.04978707 0.01831564 
 
Ahora para poder llenar la probabilidad 0 seria: 
P0(t)= 1-0.01535831= 0.98467169 
T 1 2 3 4 
n 
0 0.98467169 0.90977648 0.83196864 0.80463319 
1 0.01535831 0.09022352 0.16803136 0.19836681 
2 0.06131324 0.18044704 0.22404181 0.19536681 
3 0.18393972 0.27067057 0.22404181 0.14652511 
4 0.36787944 0.27067057 0.14936121 0.07326256 
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 5 0.36787944 0.13533528 0.04978707 0.01831564 
 
Ahora sí, para poder resolver lo que nos está pidiendo es ejemplo (“Determine la 
probabilidad de que el estudiante se quede sin dinero para gastos imprevistos antes del 
final de la cuarta semana.”) 
Pn=5(t<=4) Entonces, para sacar la probabilidad tendríamos que sacar la suma de los datos 
de una antes de la 4ta semana. Por lo tanto: 
 
Pn= 0.36787944+0.13533528+0.04978707+0.01831564= 0.571317432 
 
Y como el dato nos lo esta pidiendo en probabilidad, entonces, tendríamos que pasarlo a 
porcentaje 
Pn= 0.571317432*100=57.1317432% 
 
 ¿Como funcionan las líneas de espera con un servidor? 
La teoría de colas es el estudio de los sistemas de líneas de espera en sus distintas 
modalidades. El estudio de estos modelos sirve para determinar la forma más efectiva de 
gestionar un sistema de colas. 
La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta 
se presenta cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un «servidor», 
el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible 
inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. 
El estudio de las colas nos sirve para proporcionar tanto una base teórica del tipo de servicio 
que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso 
puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. 
Aplicaciones de la teoría de colas: 
▪ Facturación en aeropuertos. 
▪ Cajeros automáticos. 
▪ Restaurantes de comida rápida. 
▪ Esperas en líneas de atención telefónica. 
▪ Intersecciones de tráfico. 
▪ Aviones en espera para aterrizar. 
▪ Llamadas a la policía o a compañías de servicios públicos. 
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https://www.emprendices.co/tag/servicio-al-cliente/
 
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▪ Estándares de calidad del servicio. 
▪ Análisis económicos que incluyan comparaciones entre costes de explotación, 
inversiones de capital. 
OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLAS 
▪ Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global 
del mismo. 
▪ Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad 
del sistema tendrían en el coste total del mismo. 
▪ Establecer un balance equilibrado («óptimo») entre las consideraciones 
cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. 
▪ Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la 
«paciencia» de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y 
eso puede hacer que un cliente «abandone» el sistema. 
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA TEORÍA DE COLAS 
Ventajas 
▪ Los modelos de colas implican siempre aproximaciones a la realidad y una 
simplificación de ésta. 
▪ Los resultados permiten apreciar el orden de importancia, los cambios con 
relación a un punto de referencia y las tendencias más probables. 
▪ Resultados «cerrados» limitados casi siempre a situaciones de “estado 
estacionario» y obtenidos sobre todo (aunque no exclusivamente) para su 
aplicación a sistemas de nacimiento y muerte y de “fase”. 
▪ Proporciona algunas cotas útiles para sistemas más generales en estado 
estacionario. 
▪ Cada vez hay más soluciones numéricas disponibles para sistemas dinámicos. 
Desventajas 
▪ Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren 
mucho tiempo para desarrollarse y validarse. 
▪ Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar 
“soluciones óptimas”, lo cual repercute en altos costos. 
▪ Es difícil aceptar los modelos de simulación. 
▪ Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas 
▪ La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso sentido de 
seguridad. 
 
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 CONCEPTOS BÁSICOS 
Un ejemplo de cola es cuando se va a comprar un boleto para viajar, si existen pocas 
personas para ser atendidas será una cola pequeña, sin embargo, si hay un gran número de 
personas esperando ser atendidas será una cola muy grande, el número de servidores 
dependerá de cuantas personas están atendiendo y el cliente será la persona que quiere 
comprar el boleto el número de servidores podrá ser de uno hasta infinito. 
Un sistema de colas se justifica por seis características principales: 
▪ El tiempo de distribución de entradas o llegadas. 
▪ El tipo de distribución de salidas o retiros. 
▪ Los canales de servicio. 
▪ La disciplina del servicio. 
▪ El número máximo de clientes permitidos en el sistema. 
▪ La fuente o población. 
ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS 
Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no 
necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Se 
considera finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño 
que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la 
población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva 
cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande 
que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no 
afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de 
servicio. 
Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que 
los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<…, será importante conocer 
el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. 
Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola 
(antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más 
sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que 
en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran 
restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar 
clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma. 
Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. 
Las disciplinas más habituales son: 
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 a disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la 
cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. 
La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o 
pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. 
La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a 
los clientes de forma aleatoria. 
Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo 
solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio se debe conocer el número 
de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de 
probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada 
servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el 
servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. 
La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los 
clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de 
servicio. 
El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto 
con la disciplina de la cola, que es lo que indica el criterio de qué cliente de la cola elegir 
para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la 
siguiente figura: 
Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los 
tiempos de servicio para cada servidor. 
ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 COLA: Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han 
solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. 
 Explicación de un ejemplo las líneas de espera con un servidor 
Un grupo de personas llegan a un banco para demandar información y ayuda 
de este mismo banco. El cual solo tiene solo un “servidor”, el cual tiene una 
cierta capacidad para atender a todos. Si el servidor se encuentra ocupado, 
los clientes tienen la opción de quedarse y crear una línea de espera o por 
otro lado no esperar y retirarse. 
 
