UNIDAD 3

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1Distribuciones Básicas
Elegir un modelo aleatorio equivale a definir
una variable aleatoria y asignar a esa
variable una determinada distribución de
probabilidad.
Esa distribución dependerá de ciertas
condiciones bajo las cuales se efectúa la
experiencia.
2Distribuciones Básicas
Una vez elegido el modelo podremos hallar
la probabilidad de ocurrencia de los
distintos resultados en futuras repeticiones
del experimento, que será la probabilidad
de obtener distintos valores de la variable.
3
Distribuciones Básicas
Suponiendo válido el modelo propuesto,
podremos sacar conclusiones acerca de
ciertas características de la distribución,
basándonos en los resultados observados.
4
Variable Aleatoria de Bernoulli
Consideremos un experimento aleatorio tal que
los únicos resultados posibles son el suceso A y
su complementario A'. De manera que el espacio
de resultados estará formado por dos elementos
mutuamente excluyentes:
S={E=éxito; F=fracaso}
Llamaremos éxito a la ocurrencia de A y fracaso
a la ocurrencia de A'. 
Si p=P(A) llamamos q=P(A')=1-P(A)=1-p
5Experimento de Bernoulli
Llamamos experimento o ensayo de
Bernoulli a aquel cuyo espacio de
resultados está formado por dos elementos
mutuamente excluyentes:
S={E=éxito; F=fracaso}
con p= P(E) y q= P(F) = 1-p
6Experimento de Bernoulli
Éxito
Fracaso
0 1
7Experimento de Bernoulli
Entonces X: S   RX ={0;1}
X(E) = 1 ; X(F) = 0
La función de probabilidad p: RX   está
dada por la siguiente tabla:
Valores xi de X 0 1 
p(xi) q = 1-p p 
 
8
Definición de Variable Aleatoria 
de Bernoulli
Llamamos v.a. de Bernoulli con parámetro
p a la variable X que vale 1 si se obtiene
éxito al efectuar un experimento de
Bernoulli, y vale 0 si no se obtiene éxito. El
parámetro p es la probabilidad de éxito.
9
Propiedad 3.1
Si X es una variable aleatoria de Bernoulli
con parámetro p,
E(X) = p
Var(X) = p(1-p)=p.q
Demostrar
10
Variable Aleatoria de Bernoulli
1) La experiencia consiste en extraer una carta.
Se considera éxito el obtener “espada”, entonces,
Ejemplos:
S={espada; no espada}
X(espada) = 1 X(no espada) = 0
P(1) = p = 12/50 p(0) = q = 38/50
11
Variable Aleatoria de Bernoulli
2) La experiencia consiste en observar la calidad
de fumador en una persona adulta, entonces,
Ejemplos:
S={fumador; no fumador}
X(fumador) = 1 X(no fumador) = 0
P(1) = p = 0,5 p(0) = q = 0,5
12Variable Aleatoria Binomial
Supongamos que repetimos m veces un
experimento de Bernoulli bajo las condiciones
siguientes:
La probabilidad p de éxito permanece constante
en todas las repeticiones.
Las repeticiones son independientes, esto es, el
resultado obtenido en una repetición no influye
en el resultado de la otra.
13Variable Aleatoria Binomial
Si para cada elemento de S contamos el número
de éxitos tendremos una variable aleatoria
discreta
X: S  
que toma valores entre 0 y m, es decir,
RX ={0;1;2;...;m}
14Variable Aleatoria Binomial
Definición:
Llamamos v.a. Binomial al número de éxitos
obtenidos en m repeticiones independientes de
un experimento de Bernoulli.
15
Variable Aleatoria Binomial
Se dice, entonces, X ~ B(m;p)
es decir, X tiene distribución binomial con
parámetros
m y p, con p = P (éxito)
16
Variable Aleatoria Binomial
Ejemplo:
En una población la probabilidad de fumar es del
20%, ¿cuál es la probabilidad de que al
entrevistar a 3 personas 2 sean fumadoras?
17
Variable Aleatoria Binomial
Tenemos m=3 repeticiones independientes de
un experimento de Bernoulli.
