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Lógica Matemática 
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LÓGICA MATEMÁTICA 
 
La lógica proposicional utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular 
aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el estudio del razonamiento, a través 
de un mecanismo que primero evalúa enunciados simples y luego enunciados complejos, formados mediante el uso 
de conectivos proposicionales. 
 
PROPOSICIÓN: Es una expresión lingüística, con sentido completo que se puede determinar si son verdaderos 
o falsos, pero no ambos a la vez. Una proposición es el significado de una oración aseverativa. 
 Por ejemplo: Los animales son irracionales 
 5 es mayor que 8 
 
Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas, como: p, q, r, s, etc. Las cuales son 
llamadas variables proposicionales. 
El hecho de que una proposición sea verdadera o falsa, lo expresaremos simbólicamente veamos: 
Sea p: Todos los hombres son mortales 
Esta proposición es verdadera, entonces diremos que su valor de verdad es verdadero y lo denotaremos por: 
 V(p) = V 
Sea q: 2 es un número impar 
Esta proposición es falsa, entonces diremos que su valor de verdad es falso y lo denotaremos por: 
 V(q) = F 
 
Observación: Aquellos enunciados que indican una pregunta, una exclamación, una orden, No son Proposiciones. 
Ejemplos: ¿Te parece guapa Morticia? ¡gané! 
 Báñate bien bebé Tus lindos labios 
 
Hay oraciones aseverativas que no son proposiciones. La oración “El es estudioso” . No es posible determinar si 
es verdadera o falsa, si no se sabe a quien se refiere. Las oraciones de esta naturaleza se llaman enunciados 
abiertos. 
Los enunciados abiertos usan las palabras “el”, “ella” y los símbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero 
cuando se reemplazan estas palabras o símbolos por indeterminado objeto o valor resultan ser proposiciones. 
Ejemplos: 7 + x = 111. 
 p es un número natural. 
 Ella está bailando con su ex. 
Así, en el primer enunciado si reemplazamos x por 5 
Tendremos 7 + 5 = 111, la cual ahora es una proposición falsa. 
Si en el segundo enunciado si reemplazamos “p” por 777 
Tendremos “777 es un numero natural”. La cual ahora es una proposición verdadera. 
 
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS. 
 
Ø PROPOSICIÓN SIMPLE o Atómicas o No estructurales: Carecen de conector lógico.. Por ejemplo: 
 p: "15 es divisible por 3 " es una proposición simple o atómica. 
 q: "Francisco Bolognesi Murió el 7 de Junio" es una proposición simple o atómica 
 
Ø PROPOSICIÓN COMPUESTA o Moleculares (Coligativas): se caracterizan principalmente porque poseen 
conectores lógicos. Así, por ejemplo: 
 
a) El ingeniero Carbonel es uno de los fundadores del CPU y es el mayor de todos. 
 
 
 p CONECTIVO q 
 
 
 
 
 
 
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 Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que el ingeniero Carbonel es uno de los fundadores 
del CPU y el segundo (q) que el ingeniero Carbonel es el mayor de todos. 
 
 b. No es el caso que todo impar sea primo. 
 Es también una proposición compuesta. 
 
NOTACIÓN Y CONECTIVOS LÓGICOS 
A partir de proposiciones simples es posible generar otras, Es decir que se puede operar con proposiciones y 
para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos o conectores lógicos, los cuales se pueden 
identificar con palabras como: 
 
El Negador. (Negación) - A, ∼A, ¬A, A 
• No A, nunca A, jamás (A) 
• Es incompatible que A 
• Es inconcebible que A 
• No ocurre que A 
• No es verdad que A 
• No es el caso que A 
• No acaece que A 
• Es mentira que A 
• Es inadmisible que A 
• De ninguna forma se da A 
• En forma alguna A 
• Carece de todo sentido A 
• De ningún modo A 
• En modo alguno A 
• Es incorrecto que A 
• Es incierto que A 
• Nadie que sea A 
• Es objetable que A 
• Es absurdo que A 
• El falso que A 
• Es refutable que A 
• Es falaz que A 
El Conjuntor también llamado compatibilizador (conjunción) A ∧ B, A & B, A x B, A.B, AB 
• A y B 
• A aunque B 
• A pero B 
• A sin embargo B 
• A incluso B 
• A es compatible con B 
• A así como B 
• A del mismo modo B 
• A aún cuando B 
• A también B 
• A de la misma forma que 
B 
• A al igual que B 
• Tanto A como B 
• Siempre ambos A con B 
• A no obstante B 
• No sólo A sino también B 
• A así mismo B 
• A al igual que B 
• A a pesar de B 
• A a la vez B 
• A más B 
• A con B los dos a la vez 
El Disyuntor Débil (Incluyente) A v B, A + B. 
 
• A o B (sentido incluyente) 
• A a menos que B 
• Amenos que A, B 
• A salvo que B 
• A excepto que B 
• A o también B 
• A o en todo caso B 
• A o bien B 
• A a no ser que B 
• A o incluso B 
• A y bien o también B 
• Al menos uno de los dos A 
o B 
• A o sino B 
• A alternativamente B 
• A y/o B
 
El Disyuntor Fuerte (Excluyente) A V B, A ⊕ B, A ∆ B, A ↔/ B, A ≡/ B 
 
• A o B (sentido excluyente) 
• bien A o bien B 
• solo A o solo B 
• O A o B 
• A a menos que solamente 
B 
• A salvo que únicamente B 
• A excepto que sólo B 
• Amenos que sólo A, B 
• A o bien necesariamente B 
• A o exclusivamente B 
• A no es equivalente a B 
• A no es idéntico a B 
• Salvo que A o B 
• A no es lo mismo que B 
• A o tan solo B 
 
El Condicional A → B , A ⊃ B 
El Implicador: A → B (Implicación Directa) 
 
• Si A entonces B 
• Siempre que A por 
consiguiente B 
• Ya que A bien se ve que B 
• Dado que A por eso B 
• En cuanto A por tanto B 
• Porque A por eso B 
• Como A es evidente B 
• a condición de que A , B 
• A de manera que B 
• A de modo que B 
• A es suficiente para B 
 
