DEFINICIONES Y PRESENTACIONES ESTADISTICAS

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Lección 1.1: Definiciones y presentaciones estadísticas
1. Que es la estadística
Que es la estadística
La estadística ha cobrado gran importancia en el análisis de los datos, no sólo en los asuntos del Estado (de ahí su nombre), sino también en las facetas del comportamiento humano, expandiendo su aplicación en las diferentes ciencias y disciplinas tales como la administración, economía, comunicación, agricultura, medicina, física, ciencias políticas, psicología, sociología, ingeniería, entre otras. (Posada,2016).
La palabra estadística significa cosas diferentes para personas diferentes. Para un aficionado al fútbol americano, se trata del número de carreras, pases y anotaciones; para el entrenador de los Cargadores, la estadística es la posibilidad de que los Gigantes lancen un pase corto por el centro; para el administrador de una planta de energía, es la cantidad de contaminantes que se liberan a la atmósfera. Para el director del Departamento de Alimentos y Medicina, es el porcentaje posible de efectos secundarios no deseados con el uso generalizado de una nueva medicina para curar el cáncer de próstata, para el Banco Comunitario, la estadística es la posibilidad de que Sarah pague a tiempo el préstamo. Para el estudiante que toma este curso, se trata de la calificación que obtenga en los tres exámenes parciales y en el final de la materia. (Levin et al, 2004).
Importancia para la contaduría
Las empresas de contadores públicos al realizar auditorías para sus clientes emplean procedimientos de muestreo estadístico. Por ejemplo, suponga que una empresa de contadores desea determinar si las cantidades en cuentas por cobrar que aparecen en la hoja de balance del cliente representan la verdadera cantidad en cuentas por cobrar. Por lo general, el gran número de cuentas por cobrar hace que su revisión tome demasiado tiempo y sea muy costosa. Lo que se hace en estos casos es que el personal encargado de la auditoría selecciona un subconjunto de las cuentas al que se le llama muestra. Después de revisar la exactitud de las cuentas tomadas en la muestra (muestreadas) los auditores concluyen si la cantidad en cuentas por cobrar que aparece en la hoja de balance del cliente es aceptable. (Anderson et al, 2008)
Definición de la estadística
Le estadística es una ciencia que proporciona un conjunto de métodos que se utiliza para recolectar, resumir, clasificar, analizar e interpretar el comportamiento de los datos con respecto a una característica de la materia de estudio o investigación y que ayuda a resolver problemas, basado en diseño de experimentos y la toma de decisiones.
2. Clasificación de la estadística
Clasificación de la estadística 
La estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos ramas las cuales son: estadística descriptiva y estadística inferencial.
●        ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: 
Consiste en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad para resumir o describir los mismos factores pertinentes adicionales, esto se refiere a no intentar nada que vaya más allá de los datos.
●        ESTADÍSTICA INFERENCIAL: 
Se deriva de las observaciones hechas solo a una parte de un conjunto numeroso de elementos; implicando así que su análisis requiera de generalizaciones que van más allá de los datos, como consecuencia la característica más importante del crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que sirven para generalizarlas. En otras palabras, la estadística inferencial investiga y analiza una población partiendo de una muestra tomada. (Levin I. & S. Rubin, 1996)
3. Muestreo no probabilístico
Muestreo no probabilístico
Sin embargo, no es sencillo cumplir con los requisitos impuestos por el muestreo probabilístico:
· Disponer de un marco muestral es algo relativamente poco habitual en estudios de mercado.
· Lograr que todos los individuos de la población tengan una probabilidad no nula de ser seleccionados es un requisito igualmente exigente, más aún conocer la probabilidad de inclusión exacta de cada unidad muestral.
· Todos los individuos que no pueden ser seleccionados en una muestra se suelen referir como unidades fuera de cobertura.
Por todas estas razones, así como por razones de coste, los investigadores recurren con frecuencia a otras técnicas de muestreo, agrupadas dentro de lo que se conoce como muestreo no probabilístico. En estas técnicas alternativas, es habitual seleccionar elementos para la muestra basándose en hipótesis relativas a la población de interés, lo que se conoce como criterios de selección. Por ejemplo, seleccionar una muestra buscando individuos por la calle, tratando de que la mitad sean hombres y la mitad mujeres (coincidiendo con la distribución que se supone en la población) sería un criterio de muestreo no probabilísitico.
