UNIDAD 2

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11
Al describir el espacio muestral correspondiente 
a un experimento aleatorio no siempre 
obtenemos resultados numéricos.
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
22
Por ejemplo:
Observamos el resultado de un tratamiento
S={mejoró, empeoró, sigue igual}
los sucesos elementales no son valores 
numéricos. 
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
33
En muchas experiencias nos va a interesar 
observar un resultado no numérico y 
anotarlo como un número para facilitar 
luego el cálculo de probabilidades y poder 
describir mejor el experimento aleatorio.
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
44
Necesitamos una regla que nos permita 
transformar en un número real cada 
resultado, numérico o no, de la 
experiencia.
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
55
Mejoró
Sigue Igual
Empeoró
-1 0 1
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
66
Ese número real que asignamos a cada 
elemento de S podemos pensarlo como el 
valor de una función del espacio muestral 
S en el conjunto ℜℜℜℜ de los números reales.
X(mejoró) = 1 X(empeoró) = -1
X(sigue igual) = 0
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
77
Una variable aleatoria (v.a.) es una 
función que a cada suceso (elemento) del 
espacio muestral S le hace corresponder 
un número real. 
X: S →→→→ ℜℜℜℜ ; si s ∈∈∈∈ S , X(s) ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ
DefiniciDefinicióón de Variable Aleatorian de Variable Aleatoria
88
Llamaremos recorrido de una variable 
aleatoria X al conjunto de todos los 
valores que puede tomar X. Lo 
designaremos con RX y será entonces un 
subconjunto de los números reales.
DefiniciDefinicióón de Recorridon de Recorrido
99
Ejemplo:
Por ejemplo, un recuento del número de 
colonias de un cultivo en agar es una 
variable aleatoria discreta. Mientras que 
recuentos de 3 y 4 son potencialmente 
observables, no lo es uno de 3,5.
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
1010
Agar:
gelatina vegetal sacada de ciertas algas 
del Japón.
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
1111
DefiniciDefinicióón:n:
Variable aleatoria discreta es aquélla cuyo 
recorrido es un conjunto finito o infinito 
numerable de números reales.
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
1212
Ejemplos:Ejemplos:
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
1) Número de intentos para dejar de fumar.
2) Número de Hijos.
3) Número de intervenciones quirúrgicas.
1313
DefiniciDefinicióón:n:
Si X es una variable aleatoria discreta 
llamaremos función de probabilidad a la 
función p: RX →→→→ ℜℜℜℜ que a cada valor de X 
le asigna su correspondiente probabilidad.
FunciFuncióón de Probabilidadn de Probabilidad
1414
La función de probabilidad de una 
variable aleatoria discreta tiene las 
siguientes propiedades:
1) p(xi) ≥ 0 ∀∀∀∀ xi ε RX
2) 
FunciFuncióón de Probabilidadn de Probabilidad
∑ =
Xi
Rx
ixp
ε
1)(
Justificar
1515
Ejemplo: 
FunciFuncióón de Probabilidadn de Probabilidad
Valores xi de X -2 -1 0 1 2 
p(xi) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 
1616
FunciFuncióón de Probabilidadn de Probabilidad
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
-2 -1 0 1 2
1717
FunciFuncióón de Probabilidadn de Probabilidad
Si conocemos el recorrido de una variable 
aleatoria discreta y su correspondiente 
función de probabilidad, diremos que 
conocemos la distribución de probabilidad 
de la v.a., o simplemente la distribución 
de X.
1818
FunciFuncióón de Probabilidadn de Probabilidad
Ahora podemos calcular P(a < X ≤≤≤≤ b) para 
cualquier par de números reales a, b con a < b. 
Supongamos que, en nuestro ejemplo, queremos 
calcular P(0 < X ≤≤≤≤ 2) debemos ver qué valores de 
X pertenecen al intervalo y sumar las 
probabilidades correspondientes. 
1919
FunciFuncióón de Distribucin de Distribucióónn
Si X es una variable aleatoria discreta 
llamaremos función de distribución de X a 
la función FX : ℜℜℜℜ →→→→ ℜℜℜℜ definida por:
FX(t) = P(X ≤ t)
∑
≤
=
tx
iX
i
xptF )()(
2020
P(a < X ≤ b) = FX(b) - FX(a) 
FunciFuncióón de Distribucin de Distribucióónn
Demostrar
2121
Una variable continua tiene la propiedad 
de que entre 2 valores observables 
cualesquiera hay, “potencialmente”, otro 
valor observable. Una variable continua 
toma valores a lo largo de un continuo, 
esto es, en todo un intervalo de valores. 
