RESUELTOS SEGUNDO REGULATORIO BIOESTADISTICA

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Bioestadística 
Ejercicios Resueltos - Segundo Regulatorio 
Segundo Cuatrimestre 2020 
Prueba de Hipótesis 
Ejercicio 1 
Sea 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇; 𝜎). Se plantearon las hipótesis: 
𝐻0) 𝜇 ≥ 100 𝐻1) 𝜇 < 100 
Se tomó una muestra aleatoria de tamaño 16n  ; se calculó la varianza muestral, que resultó ser 64. 
Hallar el valor máximo que puede tomar la media muestral sabiendo que, al aplicar el test de Student, 
con un nivel de significación  = 0,05, se rechazó H0. 
Resolución 
El estadístico de prueba es: 𝑇 =
𝑋−𝜇0
𝑆
√𝑛
 , que bajo 0H verdadera tiene distribución T de Student con 
1 15n  grados de libertad. 
 
Con los datos de la muestra se obtiene: 
𝑇𝑂𝐵𝑆 =
𝑋 − 100
8
√16
=
𝑋 − 100
2
 
 
Como  = 0,05 (y es un test “de cola izquierda”) resulta que el área a la izquierda del valor de OBST
bajo la función de densidad de la distribución T con 15 grados de libertad es 0,05. Luego 𝑇𝑂𝐵𝑆 =
−𝑡15;0,05 = −1,753 
𝑋−100
2
≤ −1,753 ⇒ �̅� ≤ −1,753 ⋅ 2 + 100 ⇒ �̅� ≤ 96,494 
 
Ejercicio 2 
Sea 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇; 5). Se quiere decidir entre 
 
𝐻0) 𝜇 ≥ 14 y   𝐻1) 𝜇 < 14. 
 
Al tomar una muestra de tamaño 16, se rechazará 0H si 𝑥 < 12. ¿Cuál es el nivel de significación 
del test? 
2 
 
Resolución 
Como conocemos la varianza se trata del Test de Gauss para la media de una variable aleatoria 
normal. 
Se rechaza la hipótesis nula si 
𝑋−𝜇0
𝜎
√𝑛
< −𝑧𝛼; equivalentemente, se rechaza 0H si 
𝑋 < −𝑧𝛼 ⋅
𝜎
√𝑛
+ 𝜇0. Entonces −𝑧𝛼 ⋅
𝜎
√𝑛
+ 𝜇0 = 12 
 
𝑧𝛼 = −
12−𝜇0
𝜎
√𝑛
12 14 8
1,6
5 5
16
z

     
 
De la tabla resulta 𝑃(𝑍 ≤ 1,6) = 0,9452 
 
Luego  = 1 - 0,9452 = 0,0548 es el nivel de significación buscado. 
 
Ejercicio 3 
Un grupo de investigadores desea saber si es posible concluir que el flujo craneano de sangre en 
recién nacidos saludables es diferente según la etapa del sueño que transiten. 
Para ello, se registraron datos de 10 individuos durante sueño activo (SA) y durante sueño tranquilo 
(ST). 
De estudios anteriores, se sabe que el flujo craneano de sangre es superior en la etapa de sueño activo 
por lo que se busca concluir más específicamente si puede considerarse que existe una diferencia en 
el flujo medio de 5 unidades entre ambos estadíos de sueño. Con InfoStat se obtuvieron los siguientes 
resultados: 
 
 
Se pide definir la o las variables aleatorias de interés, escribir los supuestos y las hipótesis del test 
elegido y concluir en base al cálculo del nivel justo de significación en el contexto del problema. 
 
Resolución 
Sean: 
X1= ”Flujo craneano de sangre de un recién nacido durante el sueño activo” 
X2= ”Flujo craneano de sangre de un recién nacido durante el sueño tranquilo” 
D= X1- X2= ”Diferencia en el flujo de sangre de un recién nacido entre los estadios de sueño activo 
y sueño tranquilo” 
Bajo el supuesto 𝐷~𝑁(𝜇𝐷; 𝜎𝐷) , se quiere poner a prueba las hipótesis: 
3 
 