Si X=número de personas fumadoras de un total
de 3 personas,
RX ={0; 1; 2; 3}
X será una v.a. Binomial si la probabilidad p es la
misma para las 3 repeticiones.
18Variable Aleatoria Binomial
Nos interesa hallar P (X=2).
Debemos hallar entonces la función de
probabilidad de X, p: RX  , p(xi)=P (X= xi)
El espacio de resultados será:
S={EEE; EEF; EFE; FEE; FFE; FEF; EFF; FFF}
19
Variable Aleatoria Binomial
X({FFF}) = 0
X({FFE; FEF; EFF}) = 1
X({EEF; EFE; FEE} = 2
X({EEE}) = 3
20
Variable Aleatoria Binomial
P(0)=P(X=0)=P({FFF}) es la probabilidad de 
que ninguna persona sea fumadora. Como 
estamos suponiendo que los resultados son 
independientes de una repetición a otra 
P({FFF}) = P({F}).P({F}).P({F}) 
Por lo tanto: P(0)=P({F})3=q3=(0,8)3
21
Variable Aleatoria Binomial
P(1)=P(X=1)=P({FFE}  {FEF} {EFF}) = 
=P({FFE})+P({FEF})+P({EFF}) por ser 
mutuamente excluyentes. 
Por ser los resultados independientes
P({FFE}) = P({F}).P({F}).P({E}) = 
=P({F})2.P({E})=q2.p=(0,8)2(0,2)
22
Variable Aleatoria Binomial
Entonces,
P(1)=3.P({F})2.P({E})=3.q2.p=3.(0,8)2(0,2)
23
Variable Aleatoria Binomial
P(2)=P(X=2)=P({EEF}  {EFE} {FEE}) = 
=P({EEF})+P({EFE})+P({FEE}) por ser 
mutuamente excluyentes. 
Por ser los resultados independientes
P({EEF}) = P({E}).P({E}).P({F}) = 
=P({F}).P({E})2=qp2=(0,8)(0,2)2
24
Variable Aleatoria Binomial
Entonces,
P(2)=3.P({F}).P({E})2=3.q.p2=3.(0,8)(0,2)2
25
Variable Aleatoria Binomial
Finalmente,
P(3)=P(X=3)=P({EEE}) es la probabilidad de 
que todos sean fumadores. Como estamos 
suponiendo que los resultados son 
independientes de una repetición a otra 
P({EEE}) = P({E}).P({E}).P({E}) 
Por lo tanto: P(3)=P({E})3=p3=(0,2)3
26
Variable Aleatoria Binomial
La función de probabilidad de X está dada por 
la siguiente tabla:
Valores xi de X 0 1 2 3 
p(xi) (0,8)
3 
3(0,8)
2
(0,2) 3(0,8)(0,2)
2
 (0,2)
3
 
 
Nos interesaba calcular 
P(2)=P(X=2)=3.(0,8)(0,2)2=0,096
27
Variable Aleatoria Binomial
La pregunta ahora es:
¿Cómo podemos obtener la función de
probabilidad en el caso general?
28
Variable Aleatoria Binomial
Si X ~ B(m;p) sabemos que :
RX = {0; 1; 2;…; m}, entonces para cada número
entero k, 0≤k≤m, debemos hallar
P(k)=P(X=k), es decir la probabilidad de obtener
exactamente k éxitos al repetir m veces un
experimento de Bernoulli.
29
Variable Aleatoria Binomial
Se da el suceso {X=k} si se obtienen k éxitos y
m-k fracasos.
Por ejemplo, si el resultado es: EE…EF…F
P({X=k})=pkqm-k
Como los k éxitos no necesariamente deben
darse en las k primeras repeticiones , este
resultado no es el único que corresponde al
suceso {X=k}.
30Variable Aleatoria Binomial
El número de resultados diferentes que
corresponden al suceso {X=k} será igual al
número de maneras distintas de elegir k
elementos de un conjunto de m elementos.
Ese número es el combinatorio
31
Variable Aleatoria Binomial
Por lo tanto:
 k:0; 1;…; m
Esta función p: RX →  cumple las propiedades de
función de probabilidad.