 
 
 
 
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• A por lo tanto B 
• Cada vez que A,B 
• Con la condición de A 
esto trae consigo B 
• Cuando A , B 
• Es una condición suficiente 
A para B 
• Para A es necesario B 
• Porque A,B 
• Si A, B 
• Siempre que A por tanto B 
• Una condición necesaria 
para A es B 
• Con tal que A es obvio que 
B 
• Toda vez que A en 
consecuencia B 
• A consiguientemente B 
• Dado que A por lo cual B 
• En la medida que A de allí 
B 
• En virtud de que A 
entonces B 
• A implica a B 
• A es innecesario para B 
• A es condición suficiente 
para B 
• A sólo si B 
• A luego B 
• A trae como consecuencia 
a B 
• De A deviene B 
• Partiendo de A llegamos a 
B 
• De A inferimos, 
deducimos, coligamos B 
• Para A es condición 
necesaria B 
• A sólo cuando B 
• Es suficiente A y B 
necesario 
• En el caso que A en tal 
sentido B
 
 
El Replicador: A ← B (implicación inversa) 
 
• Sólo si A, B 
• Sólo cuando A, B 
• Solamente porque A, B 
• A si B 
• A porque B 
• A dado que B 
• A ya que B 
• A siempre que B 
• A cada vez que B 
• A a condición de que B 
• Es una condición necesaria 
A para B 
• Una condición suficiente 
para A es B 
• Solo si A, B 
• A dado que B 
• A se concluye de B 
• A , si B 
• A supone que B 
• A ya que B 
• Para A es suficiente B 
• A puesto que B 
• A deviene de B 
• A es condición necesaria 
para B 
• A es insuficiente para B 
• Es necesario A para B 
• Es insuficiente A para B 
• A cada vez que B 
• A está implicado por B 
• A con la condición de que 
B 
• Si solamente A cada vez 
que B 
• A debido a que B 
• A depende de B 
• A sigue de B 
• Únicamente si A, B 
El Bicondicional A ↔ B, A ≡ B, A ⇔ B. 
 
• A si y sólo si B 
• A por lo cual y según lo cual B 
• A cuando y sólo cuando B 
• A cada vez que y sólo si B 
• Si y sólo si A, B 
• A se define lógicamente como B 
• A si de la forma B 
• Porque y solamente porque A, B 
• Es suficiente A paraque suficientemente B 
• Es necesario A para que necesariamente B 
• A es condición suficiente y necesaria para B 
• A siempre que y sólo cuando B 
• Siempre que A y siempre que B 
• A es equivalente a B 
• A es lo mismo que B 
• A es idéntico a B 
• A implica y está implicado por B 
 
El Inalternador: A B 
 Ni A ni B 
 No A y no B 
 
El Incompatibilizador: A ↓ B; A / B 
 No A o no B 
 
LAS TRES LEYES DEL PENSAMIENTO 
 Principio de Identidad: P → P 
 Principio de no contradicción: ¬ (p ∧ ¬ p) 
 Principio del Tercio Excluido: p∨ ¬p 
 
 
 
 
 
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OPERACIONES PROPOSICIONALES 
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las 
que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor 
de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos 
lógicos. 
Ø LA CONJUNCIÓN: Se denomina conjunción al resultado de unir dos proposiciones p y q con el 
conectivo lógico ∧. Denotamos por “ p ∧ q ” (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es: 
p q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones 
componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa. 
 
Ejemplo1: Sea la proposición: 
 
 12 es un número par a pesar que es un múltiplo de 3 
Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son: 
p: 12 es un número par. 
q: 12 es un múltiplo de 3. 
Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas es verdadera. 
 
 Ejemplo2: sea la declaración 
r : Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día 5 de noviembre 
Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones. 
Nota: Las palabras “pero”; “sin embargo” ; “además”; “aunque”; “no obstante”, equivalen al conectivo de la 
conjunción. 
Así: Julio estudia no obstante tiene que trabajar. El término no obstante representa conjunción por tanto 
simbolizamos como sigue: p ∧ q , donde p : Julio estudia 
 q : Julio tiene que trabajar 
 
Ø DISYUNCIÓN: Se denomina disyunción al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo 
lógico ∨. Denotamos por “ p ∨ q ” (se lee "p o q"), cuya tabla de verdad es: 
p q p ∨ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
La disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. 
Ejemplo1: Juan es ingeniero o artista 
En este caso el sentido de la disyunción es inclusiva, ya que puede ser que Juan es ingeniero y además puede 
ser artista. 
t : 
 
 
 
 
 
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Ejemplo2: Tiro las cosas viejas o que no me sirven 
El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es 
incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V 
Ø Negación 
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le 
asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: 
 P : Diego estudia matemática 
~ p : Diego no estudia matemática 
También puede escribirse: ~ p: no es cierto que Diego estudia matemática 
 Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: 
p ∼p 
V F 
F V 
 
Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa. 
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. 
Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es: 
~ p: no todos los alumnos estudian matemática 
O bien: 
~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática 
O bien 
~ p: hay alumnos que no estudian matemática 
Ø IMPLICACIÓN O CONDICIONAL: La Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p → q 
(si p …entonces q) cuya tabla de valores de verdad es: 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La 
tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 
 
Ejemplo1: Supongamos la implicación 
 
La implicación está compuesta de las proposiciones 
p: apruebo 
q: te presto el libro 
Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las 
proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos 
asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el 
examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. 
Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la 
proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso 
se cumple. 
Ejemplo2: ''Si Luis es ingeniero, entonces Luis es inteligente'', se representa por P → Q. 
 
 
 
 
 
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Ejemplo3: r: 1 = –1 → 1² = (–1)² , V(r) = (V) 
La proposición resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = –1) falso. 
 
Nota: Los términos “porque” ; “ya que ”; “puesto que”; “si”,”cuando” se caracterizan porque después de estos 
esta el ANTECEDENTE. 
 