𝐻0) 𝜇𝐷 = 5 𝑣𝑠. 𝐻1) 𝜇𝐷 ≠ 5 
El estadístico de prueba en este caso es 𝑇 =
�̅�−𝑎
𝑠𝑑
√𝑛
⁄
 ,que, bajo 0H tiene distribución t de Student con 
n-1 = 9 grados de libertad. 
Luego, siendo �̅� = 10,43 y 𝑠𝑑=5,43 , resulta 𝑇𝑜𝑏𝑠 =
10,43−5
5,43/√10
= 3,162 
De la tabla de la distribución t de Student, se desprende que 0,01 < 𝑝 < 0,025 
p-valor = 0,011513 
Por lo tanto, se rechaza 𝐻0) 𝜇𝐷 = 5 y se concluye que la media de las diferencias en los flujos de 
sangre de los recién nacidos entre ambos estadíos de sueño es significativamente diferente de 5 
unidades. 
 
Ejercicio 4 
En un estudio sobre el tratamiento con vitamina B12 en ciertos casos de anemia felina, se 
administraron 25g de vitamina durante un tiempo determinado a un grupo de 16 gatos con el objeto 
de verificar si la concentración media de hemoglobina aumenta en promedio 2 unidades con el 
tratamiento. Se registró para cada uno de los gatos la concentración de hemoglobina antes y después 
del tratamiento en g/dl y con InfoStat se obtuvieron los siguientes resultados: 
 
Se pide definir la o las variables aleatorias de interés, escribir los supuestos y las hipótesis del test 
elegido y concluir en base al cálculo del nivel justo de significación en el contexto del problema. 
 
Resolución 
Sean: 
X1= ”Concentración de hemoglobina (en g/dl) de un gato antes de administrado un tratamiento de 
vitamina B12” 
X2= ”Concentración de hemoglobina (en g/dl) de un gato después de administrado un tratamiento de 
vitamina B12” 
D= X2- X1= ”Diferencia en la concentración de hemoglobina (en g/dl) de un gato por haber aplicado 
un tratamiento de vitamina B12” 
Bajo el supuesto 𝐷~𝑁(𝜇𝐷; 𝜎𝐷) , se quiere poner a prueba las hipótesis: 
4 
 
𝐻0) 𝜇𝐷 ≤ 2 𝑣𝑠. 𝐻1) 𝜇𝐷 > 2 
El estadístico de prueba en este caso es 𝑇 =
�̅�−𝑎
𝑠𝑑
√𝑛
⁄
 que bajo 0H tiene distribución t de Student con 
n-1 = 15 grados de libertad. 
Luego, siendo �̅� = 2,39 y 𝑠𝑑=1,29 , resulta 𝑇𝑜𝑏𝑠 =
2,39−2
1,29/√16
= 1,209 
De la tabla de la distribución t de Student, se desprende que p > 0,10 
p-valor= 0,122688 
Por lo tanto, no hay evidencias para rechazar 𝐻0) 𝜇𝐷 ≤ 2 
 
ANOVA 
Ejercicio 1 
Mediante un ANOVA se compararon las medias de 5 tratamientos con ni = 5 observaciones cada uno 
y se detectaron diferencias significativas con 𝛼 = 0,05 . 
 
Tratamiento A B C D E 
Media 9,80 15,40 17,60 21,60 10,80 
Varianza 11,22 9,80 4,28 6,81 8,18 
 
Utilizando el método de Bonferroni, decidir si hay diferencia entre las medias de los tratamientos A 
y C. 
 
Resolución 
 
Cantidad de comparaciones: m = 5.4/2 = 10 → α’ = 0,05/10 = 0,005 y 
 tα’/2;n – I=t0,005/2;20 = 3,153 
 
𝐶𝑀𝐷 =
∑(𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖
2
∑(𝑛𝑖 − 1)
=
4 ⋅ 11,22 + 4 ⋅ 9,80 + 4 ⋅ 4,28 + 4 ⋅ 6,81 + 4 ⋅ 8,18
25 − 5
= 8,058 
Entonces 
𝑡α’/2;n – I ⋅ √𝐶𝑀𝐷 ⋅ (
1
5
+
1
5
) = 3,153 ⋅ √8,058 ⋅
2
5
= 5,661 
 
|𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐴 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐶| = |9,80 − 17,60| = 7,80 > 5,661 
 
5 
 
Rta: hay diferencias significativas entre las medias de ambos tratamientos, con un nivel de 
significación global de 0,05. 
Ejercicio 2 
Mediante un ANOVA se compararon las medias de 5 tratamientos con ni = 5 observaciones cada uno 
y se detectaron diferencias significativas con 𝛼 = 0,05 
 
Tratamiento A B C D E 
Media 9,80 15,40 17,60 21,60 10,80 
Varianza 11,22 9,80 4,28 6,81 8,18 
 
Utilizando el método de Bonferroni, decidir si hay diferencia entre las medias de los tratamientos C 
y E. 
 
