Cap 06

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 M.C.D. – M.C.M. 
Fracciones Algebraicas 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR 
 
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más 
expresiones algebraicas enteras, es otra expresión 
algebraica entera de mayor coeficiente numérico y 
mayor grado contenida un número exacto de veces 
en cada una de las expresiones dadas. 
 
Ejemplo 1 
 
Dado los siguientes monomios: 
 
� � 6	�����	��	 
� � 12	������	���	 
� � 30		�������	��	 
Hallar el MCD 
Solución: 
� ��	��, �, ��� 6	�����	�� 
 
Ejemplo 2: Hallar el MCD de los polinomios: 
 
� � ��. ��� ���. �� � ���� 
� � ��. �� � ���. �� � ��� 
Solución: 
� ��	��, � �� ��. ��� ��� 
 
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más 
expresiones algebraicas enteras, es la menor 
expresión algebraica entera y de menor coeficiente 
que contiene exactamente a cada una de las 
expresiones dadas. 
 
 
Ejemplos 1: Si 352 zyx3P = ; 635 zyx4Q = 
 Entonces: 
 M. C. M (P, Q) = 12x5y5z6 
 
Ejemplos 2 
 Hallar el MCM de los polinomios: 
 
� � ��. ��� ��� 
� � ���		�		��� ����		�� � ��� 
Solución: 
� �� � ���. �. �� � ������ � ��� 
 
PROPIEDADES: 
 
- Si dos o más expresiones algebraicas son 
primas entre si, entonces, el MCM es el 
producto de ellas y el MCD es la unidad. 
- Si A y B son dos expresiones algebraicas 
enteras; entonces: 
- 
 MCD(A,B) x MCM(A,B) = A x B 
 
- Todo polinomio P(x) , Q(x) contiene al MCD. Es 
decir: 
MCD
)x(P da residuo cero. 
- Todo MCM contiene a dichos polinomios. 
 
PASOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM 
 
a) Se factorizan cada una de las expresiones 
dadas. 
b) El MCD está dado por el factor o producto de 
factores comunes afectados de sus menores 
exponentes. 
c) El MCM está dado por el producto de 
factores comunes y no comunes afectados de 
sus mayores exponentes. 
 
Ejemplo 1: 
Hallar el grado absoluto del MCM de los 
polinomios: 
A = x5 – xy4 ; B = (x2 – y2) (x4-y4) 
a) 5 b) 4 c)3 d) 6 e)7 
 
Solución: 
Factorizando : 
A = x (x4 – y4) = x(x2+y2) (x2- y2) 
 A = x(x2+y2) (x+y) (x-y) 
 
B = (x + y) ( x – y) (x2+y2) (x+y) (x-y) 
B = (x + y)2 ( x – y)2(x2+y2) 
 
Por lo tanto: 
M.C.M(A,B) = x (x2+y2) (x+y)2(x-y)2; 
Se observa que el grado absoluto del m.c.m es: 
1+2+2+2 = 7 
Rpta. Alternativa “e” 
 
Ejemplo 2 : 
Sean: P(x) = Ax2 +2x –B ; 
Q(x) = Ax2 – 4x + B 
Si (x-1) es el M.C.D de P y Q. Determinar el 
cociente B/A. 
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Solución 
Por el teorema del resto: 
P(1) = A + 2 –B = 0 
Q(1) = A –4 + B = 0 
Resolviendo el sistema 
A – B = -2 
A + B = 4 
Luego : B/A = 3/1 = 3 
 
 Ejemplo 3 : 
 Dados los polinomios: 
 P(x) = 2x4 – 3x3 + x2 + Ax + B 
Q(x) = 3x4 – 7x3 + Cx + D 
 
 Si : MCD (P,Q) = x2 – x – 6. 
Hallar AD + BC 
 
 Solución: 
 
 
 
 
 
185 
 
 
Si x2 – x – 6 es el MCD (P,Q), entonces 
x2 – x – 6 divide exactamente a P(x) y 
 a Q(x). 
 
 Aplicando el método de Horner, 
P(x) ÷ (x2 – x – 6) se resuelve por : 
 
 
 1 2 -3 1 A B 
 
 1 2 12 
 
6 -1 -6 
 
 12 72 
 
 2 -1 12 A+6 B+72 
 
 Luego, afirmamos que el resto es cero ↔ 
A + 6 = 0 → A = -6 
 B + 72 = 0 → B = -72 
También : Q(x) ÷ (x2 – x – 6) dividimos por el 
método de Horner: 
 
 
 
