Cap 05

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Factorización 
 
 
Es la transformación de una expresión algebraica o 
trascendente en un producto indicado de factores 
primos, dentro de un determinado campo numérico. 
 
 
QUE ES POLINOMIO SOBRE UN CAMPO? 
Es aquel polinomio en el que sus coeficientes 
pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho 
campo. Se consideran tres campos: Racional (Q) ; 
Real (R) y Complejo (C). 
Ejemplo: 
6xx2)x(P 2 +−= está definido en Q , R y C. 
7x5x5)x(Q 3 +−= está definido en R y C. 
9xi7x)x(T 2 −+= está definido solo en C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEPTOS FUNDAMENTALES: 
 
FACTOR: Es un polinomios de cualquier grado que 
divide exactamente a otro. 
 
FACTOR PRIMO: Es aquel factor que no se 
puede transformar como el producto de dos 
polinomios. 
 
Ejemplo : 
1. La expresión )3x)(3x2(E 2 −+= 
Tiene dos factores primos (uno de primer grado 
y otro de segundo grado). 
2. La expresión )8x()5x(F 2 +−= 
Tiene dos factores primos lineales. 
3. )3x2)(3x)(2x(M ++−= 
 Tiene tres factores primos lineales. Si la 
factorización se realiza en los Reales (R). 
4. 3222 )2x)(1yy)(1y()1x(P +++++= 
 Tiene cuatro factores primos (dos lineales y dos 
cuadráticos). 
5. )2x)(4x(E xx +−= tiene dos factores primos. 
 
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 
 
I. FACTOR COMÚN 
Un factor común es aquel que aparece en cada 
uno de los términos que componen el polinomio a 
factorizar. El factor común puede ser un 
monomio o un polinomio. 
 Ejemplo: Factorizar: 
52323 yx6xy12yx3 −+ 
El factor común es: 2xy3 , entonces resulta: 
)xy2y4x(xy3 322 −+ 
 
II. AGRUPACIÓN DE TERMINOS 
 Consiste en agrupar convenientemente los 
términos del polinomio, generalmente en grupos 
de dos términos, descomponiéndolos a su vez en 
dos factores, apareciendo luego algún factor 
común a todas las agrupaciones realizadas. 
 
Ejemplo 1: Factorizar: 
yx2xaxy2ya2axxaE 23222 −++−−= 
 
Solución: Como no existe factor común a simple 
vista se agrupará como se indica: 
yx2xaxy2ya2axxa 23222 −++−− 
)y2x(x)y2x(ax)y2x(a 22 −+−−−= 
= )xaxa()y2x( 22 +−− 
 
Ejemplo 2: Factorizar: 
1x2x2xxxx 23456 ++++++ 
 
Solución: Agrupando términos se puede escribir 
así: 
 
)1xx()xxx()xxx( 223456 ++++++++ 
 )1xx()1xx(x)1xx(x 2224 ++++++++= 
 )1xx)(1xx()x(P 42 ++++= 
 
III. METODO DE LAS IDENTIDADES : 
En este caso se utiliza los productos notables 
o identidades ya estudiados, tales como: 
 
a) Trinomio Cuadrado Perfecto: 
2nnn2nnn2 )ba(bba2a ±=+± 
 
b) Diferencia de Cuadrados: 
)ba()ba(ba nnnnn2n2 −+=− 
 
c) Diferencia de Cubos: 
)bbaa()ba(ba n2nnn2nnn3n3 ++−=− 
 
d) Suma de Cubos: 
)bbaa()ba(ba n2nnn2nnn3n3 +−+=+ 
NOTA: En el presente texto cada factorización 
se realizará hasta obtener factores 
primos en Q, cada uno de ellos con 
coeficientes enteros. Esto se define 
como factorización en Q. 
 
 
 
 
 
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e) Identidad de Argand: 
 
 a4n+a2nb2n+b4n = (a2n-anbn+b2n) 
 (a2n+anbn+b2n) 
 
Ejemplo 1: Factorizar: 
8329 yx64yx − 
 
Solución: 
)y64x(yx 6623 − 
)y8x()y8x(yx 333323 +− 
)yxy2x)(y2x)(yxy2x()y2x(yx 222223 +−+++−
 
 
Ejemplo 2: Factorizar: 
9xx9x)x(P 235 −+−= 
 
Solución: 
)9x()x9x()x(P 235 −+−= 
)9x()9x(x)x(P 223 −+−= 
)1x)(9x()x(P 32 +−= 
)1xx)(1x)(3x)(3x()x(P 2 +−+−+= 
 
IV. METODO DEL ASPA 
 
A) Método del Aspa Simple: Se utiliza para 
factorizar expresiones de la siguiente forma: 
n2nmm2 yCyxBxA ++ o CxBxA nn2 ++ 
Pasos a seguir: 
1. Luego de ordenar el trinomio, se 
descompone cada uno de los términos 
extremos en un producto de factores. 
2. Estos factores se multiplican en aspa 
debiéndose cumplir que la suma de los 
productos sea igual al término central. 
3. Al cumplirse lo anterior, los factores se 
toman en forma horizontal. 
 