Resolución 
 
Cantidad de comparaciones: m = 5.4/2 = 10 → α’ = 0,05/10 = 0,005 y tα’/2;n – I=t0,005/2;20 = 3,153 
 
𝐶𝑀𝐷 =
∑(𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖
2
∑(𝑛𝑖 − 1)
=
4 ⋅ 11,22 + 4 ⋅ 9,80 + 4 ⋅ 4,28 + 4 ⋅ 6,81 + 4 ⋅ 8,18
25 − 5
= 8,058 
Entonces 
𝑡α’/2;n – I ⋅ √𝐶𝑀𝐷 ⋅ (
1
5
+
1
5
) = 3,153 ⋅ √8,058 ⋅
2
5
= 5,661 
|𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐸 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐶| = |10,80 − 17,60| = 6,80 > 5,661 
 
Rta: hay diferencias significativas entre las medias de ambos tratamientos, con un nivel de 
significación global de 0,05. 
 
Ejercicio 3 
Mediante un ANOVA se compararon las medias de 6 tratamientos con ni = 4 observaciones cada uno 
y se detectaron diferencias significativas con 𝛼 = 0,05 
 
Tratamiento A B C D E F 
Media 63 62 67 65 65 70 
Varianza 9,2 8,5 8,6 9,2 10,2 8,3 
 
Utilizando el método de Tukey, decidir si hay diferencia entre las medias de los tratamientos A y F. 
 
6 
 
Resolución 
 n1 = … = n6 = J = 4 ; I = 6; N – I = 24 – 6 = 18 
 𝑞𝐼;𝑁−𝐼;𝛼 = 𝑞6;18;0,05 = 4,49 
 
𝐶𝑀𝐷 =
∑(𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖
2
∑(𝑛𝑖 − 1)
=
3 ⋅ 9,2 + 3 ⋅ 8,5 + ⋯ + 3 ⋅ 10,2 + 3 ⋅ 8,3
24 − 6
= 9 
Entonces 
𝑞6;18;0,05 ⋅ √
𝐶𝑀𝐷
𝐽
 = 4,49 ⋅ √
9
4
= 6,735 
 
|𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐴 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐹| = | 63 − 70 | = 7 > 6,735 
 
Rta: hay diferencias significativas entre las medias de ambos tratamientos con un nivel de 
significación global de 0,05. 
 
Ejercicio 4 
Mediante un ANOVA se compararon las medias de 6 tratamientos con ni =4 observaciones cada uno 
y se detectaron diferencias significativas con 𝛼 = 0,05 
 
Tratamiento A B C D E F 
Media 63 62 67 65 65 70 
Varianza 9,2 8,5 8,6 9,2 10,2 8,3 
 
Utilizando el método de Tukey, decidir si hay diferencia entre las medias de los tratamientos C y F. 
 
Resolución 
 n1 = … = n6 = J = 4 ; I = 6; N – I = 24 – 6 = 18 
 𝑞𝐼;𝑁−𝐼;𝛼 = 𝑞6;18;0,05 = 4,49 
 
𝐶𝑀𝐷 =
∑(𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖
2
∑(𝑛𝑖 − 1)
=
3 ⋅ 9,2 + 3 ⋅ 8,5 + ⋯ + 3 ⋅ 10,2 + 3 ⋅ 8,3
3 ⋅ 6
= 9 
Entonces 
𝑞6;18;0,05 ⋅ √
𝐶𝑀𝐷
𝐽
 = 4,49 ⋅ √
9
4
= 6,735 
 
7 
 
|𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐶 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐹| = | 67 − 70 | = 3 < 6,735 
 