 1 3 -7 0 C D 
 
1 3 18 
 
 -4 -24 
6 14 84 
 
 3 -4 14 C-10 D+84
 
Así, si C – 10 = 0 entonces c = 10 y si 
 D + 84 = 0 entonces D = -84 
 
 Luego : 
AD + BC = (-6) (-84) + (-72) (10) = -216 
 
FRACCIONES ALGEBRAICAS 
 
Las fracciones algebraicas son expresiones de 
la forma 
)x(Q
)x(P , donde P(x) y Q(x) son polinomios, 
siendo Q(x) ≠ 0, 
Ejemplos: a) 
1x
1
+
− b) 
4x3
2x3
+
− 
Propiedad: 
"Si a los términos de una fracción algebraica 
se les multiplica o divide por una misma cantidad 
distinta de cero, se obtiene otra fracción 
equivalente". 
Así; 
kb
ka
kb
ka
b
a
÷
÷
=
⋅
⋅= , k ≠ 0 
 
Ejemplo: Sea la fracción: 
 
1
1
x
x
+
−
 
Si se le multiplica por 2 al numerador y 
denominador obtenemos: 
 
2 2
2 2
x
x
+
−
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES 
ALGEBRAICAS 
 
1. Fracciones Homogéneas: Cuando tienen el 
mismo denominador. 
Ejemplos: 
3x
2x y
3x
2 2
+
+
+
 
 
2. Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son 
equivalentes si toman los mismos valores 
numéricos para todos los valores admisibles de 
sus variables. 
Ejemplo: 
1x
1x2x y
1x
1x
2
2
−
++
−
+ 
 
Estas fracciones obtienen los mismos valores 
numéricos, para todo valor real de x, con 
excepción de ± 1. 
 
3. Fracción Propia: Cuando el grado del 
numerador es menor que el grado del 
denominador. 
Ejemplos: 
 
1x
1-x ; 
6x5x4
3x2
23
2
+++
− 
 
4. Fracción Impropia: Cuando el grado del 
numerador es mayor o igual que el grado del 
denominador. 
Ejemplos: 
 
1xx3
6x210x ; 
1xx
7x
3
5
23
3
−+
++
+−
− 
 
5. Fracción Compuesta: Cuando el numerador 
y/o denominador poseen a su vez otras 
fracciones algebraicas. 
 
Ejemplos: 
1x
1x2
3x
2xx6
2
2
+
−
−
+
−
+ 
 
 
 
 
 
 
186 
 
6. Fracción de Valor Constante : Cuando 
asume el mismo valor numérico para cualquier 
sistema de valores asignados a sus variables: 
 Si 
ycxybxa
cybxyaxA
111 ++
++
= es una 
fracción de valor constante. 
Entonces se cumple que: 
 
111 c
c
b
b
a
a
== = valor constante de A 
 
Ejemplos: Sabiendo que la fracción 
az b
cz d
+
+
 
Es independiente de “z” entonces el valor de la 
expresión: 
2b ad a
d bc c
+ − 
Solución 
Bajo la propiedad tenemos: 
a b
c d
= 
Por proporciones: ad bc= , luego sustituyendo 
en la expresión: 
2 2 2a ad a ad
c bc c ad
+ − = = 
 
 
7. Fracción Irreductible : Cuando el 
numerador y denominador no tienen factores 
comunes. 
 Ejemplo: 
1x
3x2
−
+ 
 
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES 
 
Para simplificar una fracción se procede de la 
siguiente manera: 
 
1. Se factorizan el numerador y denominador de 
la fracción. 
 
2. Se eliminan los factores comunes hasta 
obtener una fracción irreductible. 
 
Ejemplos Resueltos 
 
1.Simplificar: 
 
3
a51
a1616
a51
a15
3
a51
a22
a51
a1
A 2
2
+
−
+
+





−
+
−
−
+
+





−
+
= 
Solución 
Haciendo el cambio de variable 
 x = 
a51
a1
−
+ 
Entonces 
( )( )
( )( )3x1x5
1x3x
3x16x5
3x2xA 2
2
++
−+
=
++
−+
= 
 
1x5
1xA
+
−
= 
 
Finalmente reemplazando x; 
 
aa
a
a
a
a
A ==
+





−
+
−
−
+
=
6
6
1
51
15
1
51
1
 
 
2. Simplificar: 
 
b)1a(1
1)ab1(aab2
b
1a
11
1A
++
+++
−
+
+
= 
 Solución: 
 Evaluemos por partes : 
=
+
+
=
+
+
1ab
b1
1
b
1a
11
1 
abb1
ab1
1ab
b1ab
1
++
+
=
+
++
 
 
Además : 
abb1
1baaab2
b)1a(1
1)ab1(aab2 2
++
+++
=
++
+++
 
 Restando ambos resultados; se obtiene: 
 =
++
+++
−
++
+
abb1
1baaab2
abb1
ab1 2
abb1
)ab1b(a
abb1
baaab 2
++
++−
=
++
−−− = -a 
 
