RECUPERATORIO 1er FECHA DEL SEGUNDO REGU 2020

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Bioestadística 
Primera Fecha – Recuperatorio del Segundo Regulatorio 
Segundo Cuatrimestre 2020 
ANOVA 
Ejercicio 1 
Un grupo de investigación desea analizar los efectos de una estatina sobre el valor del colesterol 
LDL (c-LDL). Para ello deciden trabajar con ratas y las dividen en grupos para ensayar diferentes 
dosis del fármaco. Al finalizar el tratamiento toman muestras de suero y miden el c-LDL en 
mg/dl. Se muestra a continuación una tabla con algunas medidas de resumen de los diferentes 
grupos: 
 
Para verificar si la administración de distintas dosis de la estatina produce un cambio en la 
concentración de c-LDL, realizaron un ANOVA considerando un nivel de significación α = 
0,05. 
 
Verificar que se cumple el supuesto homogeneidad de varianzas, completar la tabla del ANOVA 
y decidir si hay diferencia significativa en los valores medios de concentración de c-LDL con las 
4 dosis. Definir las variables aleatorias, establecer las suposiciones del modelo y plantear las 
hipótesis correspondientes. 
Resolución 
 
Yij: concentración de c-LDL (mg/dl) en la rata j que recibió la dosis de estatina i. 
 
Suposiciones del modelo: Yij ~ N(µi; 𝜎) independientes 
 
Test de Fmáx: 
H0) 𝜎1
2 = 𝜎2
2 = 𝜎3
2 = 𝜎4
2 H1) No todas las 𝜎𝑖
2son iguales 
 
Fm= 3,94; J = 6,66 ≈ 7 (se elige redondear hacia arriba para colocarse en la situación más 
desfavorable); valor crítico Fmax4;6;0,05= 10,4. 
2 
 
La suposición de homogeneidad de varianzas se cumple ya que el estadístico es menor al valor 
crítico hallado en la tabla; por lo tanto, no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula 
y podemos decir que las varianzas son homogéneas. 
 
H0) µ0 = µ1 = µ2 =µ3 H1) No todas las µi son iguales 
 
CMDENTRO: SCdentro/gl = 39965,98/24 = 1665,2491 
 
F = 6374,15/1665,25 = 3,83 
F3,24;0,05=3,01 
 
3,83 > 3,01 Rechazamos H0, por lo tanto, podemos decir que hay diferencias significativas entre 
las concentraciones medias de c-LDL de los distintos tratamientos. 
 
Ejercicio 2 
Un laboratorio de investigación de una compañía farmacéutica desea evaluar el efecto de un 
nuevo fármaco sobre la concentración de colesterol no HDL (col_no_HDL). Para ello deciden 
trabajar con un modelo de ratones a los cuales dividen en grupos para ensayar diferentes dosis 
del fármaco. Al finalizar el tratamiento toman muestras de suero y miden el nivel de colesterol 
no HDL en mg/dl. Se muestra a continuación una tabla de InfoStat con algunos estadísticos de 
los diferentes grupos: 
 
Para verificar si la administración de distintas dosis del fármaco produce una disminución en la 
concentración de colesterol no HDL, realizaron un ANOVA considerando un nivel de 
significación α = 0,05. 
 
 
 
Verificar que se cumple el supuesto homogeneidad de varianzas, completar la tabla del ANOVA 
y decidir si hay diferencia significativa en los valores medios de concentración de colesterol no 
HDL con las 3 dosis. Definir las variables aleatorias, establecer las suposiciones del modelo y 
plantear las hipótesis correspondientes. 
 
3 
 
Resolución 
Yij: concentración de colesterol no HDL (mg/dl) en el ratón j que recibió la dosis de fármaco 
i. 
 