Rta: no hay diferencias significativas entre las medias de ambos tratamientos con un nivel de 
significación global de 0,05 
 
DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL 
Ejercicio 1 
La duración en días de las ampollas de una vacuna determinada se distribuye normalmente con media 
1.500 y desvío 160, cuando se la mantiene en condiciones adecuadas. Si se escoge una muestra de 
100 ampollas al azar y se calcula su duración media, ¿Cuál es la probabilidad de que sea superior a 
1.524 días? Definir la v.a. 
Resolución 
Definimos la variable X: como “duración en días de una ampolla de la vacuna” y su distribución es 
normal con media 1.500 y desvío 160. Si tomamos una muestra de 100 ampollas la distribución 
normal tiene la misma media que la población, pero la desviación típica estará dividida por raíz de n: 
�̅�~𝑁 (𝜇; 
𝜎
√𝑛
)  �̅�~𝑁 (1.500; 
160
√100
)  �̅�~𝑁(1.500; 16) 
Nos piden la probabilidad de que la duración media de esa muestra sea superior a 1.524 días: 
𝑃(�̅� > 1.524) = 𝑃 (
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
⁄
>
1.524 − 1.500
160
√100
⁄
) = 𝑃(𝑍 > 1,5) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668 
Ejercicio 2 
El peso de las ratas de laboratorio de cepa Wistar tiene una distribución aproximadamente normal 
con una esperanza de 50 g y una desviación típica de 4 g. Se toma al azar una muestra aleatoria simple 
de 100 ratas. Calcular la probabilidad de que su media esté entre 49,5 g y 50,3 g. Definir la v.a. 
Resolución 
La distribución normal de la población es N(50;4) y para una muestra de tamaño N la distribución de 
la media muestral es: 
�̅�~𝑁 (𝜇; 
𝜎
√𝑛
)  �̅�~𝑁 (50; 
4
√100
)  �̅�~𝑁(50; 0,4) 
Nos piden la probabilidad de que la duración media de esa muestra esté entre 49,5 g y 50,3 g: 
 
8 
 
𝑃(49,5 < �̅� < 50,3) = 𝑃 (
49,5 − 50
4
√100
⁄
<
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
⁄
<
50,3 − 50
4
√100
⁄
) = 𝑃(−1,25 < 𝑍 < 0,75) = 
 
= 𝑃(𝑍 < 0,75) − 𝑃(𝑍 ≤ −1,25) = 𝑃(𝑍 < 0,75) − 𝑃(𝑍 ≥ 1,25) = 𝑃(𝑍 < 0,75) − [1 − 𝑃(𝑍 < 1,25)] = 
 
= 𝑃(𝑍 < 0,75) + 𝑃(𝑍 < 1,25) − 1 = 0,7734 + 0,8944 − 1 = 0,6678 
 
 
 
Ejercicio 3 
Al tomar una muestra de tamaño n de una variable aleatoria normal de parámetros μ y σ, la 
probabilidad de que la media muestral diste de la media poblacional menos de 0,1 veces σ es mayor 
a 0,90. ¿Cuál es el mínimo tamaño de la muestra? 
Resolución 
𝑃(−0,1𝜎 < �̅� − 𝜇 < 0,1𝜎) > 0,9  𝑃(−0,1√𝑛 < 𝑍 < 0,1√𝑛) > 0,9  𝑃(|𝑍| < 0,1√𝑛) > 0,9  
 0,1√𝑛 > 1,645  𝑛 > 270,6 
El tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 271. 
Ejercicio 4 
Al tomar una muestra de tamaño n de una variable aleatoria normal de parámetros μ y σ, la 
probabilidad de que la media muestral diste de la media poblacional menos de 0,1 σ es mayor a 0,95. 
¿Cuál es el tamaño de la muestra? 
Resolución 
𝑃(−0,1𝜎 < �̅� − 𝜇 < 0,1𝜎) > 0,95 ⟹ 𝑃(−0,1√𝑛 < 𝑍 < 0,1√𝑛) = 𝑃(|𝑍| < 0,1√𝑛) > 0,95
⟹ 0,1√𝑛 > 1,96 ⟹ 𝑛 > 384,16 
El tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 385. 
 