3. Simplificar 
2� � �
2� � � �
2� � �
2� � �
2� � �
2� � � �
2� � �
2� � �
	.
��2� � ��� � 4���
4 
 
Solución 
Se hace un cambio de variable 
2� � � � �																2�� � � � 
Donde tenemos: 
�
��
�
�
�
��
�
�
∗ ��
������
�
 
 
 Efectuando tenemos 
�� � ��
��
�� � ��
��
∗
��� � 4���
4 		 
Luego al simplificar y remplazar los términos 
originales tenemos: 
 
�2� � ��� � �2� � ���
�2� � ��� � �2� � ���
∗
��2�� ��� � 4���
4
 
 
 
 
 
 
187 
 
Simplificando tenemos ab 
 
 
FRACCIONES PARCIALES 
 
 
Para descomponer una fracción racional en sus 
fracciones parciales, se debe cumplir las 
siguientes condiciones: 
 
1. La fracción debe ser propia. 
2. El denominador debe ser factorizable. 
 
CASOS: 
Primer Caso: Cuando el denominador contiene 
factores lineales sin repetición. 
Ejemplo: 
 
( )
( ) ( ) ( ) cx
C 
bx
B 
ax
A 
cx bx axxP
+
+
+
+
+
=
+++
 
 
Segundo Caso: Cuando el denominador contiene 
factores lineales con repetición. 
 
Ejemplo: : 
 323 a)(x
C 
a)(x
B 
ax
A 
)ax(
)x(P
+
+
+
+
+
=
+
 
 
Tercer Caso: Cuando el denominador contiene 
factores cuadráticos irreductibles sin 
repetición. 
Ejemplo: 
 =
++++
 
)dcx(x )baxx(
)x(P
22 
dcxx
D Cx 
baxx
BAx 22 ++
+
+
++
+ 
 
Cuarto Caso: Cuando el denominador contiene 
factores cuadráticos irreductibles 
con repetición. 
Ejemplo : 
 
 2)bax2(x
DCx 
bax2x
B Ax 2)bax2x(
)x(P
++
+
+
++
+
=
++
 
 
Quinto caso: Cuando el denominador contiene un 
factor lineal y un factor cuadrático irreductible, 
ambos factores sin repetición. 
Ejemplo: 
 
)(x
Bx 
a) x(
A 
))((
)(
22 cbx
C
cbxxax
xP
++
+
+
+
=
+++
 
 
Sexto caso: Cuando el denominador tiene factores 
lineales y factores cuadráticos irreductible, ambos 
con repetición. 
 
Ejemplo: 
22
22222
)(x
Ex 
 
x
D Cx 
)(a)(x
A
 
)()(
)(
cbx
F
cbxax
B
cbxxax
xP
++
+
+
++
+
+
+
+
+
=
+++ 
 
 
Ejemplos Resueltos 
 
ü Descomponer en sus fracciones parciales la 
fracción: 
x2xx
2x6x2
23
2
−−
−+ 
 
Solución: 
)1x()2x(x
2x6x2
)2xx(x
2x6x2
x2xx
2x6x2 2
2
2
23
2
+−
−+
=
−−
−+
=
−−
−+ 
 
 De esta manera : 
1x
C
2x
B
x
A
)1x()2x(x
2x6x2 2
+
+
−
+=
+−
−+ 
=
+−
−+
)1x()2x(x
2x6x2 2 
)1x()2x(x
)2x()x(C)1x()x(B)1x()2x(A
+−
−++++− 
 
Entonces: 
 
2x2 + 6x– 2 = A (x – 2).(x + 1) + B x (x + 1) + Cx (x –2) .. (*) 
 
Una forma práctica: igualamos a cero los factores 
lineales y obtenemos: 
x = 0 , x = 2 , x = 1 
 
Estos valores obtenidos los reemplazamos en 
la ecuación (*) 
Si x = 0 : 2(0)2 + 6(0) – 2 = A (0 – 2) 
(0 + 1) + B (0) (0 + 1) + C (0) (0 – 2) 
 - 2 = -2 A 
 
 A = 1 
 
Si x = 2 : 2(2)2 + 6(2) – 2 = A (2 – 2) 
(2 + 1) + B (2) (2 + 1) + C (2) (2 – 2) 
 18 = 6B 
 
 B = 3 
 
Si x = -1 : 2(-1)2 + 6(-1) – 2 = A (-1 – 2) 
(-1 + 1) + B (-1) (-1 + 1) + C (-1) (-1 – 2) 
 -6 = - C (-3) 
 
 C = -2 
De esta manera las fracciones parciales son :
 
xxx
xx
xxx 2
262
1
2
2
31
23
2
−−
−+
=
+
−
−
+