Apuntes_del_Curso_de_Matematicas_Pre_Cal

Vista previa del material en texto

Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
5-4-2021 
 
 
Apuntes del Curso de 
Matemáticas (Pre-
Cálculo) para la Facultad 
de Ciencias 
Agropecuarias, Mat 175 
Guía Didáctica del Curso 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ/DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
1 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Introducción a la Guía del Curso de Pre-Cálculo 
 
La presente Guía Didáctica de Pre-Cálculo incluye los materiales de clase utilizados tradicionalmente en 
los Cursos iniciales de Matemáticas. Tal como su nombre lo indica, este Curso está diseñado para el 
tratamiento de unidades que preparen al alumno para los Cursos de Cálculo, los cuales se dan tanto en las 
Facultades de Administración, como de Ingeniería de nuestra universidad. 
 
Se ha procurado, específicamente en el desarrollo de los contenidos de las distintas unidades, ser lo más 
abarcador posible, en el sentido de darle un tratamiento que procure su extensibilidad a muchos temas. Lo 
anterior involucra, como es de esperarse, ser muy ambicioso en el alcance que se logre con cada unidad 
tratada. Estamos convencidos de eso, pues a lo largo de más 20 años, hemos desarrollo Cursos de Pre-
Cálculo y de Cálculo, con esa intencionalidad didáctica. 
 
Subyace, entre los objetivos de la preparación de esta Guía, hacer un “poquito” de historia, con relación al 
desarrollo de cursos universitarios de esta naturaleza. Siempre me he considerado un profesor afortunado, 
pues desde mi incorporación a la planta docente del Departamento de Matemáticas, por allá en el año 1993, 
bajo el liderazgo del Profesor Mgtr. Diego Santimateo, tuve la magnífica oportunidad de impartir Cursos 
de Cálculo y también de Pre-Cálculo, en las Facultades de Administración de Empresas y Economía. Dicha 
oportunidad fue robustecida con la experiencia que ya estaba teniendo en la educación particular, ya que 
me desempeña, en ese entonces, en la Academia Interamericana de Panamá, precisamente como Profesor 
de Cálculo para el 12° nivel. 
 
Así que, el poner por escrito, parte de nuestro trabajo académico, gestado a lo largo de tantos años, nos 
llena de plena satisfacción; y aspiramos a que este modestísimo documento no solo beneficie a mis 
estudiantes de primer y segundo año de las Facultades mencionadas, sino también a otros, provenientes de 
otras latitudes fuera de nuestra universidad y de nuestro país. 
 
Para finalizar, y, agradeciendo al Supremo que nos ha dado la facultad y capacidad para desarrollarnos 
como Profesor Especial, de Tiempo Parcial, recomendamos estos Apuntes como material de trabajo. 
 
2 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Cronograma de Actividades 
# Contenido/Lección Actividades 
1 Cronograma/Presentación/Recursos/Metodología/Conectividad 
Unidad de Repaso 
Lectura de la Presentación del Curso/Cronograma de 
Trabajo/Programa del curso/Repaso 
2 Unidad de Repaso 
Tarea # 1 
Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
3 Unidad # 1: Funciones/Modelos Matemáticos/Teoría y 
Ejemplos/Tipos de funciones 
Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
4 Ejemplos de Funciones/Análisis de Casos 
Tarea # 2 
Taller de Clase/Casa 
5 Unidad # 2: Ejemplos de Funciones/la Función Cuadrática Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
6 Aplicaciones de la Función Cuadrática 
Tarea # 3 
Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
7 Unidad # 3: Ejemplos de Funciones/la Función 
Logarítmica/Exponencial 
Lecturas de ejemplos/Taller de Casa 
8 Aplicaciones de las Funciones Logarítmica/Exponencial Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
9 Tarea # 4 Libre 
10 Unidad # 4: Los Ceros de las Funciones y el análisis gráfico Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
11 Análisis Gráfico/Aplicaciones Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
12 Modelos de Aplicaciones de Funciones Polinomiales Taller de Casa 
13 Tarea # 5 Libre 
14 Unidad # 5: La Derivada de una Función Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Clase 
15 Aplicaciones de las Derivadas Lectura de ejemplos/Taller de Clase/Casa 
16 Examen Final Examen Final 
3 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
 
Evaluación del Curso1: 
 