 
9 
 
Regresión Lineal 
Ejercicio 1 
El Carbonato de calcio es un fármaco útil en el tratamiento preventivo de la deficiencia de ese mineral. 
Se quiere estudiar la relación entre la dosis de Carbonato de calcio administrada y la concentración 
de Hormona Paratiroidea (PTH) en mujeres post-menopáusicas sanas. Para ello se tomó una muestra 
de 15 mujeres de esa población y se la dividió aleatoriamente en 6 grupos; a cada grupo se le 
administró una dosis determinada del fármaco y se midió, luego de un tiempo prefijado, la 
concentración de PTH. A partir de la salida de InfoStat correspondiente al análisis de Regresión 
Lineal ¿puede afirmarse, con α = 0,05, que la regresión es significativa? Enunciar las variables 
aleatorias, el modelo de Regresión Lineal, sus supuestos y la recta ajustada mediante el método de 
Mínimos Cuadrados. 
 
 
Resolución 
 Definición de las variables aleatorias: 
 
x1; x2; x3; x4; x5; x6 = Dosis de Carbonato de calcio administrada. 
 
Yij = Concentración j-ésima de PTH en mujer post-menopáusica sana a la que se administró 
la dosis i-ésima de Carbonato de calcio. 
 
 Supuestos: 
 
Yij ~ N (μi ;σ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ 6 ∀ 1 ≤ j ≤ ni 
 
 Modelo: 
 
Yij = α + β xi + εij con εij ~ N (0 ;σ ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ 6 ∀ 1 ≤ j ≤ ni 
 
 Análisis de la significación de la Regresión: 
 
Test de hipótesis para el parámetro β: 
 
Hipótesis a testear: H0: β = 0 H1: β ≠ 0 
 
 
 
 
10 
 
Estadístico de prueba: 
 
 
Zona de rechazo de H0: |T| ≥ t n-2;α/2 
 
Decisión: Se rechaza la hipótesis nula. La regresión es significativa (p-valor < 0,0001). 
 
 Ecuación de la recta ajustada por el método de Mínimos Cuadrados: 
 
𝑌�̂� = �̂� + �̂� 𝑥𝑘 = (-0,18) + 1,29 xk 
 
Ejercicio 2 
La Levotiroxina (T4) administrada en forma exógena es un fármaco útil en el tratamiento del 
hipotiroidismo autoinmune. Se quiere estudiar la relación entre la dosis de Levotiroxina administrada 
y la concentración de Hormona Estimulante de la Tiroides (TSH) en mujeres hipotiroideas de entre 
35 y 40 años de edad. Para ello se tomó una muestra de 20 mujeres de esa población y se la dividió 
aleatoriamente en 6 grupos; a cada grupo se le administró una dosis determinada de T4 y se midió, 
luego de un tiempo prefijado, la concentración de TSH. A partir de la salida de InfoStat 
correspondiente al análisis de Regresión Lineal ¿puede afirmarse, con α = 0,05, que la regresión es 
significativa? Enunciar las variables aleatorias, el modelo de Regresión Lineal, sus supuestos y la 
recta ajustada mediante el método de Mínimos Cuadrados. 
 
 
Resolución 
 
 Definición de las variables aleatorias: 
 
x1; x2; x3; x4; x5; x6 = Dosis de Levotiroxina administrada, 
 
Yij = Concentración j-ésima de TSH en mujer hipotiroidea de entre 35 y 40 años de edad, a la 
que se administró la dosis i-ésima de Levotiroxina. 
 
 Supuestos: 
 
Yij ~ N (μi ;σ ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ 6 ∀ 1 ≤ j ≤ ni 
11 
 
 
 Modelo: 
 
Yij = α + β xi + εij con εij ~ N (0 ;σ ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ 6 ∀ 1 ≤ j ≤ ni 
 
 Análisis de la significación de la Regresión: 
 
Test de hipótesis para el parámetro β: 
 
Hipótesis a testear: H0: β = 0 H1: β ≠ 0 
 
Estadístico de prueba: 
 
 
Zona de rechazo de H0: |T| ≥ t n-2;α/2 
 
Decisión: Se rechaza la hipótesis nula. La regresión es significativa (p-valor < 0.0001). 
 