Por ejemplo: te presto mi libro porque aprobé 
 
321444 3444 21
eantecedent : peconsecuent :q
aprobé porque libro mi presto te
 
 
Lo simbolizamos: ( p → q ) , y puede reescribirse como: si apruebo entonces te presto mi libro. 
 
Ejemplo4: Si Gaby está en la playa, está nadando” 
 
 
 
Supongamos que no está en la playa (es decir, P = F). ¿Es cierto que si Gaby está en la playa está nadando? 
Si estuviera… Lo que nos dice el enunciado compuesto es “si estuviera, estaría nadando”. Por lo tanto, es 
verdadero. 
¿Y si ni está en la playa ni está nadando? Lo mismo: si estuviera, estaría… 
Desde luego, si está en la playa pero no está nadando (el caso de la segunda fila), se incumple nuestra 
condición suficiente, que dice que para que Gaby esté nadando es suficiente con que esté en la playa. Es 
decir, “si Gaby está en la playa, está nadando”; pero Gaby no está nadando, por no tanto no es cierto el 
conjunto. 
 
Ø DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL: Doble implicación de las proposiciones p y q es la 
proposición p ↔ q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es: 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. 
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la 
tabla de valores de verdad de p ↔ q puede obtenerse mediante la tabla de (p → q) ∧ (q → p), como vemos: 
 
p 
 
q 
 
p → q 
 
q→ p 
p ↔ q 
(p →q) ∧ (→q↔p) 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
F 
V 
V 
F 
F 
V 
Ejemplo: Sea i) a = b si y sólo si a2 = b2 
El enunciado está compuesto por las proposiciones: 
p: a = b 
P: antecedente 
 
 
 
 
 
49 
 
q: a2 = b2 
Esta doble implicación es falsa si p y q tienen valores de verdad diferentes, En los demás casos es V. 
 
Ø DIFERENCIA SIMÉTRICA 0 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA 
Diferencias simétrica o disyunción exclusiva (en sentido excluyente) de las proposiciones p y q es la proposición 
p ∆ q (se lee "p o q en sentido excluyente"), también ( o p o q ); cuya tabla de valores de verdad es: 
 
P q p ∆ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
La verdad de p ∆q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. 
Ejemplo:Sea i) o vamos a Lima o vamos a Cuzco. 
Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es 
verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado 
es Falso. 
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos 
Fórmula lógica. Por ejemplo: ~{ (p ⇒ q) ∧ (s ∧ t) } 
* Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para 
cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. 
Ejemplo1: Si analizamos la proposición t: (p→q) ↔ (~ p ∨ q) realizando su tabla de verdad: 
 
 
 
 
 
 
Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y q , la proposición t: (p→q) ↔ (~ p ∨ q) es 
siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología. 
Ejemplo2: Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p ⇒ q ) ∧ p } ⇒ q 
P Q (p → q) ↔ ( ~ p ∨ q) 
V V V V F V V 
V F F V F F F 
F V V V V V F 
F F V V V V F 
Matriz principal 
 
 
 
 
 
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P q p ⇒ q (p ⇒ q)∧p { ( p ⇒ q ) ∧ p } ⇒ q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
F 
F 
F 
 V 
 V 
 V 
 V 
En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las 
proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula 
es una tautología o ley lógica. 
* Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de 
verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que 
dicha fórmula es una Contradicción. 
Ejemplo: Analicemos la fórmula lógica p ∧ ~ p 
P ~ p p ∧ ~ p 
V F F 
F V F 
Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. 
Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) 
es una contingencia. 
EQUIVALENCIAS Y LEYES LÓGICAS. 
Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia. 
Dos formulas F1 y F2 son equivalentes si: F1 ↔ F2 resulta ser una tautología. Y se denota F1 ≡ F2 
 
Ejemplo. 
 Las proposiciones p ⇒ q y ~ (p ∧ ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores 
correspondientes: 
p q p ⇒ q (p ∧ ~ q) ~(p ∧ ~ q) p ⇒ q ⇔ ~(p ∧ ~ q) 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
V 
 V 
 V 
 V 
 V 
Podemos concluir entonces que: ( p ⇒ q ) y ~ ( p ∧ ~ q) son equivalentes. 
( p ⇒ q ) ≡ ~ ( p ∧ ~ q) 
* Otro ejemplo de equivalencia es: qp ↔ ≡ ( )qp∆∼ . Vasta revisar las tablas de verdad 
 
 
 
 
 
