Teoria10_FUNCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA

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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA- Lic. Marta CORRO -1 
 
FUNCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA 
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad pX(x) e Y se define como una función de X 
Y = r(X), Y es una variable aleatoria. 
Buscamos la distribución de probabilidad de Y, en el caso que X sea discreta. 
Obtención de pY(y) 
 
 
 
Ejemplo 1: Y = a X + b con a y b constantes , o sea Y es una función lineal de X, 
Si RX= {x1, x2, ….}, entonces 
 RY = {y1, y2, …. donde yi = axi+b con i 1, 2, 3, …… 
pY(yi) = P(Y = yi) = P(aX+b = axi+b) = P(aX+b = axi+b) = P(X=xi) = pX(xi) 
o sea que, conociendo la distribución de probabilidad de X, puedo conocer la de Y= aX+b 
ESPERANZA DE UNA FUNCION r(X) DE UNA VARIABLE ALEATORIA X 
A menudo interesará el valor esperado de alguna función r(X) en lugar de X propiamente dicha. 
Ejemplo 2: Suponga que una librería adquiere diez ejemplares de un libro a $ 60 cada uno para venderlos a 
$120 en el entendimiento de que al final de un período de 4 meses cualquier ejemplar no vendido puede ser 
compensado por $20. Si X = el número de ejemplares vendidos, el ingreso neto es r(X) = 120X + 20(10 – X) – 
600. 
El siguiente ejemplo sugiere una forma fácil de calcular el valor esperado de X. 
Ejemplo 3: Sea X = número de cilindros del motor del siguiente vehículo que va a ser afinado en cierto taller. El 
costo de una afinación está relacionado con X mediante r(X) = 20 + 3X + 0,5 X2. Como X es una variable 
aleatoria, también lo es r(X); denotemos esta última variable aleatoria como Y. Las funciones de masa de X y de 
Y son las siguientes: 
x 4 6 8 
pX(x) 0,5 0,3 0,2 
 
pY(4)= 20 + 3 (4)+ 0,5 (4)2 = 40 
pY(6)= 20 + 3 (6)+ 0,5 (6)2 = 56 
pY(8)= 20 + 3 (8)+ 0,5 (8)2 = 40 
 
y 40 56 76 
pY(y) 0,5 0,3 0,2 
 
 
 
 
 1 
 = (40)(0,5) + (56)(0,3) + (76)(0,2) 
 = r(4)· (0,5) + r(6)· (0,3) + r(8)· (0,2) 
 
 
 
De acuerdo con la ecuación (1) , no fue necesario determinar la función de masa de Y para obtener E(Y); en su 
lugar, el valor esperado deseado es un promedio ponderado de los posibles valores de r(x) (y no de x). 
 
TEOREMA 1: 
Si X es una variable aleatoria y r(X) es una función de X, entonces 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
Esto es, E[r(X)] se calcula del mismo modo que E(X), excepto que r(X) sustituye a x 
Ejemplo 3: Si X tiene la siguiente distribución de probabilidad, 
 
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA- Lic. Marta CORRO -2 
 
x -2 -1 0 1 3 
pX(x) 0,3 0,2 0,1 0,3 0,1 
Hallar el valor esperado de X2 
En este caso r(X) = X2, 
Luego, 
 
 
 
= (-2)2·pX(-2) + (-1)2·pX(-1) + 02·pX(0) + 12·pX(1) + 32·pX(3) 
= (4)·(0,3) + (1)·(0,2) + (0)·(0,1) + (1)·(0,3) + (9)·(0,1) 
= 2,6 
Replanteamos la fórmula abreviada para la varianza de X 
Si X es discreta, 
 
 
 
 
o equivalentemente, 
 
 
 
 
Si X es continua, 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA 2: 
El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria X es la suma o 
diferencia de los valores esperados de las funciones. Es decir 
E[r(X) + h(X)] = E[r(X)] + E[h(X)], 
VALOR ESPERADO DE UNA FUNCIÓN LINEAL DE X 
La función de interés r(X) con bastante frecuencia es una función lineal aX + b. 
En este caso, E[r(X)] es fácil calcular a partir de E(X). 
Teorema 3: E(a X + b) = a·E(X) + b 
(O, con notación alternativa, + ) 
Demostración: En el caso de X discreta, 
 + + 
 