Ejemplo 1: Factorizar 
xy14y15x3P 22 ++= 
Solución: Ordenando se tiene: 
 22 y15xy14x3P ++= 
 x 3y → 9 xy 
 3x 5y → 5 xy 
 14xy 
Así, )y5x3)(y3x()x(P ++= 
 
Ejemplo 2: Factorizar 
12abx)29b2a(162xab12M −−−= 
Solución: 
12abx)29b2a(162xab12 −−− 
 3 bx - 4a → x216a- 
 4 ax + 3b → + x29b 
 - (16a2- 9b2) x 
Así, 3b)ax(4a)bx(3M +−= 4 
 
B) Método del Aspa Doble: Sirve para 
factorizar expresiones de la forma: 
 
FyExDyCyBxxA nmn2nmm2 +++++
 
Pasos a seguir: 
1. Debe ordenarse el polinomios de acuerdo a 
la forma establecida. 
2. Si falta algún término se añade en su lugar 
un cero. 
3. Se aplicarán aspas simples a: 
3.1 los términos: n2nmm2 Cy,yBx,Ax 
3.1 los términos: F,Ey,Cy nn2 
3.1 los términos: F,Dx,Ax mm2 
4. Por último los factores se seleccionan en 
forma horizontal. 
 
Ejemplo 1: Factorizar: 
3yx9y2xyx6 22 +−+−+ 
Solución: 
3yx9y2xyx6 22 +−+−+ 
3x 2y 3 
2x -y 1 
 
Verificando las aspas I ; II ; III 
 
I. xy)y2(x2)y(x3 +=+− (aspa izquierda) 
II. y)3)(y()1(y2 −=−+ (aspa derecha) 
III. x9)3(x2)1(x3 =+ (aspa punteada) 
Luego los factores son: 
 
)1yx2()3y2x3( +−++ 
I II III 
 
 
 
 
 
180 
 
 
 
Ejemplo 2: Factorizar: 
9y6x18xy4x8 2 ++++ 
 
Solución: Completando con 2y0 para aplicar 
el método de aspa doble 
 
9y6x18y0xy4x8 22 +++++ 
4x 2y 3 
2x 0y 3 
Luego los factores son: 
 
 )3x2()3y2x4( +++ 
 
 
C) Método del Aspa Doble Especial: Se utiliza 
para factorizar expresiones de la forma: 
 
 EDxCxBxAx nn2n3n4 ++++ 
 
Pasos a seguir: 
1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la 
forma establecida, colocando un cero en el 
lugar del término que falta. 
2. Los términos extremos se descomponen en 
dos factores efectuando el producto en 
aspa, la suma algebraica de ambos términos 
se restará del término central. 
3. La diferencia obtenida se descompone en la 
parte central buscando aspas simples a 
ambos lados; luego de verificar los 
términos de lugar segundo y cuarto, los 
factores se toman en horizontal. 
 
Ejemplo 1: Factorizar 
3x10x10x5x2 234 +−+− 
Solución: 
1. Una vez ordenado el polinomio se descompone 
los términos extremos en sus factores primos. 
 
3x10x10x5x2 234 +−+− 
 2x2 1 → 2x 
 2x 3 → 2x6 
2x7 
 
2. Como tenemos 2x7 , para obtener el tercer 
término : 2x10 , le faltaría 2x3 ; éste término 
se descompone en factores primos: 
)x)(x3(x3 2 −−= ; quedando la descomposición 
de la siguiente forma: 
 
 2x2 -3x 1 
 2x -x 3 
 
3. Se hace la verificación : 
 
4x2 - 3x5 + 2x10 - x10 + 3 
 2x2 -3x 1 
 2x -x 3 
 
Aspa Izquierda: Aspa derecha: 
32 x2)x(x2 −=− x9)3)(x3( −=− 
32 x3)x3(x −=− x)1)(x( −=− 
3x5− x10− 
 
Luego los factores primos son: 
)3xx(()1x3x2( 22 +−+− 
 
IV. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS 
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier 
grado, siempre y cuando admita por lo menos un 
factor lineal. 
Este método se fundamenta en el siguiente 
principio: 
“Si un polinomio se anula para x = ± a; uno de sus 
factores será (x m a)”. 
Para obtener los valores de “x” que anulan al 
polinomio se tendrá en cuenta lo siguiente: 
i) Si el polinomio es mónico (coeficiente 
principal, la unidad) los posibles valores de “a” 
son los divisores del termino independiente 
del polinomio con su doble signo. 
 
