5

Vista previa del material en texto

62 
Teoría de Conjuntos 
 
CONJUNTOS 
 
 
1. NOCIÓN DE CONJUNTO: 
Entendemos por conjunto, a una reunión, colección, agrupación, clase, conglomerado o familia, de objetos 
bien definidos, reales o abstractos llamados elementos. 
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas (A; B; C; ...) y sus elementos, separados por comas (o punto 
y coma en el caso de números), encerrados entre llaves. 
 
2. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO 
 
 1°) Por Comprensión o de Forma Constructiva: Cuando se define al conjunto enunciando una propiedad 
 común que caracterizan a los elementos de dicho conjunto. 
 
 Ejemplo: A = {x / x es un número natural par menor que 19} 
 B = {x / x es una vocal} 
 
 2°) Por Extensión o de Forma Tabular o Enumerativa: Cuando nombran explícitamente los elementos de 
 dicho conjunto. 
 
 Ejemplo: A = { 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 } 
 B = { a, e, i, o, u} 
 
Ejemplo: Determinar por comprensión el siguiente conjunto A: 
{ }1 3 5 7A 2 ,2 ,2 ,2= 
a) { }−= ∈ < ≤2 12 / , 0 4nA n N n 
b) { }+= 2 12 /nA nes impar positivo 
c) { }= 2 /nA nes impar positivo 
d) { }+= 23 /nA n esimpar positivo 
e) { }= 2 /nA n es par positivo 
Rpta: a 
 
3. CONJUNTO UNIVERSAL (U): Es un conjunto de referencia para el marco de una situación particular, es 
posible elegirlo de acuerdo a lo que se trate. 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
 
1) Conjunto de los Números Naturales ( ¥ ): 
 
¥ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...............} 
 
2) Conjunto de los Números Enteros (¢ ): 
 
¢ = {-∞ ..............., -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ............ ; + ∞} 
 
≤ ≤ < ≤
n
1, 3, 5, 7: son números impares
 (números en escuadra)
 t = 2n-1
donde 1 n 4 ó 0 n 4 
 
 
 
 
 
 
63 
 
3) Conjunto de los Números Racionales (¤ ): 
a / a, b z ; b 0
b
a 1 1 a - , ......., - , ......, 1, ........, , ......., 0, ......, , .........., 1, ..........., , ............
b 2 2 b
 = ∈ ≠ 
 
 = ∞ − − +∞ 
 
¤
¤
 
 
- Los números decimales finitos son racionales. 
Ejemplos: 
 210, 21 
100
= ∈ ¤ 
 
- Los números decimales infinitos periódicos son racionales 
- Los números periódicos puros y periódicos mixtos son racionales 
 
» 430,43 
99
= ∈ ¤ 
º 241 - 2 2390, 241 
990 990
= = ∈ ¤ 
 
4) Conjunto de los Números Irracionales ( Ι ): 
 
 Está formado por los números decimales infinitos no periódicos. 
Ejemplos: 
 I 5 I 3 Iπ ∈ ∈ ∈ 
I = { }........ , ........, e, ........, ,3 ........, ,2 - ........, ,5 - ........, , ........, 3 ππ− 
Donde 
 π = 3,14159....... e = 2,718281......... 
 
5) Conjunto de los Números Reales ( ¡ ): 
 
= ∪ Ι¡ ¤ 
Su gráfica: 
 
 - ∞ 0 + ∞ 
 
¡ = { }∞+ππ∞− ........., 4e, ........., ,7 ......... , ......... 0, ........., e,- ,5 - ........., , - ........., , 
 
6) Conjunto de los Números Complejos (£ ): 
 
£ = { }R b, a, ,1- i / bi a ∈=+ 
 
1) 3 ∈£ 2) - 7 ∈£ 3) i ∈£ 4) 2 - i ∈ £ 
 porque: porque: porque: porque: 
 3 = 3 + 0i -7 = -7 + 0i i = 0 + 1i 2 - i = 2 + (-1)i 
 
