Cap 01

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159 
Expresiones Algebraicas y 
Teoría de Exponentes 
 
 
EXPRESION ALGEBRAICA (E.A.) 
 
 
Es una expresión matemática en la cual para la 
variable o variables sólo se definen las operaciones 
aritméticas (Adición, Sustracción, Multiplicación, 
División, Radicación y Potenciación), en forma 
FINITA y sin variables como exponentes. 
 
CONSTANTE : Son aquellas expresiones que 
tienen un valor fijo. Generalmente 
se utilizan las primeras letras del 
abecedario para representarlas. 
 
VARIABLE : Es un valor arbitrario o 
desconocido, representa a una 
cantidad en forma general. 
Frecuentemente para 
representarlas, se utilizan Las 
últimas letras del abecedario. 
 
Ejemplos: 
����� 6�� 5 ; ���, ��� 29�� � � ��� ; 
� ��, ��� ����
��������
� ��� 
 
 
RECUERDA: Si una expresión no cumple con una 
de éstas condiciones anteriores, es una expresión 
no algebraica o Trascendente. 
 
 
Ejemplos de expresiones NO algebraicas: 
1) 3x - log x2 
2) 1 + x - x2 + x3 - x4 + ... 
3) 2x + sen2x – arctanx + 1 
4) 





=





ay
nx
43
24
34
12 
 
 
TÉRMINO ALGEBRAICO 
 
Es una expresión algebraica previamente reducida 
donde no se define las operaciones de adición ni 
sustracción entre las variables. 
 
PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO: 
 
1. Coeficiente (incluyendo al signo) 
2. Parte literal o Parte variable. 
3. Exponentes de las variables. 
 
 
 
 
 
39 x− 
 
 
 
 
 
TÉRMINOS SEMEJANTES 
 
Son aquellos términos que tienen la misma 
parte literal, afectados de iguales exponentes. 
 
Dos términos se pueden sumar o restar si son 
semejantes, para lo cual se suma o se restan los 
coeficientes y se escribe, la misma parte literal. 
 
Ejemplos: yxyxyx 74;7;77 π− 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES 
ALGEBRAICAS 
 
Se clasifican tomando en cuenta los exponentes de 
las variables (clasificación por su naturaleza). Así: 
 
EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (EAR) 
Son expresiones en las cuales sus variables están 
afectadas por exponentes enteros o también 
porque el subradical no tiene letras, pudiendo 
contener a su vez términos independientes. 
 
Ejemplos: 
ü ���, ��� 2�� � 3��� ��� 
ü ����� 5�� � 35���� � 42� 
 
 Término independiente(puesto que �	es la variable) 
 
a) Expresión Algebraica Racional Entera 
(EARE) 
Cuando los exponentes de sus variables son 
enteros positivos incluyendo el cero. 
 
 Ejemplos: 
 
yxxyx −+ 32;
6
4;34 
 
 
b) Expresiones Algebraicas Racional 
Fraccionaria (EARF).- Cuando los 
Exponente 
Variable 
Coeficiente 
 
 
 
 
 
 
160 
 
exponentes de sus variables son enteros 
negativos. 
 
 Ejemplo: 
 34;3
7 −xyz
x
 
 23 39
6 382
xz
y
zy
x
+
+− 
 
EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL 
(EAI) 
 Son expresiones en las cuales las variables 
están afectadas por lo menos un exponente 
fraccionario (ℚ), es decir donde se define por lo 
menos una radicación que involucre a las 
variables. 
 
 Ejemplos: 
 357
2
4;42;
3 56 yzyxxyzx + 
 
 
 
 
TEORÍA DE EXPONENTES 
 
 
Potenciación: Es la operación que consiste en 
multiplicar un número, llamado base, tantas veces 
como otro número llamado exponente. 
 
Representación: 
 
Sea: 
bbbbbbbppbn .................=⇒= 
 “n” factores 
 
 donde: b : base, b ∈ 	� � �0� 
 n : Exponente (n ∈ 	�) 
 nb : n-ésima potencia de b. 
 
Ejemplo: 
2433.3.3.3.335 == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades: 
 
1. nmnm aa.a += 
2. nmn
m
a
a
a −= , a ≠ 0 
3. ( ) nnn baab = 
4. n
nn
b
a
b
a
=




 ; b ≠ 0 
5. mnnmnm )a(a)a( == 
6. n
n
a
1a =− ; a ≠ 0 
7. 
nn
a
b
b
a





=




 − ; a ≠ 0 , b ≠ 0 
8. n
1
n aa = 
9. nnn b.aba = 
10. n
n
n
b
a
b
a
= , b ≠ 0 
11. mnn
m
n m )a(aa == 
12. n pnmn pm a .aa .a = 
13. pnmm n p aa = 
 
 
CASOS PARTICULARES 
1.- z.y.x
p
c.y.x
n
b.x
m
a
x y z pcnbma = 
 Ejemplo: 
300)2)(3)(5(
60
5.)3)(2(
6
3.2
4
2
2 3 5 6056342 == 
2.- 
z.y.x pz)ny.m(a
x y z panama ++= 
 
 Ejemplo: 
4312 4832.3.2 122)63.4(33 1236343 ==++= 
 
 
 
 
 
5 factores 3 
 
 
 
 
 
161 
 
ECUACIONES EXPONENCIALES 
 
Son igualdades donde la incógnita aparece en 
el exponente, y en otros como base y exponente. 
 