Suposiciones del modelo: Yij~N(µi;𝜎) independientes 
 
Test de Fmáx: 
H0) 𝜎1
2 = 𝜎2
2 = 𝜎3
2 H1) No todas las 𝜎𝑖
2son iguales 
 
Fm= 5,03; J = 6; valor crítico Fmax3;5;0,05= 10,8 
La suposición de homogeneidad de varianzas se cumple ya que el estadístico es menor al 
valor crítico hallado en la tabla; por lo tanto, no hay evidencia suficiente para rechazar la 
hipótesis nula y podemos decir que las varianzas son homogéneas. 
 
H0) µ0 = µ1 = µ2 H1) No todas las µi son iguales 
 
CMDENTRO: SCdentro/g.d.l = 878,8/15 = 58,59 
 
F = 4582,07/58,59 = 78,21 
 
F2,15;0,05=3,68 
 
78,21>3,68 Rechazamos H0, por lo tanto, podemos decir que hay diferencias significativas 
entre las concentraciones medias de no HDL de los distintos tratamientos. 
 
Intervalos de confianza 
Ejercicio 1 
La salida de InfoStat muestra los límites de un intervalo de confianza para la varianza del 
contenido de Losartán potásico en los comprimidos fabricados por un laboratorio, al que se 
supone con distribución aproximadamente normal. Construir un intervalo de confianza del 
95% para la esperanza de la variable, sabiendo que la muestra arrojó una media de 50,6 mg. 
Definir la variable aleatoria y establecer los supuestos. 
 
 
 
Resolución 
X= Contenido de Losartán potásico en comprimido fabricado por el laboratorio Z. 
 
Suposiciones: X~ N (μ; σ) con σ desconocido 
 
Intervalo de Confianza para la varianza de una variable aleatoria normal: 
 
4 
 
𝐶 ( 
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒
𝑛−1;
𝛼
2
2 < 𝜎
2 < 
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒
𝑛−1;1−
𝛼
2
2 ) = 1 − 𝛼 
 
De la salida de InfoStat obtenemos: 
 
C (3,41 < 𝜎2 < 12,58) = 0,95 
 
Tomemos el límite inferior para despejar 𝑠: 
 
 
(20 − 1)𝑠2
𝜒
20−1;
0.05
2
2 = 3,41 
 
(20 − 1)𝑠2
32,852
 = 3,41 
 
𝑠 = √5,90 = 2,43 
 
También podemos tomar el valor de la varianza, de la salida de Infostat dada. 
 
 
 
Intervalo de Confianza para la media de una variable aleatoria normal: 
 
𝐶 ( �̅� − 𝑡
𝑛−1; 
𝛼
2
 
∗
𝑠
√𝑛
< 𝜇 < �̅� + 𝑡
𝑛−1; 
𝛼
2
 
∗
𝑠
√𝑛
) = 1 − 𝛼 
 
𝐶 ( 50,6 − 2,093 ∗
2,43
√20
< 𝜇 < 50,6 + 2,093 ∗
2,43
√20
) = 0,95 
 
𝐶( 49,46 < 𝜇 < 51,74) = 0,95 
 
 
Ejercicio 2 
La salida de InfoStat muestra los límites de un intervalo de confianza para la varianza del 
contenido de Amlodipina en los comprimidos fabricados por un laboratorio, al que se supone 
con distribución aproximadamente normal. Construir un intervalo de confianza del 90% para 
la esperanza de la variable, sabiendo que la muestra arrojó una media de 5,03 mg. Definir la 
variable aleatoria y establecer los supuestos. 
 
 
 
 
5 
 
Resolución 
X= Contenido de Amlodipina en comprimido fabricado por un laboratorio. 
 
