guía-ecuación-cuadrática-2

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Colegio Metodista Robert Johnson 
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Donde el elemento 
c es igual a 0 
Donde el elemento 
b es igual a 0 
 
 Ecuación cuadrática 
Nombre: Curso 2 ° medio A / B / C / D Fecha / / / 2020 
Objetivo: Reconocer los elementos de una ecuación cuadrática, 
aplicar modelos matemáticos para la resolución de ecuaciones 
cuadráticas completas e incompletas por fórmula y factorización 
Importante 
 Factorizar 
Crece, valórate y 
respétate 
Ecuaciones cuadráticas incompletas 
Recordemos que las ecuaciones de segundo grado o 
ecuaciones cuadráticas, son aquellas de la forma 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, donde 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ ℝ 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎 
Dicho esto llamaremos ecuaciones cuadráticas 
incompletas a aquellas ecuaciones con cocientes 
𝑏 = 0
𝑐 = 0
 
Es decir, son ecuaciones de la forma 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 
 
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 
Algunas ecuaciones incompletas son: 
𝑥2 + 6𝑥 = 0 
4𝑥2 − 36 = 0 
Para resolver este tipo de ecuaciones podemos usar la 
fórmula 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
Si tomamos el Ejemplo 𝟏 
𝑥2 + 6𝑥 = 0 
Tenemos que los valores de los cocientes son: 
𝑎 = 1 𝑏 = 6 𝑐 = 0 
Ya con los cocientes identificados reemplazamos en: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−𝟔 ± √𝟔𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟎)
𝟐(𝟏)
 
Resolvemos las operaciones aritméticas 
𝒙 =
−𝟔 ± √𝟑𝟔 − 𝟎
𝟐
 
𝒙 =
−𝟔 ± √𝟑𝟔
𝟐
 
 
Si la base resultante en el radical es 36 y sabemos que este 
número es mayor que 0, tendremos dos soluciones. 
−𝟔 ± √𝟑𝟔
𝟐
 
𝒙𝟏 =
−𝟔 + 𝟔
𝟐
=
𝟎
𝟐
= 𝟎
𝒙𝟐 =
−𝟔 − 𝟔
𝟐
=
−𝟏𝟐
𝟐
= −𝟔
 
Importante 
Existe un método para resolver ecuaciones cuadráticas que 
se llama factorización, si resolvemos el ejercicio anterior 
utilizando este método el procedimiento es el siguiente. 
Resolver 
𝑥2 + 6𝑥 = 0 
Al factorizar, se busca el factor común entre ambos 
términos, podemos notar que el factor común es la 
variable x. 
𝑥(𝑥 + 6) = 0 
Una vez que factorizada la expresión vamos a separar los 
resultados y los vamos a igualar a 0 como se indica a 
continuación, 
𝑥 = 0 𝑥 + 6 = 0 
Luego se despeja 
𝑥 = 0 𝑥 = −6 
Y ya está resuelta nuestra ecuación, muchas veces es más 
simple resolver la ecuación por medio de la factorización 
que usando la fórmula. 
Ejemplo 2 
4𝑥2 − 36 = 0 
Podemos resolver esta ecuación con la fórmula ya 
conocida. 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
Lo primero es identificar los coeficientes 
𝑎 = 4 𝑏 = 0 𝑐 = −36 
Ahora reemplazamos en nuestra fórmula 
𝑥 =
0 ± √02 − 4(4)(−36)
2(4)
 
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Ahora resolvemos lo que está dentro del radical 
𝑥 =
0 ± √0 + 576
8
 
𝑥 =
±√576
8
 
 
𝑥 =
±√576
2
 
𝑥1 =
+24
8
= 3
𝑥2 =
−24
8
= −3
 
Las soluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟑 ; 𝒙𝟐 = −𝟑 
Ahora si utilizamos la factorización nos quedaría de la 
siguiente manera 
4𝑥2 − 36 = 0 
Es importante recordar que esta expresión es una suma 
por su diferencia, y para factorizar estas expresiones 
identificamos las raíces del primer y segundo término 
4𝑥2 − 36 = 0 
La raíz cuadrada de 4 es 2 
La raíz cuadrada de 𝑥2es 𝑥 
La raíz cuadrada de 36 es 6 
Una vez identificada la raíz cuadrada de cada expresión 
completamos los binomios como se muestra a 
continuación: 
(2𝑥 + 6)(2𝑥 − 6) = 0 
Una vez que factorizada la expresión vamos a separar los 
resultados y los vamos a igualar a 0 como se indica a 
continuación: 
(2𝑥 + 6) = 0 ; (2𝑥 − 6) = 0 
Y ahora se resuelve por separado. 
2𝑥 + 6 = 0 2𝑥 − 6 = 0 
2𝑥 = −6 2𝑥 = 6 
𝑥 =
−6
2
𝑥 =
6
2
 
𝑥 = −3 𝑥 = 3 
Las soluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟑 ; 𝒙𝟐 = −𝟑 
Nota: no siempre es fácil factorizar o encontrar los 
términos para hacerlo, pero hay que destacar que en 
muchos casos simplifica bastante el ejercicio y acorta los 
tiempos de resolución de este. 
 
