MATE VALLEJO 2009 D7-páginas-6

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unI 2009 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Pregunta N.º 8
Si ab ba
2 2
3168− = ; halle el menor valor de 
a+b.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 16
Solución
Tema
Numeración
Referencias
Diferencia de cuadrados
m2 – n2=(m+n)(m – n)
Descomposición polinómica
abcn=an
2+bn+c
Análisis y procedimiento
Por dato, sabemos que
 ab 2 – ba 2=3168
Aplicamos la diferencia de cuadrados obtenemos
 (ab+ba)(ab – ba)=3168
descomponiendo polinómicamente cada factor, 
se tiene
 11(a+b)×9(a – b)=3168
Luego de simplificar el factor 11 y 9, se obtiene
 
a b a b+( ) − =
16
8
2
4
32������( )
Por lo tanto, el valor de a+b puede ser 8 ó 16.
Respuesta
El menor valor de a+b es 8.
Alternativa D
Pregunta N.º 9
Sean los conjuntos
A={x ∈ R/|x – |x|| ≤	1} y
B={x ∈	A/|x – |x| – 1| ≤	1}
Entonces podemos decir que A/B es:
A) φ	 B) −



1
2
1
2
; C) −



1
2
0;
D) −


1
2
0; E) 0;∞
Solución
Tema
Desigualdades con valor absoluto
Referencias
Se utilizarán desigualdades con valor absoluto y 
operaciones con intervalos.
Análisis y procedimiento
De A: |x – |x|| ≤ 1 ↔ – 1 ≤ x – |x| ≤ 1
I. Si x ≥ 0 → – 1 ≤ x – x ≤ 1 → – 1 ≤ 0 ≤ 1
II. Si x < 0 → – 1 ≤ x+x ≤ 1 →
	 → −
1
2
 ≤ x ≤ 
1
2
 ∧ x < 0 ↔ x∈ −

1
2
0;
De (I) y (II): x∈ − + ∞

1
2
;
→ A = − + ∞

1
2
;
De B: x ∈ A ∧ |x – |x| – 1| ≤ 1
 – 1 ≤ x – |x| – 1 ≤ 1 ↔ 0 ≤ x – |x| ≤ 2
I. Si x ≥ 0 → 0 ≤ x – x ≤ 2 ∧ x ∈ A
 → x x≥ ∧ ≥ −



0
1
2
 → x ≥ 0
II. Si x < 0 → 0 ≤ x+x ≤ 2
 x < 0 ∧ 0 ≤ x ≤ 1 → x ∈ φ