En estos casos, debido a que la selección de las unidades de la muestra no es aleatoria, cuando hablamos de muestreo no probabilístico no deberíamos hablar de estimaciones de error. Dicho de otra forma, una muestra no probabilística nos informa de cómo es un universo, pero no nos permite saber con qué precisión: no podemos establecer unos márgenes de error y unos niveles de confianza.
Algunas técnicas de muestreo de este tipo son:
a)      Muestreo por cuotas
También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o de los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la investigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad.
En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión.
b)     Muestreo intencional o de conveniencia
Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos supuestamente típicos. Es muy frecuente su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto. También puede ser que el investigador seleccione directa e intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de este procedimiento el utilizar como muestra los individuos a los que se tiene fácil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos).
c)      Bola de nieve
Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones " marginales", delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc.
d)     Muestreo discrecional
A criterio del investigador los elementos son elegidos sobre lo que él cree que pueden aportar al estudio.
4. Tipos de datos
Tipos de datos
Lo que estudiamos en cada individuo de la muestra son las variables (edad, sexo, peso, talla, tensión arterial sistólica, etcétera). Los datos son los valores que toma la variable en cada caso. Lo que vamos a realizar es medir, es decir, asignar valores a las variables incluidas en el estudio. Deberemos además concretar la escala de medida que aplicaremos a cada variable.
La naturaleza de las observaciones será de gran importancia a la hora de elegir el método estadístico más apropiado para abordar su análisis. Con este fin, clasificaremos las variables, a grandes rasgos, en dos tipos: variables cuantitativas o variables cualitativas.
Variables cuantitativas
Son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente, las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
Variables cuantitativas continuas
 si admiten tomar cualquier valor dentro de un rango numérico determinado(edad, peso, talla).
Variables cuantitativas discretas
si no admiten todos los valores intermedios en un rango. Suelen tomar solamente valores enteros (número de hijos, número de partos, número de hermanos, etc).
Variables cualitativas
Este tipo de variables representan una cualidad o atributo que clasifica a cada caso en una de varias categorías. La situación más sencilla es aquella en la que se clasifica cada caso en uno de dos grupos (hombre/mujer, enfermo/sano, fumador/no fumador, bueno/malo, grande/mediano/pequeño), son datos dicotómicos o binarios que en muchas ocasiones no es suficiente y se requiere de un mayor número de categorías (color de los ojos, grupo sanguíneo, profesión, etcétera)
Dicotómica: 2 categorías (sexo) Politómica: + de 2 categorías (nacionalidad).  
En el proceso de medición de estas variables, se pueden utilizar dos escalas: Escalas nominales: ésta es una forma de observar o medir en la que los datos se ajustan por categorías que no mantienen una relación de orden entre sí (color de los ojos, sexo, profesión, presencia o ausencia de un factor de riesgo o enfermedad, etcétera).  Escalas ordinales: en las escalas utilizadas, existe un cierto orden o jerarquía entre las categorías, es decir, pueden ser manejadas en categorías ordenadas para establecer relaciones competitivas, pero no de medición cuantitativas.
Organización y clasificación de datos
En el trabajo estadístico, siempre se dispone de muchos datos que, definitivamente tienen que ser clasificados, ordenados y presentados adecuadamente, de tal manera que facilite la comprensión, descripción y análisis del fenómeno estudiado, y obtener conclusiones válidas para la toma de decisiones. Prof. Roxana Paredes
La organización y presentación de los datos estadísticos, supone realizar los siguientes pasos: Evaluación y crítica, Codificación, Clasificación, Procesamiento o tabulación de datos, Presentación de los datos.
5. Tablas de distribución de frecuencias
Tablas de distribución de  frecuencias
La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos, ordenados ascendente o descendentemente, de acuerdo a la frecuencia de cada dato. Las frecuencias pueden ser:
Frecuencia absoluta (fi):
Es el número de veces que se repite un determinado valor de la variable (xi). Se designa por fi.
Propiedad: la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de observaciones (n).
Frecuencia acumulada (Fi):
Las frecuencias acumuladas de una distribución de frecuencias son aquellas que se obtienen de las sumas sucesivas del fi que integran cada una de las filas de una distribución de frecuencia, esto se logra cuando la acumulación de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la primera fila hasta alcanzar la última. Las frecuencias acumuladas se designan con las letras Fi. Se calcula:
Propiedad: La última frecuencia acumulada absoluta es igual al total de observaciones.