ii) Si el polinomio no es mónico los posibles 
valores de “a” son cantidades enteras o 
fraccionarias que resultan de combinar los 
divisores del término independiente y el 
coeficiente principal. 
Estas dos reglas se resumen en la siguiente 
fórmula: 








±=
Principal ecoeficient del Divisores
nteindependie término del DivisoresR.C.P 
 
 
Donde P.C.R = Posibles Ceros Racionales 
 
 
I II III 
 
 
 
 
 
181 
 
 
Ejemplo 1: Factorizar 
4x8x5x10xx2)x(P 2345 −++−−= 
 
Solución: Divisores de 4: 1 ; 2 ; 4 
 Divisores de 2: 1 ; 2 
Posibles ceros = ± 








2;1
 4 ; 2 ; 1 = 






2
1;4;2;1 
Usando Ruffini enforma sucesiva : 
 
 2 -1 -10 5 8 -4 
-1 -2 3 7 -12 4 
 
2 -3 -7 12 -4 0 ⇒ (x + 1) 
-2 -4 14 -14 4 
 
2 -7 7 -2 0 ⇒ (x + 2) 
1 2 -5 2 
 
 2 -5 2 0 ⇒ (x -1) 
2 4 -2 
 
 2 -1 0 ⇒ (x - 2) 
Luego : )1x2)(2x)(1x)(2x)(1x()x(P −−−++= 
 
Ejemplo 2: Factorizar 
48x20x36xx6x 2345 +−−++ 
Solución: 
Divisores de 48 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ; 48 
Divisores de 1 : 1 
 
P.C.R. = ± 






1
48 ; 24 ; 12 ; 8 ; 6 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 
posibles ceros : ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 4 ; ± 5 ; ± 6 ; 
± 8 ; ± 12 ; ± 24 ; ± 48 
Usando Ruffini en forma sucesiva: 
 
1 6 1 -36 -20 48 Factores 
+1 1 7 8 -28 -48 
 1 7 8 - 28 -48 0 ⇒ (x - 1) 
+2 2 18 52 48 
1 9 26 24 0 ⇒ (x - 2) 
-2 -2 -14 -24 
 1 7 12 0 ⇒ (x + 2) 
-3 -3 -12 
 1 4 0 ⇒ (x + 3) 
 
Luego: E = (x - 1) (x – 2) (x + 2) (x + 3) (x + 4) 
 
V. METODOS DIVERSOS 
Se utilizan para factorizar expresiones 
particulares, estructurando los términos de la 
expresión de modo que sea factorizable por 
alguno de los métodos conocidos. 
Así tenemos: 
A) Cambio de Variable: Consiste en sustituir 
por una variable expresiones que se repiten 
de modo que la expresión dada quede 
simplificada. 
 
Ejemplo 1: Factorizar 
27)4x(x5)3x)(1x()2x( 2 −+−+++ 
 
Solución : 
 27)x4x(5)3x4x)(4x4x( 222 −+−++++ 
Hacemos: ax4x2 =+ 
Reemplazando en la expresión tenemos: 
27a5)3a)(4a( −−++ 
27a512a7a2 −−++ 
15a2a2 −+ )3a)(5a( −+= 
 
Reponiendo la variable se tiene: 
 )3x4x)(5x4x( 22 −+++ 
 
Ejemplo 2: Factorizar 
)b2ab3a)(ba(4)bab3a2(E 2222222 ++−−++= 
Solución : 
Haciendo: xbab3a2 22 =++ 
yb2ab3a 22 =++ 
 
Restando miembro a miembro se obtiene: 
yxba 22 −=− 
 
Reemplazando: 
y)yx(4xE 2 −−= = 22 y4xy4x +− (es un TCP) 
2)y2x(E −= 
Luego en función de “a” y “b” se tiene: 
)b4ab6a2bab3a2(E 2222 −−−++= 
22)b3ab3(E −−= = 2)]ba(b3[ +− 
22 )ba(b9E += 
 
 
 
 
 
182 
 
 
B) Sumas y Restas: Consiste en sumar y 
restar simultáneamente una misma expresión 
o descomponer algún término del polinomio, de 
tal modo que una expresión aparentemente no 
factorizable se transforme en otra que se 
factorice. 
En particular: 
- Si la expresión es un polinomio de grado 
par se tratará de formar un trinomio 
cuadrado perfecto para luego llevarlo a 
una diferencia de cuadrados. 
- Si la expresión es un polinomio de grado 
impar se tratará de formar una suma o 
diferencia de cubos y Argand. 
 