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A continuación presentaremos algunas equivalencias lógicas: 
Doble Negación: ¬ ¬p = p 
Ley de D’Morgan: 
1. p ∧ q = ¬(¬p ∨ ¬q) 
2. p ∨ q = ¬(¬p ∧ ¬q) 
3. ¬(p ∧ ¬q) = ¬p ∨ q 
4. ¬p ∧ q = ¬(p ∨ ¬q) 
5. p ∧ ¬q = ¬(¬p ∨ q) 
6. ¬(¬p ∨ q) = p ∧ ¬q 
7. ¬(p ∨ ¬q) = ¬p ∧ q 
1. p ↓ q = ¬(¬p / ¬q) 
2. p / q = ¬(¬p ↓ ¬q) 
3. ¬(p ↓ ¬q) = ¬p / q 
4. ¬p ↓ q = ¬(p / ¬q) 
Conmutación: 
1. p ∧ q = q ∧ p 
2. ¬p ↔ q = q ↔ ¬p 
3. (p → q) ∨ r = r ∨ (p → q) 
4. ¬p ∨ ¬q = ¬q ∨ ¬p 
Contraposición: 
1. p → q = ¬q → ¬p 
2. P ← ¬q = q ← ¬p 
3. ¬p ↔ q = ¬q ↔ p 
4. ¬p ∨ ¬q = q ∨ p 
Asociación: 
1. (p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) 
2. ¬p ↔ (q ↔ r) = (¬p ↔ q) ↔ r 
3. ¬p ∨ (q ∨ ¬r) = (¬p ∨ q) ∨ ¬r 
4. (p ↓ q) ∨ (r ∨ s) = [(p ↓ q) ∨ r] ∨ s 
Definición del Implicador: 
p → q = ¬p ∨ q 
p → q = ¬(p ∧ ¬q) 
Idempotencia: 
1. p ∧ p = p 
2. p ∧ p ∧ p ∧ …… ∧ p = p 
3. p ∨ p = p 
4. p ∨ p ∨ p ∨ …… ∨ p = p 
5. ¬p ∧ ¬p = ¬p 
Identidad: 
1. p ∧ 1 = p 2. p ∧ 0 = 0 
3. p ∨ 1 = 1 4. p ∨ 0 = p 
5. p → 1 = 1 6. p → 0 = ¬p 
7. p ↔ 1 = p 8. p ↔ 0 = ¬p 
9. p ∨ 1 = ¬p 10. p ∨ 0 = p 
11. p ← 1 = p 12. p ← 0 = 1 
Complemento: 
1. p ∧ ¬p = 0 2. p ∨ ¬p = 1 
Otras Relaciones: 
1. p → p = 1 
2. p ← ¬p = p 
3. p ↔ p = 1 
4. p ∨ p = 0 
Absorción: 
1. p ∧ (p ∨ q) = p 
2. p ∨ (p ∧ q) = p 
3. ¬p ∧ (¬p ∨ q) = ¬p 
4. p ∨ (p ∧ ¬q) = p 
5. p ∧ (p ∨ q ∨ r ∨ s) = p 
6. p ∨ (p ∧ ¬q ∧ r ∧ ¬s) = p 
1. ¬p ∧ (p ∨ q) = ¬p ∧ q 
2. p ∨ (¬p ∧ q) = p ∨ q 
3. ¬p∧(p∨ q ∨ r ∨ s) = ¬p ∧ (q ∨ r ∨ s) 
4. p ∨ (¬p ∧ ¬q) = p ∨ ¬q 
Definición del Implicador: 
1. p → q = ¬p ∨ q 
2. p → q = ¬(p ∧ ¬q) 
1. ¬p → q = p ∨ q 
2. ¬p → ¬q = p ∨ ¬q 
3. ¬p ← q = ¬p ∨ ¬q 
4. p ← ¬q = p ∨ q 
Relación entre Biimplicador y Disyuntor 
Excluyente: 
1. p ∨ q = ¬p ∨ ¬q 
2. p ∨ q = ¬(¬p ∨ q) 
3. p ∨ q = ¬(p ∨ ¬q) 
4. p ↔ q = ¬p ↔ ¬q 
5. p ↔ q = ¬(¬p ↔ q) 
6. p ↔ q = ¬(p ↔ ¬q) 
1. p ∨ q = ¬p ↔ q 
2. p ∨ q = ¬(p ↔ q) 
3. p ∨ q = p ↔ ¬q 
4. p ↔ q = ¬p ∨ q 
5. p ↔ q = ¬(p ∨ q) 
6. p ↔ q = p ∨ ¬q 
Definición del Biimplicador: 
p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)……(1) 
p ↔ q = ( ¬p∨q) & (¬q∨p)…….(2) 
p ↔ q = (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)… (3) 
Definición del disyuntor excluyente. 
A ⊕ B = ¬ (A→B) ∨ ¬ (B→A) 
A ⊕ B = (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) 
A ⊕ B = (A ∨ B) ∧ ¬ (A ∧ B) 
Distribución. 
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 
¬A ∨ (B ∧ C) = (¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) 
Extensión: 
A → (B ∨ C) = (A → B) ∨ (A → C) 
A → (B ∧ C) = (A → B) ∧ (A → C) 
Mutación (Mut.) 
p → (q → r) ≡ q → (p → r) 
Exportación (Export.) 
(p ∧ q) → r ≡ p → (q → r) 
 
 
 
 
 
 
51 
Lógica Matemática 
Orden de información 
 
 
IMPLICACIONES NOTABLES 
 
PONENDO PONENS (Afirmando - afirmo) 
[(A → B) ∧ A] → B 
[(A ↔ B) ∧ A] → B 
[(A ↔ B) ∧ B] → A 
TOLLENDO -TOLLENS (Negando - Niego) 
[(A → B) ∧ - B] → - A 
[(A ↔ B) ∧ - B] → - A 
[(A ↔ B) ∧ - A] → - B 
PONENDO-TOLLENS(Afirmando- Niego) 
[(A ∨ B) ∧ A] → - B 
[(A ∨ B) ∧ B] → - A 
TOLLENDO-PONENS(Negando - Afirmo) 
[(A ∨ B) ∧ - A] → B 
[(A ∨ B) ∧ - B] → A 
[(A ∨ B) ∧ - A] → B 
[(A ∨ B) ∧ - B] → A 
SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO: 
[(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C) 
[(B → A) ∧ (C → B)] → (C → A) 
SILOGISMO DE TRANSITIVIDAD 
SIMÉTRICA: 
[(A ↔ B) ∧ (B ↔ C)] → (A ↔ C) 
[(A ↔ B) ∧ (C ↔ B)] → (A ↔C) 
[(B ↔ A) ∧ (B ↔ C)] → (A ↔ C) 
CONJUNCIÓN 
(A ∧ B) → (A ∧ B) 
SIMPLIFICACIÓN: 
(A ∧ B) → A 
(A ∧ B) → B 
ADICIÓN: 
A → (A v B) 
Dilema Constructivo Compuesto: (D.C.C.) 
[(A → B) ∧ (C → D) ∧ (A ∨ C)] → (B ∨ D) 
Dilema Destructivo Compuesto: (D.D.C.) 
[(A → B) ∧ (C → D) ∧(¬B ∨ ¬D)] →(¬A ∨¬C) 
 