+ 
 
 
 = + 
Se demuestra de igual modo si X es una v.a. continua con función de densidad de probabilidad fX(x) 
 + + + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = + 
Dos casos especiales del teorema producen reglas importantes del valor esperado. 
1. Con cualquier constante a, = (considérese b = 0 ) 
2. Con cualquier constante b, + = + (considérese = 1 ) 
En muchas aplicaciones la multiplicación de X por una constante cambia la unidad de medición (de pesos a 
centavos, donde = 100, pulgadas a centímetros, donde = 2,54, etc). La regla 1 dice que el valor esperado 
en las nuevas unidades es igual al valor esperados de las viejas unidades multiplicado por el factor de 
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conversión a. Asimismo si se agrega una constante b a cada valor posible de X, entonces el valor esperado 
se desplazará en esa misma cantidad constante. 
VARIANZA DE UNA FUNCIÓN LINEAL DE X 
TEOREMA 4: V( X + b) = V(X) y Desviación Estándar (X)= | . 
O, con notación alternativa, 
 
 y = | 
El valor absoluto es necesario porque podría ser negativa, no obstante una desviación estándar no puede 
serlo. 
Demostración: 
V(aX + b)= E[aX + b - E(aX + b)]2 = E[aX + b – a E(X) - b)]2 = E[aX – a E(X))]2 = a2 E[X – E(X)]2 = a2 V(X) 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE ALGUNAS FUNCIONES LINEALES DE X, SEGUN LA DISTRIBUCIÓN DE X. 
a) BINOMIAL DE PROPORCIONES 
Si X tiene distribución binomial de parámetros n y p, esto es 
 ∿ b n, , P(X=x) = 
 
 
 1 , , 1, 2, … , 
X cuenta “N° de éxitos en n uebas de Be noullí inde endientes” 
Otra variable asociada a la distribución binomial es: 
 
 
 
 registra “la o o ci n de éxitos en n uebas de Be noullí inde endientes” 
 
 
 
 , 
 
, 
 
, … , 
 
, 1 ; 
 
 
 
 
 
 
 
Histograma de probabilidad de X 
 
 
 
 
 
Histograma de probabilidad de X/n 
 
 
Algunos autores llaman a 
 
 
 “Binomial de o o ciones” 
 
 
 = 
 
 
 X + 0; X es una función lineal de X 
 
 
 
 
1
 
 E(X) = 
 
 = p 
 
 
 
 
1
 2
 V(X) =
 
 
 = 
 
 
 
En algunos casos preferimos trabajar con 
 
 
 en lugar de X, pues 
V n q ∞ cuando n ∞ 
 
 
 
 
 
 
 …….. cuando n ∞ 
 
 
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b) DISTRIBUCION NORMAL 
Sea ∿ N , 2) y sea Y = a X + b 
E(Y) = E(a X + b) = a·E(X) + b = a + b 
V(Y) = V(a X + b) = a2V(X) = a22 
Otras notaciones: E(Y) = = V(Y) = 
 = 
 
TEOREMA 5: Si X tiene distribución N(, 2) y si Y = aX + b, entonces Y tiene distribución N(a + b, a22). 
Ejemplo: Si X tiene distribución N(= 3, 2=1,5) , e Y = 2X + 3, Y tendrá distribución normal 
 = E(2X + 3) = 2· + 3= 9, 
 
 =222 = 4·1,5 = 6 
Y tiene distribución N( = 9, 
 =6) 
 
ESTANDARIZACION DE UNA VARIABLE NORMAL X CON ESPERANZA µ Y VARIANZA 2 
TEOREMA 6: Si X tiene una distribución normal con media  y desviación estándar  , entonces 
 
 
 
 
tiene una distribución normal estándar. 
Demostración: 
En efecto, Z es una “t ansfo maci n lineal de ” pues 
 
 
 + 
 
 
 , 
Por el teorema 5, Z es normal. 
Su esperanza es 0 y la varianza es 1, pues 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 2
 2 1 
luego Z ~ N ( 0, 1). 
ESTANDARIZACION DE UNA VARIABLE ALEATORIA H (CUALQUIERA) CON ESPERANZA E(H) Y VARIANZA V(H) 
La “va iable H estanda izada” se 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOTA: Una variable aleatoria estandarizada NO ES NECESARIAMENTE NORMAL 
Bibliografía: 
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias- Jay Devore 
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias- Walpole- Myers_ Myers_ Ye