Frecuencia relativa (hi):
Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos. Las frecuencias relativas se designan con las letras hi. Se calcula.
Propiedad: La última frecuencia acumulada absoluta es igual al total de observaciones.
Frecuencia relativa (hi):
Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos. Las frecuencias relativas se designan con las letras hi. Se calcula.
Propiedad: la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.
Frecuencia relativa acumulada (Hi)
Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias acumuladas entre número total de datos. Se designa con las letras Hi . Se calcula
Propiedad: La última frecuencia relativa acumulada es la unidad.
Es la representación estructurada en forma de tabla de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia, es decir, es una tabla que presenta de manera ordenada los distintos valores de una variable y sus correspondientes frecuencias. Su forma más común es la siguiente:
Ejemplo
El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos por familia ha descendido respecto de la década anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al número de hijos, y ha obtenido los siguientes datos:
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 6
Se pide:
a. Construir la tabla de frecuencias absolutas
b. ¿Cuál es el número de familias que tiene como máximo dos hijos?
c. ¿Cuántas familias tienen más de 1 hijo pero como máximo 3?
d. ¿Qué porcentaje de familias tiene más de 3 hijos?
Solución:
a.- Para construir la tabla de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable en estudio es el número de hijos (discreta), que toma los valores existentes entre 0 y 6 hijos y las frecuencias son el conjunto de familias, de esta forma tenemos:
b. En la columna de las fi: 2+4+21=27 ó en la columna de las Fi: F2= 27
c. En la columna de las fi: 21+15=36 ó en la columna de las Fi: 42-6=36
d. En la columna de las hj: 0.12+0.02+0.02=0.16, que supone un 16% ó en la columna de las Hi: 1-0.84=0.16, 16%.
Distribuciones de frecuencias agrupadas
Es aquella distribución en la que las disposiciones tabulares de los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia en cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior 50 y además el rango o recorrido de la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva.
La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad.
Al agrupar los datos en una distribución de frecuencia de clase se pierde parte de la información. La reducción o agrupamiento a que son sometidos los datos de una serie de valores cuando existen muchos valores diferentes, originan los denominados errores de agrupamiento; sin embargo, estos errores son en general muy pequeños, razón por la cual la distribución de frecuencia de clase tiene una validez estadística práctica.
Para agrupar los datos en intervalos de clase se deben seguir las siguientes reglas generales:
· El número de intervalos de clase se toma entre 5 y 15 dependiendo de los datos.
· Cada observación debe estar incluida en una y solo una clase o intervalo.
· El valor más pequeño y más grande deben entrar en la clasificación.
· No deben existir brechas o vacíos entre clases sucesivas.
· Los intervalos no se deben sobreponer.
· En la medida de lo posible, se debe utilizar la misma amplitud para todos los intervalos.
6. Componentes de una distribución de frecuencias de clases
Componentes de una distribución de frecuencias de clases
a) Clase o Intervalo de clase.
 Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande. Un número de clases pequeño puede ocultar la naturaleza natural de los datos y un número muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en la investigación. A las fronteras del intervalo, la llamaremos, límites inferior y superior de la clase y los denotaremos por
b) Punto medio o Marca declase ( X )
Es la semisuma del límite inferior y superior de una clase, tal como lo indica la siguiente formula:
c) Amplitud, Longitud o Tamaño del Intervalo
 Los intervalos de clases pueden ser de tres tipos: Clases de igual tamaño, clases de tamaños desiguales y clases abiertas. En términos generales, las clases de igual tamaño son los más utilizados y recomendados para los cálculos estadísticos. Se designa por las letras Ic.
Nota: Al número de observaciones de una clase se le llama frecuencia de clase, si dividimos esta frecuencia por el número total de observaciones, se llama frecuencia relativa de clase, y del mismo modo que lo hacíamos para datos sin agrupar definiríamos Hi, y Fi.
d). Procedimiento para construir una distribución de frecuencias agrupada en intervalos
1.      Calcular el rango: Determinar el máximo y mínimo entre los valores que tenemos en la muestra y calcular el recorrido de la variable o rango, es decir, R=Xmax-Xmin
2.      Calcular el número de clases a utilizar. Existen diversos criterios para determinar el número de clases, ante tanta diversidad de criterios, se ha considerado que lo más importante es dar un ancho o longitud de clases a todos los intervalos de tal manera que respondan a la naturaleza de los datos y al objetivo que se persigue y esto se logra con la práctica. Existe una forma para determinar el número de clases y la misma puede ilustrarse en el siguiente cuadro:
Cuando se tenga dudas en determinar el número de intervalos de clases, es de gran utilidad utilizar el método sugerido por Hebert  A. Sturges, el cual establece que:
K= 1+3,322 log(n) = número de intervalos.