EQUIVALENCIAS PARA SIMPLIFICACIÓN 
 
ASOCIACIÓN: 
[ (A ∧ B) ∧ C ] ≡ [ A ∧ (B ∧ C)] 
[ (A ∨ B) ∨ C ] ≡ [ A ∨ (B ∨ C)] 
[ (A ∨ B) ⊕ C ] ≡ [ A ∨ (B ∨ C)] 
[ (A ↔ B) ↔ C ] ≡ [ A ↔ (B ↔ C)] 
 [(A → B) → C] ≡/ [A → (B → C)] 
DISTRIBUCIÓN: 
[ A ∧ (B ∨ C)] ≡ [ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)] 
[ A ∨ (B ∧ C)] ≡ [ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)] 
[ A → (B ∧ C)] ≡ [ (A → B) ∧ (A → C)] 
[ A → (B ∨ C)] ≡ [ (A → B) ∨ (A → C)] 
[A ↔ (B ∧ C)] ≡/ [(A ↔ B) ∧ (A ↔ C)] 
[A ↔ (B ∨ C)] ≡/ [(A ↔ B) ∨ (A ↔ C)] 
[A ∧ (B → C)] ≡/ [(A ∧ B) → (A ∧ C)] 
[A ∨ (B → C)] ≡/ [ (A ∨ B) → (A ∨ C)] 
 
ABSORCIÓN: 
[ A ∧ ( B ∨ A)] ≡ A 
[ A ∨ ( B ∧ A)] ≡ A 
[ A ∧ ( B ∨ ¬ A)] ≡ (A ∧ B) 
[ A ∨ ( B ∧ ¬A) ] ≡ (A ∨ B) 
LEY DEL COMPLEMENTO: 
 (A ∧ ¬A) ≡ 0 ............( A ∩ A ) = ∅ 
 (A ∨ ¬A) ≡ 1 ..............(A ∪ A ) = U 
LEY DE IDENTIDAD: 
(A ∧ 1) ≡ A .................(A ∩ U) ≡ A 
(A ∧ 0) ≡ 0 ..................(A ∩ ∅) ≡ ∅ 
(A ∨ 1)≡ 1...................(A ∪ U) = U 
(A ∨ 0) ≡ A .................( A ∪ ∅) ≡ A
 
Las leyes lógicas nos ayudan a simplificar expresiones simbólicas, las cuales representan enunciados. 
Por ejemplo: Simplificar ∼ { [ (p → q) ∧ ∼ p ] ∨ p } 
Solución: 
 ∼ { [ (p → q) ∧ ∼ p ] ∨ p } ≡ ∼ { [∼ p ∧ (p → q)] ∨ p } ley conmutativa 
 ≡ ∼ { [∼ p ∧ (∼p ∨ q)] ∨ p } leyimplicación 
 ≡ ∼ { [∼ p ] ∨ p } ley absorción 
 ≡ ∼ { V } ley complementación 
≡ F 
 
 
 
 
 
 
52 
 
INFERENCIA LÓGICA. 
El interés de lógica es el estudio de las inferencias (razonamientos, argumentos) mediante proposiciones. 
Una inferencia consta de proposiciones llamadas premisas, a partir de las cuales se deduce otra proposición 
llamada conclusión. 
Inferencia o razonamiento: 
( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧…. ∧ Pn) ⇒ Q o 
Q
P
P
P
P
n
∴
M
3
2
1
 
Pero como podemos determinar si la conclusión de una inferencia esta correctamente deducida de las premisas 
Así por ejemplo de las premisas: Todos los lambayecanos son peruanos y Pedro Ruiz Gallo es peruano, Alguien 
podría concluir que por tanto Pedro Ruiz Gallo es lambayecano. 
Pues a pesar de que las premisas son verdaderas la conclusión es Falsa. 
La validez de una inferencia no depende de los valores de verdad ni del contenido de los enunciados que 
aparecen en la inferencia. 
Una inferencia es válida si y sólo si el conjunto de premisas implica la conclusión, esto es (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧…. ∧ Pn) 
 ⇒ Q , es una tautología. 
 
Prueba de la validez por tablas de verdad 
 
Como una inferencia es válida si y sólo si (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧…. ∧ Pn) ⇒ Q, es una tautología. Entonces dedemos 
analizar la tabla de verdad de toda la inferencia. 
Ejemplo: Sea el siguiente razonamiento: “Juan es abogado o arquitecto , pero Juan es arquitecto por tanto 
Juan no es abogado”. Determine si es valido o no: 
 
 Juan es abogado o arquitecto , pero Juan es arquitecto por tanto Juan no es abogado”. 
 ( P1 ∧ P2 ) ⇒ Q 
 
 además P1 : Juan es abogado o arquitecto : (p ∨ q) 
 p q 
 P2 : Juan es arquitecto : q 
 Q : Juan no es abogado : ∼ p 
Luego la inferencia se simboliza de la forma siguiente: 
 { ( p ∨ q ) ∧ q } ⇒ ∼p analicemos su tabla de verdad 
 
p q {( p ∨ q ) ∧ q } ⇒ ∼p 
V V V V V F F 
V F V F F V F 
F V V V V V V 
F F F F F V V 
 
EN CONCLUSIÓN EL RAZONAMIENTO NO ES VALIDO.( debe ser una tautología) 
 
 Ejemplo 2: Tenemos un argumento como el siguiente: 
 Si trabajo y estudio entonces no apruebo matemáticas. Pero aprobé matemáticas. Por tanto no trabaje o 
 no estudie. 
 Traducido a símbolos: 
 P1: Si trabajo y estudio entonces no apruebo matemáticas: (p∧q) → ∼r 
 ( p ∧ q ) → ∼ r 
 
 P2 : Aprobé matemáticas: r 
 r 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 Q : No estudie o no trabaje. : (~ p ∨ ~ q) 
 ( ~ p ∨ ~ q) 
 La inferencia: { [( p ∧ q) → ∼r] ∧ r } → (~ p ∨ ~ q) 
La tabla de verdad correspondiente: 
 
P q R {[( p ∧ q) → ∼ r ] ∧ r } → (~ p ∨ ~ q ) } 
V V V V F F F V V F F F 
V V F V V V F F V F F F 
V F V F V F V V V F V V 
V F F F V V F F V F V V 
F V V F V F V V V V V F 
F V F F V V F F V V V F 
F F V F V F V V V V V V 
F F F F V V F F V V V V 
Por tanto la inferencia es valida. 
Prueba de la validez por método abreviado. 
Este procedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto se trabaja con mas de 
dos proposiociones simples. 
Consiste en suponer la conjunción de premisas Verdadera y la conclusión Falsa, como única posibilidad que 
invalida la implicación (inferencia): ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ …. ∧ Pn ) ⇒ Q 
 