Suposiciones: X~ N (μ; σ) con σ desconocido 
 
Intervalo de Confianza para la varianza de una variable aleatoria normal: 
 
𝐶 ( 
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒
𝑛−1;
𝛼
2
2 < 𝜎
2 < 
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒
𝑛−1;1−
𝛼
2
2 ) = 1 − 𝛼 
 
De la salida de InfoStat obtenemos: 
 
C (0,52 < 𝜎2 < 1,55) = 0,90 
 
Tomemos el límite inferior para despejar 𝑠: 
 
 
(20 − 1)𝑠2
𝜒
20−1;
0.10
2
2 = 0,52 
 
(20 − 1)𝑠2
30,144
 = 0,52 
 
𝑠 = √0,83 = 0,91 
 
También podemos tomar el valor de la varianza, de la salida de Infostat dada. 
 
 
Intervalo de Confianza para la media de una variable aleatoria normal: 
 
𝐶 ( �̅� − 𝑡
𝑛−1; 
𝛼
2
 
∗
𝑠
√𝑛
< 𝜇 < �̅� + 𝑡
𝑛−1; 
𝛼
2
 
∗
𝑠
√𝑛
) = 1 − 𝛼 
 
𝐶 ( 5,03 − 1,729 ∗
0,91
√20
< 𝜇 < 5,03 + 1,729 ∗
0,91
√20
) = 0,90 
 
𝐶( 4,68 < 𝜇 < 5,38 ) = 0,90 
 
 
Regresión lineal 
 
Ejercicio 1 
El volumen espiratorio forzado (FEV) es una medida de la función pulmonar. Para identificar 
pacientes con función pulmonar anormal, se deben establecer FEV para la población normal. 
Uno de los inconvenientes para esto es que la FEV está relacionada tanto a la edad como a la 
6 
 
altura. Enfocándonos entonces en los pacientes con edad de 10 a 15 años, postulamos un 
modelo de regresión para FEV según altura. Los datos de FEV media para intervalos de 4 
centímetros de altura se recolectaron en la siguiente tabla. 
 
Altura FEV Altura FEV 
134 1,7 158 2,7 
138 1,9 162 3,0 
142 2,0 166 3,1 
146 2,1 170 3,4 
150 2,2 174 3,8 
154 2,5 178 3,9 
 
Considerando que CMReg = 6,0239 y SCRes=0,1452, decidir si la regresión es significativa. 
Justificar. Definir las variables aleatorias, plantear el modelo, los supuestos y las hipótesis 
correspondientes. 
Resolución 
 
Yij: volumen espiratorio forzado de un paciente j con edad entre 10 y 15 años de altura i 
Modelo: 
 
Yij = α + β xi + εij con εij ~ N (0; σ ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ I ∀1 ≤ j ≤ ni 
 
Suposiciones del modelo: 
 
Yij ~ N (μi; σ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ I ∀ 1 ≤ j ≤ ni 
 
Hipótesis a testear: H0: β = 0 H1: β ≠ 0 
 
Utilizando los datos se puede realizar con InfoStat el ANOVA: 
 
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III) 
 F.V. SC gl CM F p-valor 
Modelo. 6,02 1 6,02 414,78 <0,0001 
ALTURA 6,02 1 6,02 414,78 <0,0001 
Error 0,15 10 0,01 
Total 6,17 11 
 
Como p < 0,0001; la regresión es significativa. 
 
También se puede calcular el estadístico con los estadísticos que brinda el enunciado: 
𝐹 =
𝐶𝑀𝑅𝑒𝑔
𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠
=
6,0239
0,1452
12−2
= 414,87 y compararlo con el valor de tabla: 𝐹1;10;0,01 = 10,04. 
Como p < 0,01; la regresión es significativa. 
 