Longitudes y pesos son ejemplos de 
variables continuas.
Variable Aleatoria ContinuaVariable Aleatoria Continua
2222
Ejemplo:
La estatura de una persona, puede ser, 
por ejemplo, 1,70 mts. ó 1,75 mts., pero 
podría tomar cualquier valor intermedio 
como por ejemplo 1,73 mts. 
Variable Aleatoria ContinuaVariable Aleatoria Continua
2323
Variable aleatoria continua es aquélla 
cuyo recorrido es el conjunto de los 
números reales o un intervalo de números 
reales.
Variable Aleatoria ContinuaVariable Aleatoria Continua
2424
Ejemplos:
Variable Aleatoria ContinuaVariable Aleatoria Continua
1) Edad.
2) Peso.
3) Tensión Arterial.
2525
Si X es una variable aleatoria continua 
llamaremos función de densidad de X a la 
función f: ℜℜℜℜ →→→→ ℜℜℜℜ que tiene las siguientes 
propiedades:
1) f(x) ≥ 0 ∀∀∀∀ x ε ℜℜℜℜ
2) 
3) Si a, b son números reales, a < b 
P(a ≤ X ≤ b) = 
∫
+∞
∞−
=1)( dxxf
∫
b
a
dxxf )(
FunciFuncióón de Densidadn de Densidad
2626
De la definición de función de densidad se 
deduce que:
∀∀∀∀ a ε ℜℜℜℜ , P (x=a) = = 0∫
a
a
dxxf )(
FunciFuncióón de Densidadn de Densidad
2727
Si X es una variable aleatoria continua, 
valen las siguientes igualdades:
P(a <<<< X ≤≤≤≤ b) = P(a ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ b) = P(a ≤≤≤≤ X <<<< b) = 
P(a <<<< X <<<< b)
Estas igualdades no son válidas en el caso 
discreto.
FunciFuncióón de Densidadn de Densidad
2828
Ejemplo:









<≤
<≤−
=
casootroen
xsi
xsix
xf
0
43
2
1
31)1(
4
1
)(
FunciFuncióón de Densidadn de Densidad
2929
Si X es una variable aleatoria continua 
llamaremos función de distribución de X a 
la función FX: ℜℜℜℜ →→→→ ℜℜℜℜ definida por: 
FX(t) = P(X ≤ t)
FunciFuncióón de Distribucin de Distribucióónn
3030
En el caso continuo para hallar el valor de 
la función de distribución en un punto, 
debemos calcular el área encerrada por la 
función de densidad a la izquierda de ese 
punto. 
FunciFuncióón de Distribucin de Distribucióónn
3131
Como el área se calcula mediante una 
integral, si f es la función de densidad de 
X:
∫
∞−
=
t
X dxxftF )()( ∀∀∀∀ t ε ℜℜℜℜ
FunciFuncióón de Distribucin de Distribucióónn
3232
Estas propiedades son válidas para 
variables aleatorias discretas y continuas. 
1) P (a < X ≤≤≤≤ b) = FX(b) - FX(a) 
2) F es una función no decreciente, es decir, 
a < b ⇒⇒⇒⇒ FX(a) ≤≤≤≤ FX(b) 
3)
Propiedades de la FunciPropiedades de la Funcióón n 
de Distribucide Distribucióónn
0)(lim =
∞−→
tFX
t
1)(lim =
∞+→
tFX
t
3333
La esperanza es un parámetro.
Un parámetro es un número que caracteriza 
a la distribución. 
Se la llamará también media o valor 
esperado. Se la designará, algunas veces, 
con la letra µµµµ.
Esperanza de una Variable Esperanza de una Variable 
AleatoriaAleatoria
3434
Si X es una variable aleatoria discreta, su 
recorrido es RX = x1; x2; …; xn … y su 
función de probabilidad es p: RX →→→→ ℜℜℜℜ , la 
esperanza de X la definimos como:
 ∑=
Xi Rx
ii xpxXE
ε
)()(
Esperanza de una Variable Esperanza de una Variable 
Aleatoria DiscretaAleatoria Discreta
3535
¿Cuál es el significado de E(X)?
Supongamos que repetimos muchas veces el 
experimento, si hacemos el promedio de los 
valores obtenidos, ese promedio se acercará
a la E(X).
La E(X) de una v.a. no es el valor más 
probable de la variable. 