32
Función de Probabilidad
La v.a. X tiene distribución binomial con
parámetros m, p donde m  N y 0<p<1 si,
RX = {0; 1;…; m} y  k/0≤k≤m
donde q = 1-p
33
Función de Probabilidad
La función de probabilidad de la v.a. binomial es
simétrica para p = 0,5.
Si p < 0,5 es asimétrica a la derecha,
Si p > 0,5 es asimétrica a la izquierda.
Para cualquier valor de p la asimetría disminuye
a medida que aumenta m.
34
Función de Probabilidad
Ejemplo:
 
 
35
Función de Probabilidad
Ejemplo:
Figura: Función de probabilidad de una variable binomial
cuando m es grande.
36
Función de Distribución
La función de distribución de una v.a. binomial,
la obtenemos sumando los valores de la función
de probabilidad.  t  
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En un mercado se encuentran 200 bolsas con 15
manzanas cada una. Si la probabilidad de que
una manzana cualquiera esté en buen estado es
del 95%, ¿en cuántas bolsas se puede encontrar
por lo menos 14 manzanas en buen estado?
Ejemplo
38
Propiedad 3.2
Para todo k, 0≤k≤m,
b(k;m;p) = b(m-k;m;1-p)
39
Propiedad 3.3
Si X es una v.a. binomial con parámetros m y p,
entonces:
E(X) = mp
Var(X) = mp(1-p) = mpq
40Variable Aleatoria de Poisson
Consideremos un experimento aleatorio que
consiste en observar el número de veces que
ocurre un suceso en un intervalo de tiempo. Por
ejemplo, consideremos la experiencia que
consiste en registrar el númerode llamadas
telefónicas que llegan a un conmutador al cabo
de 2 horas.
41Variable Aleatoria de Poisson
Sea X: número de llamadas telefónicas que
llegan a un conmutador en un intervalo de 2
horas.
Si quisiéramos hallar la probabilidad de que en
ese período ingresen más de 8 llamadas no
podemos pensar en un modelo binomial.
Esta v.a. no toma un número fijo de valores, y,
por lo tanto, no podemos utilizar la distribución
binomial.
42Variable Aleatoria de Poisson
En general la experiencia consiste en contar el
número de veces que ocurre un suceso en un
intervalo de tiempo, ó, el número de elementos
con cierta característica que se encuentran en
una superficie o volumen.
43Variable Aleatoria de Poisson
Definición:
Decimos que X es una v.a. de Poisson con
parámetro λ, donde λ es un número real
positivo, si puede tomar cualquier valor entero
no negativo, es decir, RX:{0; 1; 2;...}=NU{0} y
su función de probabilidad está dada por:
44Variable Aleatoria de Poisson
Como λ es el único parámetro de la distribución,
usaremos la notación X ~ P(λ)
45
Variable Aleatoria de Poisson
Veamos que,
cumple con las propiedades de la función de
probabilidad:
1)p(k) ≥ 0 ya que e, k y λ son números positivos.
2)
46Variable Aleatoria de Poisson
47Variable Aleatoria de Poisson
Ejemplos:
X: número de demandas (necesidades) de los
pacientes que requieren servicio en una
institución de salud en un día.
Y: número de accidentes registrados en una
cierta intersección de calles
Z: número de microorganismos presentes en un
volumen de una solución.
48Condiciones del Modelo de Poisson
1) Si se consideran dos intervalos disjuntos, el
número de ocurrencias en uno de ellos es
independiente del número de ocurrencias en el
otro.
2) Las probabilidades de un determinado
número de ocurrencias en dos intervalos que
miden lo mismo son iguales.
49Condiciones del Modelo de Poisson
3) Si el intervalo es pequeño:
a) La probabilidad de una sola ocurrencia es
proporcional a lo que mide el intervalo.
b) La probabilidad de más de una ocurrencia es
despreciable comparada con la probabilidad de
una sola.
50
Condiciones del Modelo de Poisson
4) Teóricamente debe ser posible que haya un
número tan grande como se quiera de
ocurrencias en el intervalo considerado.
51
Condiciones del Modelo de Poisson
Si el intervalo es de tiempo, tendremos un
modelo temporal, donde el suceso que se
considera ocurre con intensidad c, siendo c el
número promedio de ocurrencias por unidad de
tiempo.