 ( V ∧ V ∧ V ∧ …. ∧ V ) ⇒ F 
 
 F 
Ejemplo: Sea el siguiente razonamiento: “Juan es abogado o arquitecto , pero Juan es arquitecto por tanto 
Juan no es abogado”. Determine si es valido o no: 
Este ejercicio ya lo tenemos simbolizado: 
 { ( p ∨ q ) ∧ q } ⇒ ∼p o de la forma 
 
 ( p ∨ q ) V 
 q V 
 
 ∴ ∼p F 
 
ANALIZAMOS : si ∼p ≡ F ⇒ p ≡ V 
 Además q ≡ V 
 Luego: ( p ∨ q ) ≡ V , remplazamos sus valores de verdad obtenidos. 
 ( V ∨ V ) ≡ V 
Como podemos ver no hay ninguna contradicción en nuestro analisis esto significa que, los valores dados son 
correctos y por tanto la implicación { ( p ∨ q ) ∧ q } ⇒ ∼p , es falsa. 
 Ejemplo 2: Tenemos un argumento como el siguiente: 
 Si trabajo y estudio entonces no apruebo matemáticas. Pero aprobé matemáticas. Por tanto no trabaje o 
 no estudie. 
 Traducido a símbolos: 
La inferencia: { [( p ∧ q) → ∼r] ∧ r } → (~ p ∨ ~ q) procedemos del mismo modo 
 
 ( p ∧ q) → ∼r] V 
 r V 
 
 ∴ ~ p ∨ ~ q ≡ F 
Tenemos que: ~ p ∨ ~ q ≡ F F ∨ F ≡ F 
 
 
 
 
 
54 
 
 Luego como ~ p ≡ F , se tiene que p ≡ V , así mismo: ~ q ≡ F , se tiene que q ≡ V 
 Además r ≡ V 
 Luego. [ ( p ∧ q) → ∼r ] ≡ V remplazamos sus valores de verdad obtenidos 
 [( V ∧ V ) → ∼ V ] ≡ V 
 [ ( V ) → F ] ≡ V 
 [ F ] ≡ V (CONTRADICCIÓN) 
Como podemos ver hay una contradicción en nuestro análisis esto significa que, los valores dados NO son 
correctos y por tanto la implicación { ( p ∨ q ) ∧ q } ⇒ ∼p , NO falsa. Como se supuso , sino que es 
VERDADERA. 
Cuantificadores 
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado 
de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos ∀ x y ∃ x, llamados 
cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones. 
Para todo x, se verifica p(x) se denota por ∀ x : p(x) 
Existe x, tal que se verifica p(x) se denota por ∃ x / p(x) 
Corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente 
en el segundo. 
Ejemplo: Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones 
particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es 
suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. 
Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de 
"Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares" y en símbolos: ∃ x / ~ p(x) 
Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en 
existencial, y se niega la función proposicional. 
Ejemplo: Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados 
La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario. 
Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales: 
p(x) : es alumno de mi colegio 
q(x) : es aplicado 
Tenemos: ∀ x : p(x) q(x) 
Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación 
resulta: 
∃ x / p(x) ∧ ~ q (x) 
Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta: Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados. 
Ejercicios: 
1. Si la proposición 
 ( )[ ] ( )qppsr ∆∼→∨→ es verdadera , entonces determine los valores de p; q; r y s . 
Además: qp ↔ es falso. 
Solución:Recordando: ( )
43421321
FF
qpqp ∆∼≡↔ 
Luego: 
( )[ ] ( )
4342143421 V F F V 
 
 
↓↓↓↓
∆∼→∨→ qppsr
 
434214434421
FF
 V F F 
4444 34444 21
V
 
 
Fs ; Vr V;q ; ≡≡≡≡∴ Fp 
 
 
 
 
 
55 
 
2. Si la proposición: ∼ [ r → (~ p ∨ q) ] ∧ [(p→q) ∨ ~s ] es verdadera , halle los valores de verdad de cada 
una de las proposiciones (p,q,r,s). 
Resolución: 
 ∼ [ r → ( ~ p ∨ q ) ] ∧ [ ( p → q ) ∨ ~ s ] 
 
 
 
 
 
 
 
 V Fs ; Vr F;q ; ≡≡≡≡∴ Vp 
 
ORDEN DE INFORMACIÓN 
 
Las características más saltantes en este tipo de problemas es que en ellos siempre se presentan datos 
desordenados, los cuales contienen toda la información, debemos relacionarlos entre sí, ordenarlos buscando 
correspondencia entre ellos. 
Se recomienda que para poder resolver los problemas de este tipo trate de enfrentarlos de la manera más 
gráfica, buscando esquematizar los datos de manera ordenada. 
 
Tipos de Orden de Información: 
 
Orden de Información 
 
 
 Ordenamiento Creciente - Decreciente 
 
 
 
 Ordenamiento horizontal - vertical 
 
 
 Ordenamiento Circular 
 
 
 Test de Decisiones 
 
• Ordenamiento Creciente y Decreciente 
 
Situaciones donde nos piden ordenar individuos según cualidades de mayor a menor o de menor a mayor, por lo 
cual se debe tener en cuenta las siguientes proposiciones y su respectiva simbolización: 
 
I) “A” es mayor que “B” 
A > B ò B < A 
 
II) “A” es menor que “B” 
A < B ò B > A 
 
III) “A” no es mayor que “B” 
A ≤ B (A < B ò A = B) 
 
IV) “A” no es menor que “B” 
A ≥ B (A > B ò A = B) 
V) “A” es menor que “B”, pero mayor que “C” 
C < A < B ò B > A > C 
 
VI) “A” es menor que “B”, y éste menor que “C” 
(A < B y B < C) A < B < C 
 
VII) Sí: (A ≤ B y A ≠ B) A < B. 
 