Ejemplo 1 : Factorizar: 44 yx64 + 
Solución : Formamos un trinomio cuadrado 
perfecto sumando y restando 
22yx16 
Así: 224224 yx16yyx16x64 −++ 
 
2222222 )xy4()y()y)(x8(2)x8( −++ 
 222 )yx8( + 2(4xy)− 
 
)xy4yx8()xy4yx8( 2222 −+++ 
Finalmente ordenando resulta: 
)yxy4x8()yxy4x8( 2222 +−++ 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
1. Cuando se factoriza xx9 − hasta donde sea 
posible en polinomios y monomios con 
coeficientes enteros, el número de factores 
primos es: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
Solución: 
xx9 − = )1x(x 8 − 
 = )1x()1x(x 44 +− 
 = )1x()1x()1x(x 422 ++− 
 = )1x()1x()1x()1x(x 42 +++− 
Luego el número de factores primos es 5. 
 
Rpta. Alternativa “d” 
 
2. Cuántos factores primos tiene la siguiente 
expresión: 
1)4x()3x()2x()1x()x(P +++++= 
a) 5 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2 
Solución: 
Ordenando y agrupando convenientemente los 
factores del primer término: 
1)3x()2x()4x()1x()x(P +++++= 
 
1)6x5x()4x5x()x(P 22 +++++= 
Haciendo cambio de variables: ax5x2 =+ 
Entonces: 1)6a()4a()x(P +++= 
22 )5a(25a10a)x(P +=++= 
Devolviendo el valor original se tiene: 
22 )5x5x()x(P ++= 
Rpta. Alternativa “b” 
 
3. Al factorizar 1x2x2x 34 −−+ ; la suma de sus 
factores primos es: 
a) 2 b) 2x c) –2 
d)-2x e)2(x-1) 
Solución: 
Agrupando en forma conveniente: 
)1x(x2)1x( 24 −+− 
)1x(x2)1x()1x( 222 −++− 
)x21x()1x( 22 ++− 
2)1x()1x()1x( +−+ 
31)(x1)(x +− 
Factores primos: )1x(y)1x( −+ 
Suma: 2x 
 
Rpta. Alternativa “b” 
 
4. Indicar la suma de los factores primos de: 
)ba(cd2)dc(ab2)dc()ba( 22222 ++−+−− 
a) 2222 dcba +++ b) d2cb2a +++ 
c) 2222 dcba ++− d) dcba 2 +++ 
e) 2222 dcba −−+ 
 
Solución: 
)ba(cd2)dc(ab2)dc()ba( 22222 ++−+−− 
(c-d)2 [(a - b)2 + 2ab] + 2cd(a2 + b2) 
(c-d)2 [a2- 2ab+b2 + 2ab] + 2cd(a2+ b2) 
(c - d)2(a2 + b2) + 2cd(a2 + b2) 
(a2 + b2) [(c - d)2 + 2cd] 
(a2 + b2) (c2 - 2cd + d2 + 2cd) 
 
 
 
 
 
183 
 
 
(a2 + b2) (c2 + d2) 
Luego la suma de los factores es: 
a2 + b2 + c2 + d2 
 
Rpta: Alternativa “a” 
 
5. Indicar el número de factores primos del 
polinomio. 
P(x; y; z) ≡ x5y + x4yz + x3y + x2yz 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
Solución: 
El polinomio dado es: 
P(x; y; z) ≡ x5y + x4yz + x3y + x2yz 
Por un factor común: 
P(x; y; z) ≡ x2y(x3 + x2z + x + z) 
Agrupar dos a dos: 
P(x; y; z) ≡ x2y ( x3 + x2z + x + z ) 
Extrayendo factor común: 
P(x; y; z) ≡ x2y[x2(x+z)+(x+z)] 
P(x; y; z) ≡ x2y(x+z) (x2+1) 
El número de factores primos es 4: 
 
Rpta. Alternativa “d” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Hallar el término independiente de uno de los 
factores primos del trinomio: 
31y7x7)3yx( 2 +++++ 
a) 2 b) 7 c) 8 d) 3 e) 39 
Solución: 
31y7x7)3yx( 2 +++++ 
(x + y + 3)2 + 7(x + y) + 31 
 
Haciendo cambio de variables: 
 
 
 (a + 3)2 + 7a + 31 
 a2 + 6a + 9 + 7a + 31 
 a2 + 13a + 40 
 (a + 8) (a + 5) 
 (x + y + 8) (x + y + 5) 
 
Luego el término independiente de un factor 
primo es: 8 
 
 Rpta: Alternativa “c” 
 
 
 
 
 
x + y = a