5) π ∈£ 6) e ∈£ 7) 4 - 5− ∈£ 8) 3 ∈ £ 
 
 ∴ Cualquier número real es complejo. 
 ¡ ⊂ £ 
 
 
 
 
 
64 
 
Conclusión: 
i) ⊂ ⊂ ⊂ ⊂¥ ¢ ¤ ¡ £ 
ii) I es disjunto de ¥ , ¢ , ¤ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto de los Números Pares 
 
= { - ∞ ; ......... ; -4 ; -2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ................... ; + ∞} = {2K / K ∈ ¢ } 
 
Conjunto de los Números Impares 
 
= { - ∞ ; ......... ; -3 ; -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ................... ; + ∞} = {2K – 1 / K ∈ ¢ } 
 
 
4. RELACIÓN DE PERTENENCIA 
Un elemento pertenece (∈) a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto. Un elemento no 
pertenece (∉) a un conjunto si no cumple con la condición anterior. Esta relación vincula un elemento con un 
conjunto, más no vincula elementos o conjuntos entre sí. 
 
Ejemplo: Dado el conjunto: A = {4; 6; 7; 9} 
 Entonces: 4 ∈ A (4 pertenece a A) 
 9 ∈ A (9 pertenece a A) 
 5 ∉ A (5 no pertenece a A) 
 
5. CARDINAL DE UN CONJUNTO 
Es el número entero, no negativo, que indica la cantidad de elementos diferentes de un conjunto. El cardinal 
de un conjunto A se denota: n (A). 
Ejemplos: A = {7; 4; 6; 3} → n (A) = 4 
 B = {2; 4; 6; 8; 10} → n (B) = 5 
 C = {6; 4: 4; 6; 4} → n (C) = 2 
 
 
RELACIONES CON CARDINALES 
 
(I) Si A y B son disjuntos: 
 
 n (A ∪ B) = n (A) + n (B) 
 
 
Complejos (£ ) 
Imaginario 
Ej. 3− , 2i 
Reales ( ¡ ) 
Irracionales 
Ej. 2 , π, e 
Racionales (¤ ) 
Ej. 
3
15
,
5
7 , 8, 0, 
3
12 
Fraccionarios 
Ej. 
3
10
,
9
7
,
5
3 
Enteros ( ¢ ) 
{..., -2, -1, 0, 1, 2,..} 
Z+={1, 2, 3, ....} 
Cero = 0 
Z-={..-3, -2, -1} 
Naturales ( ¥ ) 
{0,1,2,3...} 
 
 
 
 
 
65 
 
(II) Para 2 conjuntos cualesquiera A y B: 
 
 n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B) 
 
 
(III) Para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C: 
 
 
n (A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) - n (A∩C) - n (B∩C) + n (A∩B∩C) 
 
6. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 
 
1) Inclusión: Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, cuando todos los elementos de A 
pertenecen a B. Se denota por A ⊂ B y simbólicamente se define la inclusión así: 
 
 A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A → x ∈ B 
 
Si A = { p , q } y B = { m , n , p , q , r } , entonces A ⊂ B . 
 
 


⊂ ⊃


* A está incluido en B
* B incluye a A
* A está contenido en B
 B , se lee : A , se lee : * B contiene a A
* A es parte de B
* B es superconj
* A es subconjunto de B
A B




 unto de A
 
 
Nota: Si algún elemento del conjunto A, no pertenece a B entonces decimos que A no está incluido en B y se 
denota: A ⊄ B. 
 