7 
 
Ejercicio 2 
Se quiere investigar la relación entre el peso del cuerpo (en lb) y la concentración de colesterol 
en la sangre (en mg/100ml). Para valores fijos de peso, se seleccionan aleatoriamente 15 
sujetos de una población de varones adultos entre 50 y 55 años de edad, y se les mide la 
concentración de colesterol en la sangre. Se determinó que hay una relación significativa entre 
el peso del sujeto y la concentración de colesterol en la sangre: 
 
𝑆𝑋𝑋 = 6.873,733; 𝑆𝑋𝑌 = 13.966,333; �̅� = 176,13; �̅�.. = 230,33 
A partir de la salida de InfoStat, correspondiente al análisis de regresión lineal, y a los datos 
agregados, expresar el modelo de regresión lineal, definiendo las variables e indicando las 
suposiciones del modelo y las hipótesis corrspondientes; calcular la ecuación de la recta de 
cuadrados mínimos, y construir un intervalo de confianza del 95% para la pendiente de la recta. 
Resolución 
Yij: concentración de colesterol en sangre del varón adulto j con edad entre 50 y 55 años con peso 
i 
Modelo: 
 
Yij = α + β xi + εij con εij ~ N (0 ;σ ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ I ∀ 1 ≤ j ≤ ni 
 
Suposiciones del modelo: 
 
Yij ~ N (μi; σ) , independientes ∀ 1 ≤ i ≤ I ∀ 1 ≤ j ≤ ni 
Ecuación de la recta ajustada por el método de cuadrados mínimos: 
 
�̂� =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
=
13.966,333
6.873,733
= 2,0318 
 
�̂� = �̅�.. − 𝛽.̂ 𝑥 ̅= 230,33 - 2,0318.176,13 = 127,53 
�̂� = −127,53 + 2,0318 𝑋 
IC (95%) para 𝛽 
�̂� ± 𝑡𝑛−2;𝛼 2⁄
. √
𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠
𝑆𝑋𝑋
 
2,0318 ± 𝑡
13;0,05 2⁄
. √
1.359,377
6.873,733
 
8 
 
2,0318 ± 2,16 . 0,4447 
2,0318 ± 0,9606 
C (1,0712< 𝛽< 2,9924) = 0,95 
 
Distribución de la Varianza Muestral 
Ejercicio 1 
Sea X ~ N (μ; 7) y S2 la varianza de muestras aleatorias de X de tamaño 25. Calcular el número a de 
modo que P (S2 < a) = 0,90. 
Resolución 
𝑃(24.S2 /49 < 24.a /49) = 0,90 y 24.S2 /49 tiene distribución χ2 con 24 grados de libertad. 
De la tabla: 24a/49=33,196, el valor crítico que deja un área a derecha 0,10 y resulta: 
 a = 33,196*49/24 = 67,77 
 
Ejercicio 2 
Sea X ~ N (μ; 8) y S2 la varianza de muestras aleatorias de X de tamaño 36. Calcular el número a de 
modo que P (S2 > a) = 0,90. 
Resolución 
P (35.S2 /64 > 35.a/64) = 0,90, con 35.S2 /64 con distribución χ2 con 35 grados de libertad. De 
la tabla, 35.a/64 = 24,797 y entonces a = 24,797*64/35 = 45,34 
 
PRUEBA DE HIPÓTESIS 
 
Ejercicio 1 
En el sector norte de un bosque, los árboles de una especie nativa a los 10 años de edad tienen 
un diámetro medio de 15 cm, medido a 1 metro del suelo. Se seleccionó una muestra aleatoria 
de árboles de 10 años en el sector sur del mismo bosque (donde los suelos son fértiles y bien 
drenados). Con dichos datos se realizó una prueba de hipótesis con Infostat, para determinar 
si el diámetro medio de los árboles del sector sur del bosque es distinto del diámetro medio 
de los árboles del sector norte. 
Se pide definir la variable aleatoria, escribir los supuestos y las hipótesis del test, completar 
los dos datos faltantes en la salida de Infostat y concluir en base al intervalo de confianza, 
detallando cuál es el nivel de significación utilizado. 
 