52
Condiciones del Modelo de Poisson
Se define X: número de ocurrencias en un
intervalo de tiempo de longitud t.
Si se cumplen las 4 condiciones del modelo será
X ~ P(λ) con λ = ct = número promedio de
ocurrencias en un intervalo de longitud t.
53
Condiciones del Modelo de Poisson
Consideremos la variable:
La primer condición nos dice que el número de
demandas que se reciben en un día debe ser
independiente del que se recibe otro día.
54
Condiciones del Modelo de Poisson
La segunda condición significa que la
probabilidad de recibir un número k de
demandas en un día debe ser la misma
cualquiera sea el día.
55
Condiciones del Modelo de Poisson
La tercer condición dice que el intervalo
considerado debe poder dividirse en intervalos
tan pequeños que la probabilidad de que se
produzca una demanda en uno de esos
intervalos sea muy chica y proporcional a la
longitud del pequeño intervalo.
56
Propiedad 3.4
Si X es una variable de Poisson con parámetro λ,
E(X) = λ
Var(X) = λ
57
Función de Distribución
El aspecto de la distribución depende muchísimo
de la magnitud de la media. Como ejemplo,
mostramos tres casos con λ=0,5 , λ=1,5 y λ=5.
Obsérvese que la asimetría de la distribución
disminuye al crecer λ y que, en paralelo, la gráfica
empieza a tener un aspecto acampanado.
58
 
 
Función de Probabilidad
59
 
 
Función de Probabilidad
60Función de Distribución
La función de distribución se obtiene sumando
los valores de la función de probabilidad.
61
Propiedad 3.5
Si X1~P(λ1) y X2~P(λ2) son variables aleatorias
independientes,
la variable aleatoria X1+X2~P(λ1+λ2)
62
Ejemplo
La probabilidad de que un isótopo radioactivo
emita a lo sumo 7 partículas en un intervalo de
tiempo de 2 seg. Es 0,9489. ¿Cuál es la
probabilidad de que en 3,5seg no haya emisión
de partículas?
63
Variable Aleatoria Normal
Es una v.a. continua y es la más utilizada en las
aplicaciones de la Estadística a las distintas
ciencias.
64
Variable Aleatoria Normal
La distribución Normal es la indicada para
trabajar con datos que siguen una escala
continua (peso, estatura, edad, tensión arterial,
colesterol, bilirrubina, etc.).
65Variable Aleatoria Normal
La distribución Normal posee la ventaja de que
otras distribuciones, bajo ciertas condiciones,
acaban aproximándose a ella, como en el caso
de la distribución binomial cuando p se
aproxima a 0,5 y aumenta m.
Se conoce también como curva o Campana de
Gauss.
66Variable Aleatoria Normal
Muchas distribuciones continuas se derivan de la
distribución normal, y ciertas variables que se
utilizan para justificar pruebas estadísticas
están distribuídas normalmente.
67Variable Aleatoria Normal
Definición:
Decimos que una v.a. continua X que toma todos
los valores reales es una v.a. normal con
parámetros  y , donde   , >0, si su
función de densidad es:
68Variable Aleatoria Normal
Entonces diremos que X  N(;)
La función f es una función de densidad porque
f(x)  0  x  , y además se puede probar que
69
Propiedad 3.6
Si X  N(;)  E(X) =  y Var(X) = 2
70
Variable Aleatoria Normal
Para cada par de valores de los parámetros  y 
se tiene una curva normal.
 
-  
 
  + 
Gráfico de la función de densidad de una 
variable aleatoria Normal. 
71
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
1) Tiene forma de campana.
2) Es simétrica respecto de la recta x = 
3) El máximo se alcanza en x = ; ese valor
máximo es:
72
73
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
Por lo tanto cuanto mayor es el valor de ,
menor es el máximo de f.
4) Los puntos de abscisa + y - son los
puntos de inflexión de la curva. Si  es
relativamente grande el gráfico es achatado; si 
es pequeño es más aguzado.
74
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
5)
Es decir, cuanto mayor es el valor absoluto de x
menor es su densidad de probabilidad.