 Ecuación de la recta ajustada por el método de Mínimos Cuadrados: 
 
𝑌𝑘 ̂ = �̂� + �̂�. 𝑥𝑘 = 9.57 – 0.04 xk 
 
Ejercicio 3 
Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierta droga en la disminución del ritmo 
cardíaco en adultos. La variable independiente es la dosis de la droga en mg, cuyos valores fueron 
fijados de antemano; y la variable dependiente es la diferencia entre el ritmo cardíaco antes de la 
administración de la droga (control) y el ritmo más bajo registrado después de su administración. 
Informar la ecuación de la recta de cuadrados mínimos y decidir, con un nivel de significación del 
5%, si hay una relación lineal significativa entre la dosis de la droga y la disminución del ritmo 
cardíaco (enlatidos/min): plantear las hipótesis, el estadístico de prueba, su distribución bajo la 
hipótesis nula y la zona de rechazo. 
 
Resolución 
a) Modelo lineal: 
12 
 
 
x1; … ; xI: valores fijos de dosis de la droga administrada (mg). 
 
Yij: disminución del ritmo cardíaco del j-ésimo adulto al que se le administró la i-ésima 
dosis de la droga (latidos/min). 
 
Yij = α + β xi + εij 
εij ~ N (0; σ) independientes (1 ≤ i ≤ I ; 1 ≤ j ≤ ni ) 
 
b) La ecuación de la recta ajustada por el método de cuadrados mínimos es: 
�̂� = 7,0549 + 4,0879 𝑋 
c) Test de significación de la regresión: 
H0) =0 vs. H1) ≠0 
= 0,05; n = 13; T = 
�̂�
√
𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠
𝑆𝑋𝑋
⁄
~ 𝑡11 si H0 es verdadera. 
T=10,1692. Se rechaza H0 con p-valor < 0,0001. Por lo tanto es significativamente 
distinta de cero, la regresión es significativa. 
 
Ejercicio 4 
Se llevó́ a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierta droga en la disminución del ritmo 
cardíaco en adultos. La variable independiente es la dosis de la droga en mg, cuyos valores fueron 
fijados de antemano; y la variable dependiente es la diferencia entre el ritmo cardíaco antes de la 
administración de la droga (control) y el ritmo más bajo registrado después de su administración. 
Informar la ecuación de la recta de cuadrados mínimos y calcular un intervalo de confianza del 95% 
para el valor esperado de la diferencia en el ritmo cardíaco cuando la dosis de droga se fija en 3,15 
mg, sabiendo que �̅� = 2 y SXX = 11,375. 
 
 
13 
 
Resolución 
a) Modelo lineal: 
 
x1; … ; xI: valores fijos de dosis de la droga administrada (en mg). 
 
Yij: disminución del ritmo cardíaco del j-ésimo adulto al que se le administró la i-ésima 
dosis de la droga (latidos/min). 
 
Yij = α + β xi + εij 
εij ~ N (0; σ) independientes (1 ≤ i ≤ I ; 1 ≤ j ≤ ni ) 
b) IC (95%) para E(Yk) para xk = 3,15mg 
(𝛼 ̂+ �̂� xk) ± 𝑡𝛼
2⁄ ;𝑛−2 
√𝐶𝑀𝑟𝑒𝑠 [
1
𝑛
+
 (𝑥𝑘−�̅�)
2
𝑆𝑋𝑋
] 
(7,0549 + 4,0879. 3,15) ± 𝑡0,05
2⁄ ;11 
√1,8382. [
1
13
+
 (3,15−2)2
11,375
] 
19,9318 ± 2,201. √0,3551 = 19,9318 ± 1,3116 
C (18,6202< 𝜇𝑘< 21,2434) = 0,95 
 
INTERVALOS DE CONFIANZA 
Ejercicio 1 
Un ingeniero civil analiza la resistencia a la compresión del concreto. La resistencia está 
distribuida aproximadamente de manera normal, con varianza 1000 (psi)2. Al tomar una 
muestra aleatoria de 12 especímenes, se tiene que �̄� = 3250𝑝𝑠𝑖 (libras por pulgada 
cuadrada). Construir un intervalo de confianza del 95% para la resistencia media a la 
compresión; y calcular el tamaño n de muestra que se necesita para que un intervalo del 99% 
de confianza para la esperanza tenga la mitad de la longitud del intervalo hallado. Definir la 
variable aleatoria involucrada y establecer los supuestos. 
Resolución 
Z0,05/2=1,96 y C(3232,10773<µ< 3267,89227) = 0,95 
3267,89227 − 3232,10773 = 35,78454;
35,78454
2
= 17,89227 
 