Esperanza de una Variable Esperanza de una Variable 
AleatoriaAleatoria
3636
Ejemplo:
Esperanza de una Variable Esperanza de una Variable 
Aleatoria DiscretaAleatoria Discreta
E(X) = 0,1
3737
Si X es una variable aleatoria continua, y 
f : ℜℜℜℜ →→→→ℜℜℜℜ es su función de densidad, la 
esperanza de X la definimos como:
∫
∞+
∞−
= dxxfxXE )()(
Esperanza de una Variable Esperanza de una Variable 
Aleatoria ContinuaAleatoria Continua
3838
Ejemplo:
Esperanza de una Variable Esperanza de una Variable 
Aleatoria ContinuaAleatoria Continua
12
35
)( =XE
3939
Las siguientes propiedades de la E(X) son válidas 
tanto para variables aleatorias discretas como 
continuas.
Si X e Y son variables aleatorias y c es un número 
real.
1) E(c) = c
2) E(cX) = c E(X)
3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
Propiedades de Propiedades de E(XE(X))
4040
4) Si x1; x2 ; …; xn son variables aleatorias:
5) Si X e Y son variables aleatorias 
independientes: E(X.Y) = E(X).E(Y)
∑∑
==
= n
i i
n
i i
xExE
11
)()(
Propiedades de Propiedades de E(XE(X))
4141
Si X es una variable aleatoria y g: ℜℜℜℜ →→→→ ℜℜℜℜ es 
una función definida para todos los valores 
posibles de X ⇒⇒⇒⇒ Y = g(X) es también una 
v.a. y podemos hallar E(Y).
Esperanza de una funciEsperanza de una funcióón de n de 
una una v.av.a..
4242
Si X es discreta y p(xi) = P(X=xi) ∀∀∀∀ xi ∈∈∈∈ RX
E(Y) = E[g(X)] = ∑
Xi
Rx ii
xpxg
ε
)()(
Esperanza de una funciEsperanza de una funcióón de n de 
una una v.av.a..
4343
Si X es continua y f: ℜℜℜℜ →→→→ ℜℜℜℜ es su función de 
densidad
E(Y) = E[g(X)] = ∫
∞+
∞−
dxxfxg )()(
Esperanza de una funciEsperanza de una funcióón de n de 
una una v.av.a..
4444
La varianza es un parámetro.
Es una medida de la dispersión de los 
valores de X alrededor del valor medio. 
Si X es una v.a. se define la varianza de X 
como:
[ ]2)()( XEXEXVar −=
En general se la designará σσσσ2.
Varianza de una Variable Varianza de una Variable 
AleatoriaAleatoria
4545
Si X es una v.a. se llama desviación estándar 
de X a la raíz cuadrada positiva de la 
varianza.
)(XVar+=σ
Se la designará σσσσ.
DesviaciDesviacióón Estn Estáándar de una ndar de una 
Variable AleatoriaVariable Aleatoria
4646
 [ ]22 )()()( XEXEXVar −=
Propiedad 2.1Propiedad 2.1
Demostrar
4747
Las siguientes propiedades de la Var(X) son 
válidas tanto para variables aleatorias discretas 
como continuas.
Si X e Y son variables aleatorias y c es un número 
real.
1) Var(c) = 0
2) Var(X+c) = Var(X)
3) Var(cX) = c2 Var(X)
Propiedades de Propiedades de Var(XVar(X))
Demostrar
4848
4) Si X e Y son variables aleatorias 
independientes:
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
5) Si x1;x2 ; …; xn son variables aleatorias 
independientes
∑∑
==
= n
i i
n
i i
xVarxVar
11
)()(
Propiedades de Propiedades de Var(XVar(X))
Demostrar
4949
baYE += µ)(
Si X es una v.a., E(X) = µµµµ, Var(X) = σσσσ2 e 
Y=aX+b con a, b números reales, a ≠ 0, 
entonces:
22)( σaYVar =
Propiedad 2.2Propiedad 2.2
Demostrar
5050
σ
µ−= XY
Si X es una v.a., E(X) = µµµµ, Var(X) = σσσσ2 ≠ 0, la 
variable aleatoria
DefiniciDefinicióón de variable n de variable 
estandarizadaestandarizada
se llama variable estandarizada correspondiente 
a X.
5151
0)( =YE
Si X es una v.a. e Y es la variable 
estandarizada correspondiente a X, entonces
1)( =YVar
Propiedad 2.3Propiedad 2.3
Demostrar