 Ejemplo: Si: { } { } { }{ }A ;a; a ; a,b ;= φ φ . Indicar las proposiciones que son verdaderas. 
I. a ⊂ A ∧ {a, b} ⊂ A 
II. {φ} ∉ A ∨ {φ} ⊂ A 
III. φ ⊂ A ∧ φ ∈ A 
 
a) solo I b) solo II c) solo III d) II y I e) II y III 
 
Resolución: 
{ } { } { }{ }A ;a; a ; a,b ;= φ φ 
 
I. a ⊂ A ∧ {a, b} ⊂ A 
 F F = F 
 
II. {φ} ∉ A ∨ {φ} ⊂ A 
 F V = V 
 
III. φ ⊂ A ∧ φ ∈ A 
 V V = V por tanto II y III son verdaderas Rpta: e 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
2) Igualdad de Conjuntos 
 
 A = B ⇔ A y B tienen los mismos elementos. 
 
3) Conjuntos Comparables 
 
 A es comparable con B, si A ⊂ B o B ⊂ A 
 
4) Conjuntos Equivalentes 
 
 A es equivalente con B, si n ( A ) = n ( B ) 
 
5) Conjuntos Disjuntos 
 
 Los conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. 
 
NOTA: 
Conjunto Unitario o Singlenton 
Todo aquel conjunto que contenga un sólo elemento. 
Conjunto Vacío 
Conjunto que carece de elementos, lo representamos como: }{ , ∅ 
Observación: }{∅ es un conjunto unitario. 
 
6) Conjunto Potencia 
 
 Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos de un 
 conjunto dado. 
 
6.1) Conjunto Potencia de A: P (A) 
 
 P(A) es el conjunto de todos los subconjuntos de A: 
 
P(A) = { X / X ⊂ A } Es decir: X ∈ P(A) ⇔ X ⊂ A 
 
 Si "n" es el número de elementos del conjunto A ⇒ n [P(A)] = 2n 
 
i) ∅ ∈ P(A) , puesto que ; ∅ ⊂ A 
ii) A ∈ P(A) , puesto que ; A ⊂ A 
 
Ejemplo: Dado A = {7; 5; 3}, los subconjuntos de A son: 
 ∅, {7}, {5}, {3}, {7; 5}, {7; 3}, {5; 3}, {7; 5; 3} 
 
 Entonces el conjunto potencia de A es: 
 P(A) = { ∅, {7}, {5}, {3}, {7; 5}, {7; 3}, {5; 3}, {7; 5; 3} } 
 
 
Nota: Si n(A) es el cardinal del conjunto A, severifica que: 
 
# de subconjuntos de A 
ó # de elementos P(A) = 2n (A) 
 
 
n [ P(A)] = 2n (A) 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 Ejemplo: Para dos conjuntos M y N se cumple que n (M ∪ N) = 8 
 Además: n [P (M)] + n [P(N)] =160. 
 Determine n [P (M ∩ N)] 
 
 Resolución: 
 Sea n [P (M)] = 2n (M) y n [P(N)] = 2n (N) 
 Entonces en: 
 n [P(M)] + n[P(N)] = 160 
 2n (M) + 2n (N) = 160 
 2n (M) + 2n (N) = 32 + 128 
 2n (M) + 2n (N) = 25 + 27 
 lo que significa que reemplazando estos resultados en la fórmula: 
 n (M ∪ N) = n (M) + n (N) - n (M ∩ N) 
 tendremos: 
 8 = 5 + 7 - n (M ∩ N) 
 n (M ∩ N) = 4 
 por lo tanto 
 n[P(M ∩ N)] = 2n (M ∩ N) = 24 
 
 Rpta: 16 
 
6.2) Subconjunto Propio: Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado, no es igual a éste. 
 
 Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2; 6; 8}, sus subconjuntos son: 
 
 ∅, {2}, {6}, {8}, {2; 6}, {2; 8}, {6; 8}, {2; 6; 8} 
 
Luego, sus subconjuntos propios son: 
 
 ∅, {2}, {6}, {8}, {2; 6}, {2; 8}, {6; 8} 
 
Nota: Si n(A) representa el cardinal del conjunto A: 
 
 
# de subconjuntos propios de A = 2 n (A) – 1 
# de subconjuntos propios de A no vacíos = 2 n (A) – 2 
 
 
 Ejemplo: Si un conjunto tiene 2047 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene dicho conjunto? 
 Resolución: 
 # de subconjuntos propios de A = 2 n (A) – 1 
 2047 = 2 n (A) – 1 
entonces 211 = 2n(A) , n ( A ) = 11 
 
 Ejemplo: Diego compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. 
 ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener? 
 
 a) 512 b) 246 c) 247 d) 503 e) 502 
 
Resolución: 
# de colores = 9 
# de nuevos matices= 29 − 1 − 9 
 = 512 − 10 
 = 502 
Rpta: e 
vacío 
Subconjuntos 
unitarios 
 
 
 
 
 
68 
 
 
Nota: Para calcular la cantidad de subconjuntos unitarios (1 elemento), binarios (2 elementos), 
ternarios (3 elementos), etc. , debemos emplear combinaciones: 
n
k
n!C =
(n-k)!. k! 
 
Ejemplo: El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá? 
 
a) 64 b) 56 c) 48 d) 21 e) 35 
 
Resolución: 
 Sea n(A) = x 
 
( )
( ) ( )
 
= − = ⇒ − =  − 
− −
− = ⇒ =
 
= = 
 
= =
x x x
3
x
Subconjuntos x !2 C 200 2 200
no ternarios 3! x 3
x 2 x 1 x2 200 x 8
6
Luego :
#Subconjuntos 8 8!C
5Quinarios 5! x 3!
8 x 7 x 6 56
6
 
 
Rpta: b 
 
 
 
 
 
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
 
1. UNIÓN: Dados dos conjuntos A y B, la unión de ellos es el conjunto formado por aquellos elementos 
que pertenecen por lo menos a uno de esos conjuntos A o B. Se denota A ∪ B y se define: 
 
 A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} 
 
Ejemplo: Dados: A = {6; 8; 2} 
 B = {3; 7} 
 
→ A ∪ B = {2; 3; 6; 7; 8;} 
 
 Diagramas: 
 
A ∪ B A ∪ B A ∪ B 
 
 A B A B B 
 A 
 
 
 
 
 Conjuntos Disjuntos Conjuntos Comparables 
 
PROPIEDADES DE CONJUNTO 
POTENCIA 
 
1) P(∅) = {∅} 
2) P(A) ⊂ P(B) ⇔ A ⊂ B 
3) P(A) = P(B) ⇔ A = B 
4) P(A) U P(B) ⊂ P(A U B) 
5) P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) 
6) ∅ ∈ P(A) , A ∈ P(A) 
 
 
 
 
 
 
69 
 
2. INTERSECCIÓN: Para dos conjuntos A y B, la intersección de ellos es el conjunto formado por los 
elementos comunes de A y B. Se denota A ∩ B y se define. 
 
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B } 
 Ejemplo: 
 
 Dados: A = {x; &; 5} 
 B = {&; 3; @; 5; 7} 
 A ∩ B = { & ; 5} 
 
 Diagramas: 
 
 A ∩ B A ∩ B = ∅ A ∩ B = A 
 A B A B B 
 
 A 
 
 
 
 Conjuntos Disjuntos Conjuntos Comparables 
 
 
3. DIFERENCIA: La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden), es el conjunto formado por los 
elementos que pertenecen al conjunto A, pero no a B. Se denota por A - B y se define: 
 
 A - B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} 
 
Ejemplo: 
 Dados A = {6; &; 4; 7; @} 
 B = {3; 4; 5; 6; 7} 
→ A - B = { & ; @ } , B - A = { 3 ; 5 } 
 
Importante recordar: 
 La diferencia de conjuntos no es conmutativa; esto es: si A ≠ B 
 A – B ≠ B - A 
Diagramas: 
 
 A B A B B 
 A 
 
 
 