14 
 
2. 𝑍0,01
2
.
31,6228
√𝑛
< 17,89227 ⟹ 𝑛 > (
2 ∗ 2,576 ∗ 31,6228
17,89227
)
2
= 82,912 ⟹ 𝑛 𝑚í𝑛 = 83 
 
Ejercicio 2 
El tiempo de reacción a un estímulo de cierto dispositivo electrónico está distribuido 
normalmente con desviación estándar 0,05 segundos. ¿Cuál es el número de mediciones que 
se deberá efectuar para estimar la esperanza mediante un intervalo de confianza del 95% cuya 
aproximación no exceda 0,01 segundos? Definir la variable aleatoria involucrada y establecer 
los supuestos. 
Resolución 
Z0,05/2=1,96 y el n mínimo es de 97. 
𝑍0,05
2
.
0,05
√𝑛
< 0,01 ⟹ 𝑛 > (
1,960 ∗ 0,05
0,01
)
2
= 96,04 ⟹ 𝑛 𝑚í𝑛 = 97 
 
Ejercicio 3 
La recuperación de bromuro de potasio por cromatografía de gas-líquido en cierta especie 
vegetal puede suponerse con distribución normal. Se hicieron 36 mediciones en muestras de 
esta especie y se obtuvo el siguiente intervalo [768,30; 776,60] para el valor medio de la 
recuperación de bromuro potásico con un nivel de confianza de 0,90. ¿Cuáles fueron los 
estimadores puntuales de la media y la varianza obtenidos a partir de esta muestra? Definir 
la variable aleatoria involucrada y establecer los supuestos. 
 
Resolución 
 
C (768,30 < μ < 776,60) = 0,90 
 
𝐿𝑜𝑛𝑔 = 776,60 − 768,30 = 2. 𝑡
35;
0,10
2
 .
𝑆
√36
 
 
8,3 = 2 . 1,690 .
𝑆
6
 
 
14,7337 = 𝑆 
 
𝟐𝟏𝟕, 𝟎𝟖 = 𝑺𝟐 
 
 
 
15 
 
𝐿1 = 768,30 = �̅� − 𝑡35;0,10
2
 .
𝑆
√36
 
 
768,30 = �̅� − 1,690 .
14,7337
6
 
𝟕𝟕𝟐, 𝟒𝟓 = �̅� =
𝟕𝟕𝟔, 𝟔𝟎 + 𝟕𝟔𝟖, 𝟑𝟎
𝟐
 
Ejercicio 4 
La recuperación de bromuro de potasio por cromatografía de gas-líquido en cierta especie 
vegetal puede suponerse con distribución normal. Se hicieron 16 mediciones en muestras de 
esta especie y se obtuvo el siguiente intervalo [781,40; 787,80] para el valor medio de la 
recuperación de bromuro potásico con un nivel de confianza de 0,99. ¿Cuáles fueron los 
estimadores puntuales de la media y la varianza obtenidos a partir de esta muestra? Definir 
la variable aleatoria involucrada y establecer los supuestos. 
 
Resolución 
 
C (781,40 < μ < 787,80) = 0,99 
 
𝐿𝑜𝑛𝑔 = 787,80 − 781,40 = 2. 𝑡
15;
0,01
2
 .
𝑆
√16
 
 
6,4 = 2 . 2,947 .
𝑆
4
 
4,3434 = 𝑆 
 
𝟏𝟖, 𝟖𝟔 = 𝑺𝟐 
 
 
𝐿1 = 781,40 = �̅� − 𝑡15;0,01
2
 .
𝑆
√16
 
 
781,40 = �̅� − 2,947 .
4,3434
4
 
𝟕𝟖𝟒, 𝟔 = �̅� =
𝟕𝟖𝟏, 𝟒𝟎 + 𝟕𝟖𝟕, 𝟖𝟎
𝟐