75
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
Es muy poco probable encontrar valores de la
variable que se desvíen de la media  más de 3
veces la desviación estándar.
76
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
Como en toda función de densidad, el área total
encerrada bajo la curva es 1.
77
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
Cualesquiera sean los valores de  y , entre las
rectas x=- y x=+ se encuentra
aproximadamente el 68% del área; entre x=-
2 y x=+2 se encuentra e el 95% y entre
x=-3 y x=+3 el 99,7% .
78Normal
79
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
Si se cambia el valor de  dejando fijo  se
desplaza la curva hacia la derecha o hacia la
izquierda sin cambiar su forma. Como puede
verse en el siguiente gráfico.
80
81
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
Si se fija  y varía  la curva no se desplaza, pero
se alejan o acercan con respecto a  los puntos
de inflexión y esto altera la forma de la curva.
82
83
Características de la función de 
densidad de una Variable Aleatoria 
Normal
Si  disminuye habrá mayor probabilidad de
obtener valores de X cercanos a , mientras que
si  aumenta la curva se achata y aumenta la
probabilidad de obtener valoresextremos de X.
84Función de Distribución
Si t  
85
Variable Normal Estandarizada
Si X  N(;) a la variable estandarizada
correspondiente a X la llamaremos variable
normal estandarizada y la designaremos con Z.
86
Variable Normal Estandarizada
Estandarizar la variable significa transformar la
escala de medida. Para cada valor x, el z
correspondiente indica el número de
desviaciones estándar que separan a X de μ.
Si x > μ, z > 0
Si x < μ, z < 0
87
Variable Normal Estandarizada
El número que deja un 
área a su derecha se 
indica Z
α 
88
Propiedad 3.7
Si X  N(;) , a y b son números reales,
a ≠0 Y = aX+b  Y  N(a+b;|a|)
89
Propiedad 3.8
Si X  N(;)  N(0;1)
90Variable Aleatoria Normal
Si Z~N(0;1) la función de densidad es:
y la función distribución es:
91Variable Aleatoria Normal
Si Z ~ N(0;1), podemos calcular
P(a ≤ Z ≤ b) = F(b) - F(a) ; a y b números reales
92Ejemplo 1
Sea Z ~ N(0;1), queremos hallar
P(Z ≤ 1,5) = F(1,5) = 0,9332
93Ejemplo 2
Sea Z ~ N(0;1), queremos hallar
P(-1,1< Z ≤ 2,1) = F(2,1) – F(-1,1) =
= F(2,1) – [1-F(1,1)] = F(2,1) + F(1,1) – 1 =
= 0,9821 + 0,8643 – 1 = 0,8464
94
Propiedad 3.9
Si F:  →  es la función de distribución de la
variable normal estandarizada
F(-t) = 1 – F(t)  t  
95Variable Aleatoria Normal
Sean a y b números reales , consideremos los 
siguientes casos:
1) P(a ≤ Z ≤ b) = F(b) - F(a)
2) P(-a ≤ Z ≤ b) = F(a) + F(b) - 1 
3) P(-b ≤ Z ≤ -a) = F(-a) - F(-b) = F(b) – F(a)
96Ejemplo 3
Supongamos que queremos hallar el valor de a 
tal que P(Z < a) = 0,90
El valor 0,90 no figura en la tabla, en la tabla
figuran 0,8997 = F(1,28) y 0,9015 = F(1,29)
El número a que buscamos es tal que
1,28<a<1,29; para encontrarlo efectuamos una
interpolación lineal:
97Ejemplo 3. Continuación
a = 1,282
98Propiedad 3.10
Si X1, X2,…, Xn son variables aleatorias
normales independientes, la variable
aleatoria
tiene distribución normal.
99Ejemplo
Un frasco de 260 cm3 se llena con un jarabe
medicinal. El volumen (en cm3) que se vierte, en
forma automatizada, en cada frasco es una v.a.
X~N(252; σ). Se sabe que la probabilidad de que
el volumen vertido exceda el volumen del frasco
es 0,0228. Calcular la probabilidad de que, al
llenar el frasco, el volumen vertido sea por lo
menos 250 cm3.