 A – B A - B = A A - B = ∅ 
 
 Conjuntos Disjuntos Conjuntos Comparables 
 
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA: Dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de ellos es el conjunto 
formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. 
 Se denota por A ∆ B y se define: 
 
 A ∆ B = { x / x ∈ (A - B) ∨ x ∈ (B - A) } 
 
 
Ejemplo: Sea A = {0; &; 2; 8} 
 B = {3; &; 5; 0; 7} 
 → A ∆ B = {2; 8; 3; 5; 7} 
 
 
 
 
 
 
70 
 
Diagramas: 
 
 A B 
 A B B A 
 
 
 
 
 A ∆ B A ∆ B A ∆ B 
 
 Conjuntos Disjuntos Conjuntos Comparables 
 
5. COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos del 
conjunto universal U que no pertenecen a A. Se denota por: Ac, A', o C(A) y se define: 
 
A' = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A 
 
 
Ejemplo: Sea: U = {x / x ∈ Z+ ∧ x < 8} 
 A = {2; 3; 5} 
 → A' = {1; 4; 6; 7} 
 
 Diagrama: 
 
 A 
 A' 
 
 
 
6. PRODUCTO CARTESIANO: Llamado también conjunto producto de dos conjuntos A y B, es aquel 
conjunto cuyos elementos son pares ordenados donde las primeras componentes pertenecen a A y las 
segundas componentes pertenecen a B. 
 
Se denota A x B y se define: 
 
 
 A x B = {(a; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} 
 
 
 
Ejemplo: Si: A = {1; 2; 3} 
 B = {m; n } 
 → A x B = {(1; m), (1; n), (2; m), (2; n), (3; m), (3; n)} 
 → B x A = {(m; 1), (m; 2), (m; 3), (n; 1), (n; 2), (n; 3)} 
 
 Nótese que si A ≠ B: 
 
 A x B ≠ B x A 
 
 
Ejemplo: A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 
 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos 
 varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no 
 llevaron casaca? 
 
 a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
 
 
 
 
 
71 
 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 = 11 + 9 + 12 + x → x = 8 Rpta: a 
 
 
LEYES Y PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS1. REFLEXIVAS 
1A. A ∪ A = A 
1B. A ∩ A = A 
 
2. CONMUTATIVAS 
2A. A ∪ B = B ∪ A 
2B. A ∩ B = B ∩ A 
2C. A ∆ B = B ∆ A 
 
3. ASOCIATIVAS 
3A. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 
3B. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
3C. A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C 
 
4. DISTRIBUTIVAS 
4A. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
4B. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
4C. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) 
4D. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 
 
5. DE LA INCLUSIÓN 
Si: 







=∆
φ=
=∩
=∪
⇒⊂
 A- B B A 
 B -A 
 A B A 
B B A 
 B A 
 
6. DE LA EXCLUSIÓN 
 Si A y B son disjuntos 
 





∪=∆
=
φ=∩
⇒
B A B A 
 A B -A 
 B A 
 
7. ELEMENTO NEUTRO 
7A. A ∪ φ = A 
7B. A ∩ φ = φ 
7C. A ∪ U = U 
7D. A ∩ U = A 
 
8. DEL COMPLEMENTO 
8A. (A')' = A 
8B. A ∪ A' = U 
8C. A ∩ A' = φ 
8D. φ' = U 
8E. U' = φ 
 
9. DE LA DIFERENCIA 
9A. A - B = A ∩ B' 
9B. A - B = B' - A' 
 
10. LEYES DE MORGAN 
10A. (A ∪ B)' = A' ∩ B' 
10B. (A ∩ B)' = A' ∪ B' 
 
 
11. DE ABSORCIÓN 
12A. A ∪ (A ∩ B) = A 
12B. A ∩ (A ∪ B) = A 
12C. A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B 
12D. A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B 
12 1217 11
Co
rba
ta 
= 2
8
Casaca = 40 Cartera = 24
16
9
x
H = M =
U =