En este curso se utilizará este método siempre y cuando el mismo sea aplicable.
Determinamos la amplitud o tamaño de los intervalos través de la siguiente formula:
Ejemplo  
Un nuevo hotel va abrir sus puertas en una cierta ciudad. Antes de decidir el precio de sus habitaciones, el gerente investiga los precios por habitación de 40 hoteles de la misma categoría de esta ciudad. Los datos obtenidos (en miles de pesetas) fueron:
3.3 3.3 3.7 3.8 3.9 3.9 3.9 4.0 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.3 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.5 4.5 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1 5.3 5.3 5.4 5.6 5.8 5.8 6.0 6.1 6.1
Procedimiento:
1.- El menor valor es 3.3 y el mayor 6.1, la diferencia es 2.8 y por tanto R=2.8.
2.- K= 1+3,322 log(40) = 6.3 ≈ 6 números de intervalos
3.- Ic = 2.8 / 6 = 0.467 ≈ 0.5 tamaño de los intervalos
La tabla seria:
¿Cuantos hoteles tienen un precio entre 3?3 y 3.8? Respuesta 3
¿Cuantos hoteles tienen un precio superior a 4.8? Respuesta 15
¿Que porcentaje de hoteles cuestan como mucho 4?3? Respuesta 27.5 %
7. Distribución bidimensional
Distribución  bidimensional
Las técnicas estadísticas bi-variantes permiten el análisis conjunto de dos características de los individuos de una población con el propósito de detectar posibles relaciones entre ellas. La naturaleza (nominal, ordinal o numérica) de las características objeto de estudio determinará las herramientas más adecuadas para su análisis.
Genéricamente designaremos por A y B a las dos características y por A1,….,Ak y B1,……Bp las correspondientes modalidades. La distribución conjunta de frecuencias viene dada por:
a)      La frecuencia absoluta.
Donde se designa por un punto el total según el índice i o el índice j es decir:
nij = número de individuos que presentan el par de modalidades (Ai, Bj)
ni• es la suma total de las frecuencias absolutas nij según el índice j• esto es
n• es la suma total de las frecuencias absolutas nij según el índice i, o sea.
n•• (igual a n) es la suma total de las frecuencias absolutas nij según los índices i y j así como también la suma total de los totales ni• según j o los totales n•j según i, es decir:
b)      La frecuencia relativa
La tabla de doble entrada (tabla de contingencia) recoge, en términos absolutos o relativos, esta distribución conjunta:
La última columna recoge la distribución marginal de A,
y la última fila, la distribución marginal de B,
Dividiendo por cada uno de los valores de la tabla, obtendremos la distribución conjunta y las distribuciones marginales, en términos relativos:
En la medida en que se acerque a cero, la dependencia o asociación será débil, en la medida en que se aleje, la dependencia o asociación será más fuerte. A partir del coeficiente se obtienen otros (Phi, V de Cramer y Coeficiente de contingencia) que se interpretan de forma análoga.
Ejemplo
Suponga que las poblaciones masculinas de 7 ciudades se han clasificado en casados y solteros, obteniéndose la siguiente tabla.
Hallar:
a)      Tabla de distribución de frecuencias relativas
b)      La distribución marginal de X y de Y
c)      El porcentaje de casados y el porcentaje de solteros
d)      La tabla de distribución de frecuencia acumulada absoluta
Respuestas:
7. Distribución bidimensional
7.1. Distribución bidimensional
Las frecuencias relativas marginales están calculadas en las anteriores tablas de las cuales podemos resumir
Distribución marginal para X y Y
c)      El porcentaje de casados es 76,6%
El porcentaje de solteros es 23,4%
d)      Las frecuencias absolutas acumuladas bidimensionales están definidas por
La tabla de distribución acumulada absoluta seria:
8. Simetrías de las tablas de frecuencia
Simetrías de las tablas de frecuencia
Distribución simétrica
Al dividir una distribución de frecuencia mediante la mediana, ambas áreas resultantes son iguales, es decir, los datos se distribuyen de la misma forma y el área abarcada por ambos lados es equivalente (50% de los datos se encuentran distribuidos en ambas secciones).