VIII) Si: B > A y C >A, entonces no hay 
comparación entre “B” y “C ” (no se puede 
determinar quien es el mayor) 
 
IX) Si: 
 
X) Si: A > B > C A > C 
V V 
F V F 
V F F V 
F F 
 V 
F 
CABCByCBA <<→<+=
2
 
 
 
56 
Lógica Matemática 
Orden de información 
 
 
 
Ejemplo 1 
En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos que María; Marilú menos puntos que Lucía; Noemí el mismo 
puntaje que Sara; Rosa más que Sofía; Marilú el mismo que María y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo el 
menor puntaje? 
Solución: 
Rosa < María , Marilú < Lucía , Noemí = Sara 
Rosa > Sofía , Marilú = María , Noemí > Lucía 
De los datos se unen con una única desigualdad( por ejemplo el menor que : < ) 
 
Si SofíaRosa > → RosaSofía < 
 LucíaNoemi > → NoemíLucía < = Sara 
 
Luego: Sofía < Rosa < María = Marilú < Lucía < Noemí = Sara 
Entonces el menor puntaje lo obtuvo: Sofía 
 
Ejemplo 2 
En un pentagonal de fútbol, la tabla de posiciones fue la siguiente : 
- Boys (B) obtuvo un punto más que Universitario (U) 
- Universitario (U) obtuvo un punto más que Cristal (C) 
- Municipal (M) obtuvo dos puntos menos que universitario (U) 
- Boys (B) obtuvo dos puntos menos que Aurich (A) 
 
Ordene en forma creciente : 
a) ABUCM b) MUBAC c) MUCBA d) MCUBA e) MCUAB 
 
 Solución: 
Ordenando las posiciones, tenemos: 
 A Si, Boys obtuvo dos puntos menos que Aurich → Aurich obtuvo dos puntos más que Boys. 
 +2 
 B 
 +1 Boys (B) obtuvo un punto más que Universitario 
 U 
 +1 
 C Municipal (M) obtuvo dos puntos menos que universitario (U) 
 +1 
 M 
 Luego la respuesta es la alternativa d. 
 
• Ordenamiento Vertical y Horizontal: 
 
Las situaciones más comunes, son cuando no piden ordenar de derecha a izquierda 
(o viceversa) o de arriba hacia abajo (o viceversa); para ello debemos tomar en cuenta : 
 
I) “A” a la derecha de “B” 
B A 
II) “A ” a la izquierda de “B” 
A B 
 
III) “A” junto a la derecha de “B” 
B A 
 
IV) “A” junto a la izquierda de “B” 
A B 
 
V) “A” se sienta a dos sitios de “B” 
A B ó B A 
 
VI) “A” se sienta en el extremo izquierdo, y 
“B” a tres sitios de él 
A B 
 
 
 
 
 
 
57 
 
VII) “A” esta a tres pisos de “B” (en un edificio de cuatro pisos)
A 
 
 
B 
 
B 
 
 
A 
VIII) Para ir de “A” a “B” hay que bajar dos 
pisos 
A 
 
B 
 
IX) “A” está adyacente a “B” y “C” 
B A C ó C A B 
 
X) Se empezará ordenando por el dato más 
conciso (que sirva como una referencia 
inicial) 
 
Ejemplo 01 
 
Seis amigos (A; B; C; D; E y F) están sentados en una fila de seis asientos libres juntos. Si sabe que: 
• “B” está junto y a la izquierda de “C” 
• “D” está a la derecha de “B” y a la izquierda de “E” 
• “E” esta junto a la izquierda de “F” 
• “A” está a la izquierda de “C” 
¿Quien ocupa el cuarto lugar si los contamos de izquierda a derecha? 
a) B b)A c) C d) F e) D 
Solución 
 
1. lklk 
 
2. B D E 
 
 
3. zdxfadfadfa 
 
4. A C 
Finalmente de (1), (2), (3) y (4): 
 
 
 
 
• De izquierda a derecha el cuarto lugar lo ocupa “D” Respuesta: E 
 
Ejemplo 02. 
Se tiene un edificio de seis pisos en el cual viven seis personas A; B; C; D; E y F, cada una en un piso diferente. 
Si se sabe que: 
• “E” vive adyacente a “C” y “B” 
• Para ir de la casa de “E” a la “F” hay que bajar tres pisos 
• “A” vive en el segundo piso 
¿Quién vive en el último piso? 
a) B b) C c) D d) E e) F 
 
Solución 
 
1. 3. 
 
 
 
 
B C 
De (1) y (2): 
 
B C D E 
* De (1), (2 ) y (3 ) 
B C D E F 
E F 
1° 2° 3° 4° 
A B C D E F 
B 
E 
C 
C 
E 
B 
Ó 
 
 
 
 
A 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
• De (2) y (3) se tendrá 2 posibilidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ra posibilidad 2da posibilidad 
 
• Con (1), descartamos la segunda posibilidad, luego quedará: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se observa que el último piso está destinado necesariamente para “D” Respuesta: C 
 
* Ordenamiento circular: 
Situaciones que nos solicitan ordenar individuos alrededor de una mesa circular (o alrededor de una figura 
cerrada) en estos casos basta ubicarse en un eje fijo; es decir, tomar un sentido u orientación referencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
E 
 
 
F 
 
 
E 
 
A 
F 
E 
 
 
F 
A 
 
ó 
D 
B 
E 
C 
A 
F 
D 
C 
E 
B 
A 
F 
ó 
A 
B C 
F E 
Delante del 
 personaje es 
 su derecha 
 
Detrás del 
personaje es su 
izquierda 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
Observaciones 
• “B” está junto y a la derecha de “A” 
• “C” está a la derecha de “A” (existe dos posibilidades) 
• “D” está al frente de “A” 
• “F” está junto y a la izquierda de “A” 
• “E” está a la izquierda de “A” (existe dos posibilidades) 
• “E” está a la derecha y junto a “D” 
Ejemplo 01 
 Cuatro amigos: Carlos, Antonio, Mario y Róger se sientan alrededor de una mesa redonda, en la que hay cuatro 
sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que: 
- Carlos se sienta junto y a la derecha de Antonio 
- Mario no se sienta junto a Antonio 
- Róger está entretenido observando cómo los otros tres discuten 
Según esto podemos afirmar: 
 
a) Róger y Carlos se sientan juntos 
b) Antonio y Róger no se sientan juntos 
c) No es cierto que Róger y carlos no se sientan juntos 
d) Mario se sienta junto y a la derecha de Róger 
e) Mario se sienta junto y a la derecha de Carlos 
 