No solo se pueden factorizar las ecuaciones cuadráticas 
incompletas, también podemos factorizar las ecuaciones 
cuadráticas que tienen todos sus términos. 
Ejemplo 3 
𝑥2 + 13𝑥 + 30 = 0 
Para factorizar buscamos dos números que sumados den 
el termino central y que multiplicados den el tercer 
termino 
Tras un análisis mental nos damos cuenta que dichos 
números son 3 y 10, ahora completamos los binomios 
(𝑥 + 3)(𝑥 + 10) = 0 
Ahora igualamos cada binomio a 0 y resolvemos 
𝑥 + 3 = 0 𝑥 + 10 = 0 
𝑥 = −3 𝑥 = −10 
Las soluciones son: 𝒙𝟏 = −𝟑 ; 𝒙𝟐 = −𝟏𝟎 
Es importante reiterar que al aplicar la factorización las 
ecuaciones cuadráticas se simplifican bastante, pero no 
siempre lograremos factorizar, en aquellos casos 
aplicaremos la fórmula conocida. 
Ejemplo 4 
𝑥2 + 14𝑥 + 45 = 0 
Aquí buscamos dos números que sumados den 14 y 
multiplicados den 45, cuando los encuentras los escribes 
como binomios 
(𝑥 + 5)(𝑥 + 9) = 0 
𝑥 + 5 = 0 𝑥 + 9 = 0
𝑥 = −5 𝑥 = −9
 
Y listo 𝒙𝟏 = −𝟓 ; 𝒙𝟐 = −𝟗 
Y así sin la formula tenemos la solución de una ecuación 
cuadrática 
Ejemplo 5 
𝑥2 + 18𝑥 + 80 = 0 
(𝑥 + 8)(𝑥 + 10) = 0 
𝑥 + 8 = 0 𝑥 + 10 = 0
𝑥 = −8 𝑥 = −10
 
Y listo 𝒙𝟏 = −𝟖 ; 𝒙𝟐 = −𝟏𝟎 
Ya tendrás que hacerlo tu anota tus dudas y envíalas por 
los medios de contacto 
 
 
En este caso la 
base del radical es 
mayor que 0 por 
lo que tendremos 
dos soluciones 
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Ejemplo 6 
𝑥2 − 25 = 0 
Es suma por su diferencia y su factorización es la raíz 
cuadrada de cada término en cada binomio con los signos 
cambiados tal como se muestra a continuación. 
𝑥2 − 25 = 0 
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0 
𝑥 + 5 = 0 𝑥 − 5 = 0
𝑥 = −5 𝑥 = 5
 
Y listo 𝒙𝟏 = −𝟓 ; 𝒙𝟐 = −𝟓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios 
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas 
factorizando 
a) 𝑥2 − 16 = 0 
b) 𝑥2 − 100 = 0 
c) 16𝑥2 − 64 = 0 
d) 49𝑥2 − 81 = 0 
e) 𝑥2 + 12𝑥 + 20 = 0 
f) 𝑥2 + 13𝑥 + 36 = 0 
g) 𝑥2 + 17𝑥 + 60 = 0 
h) 𝑥2 + 32𝑥 + 60 = 0 
i) 𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 0 
j) 𝑥2 − 12𝑥 − 28 = 0 
k) 𝑥2 + 7𝑥 = 0 
l) 𝑥2 + 2𝑥 = 0 
m) 𝑥2 − 10𝑥 = 0 
n) 2𝑥2 + 4𝑥 = 0 
o) 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 
p) 5𝑥2 − 7𝑥 = 0 
Resuelve cada ejercicio utilizando el método que te 
parezca más simple de utilizar en cada caso 
q) 𝑥2 − 225 = 0 
r) 𝑥2 + 9𝑥 + 20 = 0 
s) 2𝑥2 + 13𝑥 + 15 = 0 
 
 
 
Ya entiendo 
Ahora todo está más 
claro, pinches 
ecuaciones