Distribución Uniforme: 
Las frecuencias tienen todas las mismas alturas
Distribución Triangular: 
Los datos se distribuyen dando forma a un triángulo.
Distribución Binomial Simétrica: 
Presenta simetría con dos modas
Distribución asimétrica
Los datos no se distribuyen de forma uniforme y similar en las áreas que dan como resultado al dividir la distribución de frecuencia por la mediana.
Distribución Sesgada hacia la Izquierda: 
Los datos se concentran hacia la izquierda de la distribución.
Distribución Sesgada hacia la Derecha: 
Los datos se concentran hacia la derecha de la distribución.
Distribución asimétrica: 
No presenta uniformidad en la distribución de los datos
9. Representación gráfica de resultados
Representación gráfica de resultados
Histogramas
Histogramas para datos cuantitativos
Es una gráfica de la distribución de un conjunto de datos. Es un tipo especial de gráfica de barras, en la cual una barra va pegada a la otra, es decir no hay espacio entre las barras. Cada barra representa un subconjunto de los datos.  Un histograma muestra la acumulación ó tendencia, la variabilidad o dispersión y la forma de la distribución.
Para la construcción de un histograma es necesario realizar la agrupación de datos y elaborar una tabla de distribución de frecuencias, con datos recolectados
Datos de campo.
Calificaciones de 25 estudiantes de estadísticas en una escala de 0 a 10.
Tabla de distribución de frecuencias
Histogramas
Otros ejemplos gráficos de los histogramas
10. Histogramas para datos cualitativos
Histogramas para datos cualitativos
Como ya se indicó previamente, las variables cualitativas no tienen intervalos de clase por carecer éstos de sentido. Tampoco en ellas se calcula la frecuencia acumulada. Por lo tanto, para las variables cualitativas sólo existe la construcción de los histogramas de frecuencia absoluta y los histogramas porcentuales o de frecuencia relativa. Para variables cualitativas no existe polígono de frecuencias.  Un histograma de frecuencias para datos cualitativos también está formado por rectángulos que se dibujan separados para enfatizar que entre ellos existe una diferencia cualitativa y no cuantitativa. Los rectángulos en este gráfico pueden trazarse horizontal o verticalmente.
frecuencia
Es un gráfico de línea que se construye, sobre el sistema de coordenadas cartesianas, al colocar sobre cada marca de clase un punto a la altura iguala la frecuencia asociada a esa clase; posteriormente, estos puntos se unen por segmentos de recta. Para que el polígono quede cerrado se debe considerar un intervalo más al inicio y otro al final con frecuencias cero. A continuación, se muestra el polígono de frecuencias de las calificaciones de los 25 estudiantes de un curso de estadística.
Los polígonos de frecuencia también se pueden construir utilizando las frecuencias relativas de la distribución de frecuencias; estos gráficos se denominan polígonos de frecuencias relativas
Otros ejemplos gráficos de la representación de polígonos
11. Curvas de ojivas
Curvas de ojivas
La ojiva es el polígono que se obtiene al unir, por segmentos de recta, los puntos situados a una altura igual a la frecuencia acumulada a partir de la marca de clase, en la misma forma en que se realizó para construir el polígono de frecuencias. La ojiva también es un polígono que se puede construir con la frecuencia acumulada relativa. Con los datos anteriores construiremos dos ojivas, el polígono con la frecuencia acumulada y la ojiva porcentual.
La interpretación de estos gráficos es simple y muy útil; por ejemplo, de la primera ojiva puede observarse que 15 alumnos obtuvieron una calificación inferior o igual a 7.4: 60% de los alumnos del curso (este último dato se obtuvo con la segunda ojiva), y sólo cinco de ellos, 20%, una calificación inferior o igual a 6.
Otros ejemplos gráficos de ojivas
12. Otro tipo de gráficos
Otro tipo de gráficos
En estadística es muy común presentar los resultados de un estudio mediante
el uso de gráficas, es por ello, que no sólo encontraremos histogramas o
polígonos de frecuencia, sino también otras formas gráficas de representar
datos y cálculos estadísticos. A continuación, se listan algunos tipos de estas
representaciones gráficas.
· Gráfica de barra o columna simple
· Gráfica de sectores
· Gráfica de barras agrupadas
· Gráfica de barras de desviaciones
· Mapas estadísticos
· Gráficas pictóricas