Solución: 
 De acuerdo a los datos se distribuye de la siguiente manera:Respuesta. ( e ) 
 Mario no se sienta junto a Antonio 
• Test de decisiones: 
La mejor estrategia de afrontar situaciones, donde se nos pide relacionar diversos datos entre sí (como 
pueden ser personas con su ocupación, deportes, lugar donde viven o donde estudian, etc.), es haciendo 
un cuadro, en el cual podemos ir marcando las deducciones que vamos haciendo. Se recomienda comenzar 
por aquellos datos que se pueden colocar directamente. A continuación se procede a marcar con una X o 
un No en cada casilla correspondiente a una imposibilidad definida y a colocar ü (es un visto bueno) o 
un Sí en la casilla que corresponda a un dato confirmado. Además se debe verificar tanto en cada fila 
horizontal y vertical la existencia de un solo sí, a menos que las condiciones del problema afirmen lo 
contrario o señalen características especiales de los datos. 
Un cuadro de doble entrada es el que a continuación le mostramos: 
 
 Matemático. Ingeniero. Biólogo. 
Rojas ü X X 
William X ü X 
Matute X X ü 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 María, Lucía e Irene, viven en 3 ciudades distintas: Lima, Cuzco, Tacna, estudiando una carrera diferente: 
Educación, Derecho y Arquitectura. Si se sabe que: 
- María no vive en Cuzco 
- La que vive en Cuzco no estudia Derecho 
- Lucía no estudia Educación 
- Lucía no vive en Tacna 
- Quien vive en Tacna estudia Arquitectura 
 
A C 
M R 
1o
2o
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
¿Dónde vive Irene y qué estudia? 
a) Lima – Arquitectura b) Lima – Educación c) Lima – Derecho 
d) Cuzco – Educación e) Cuzco - Derecho 
Solución: 
Se realiza el sgte. Cuadro y se comienza a llenar de “sí” o de “No” de acuerdo a los datos 
 Si Cuzco, no Derecho Cuzco puede ser educación 
 o arquitectura. 
 Pero se sabe que: Si Tacna, si arquitectura Cuzco 
 tiene que ser educación. 
 
Además, como Lucia puede ser derecho o arquitectura Lucia tiene que ser derecho, ya que no Tacna. 
 Se ubica por último las demás afirmaciones o negaciones quedando el cuadro así: 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
1.) Juan es más estudioso que Alex. Alex es menos estudioso que Miguel, pero más que Dany. ¿Cuál de las 
siguientes expresiones será siempre verdadera?. 
a) Juan es más estudioso que Miguel 
b) Juan es menos estudioso que Dany 
c) Juan es menos estudioso que Miguel 
d) Juan es más estudioso que Dany 
e) Juan estudia igual que Miguel 
Solución 
 Juan > Alex 
 Dany < Alex < Miguel 
 Dany < Alex < Juan 
 Podemos observar que la conclusión siempre verdadera es que 
 Juan es más estudioso que Dany. 
 
2.) La ciudad “A” tiene más habitantes que la ciudad “B”. La ciudad “B” tiene menos habitantes que la ciudad 
“C” pero más que la ciudad “D”. Si “A” tiene menos habitantes que “C”. ¿Qué ciudad tiene más habitantes? 
 
SOLUCIÓN 
C 
A 
B 
D 
Rpta: la ciudad C 
 
3.) Seis amigos, Angel, Daniel, Mario, Raúl, Sergio y Tomás se reúnen para cenar en una mesa redonda. Se sabe 
que: 
- Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Angel. 
- Mario no se ubicó al lado de Angel ni de Raúl. 
- Sergio no se sentó al lado de Tomas ni de Mario. 
¿Quién se sentó junto y a la izquierda de Angel? 
 
 
 
 Lima Cuzco Tacna Der Edu Arq 
María No 
Lucía no no 
Irene 
 Lima Cuzco Tacna Der Edu Arq 
María no No si no no Si 
Lucía Si no no Si No no 
Irene no si no no Si No Respuesta . ( d ) 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rpta: Tomás 
 
3.) Aldo, Cirilo y Baltazar tienen ocupaciones: relojero, panadero y pianista; no necesariamente en ese orden. 
Se sabe que Cirilo nunca tuvo buen oído para la música; la habilidad que tiene Aldo con las manos es 
comparable con la de un cirujano, Baltazar es artista. Luego Baltazar, Aldo y Cirilo son respectivamente: 
 a) Relojero, pianista, panadero 
 b) Pianista, relojero , panadero 
a) Panadero, pianista, relojero 
b) Pianista, panadero, relojero 
c) Relojero, panadero, pianista 
 
Solución 
 
 Relojero Panadero Pianista 
Aldo Si No No 
Cirilo No Si No 
Baltazar No No Si 
 
Del gráfico concluimos que: 
 Aldo es relojero, Cirilo es panadero, Y Baltazar es pianista 
 
4.) Tres personas viven en 3 ciudades distintas y tienen ocupaciones diversas,. Se sabe que : 
- José no vive en Lima 
- Luis no vive en Piura 
- El que vive en Lima no es el religioso 
- El que vive en Piura es político 
- Luis no es profesional 
- Uno de ellos se llama Fernando 
- Uno de ellos vive en Huancayo 
 
Entonces es cierto que: 
 
a) El piurano es profesional 
b) El religioso es limeño 
c) Fernando es limeño y político 
d) El político es de Piura 
e) José es profesional. 
 
Solución 
 Lima Piura Huancayo Político Religioso Prof. 
José No Si No Si NO No 
Luis No No Si No Si No 
Fernando Si No No No No Si 
Del cuadro podemos afirmar que el político es de Piura. 
 A 
 T 
 M 
 D 
 R 
S