Matemática_9__6

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Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
9º 
EEB - 3º Ciclo 
ÁREA: MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: Matemática 
CAPACIDAD: Resuelve gráfica y analíticamente Ecuaciones de Segundo Grado. 
UNIDAD TEMÁTICA: Operaciones y Expresiones Algebraicas 
TEMA: Ecuación de segundo grado. Concepto. Características. Elementos. 
INDICADORES: 
✓ Reconoce una ecuación cuadrática y sus componentes 
✓ Identifica ecuaciones cuadráticas completas e incompletas. 
Observación: Queda a criterio del docente agregar más indicadores y/o 
aumentar puntaje (1 punto por indicador). 
Atención: Recuerda la importancia de lavarse las manos correcta y frecuentemente, 
además de utilizar el ángulo interno del codo al toser o estornudar, para evitar la 
propagación del Coronavirus: ¡Quédate en casa!, Epyta nde rógape! 
DESARROLLO DE ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS: 
Ecuaciones cuadráticas 
Toda ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes y 
𝑎 ≠ 0, es cuadrática o de segundo grado. 
Forma General de la Ecuación Cuadrática 
 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑥 𝑎 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥2 ; 
𝑏 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥 ; 𝑐 = 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
Las ecuaciones de segundo grado pueden ser completas e incompletas. 
La ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es completa cuando a, b y c son números reales 
distintos de cero. 
Son incompletas cuando “a” es distinto de cero y b o c igual a cero. En el 
primer caso se tiene una ecuación de la forma 𝑎𝒙𝟐 + 𝑏𝒙 = 𝟎 y en el segundo 
caso es de la forma 𝑎𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 . En el caso en que b y c son iguales a cero 
(simultáneamente) la ecuación es de la forma 𝑎𝒙𝟐 = 𝟎 
2° miembro 1° miembro 
término cuadrático (x2) término lineal (x) término independiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
9º 
EEB - 3º Ciclo 
Ejemplos: 
1. Subraya las ecuaciones cuadráticas: 
𝑎) 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0 𝑏) 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 0 𝑐) 𝑥2 = 0 
𝑑) 7𝑥 + 15 = 0 𝑒) 𝑥2 − 4 = 0 𝑓) 𝑥2 + 3𝑥 = 0 
La opción b no es una ecuación cuadrática pues el término de mayor grado es 3, es 
decir, es de 3º. Análogamente, la opción d es de 1º. 
2. Completo el cuadro: 
Ecuación ¿Es Cuadrática? Coeficiente de Término 
independiente 
(c) 
x2 
(a) 
x 
(b) 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎 Si 2 3 0 
𝒙𝟐
𝟐
 + 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟎 
Si 1
2
 
5 -3 
𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟎 No 0 3 1 
𝟓𝒙𝟐 = 𝟎 Si 5 0 0 
−𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎 Si -1 5 6 
𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 Si -2 0 4 
 
3. Encierra en círculo la forma general de las siguientes ecuaciones: 
𝑎) (2𝑥 + 5)(3𝑥 − 2) = 0 
 
6𝑥2 + 15𝑥 − 15 = 0 6𝑥2 − 6𝑥 − 15 = 0 6𝑥2 + 11𝑥 − 10 = 0 
 
Calculo Auxiliar 
(2𝑥 + 5)(3𝑥 − 2) = 0 Multiplicamos los binomios del primer miembro. 
(2𝑥 + 5)(3𝑥) + (2𝑥 + 5)(−2) = 0 Aplicamos la propiedad distributiva. 
6𝑥2 + 15𝑥 − 4𝑥 − 10 = 0 Reducimos términos semejantes. 
6𝑥2 + 11𝑥 − 10 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
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9º 
EEB - 3º Ciclo 
 𝑏) (3𝑥 − 2)2 = 5(𝑥 − 1) 
 
9𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 9𝑥2 − 17𝑥 + 9 = 0 9𝑥2 + 4𝑥 + 9 = 0 
Calculo Auxiliar 
En el primer miembro desarrollamos el 
cuadrado de un binomio 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 
En el segundo miembro aplicamos la 
propiedad distributiva 
(3𝑥)2 − 2.3𝑥. 2 + 22 = 5(𝑥 − 1) 
Pasamos los términos del 2° miembro al 1° 
miembro, para igualar la ecuación a cero. 
9𝑥2 − 12𝑥 + 4 = 5𝑥 − 5 
Reducimos los términos semejantes 9𝑥2 − 12𝑥 + 4 − 5𝑥 + 5 = 0 
 9𝑥2 − 17𝑥 + 9 = 0 
 
4. Une con flecha las ecuaciones con los coeficientes que corresponden: 
a) 3𝑥2 + 5𝑥 − 1 = 0 • 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 0 
b) −6𝑥2 + 3𝑥 + 15 = 0 • 𝑎 = −5, 𝑏 = 2, 𝑐 = 3 
c) 𝑥2 + 10 = 0 • 𝑎 = −6, 𝑏 = 3, 𝑐 = 15 
d) 3 + 2𝑥 − 5𝑥2 = 0 • 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 10 
e) 2𝑥2 − 3𝑥 = 0 • 𝑎 = 3, 𝑏 = 5, 𝑐 = −1 
 
 
Recuerda: Los ejercicios propuestos podrás transcribirlos (copiarlos) en tu cuaderno. 
El docente del grado estará atento a las consultas que la familia requiera realizar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
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9º 
EEB - 3º Ciclo 
ACTIVIDADES: 
1) Encierra en círculo las ecuaciones que son cuadráticas: 
a) 2𝑥2 + 7𝑥 + 5 = 0 
b) 2𝑥 = 0 
c) 𝑥2 = 0 
d) 2𝑥 + 1 = 0 
e) 𝑥2 − 9 = 0 
f) 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0 
g) 𝑥2 + 2𝑥 = 0 
2) Completa la tabla con los coeficientes de cada ecuación cuadrática: 
 
 
 
 
 
 
3) Marca con X según corresponde: 
 
 
Ecuación a b c 
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 
3𝑥2 + 2 = 0 
6𝑥2 + 5𝑥 + 8 = 0 
𝑥2 + 7𝑥 = 0 
−𝑥2 + 6 = 0 
Ecuación Cuadrática completa Cuadrática incompleta 
𝑎) − 𝑥2 = 0 
𝑏) 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = 0 
𝑐) − 2𝑥2 + 6 = 0 
𝑑) 𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 
𝑒) 3𝑥2 + 8𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
9º 
EEB - 3º Ciclo 
4) Encierra en círculo la forma general de la ecuación: 
𝑎) (𝑥 − 3)2 = 2(𝑥 − 1) 
 
𝑥2 − 8𝑥 + 11 = 0 𝑥2 − 8𝑥 − 11 = 0 𝑥2 + 8𝑥 + 11 = 0 
 
𝑏) (5𝑥 + 2)2 = 2(𝑥 + 1) 
 
25𝑥2 + 22𝑥 − 2 = 0 25𝑥2 + 18𝑥 + 2 = 0 25𝑥2 − 18𝑥 + 2 = 0 
 
MEDIOS DE VERIFICACIÓN: Queda a criterio del docente los medios de 
verificación que utilizará. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
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EEB - 3º Ciclo 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
Larson, R. H. (2005). College Algebra A Graphing Approach. New York: Houghton 
Mifflin Company. 
Ministerio de Educación y Ciencias. (2018). Texto para el estudiante, Matemática 
3º curso - Educación Media Plan Común, Serie curricular Panambi. 
Asunción, Paraguay: AGR S.A. servicios gráficos. 
Ministerio de Educación y Cultura. (2014). Programa de Estudio: Matemática - 9º 
grado. Educación Escolar Básica. Asunción, Paraguay: MEC. 
Vance, P. (1976). Álgebra y Trigonometría. Fondo Educativo Interamericano S. A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordinador Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña 
Responsable del contenido Prof. Lic. Mirtha Guedes de Paciello 
Responsable de la revisión Prof. Derlis Manuel Penayo Díaz 
Prof.Ing. Milia Dalila Molas de Penayo 
Responsable de la diagramación Prof. Mtr. Omar J. Morales Fernández 
Responsable de la corrección Prof. Lic. Carlos José Ramírez Cardozo