 
Resolución 
9 
 
X=”Diámetro (en cm) de un árbol del sector sur del bosque” Suponemos 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇; 𝜎) y se 
quiere testear 1) 15 ) 15oH H   
El estadístico observado del Test de Student es 𝑇 = 5,407 
Entonces: 
𝑥−𝜇0
𝑠
√𝑛
=
17,66−15
𝑠
√20
= 5,407 ⇒ 𝑠 =
2,66
5,407
⋅ √20 = 2,2 
𝐿𝐼(95) = 𝑋 − 𝑡𝑛−1,𝛼
2
⋅
𝑆
√𝑛
 𝑡𝑛−1,𝛼
2
= 𝑡19;0.025 = 2,093 
𝐿𝐼(95) = 17,66 − 2,093 ⋅
2,2
√20
= 16,63 
Entonces el intervalo de confianza del 95% para  es (16,63;18,69)I  , y como 15 I 
rechazamos 0H  el diámetro medio de los árboles del sector sur del bosque es 
significativamente distinto del diámetro medio de los árboles del sector norte. El nivel de 
significación de este test es 0,05. 
 
Ejercicio 2 
Muchos autores afirman que los pacientes con depresión tienen una función cortical inferior, 
debido a un riego sanguíneo cerebral más bajo que el considerado normal. 
Se tomó una muestra de individuos con depresión, de tamaño 13Dn  , y otra de individuos 
normales, de tamaño 22Nn  , y se les midió un índice que indica el flujo sanguíneo en la 
materia gris (expresado en mg/(100g/min)). Se obtuvieron los siguientes datos: 
 𝑥𝐷 − 𝑥𝑁 = −6,8 y 𝑠𝑃
2 = 46,6. (𝑠𝑃
2 es el promedio ponderado de las varianzas de las dos 
muestras) 
Los investigadores desean saber si hay evidencia para afirmar que el valor medio de este índice 
es efectivamente menor en los pacientes con depresión, con respecto a los pacientes sin este 
cuadro. 
Se pide definir las variables aleatorias involucradas y escribir todos los supuestos necesarios 
para aplicar la prueba de hipótesis adecuada; plantear el test y explicitar su conclusión en base 
al cálculo (o la acotación) del p-valor. 
Resolución 
Sean las variables: 
DX = “Valor del índice que indica flujo sanguíneo en la materia gris ( en mg/(100g/min)) en 
un paciente depresivo” 
NX = “Valor del índice que indica flujo sanguíneo en la materia gris (en mg/(100g/min)) en 
un paciente normal”. 
Suponemos 𝑋𝐷 ∼ 𝑁(𝜇𝐷; 𝜎𝐷); 𝑋𝑁 ∼ 𝑁(𝜇𝑁; 𝜎𝑁) variables independientes, con 𝜎𝐷
2 = 𝜎𝑁
2 
Planteamos las hipótesis: 𝐻0) 𝜇𝐷 ≥ 𝜇𝑁 𝐻1) 𝜇𝐷 < 𝜇𝑁 
10 
 
O, equivalentemente: 𝐻0) 𝜇𝐷 − 𝜇𝑁 ≥ 0 𝐻1) 𝜇𝐷 − 𝜇𝑁 < 0 
Aplicaremos el test de Student para diferencia de medias en muestras independientes. 
El estadístico de prueba es 𝑇 =
𝑋𝐷−𝑋𝑁−𝑎
𝑆𝑃√
1
𝑛𝐷
+
1
𝑛𝑁
 donde 𝑆𝑃
2 =
(𝑛𝐷−1)𝑆𝐷
2 +(𝑛𝑁−1)𝑆𝑁
2
𝑛𝐷+𝑛𝑁−2
 
Bajo 0H T tiene distribución T de Student con 𝑛𝐷 + 𝑛𝑁 − 2= 33 grados de libertad. 
 
Con los datos muestrales resulta: 
𝑇𝑂𝐵𝑆 =
−6,8
√46,6√
1
13
+
1
22
= 2,848 
 
Se deduce de la tabla que 
0,0025 < p <0,005 
p-valor = 0,00376 
 
Por tanto, rechazo 0H : el valor medio del índice es 
significativamente menor en los pacientes con depresión, 
con respecto a los pacientes sin este cuadro.