 Explicación del ejemplo las líneas de espera con un servidor 
en Excel 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 ¿Como funcionan las líneas de espera con múltiples 
servidores? 
Es un modelo de cola que asume que los tiempos entre llegadas son independientes 
e idénticamente distribuidos de acuerdo con una distribución exponencial, es decir 
el proceso de entrada es Poisson, el cual tiene varios servidores (s), y que son un 
entero positivo. La población es infinita, donde la frecuencia de entrada depende 
de la frecuencia de salida del estado de línea de espera. 
 
 Conceptos básicos de programación no lineal 
La programación no lineal es un método por el cual se optimiza, ya sea 
maximizando o minimizando, una función objetivo. Esto, tomando en cuenta 
distintas restricciones dadas. Secaracteriza porque la función objetivo, o alguna de 
las restricciones, pueden ser no lineales. 
Función objetivo: Es aquella función que se optimiza, ya sea maximizando o 
minimizando su resultado. 
Restricciones: Son aquellas condiciones que deben cumplirse al optimizar la función 
objetivo. Puede tratarse de ecuaciones o inecuaciones algebraicas. 
 
 Tipos de problemas de programación no lineal 
 -Optimización no restringida. 
Se trata de determinar para qué punto o puntos de, la función toma el valor máximo 
o mínimo. Primeramente, es necesario ver qué puntos satisfacen la condición 
necesaria (C.N.) La idea es poder descartar todos los puntos que NO satisfacen la 
condición necesaria como posibles óptimos. 
 -Optimización linealmente restringida. 
Se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programación 
lineal, de manera que todas las funciones de restricción g¡ (x) son lineales, pero la 
función objetivo es no lineal. 
 -Programación cuadrática 
Es un caso particular de la programación no lineal, al que se le pueden aplicar 
técnicas de programación no lineal, como pueden ser: de restricciones activas, 
gradientes conjugados, estimación de los multiplicadores de Lagrange. 
 -Programación convexa. 
Su objetivo es simplificar el proceso de verificación de la convexidad de un 
problema, que en muchos casos es un trabajo intratable. Se basa en una librería de 
funciones, a partir de las cuales se construyen los problemas y un conjunto de 
normas impuesto sobre estas funciones, que establecen como combinarlas. 
 -Programación separable. 
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 Se utiliza cuando la función objetivo y/o las restricciones son descritas por funciones 
no lineales, además estas deben poder ser expresadas como la suma de n funciones 
que dependen de una sola variable. 
 -Programación no convexa. 
Esta incluye todos los problemas de programación no lineal que no satisfacen las 
suposiciones de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito en 
encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global. 
 -Programación fraccional. 
Es usado cuando la función objetivo es una razón de dos funciones que, en general, 
no son lineales. La relación a optimizar a menudo describe algún tipo de eficiencia 
de un sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FUENTES BIBLIOGRÁFICAS 
 
3.3 Tipos de Problemas de Programacion No Lineal. (2010, 17 abril). INVESTIGACION 
DE OPERACIONES. https://karenbandala.wordpress.com/unidad-iii/3-3-
problemas-no-restringidos-programacion-no-lineal/ 
 
Santiago, H. (2020a, febrero 3). Por: Hermelinda Santiago Martínez ¿QUÉ ES LA TEORÍA 
DE COLAS O DE LÍNEAS DE ESPERA? La teoría de colas es el estudio de los 
sistemas. Emprendices. https://www.emprendices.co/teoria-colas-lineas-espera/ 
 
Santiago, H. (2020b, febrero 3). Por: Hermelinda Santiago Martínez ¿QUÉ ES LA 
TEORÍA DE COLAS O DE LÍNEAS DE ESPERA? La teoría de colas es el estudio 
de los sistemas. Emprendices. https://www.emprendices.co/teoria-colas-lineas-
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Santiago, H. (2020c, febrero 3). Por: Hermelinda Santiago Martínez ¿QUÉ ES LA TEORÍA 
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sistemas. Emprendices. https://www.emprendices.co/teoria-colas-lineas-espera/ 
 
Westreicher, G. (2022, 24 noviembre). Programación no lineal. Economipedia. 
https://economipedia.com/definiciones/programacion-no-lineal.html 
 
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https://karenbandala.wordpress.com/unidad-iii/3-3-problemas-no-restringidos-programacion-no-lineal/
https://www.emprendices.co/teoria-colas-lineas-espera/
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https://economipedia.com/definiciones/programacion-no-lineal.html