Diferentes formas de ecuaciones: 
 
1.- Ley de bases iguales: 
 1a0a;yxyaxa ≠∧>∀=⇒= 
 
Ejemplo: 
2/3x2x323x339x27 =∴=⇒=⇒= 
 
2.- Ley de Exponentes iguales: 
 0x;baxbxa ≠∀=⇒= 
 
 Ejemplo: 
 12x8)4x(383)4x(5123)4x( =∴=−⇒=−⇒=− 
 
3.- Ley de simetría: 
 0ababaa b ≠∀=⇒= 
 
Ejemplo: 
7x43x44)3x()3x(256)3x()3x( =∴=−⇒=−−⇒=−− 
 
 
4.- { }0Rb,a0yxbxa y −∈∀==⇒= 
 
5.- Formas Indeterminadas: 
 
5.1) 1n........)1n(n)1n(n)1n(n +=∞++++++ 
 
5.2) n........)1n(n)1n(n)1n(n =∞−+−+−+ 
5.3) n
n nn nn n =
∞
N
 
5.4) n nxn
n
xxx =⇒=
N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
1. Determinar los posibles valores de “a” para que 
la expresión: 
3z2ay
5
3
az2
6xz3 6yax8)z,y,x(E −+−= ; sea 
racional entera. 
 
 a) { }6,4,2 b){ }5,3,1 c) { }6,3 
d) { }3,2,1 e) { }6,4,2 
 
 Solución: 
 La expresión es racional entera, si se cumple 
que: 
 02a0a60
3
a
≥−∧≥−∧≥ 
de donde: 
 2a;6a;3a ≥≤= 
 Luego, se obtiene que : { }6,3a = 
 Rpta. Alternativa “c” 
 
2. Simplificar: 
331633
3 3 33 4 27
3
4 3
3E























 −−
−
















= 
 a) 1 b) 3 c) 9 d) 1/3 e) 3 3 
 
Solución: 
Usando las propiedades de la teoría de 
exponentes 
 
33).
1633.(
3
4 3
4
1
27.3
3 3
3 3E
−−
−


















= 
















−
−−
−
=
4
3
3.6
1
33
2
3
3.6
1
33.4
3
3
3E 
 
13E −= = 1/3 
 Rpta. Alternativa “d” 
 
 
 
 
 
 
 
162 
 
3. Sea la expresión algebraica racional entera 
 
7az5y
2a 3)2a(y.3ax
)z,y,x(E
−−
+ −+
= 
 
Calcular uno de los valores de E(-2, -2, -2) 
 
 a) 152 b) 132 c) 212 
 d) 182 e) 202 
 
Solución: 
La expresión es racional entera, si se cumple que: 
 
0a702a03a ≥−∧≥−∧≥+ 
 
de donde: 
7a;2a ≤≥ 
Esto es { }7,6,5,4,3,2a ∈ 
Al simplificar la expresión 
a7z.3ay.3ax)z,y,x(E −++= 
Luego: 
a7)2.(3a)2.(3a)2()2,2,2(E −−+−+−=−−− ; 
 
 “a” es impar, si a = 5, 
Entonces: 18222.82.82)2,2,2(E ==−−− 
 
 Rpta. Alternativa “d” 
 
 
4. Si los términos 
3by1
2ax3)ba(2a)y,x(1E
+−



 ++= 
[ ] 1b4y)1a(2x4)ba(a)y,x(2E 2 −−−−= 
son semejantes, hallar la suma de sus 
coeficientes 
 
a) 0 b) 2 c) 5 d) 6 e) 7 
 
Solución: 
Por definición de términos semejantes: 
 )1a(212a −=− y 1b43b −=+ 
 de donde: a = 1 y b = 4 
 Luego la suma de sus coeficientes es: 
 
 7184)2ba(a3)ba(2aS =−=


 −−+


 ++= 
 
Rpta. Alternativa “d” 
 
 
5. Si : 1nn3n )x4()x2(x −+ == , calcular el valor 
de: n + x 
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 
 
Solución: 
 
Si n3n )x2(x =+ , entonces 3
n
2x = 
 
Asimismo, si 1n3n )x4(x −+ = entonces 2
1n
2x
−
= 
 
Luego : 2
1n
3
n
22
−
= 
 
Usando la propiedad: yxaa yx =⇒= , de 
ecuaciones exponenciales se tiene: 
2
1n
3
n −
= 
De donde: n = 3 y x = 2 
Por tanto: n + x = 5 
 
 Rpta. Alternativa “b”