• Tareas (cinco en total) …….75% (15% cada tarea) 
• Examen Final ……………………. 25% (en la fecha que asigne la Facultad) 
 
Bibliografía consultada: 
 
• Stewart, James; et al. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo, 5ta. edición. International 
Thomson Editores, S. A., México, 2007. 
• Arias, J. M.; et al. Matemáticas 2, Bachillerato, Editorial Casal, S. A., Bilbao, 2000. 
• Harshbarger, Ronald; et al. Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias 
Sociales, 7ma. Edición. McGraw-Hill/Interamericana Editores, S. A., 2005 
• Waner, Stefan; et al. Cálculo Aplicado. International Thomson Editores, S. A., México, 2002 
• Arya, Jagdish C.; et al. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, Pearson 
Educación, México, 2002 
 
 
Pensamiento: 
“No hay edad para dejar de estudiar, no hay edad para dejar de sentir curiosidad”, 
 por Ramiro Giménez Cara, 96 años, alumno sénior de la UNED DE Tudela, 29 de noviembre, 2019 
 
 
 
¡Bienvenidos, jóvenes, a la vida universitaria! 
 
 
 
1 La Evaluación del Curso se propone a los alumnos como una forma de garantizar la promoción de este, dada la experiencia recibida en el año 2020. La 
intencionalidad didáctica de este elemento es asegurar la estabilidad emocional del alumno que ingresa a carreras de ingeniería en la UP. 
4 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Unidad Propedéutica: Calculadora Científica 
I. Calcular el valor numérico de las expresiones matemáticas siguientes y exprese su respuesta con cuatro 
dígitos después de la coma decimal. 
 
1 ln(3𝜋2+2𝜖−2)log⁡(505𝜖−3) = 2.4258 √2𝜖4 + 𝜋45log⁡(𝜖2 + 2) = 2.9859 0.554 + 0.1453 − 0.14𝜋4 + 𝜋3 − 𝜖4 
2 2−1 3⁄ +3𝜖42(𝜖4+𝜋2)= 1.2765 ln(4𝜋4−300)ln⁡(603𝜖2) =0.5351 ln(3𝜖3 − 4)4 + 𝑙𝑜𝑔400−2𝜖−0.55 + 𝜖0.55 
3 0.65𝜖−142𝜖0.65+3𝜋−2=-88.1683 3152 5⁄ × 2153 2⁄4121 2⁄ − 3001 3⁄ 213𝜖4 − 215𝜖𝜋𝜋𝜖 + 𝜖𝜋 − 𝜖 
4 (30.15×0.016)3√0.15𝜖+𝜋43 =0.0244 675𝜖4𝜖3 − 𝜋4 ln(log(1 + ϵ))(1 + 𝜖)−4 + (𝜋 + 1)4 
5 𝜖4+𝜖3−𝜖5104(2𝜖+1)2 =-0.00017796 (4𝜋 + 3𝜖)4log⁡(500𝜖−3) ln(3𝜋2 + 2𝜖−2)𝜖1 3⁄ − 𝜖−1 2⁄ 
6 𝑙𝑛(𝜖2+𝜖−3)𝑙𝑛(505𝜖−4)= 0.9021 1005𝜖3𝜖0.5𝜋44 − 1.05𝜖4 ln(𝜋2 + 56𝜖2)log⁡(705𝜖3) 
7 4151 5⁄ ×630.122𝑙𝑜𝑔(1+𝜖) = 2324451.892 (15.15 × 0.017)2 + 63ln⁡(4 − 𝜖) ln(3𝜋−2 + 2𝜖2)log⁡(235𝜖3) 
8 10004(𝜖4−𝜖3)452 =170. 5008 14(𝜖−4 − 𝜖3)45−2 (𝜖4 + 𝜖3)4503 
5 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticasde Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Unidad Propedéutica: Ecuaciones Algebraicas y No Algebraicas 
 
Desarrollo: resuelva cada ecuación para la variable indicada. 
 
 
# Ecuación Algebraica Resp. # Ecuación No algebraica Resp. 
1 ⁡(⁡400𝜋 − 125𝜖30𝑖 )7 = log √55𝜋5 + 33𝜖3 
 
29.10 5 350(1.1214)𝑛 = 450.08 2.1949 
2 ⁡(⁡400𝜋 − 125𝜖30𝑖4 )7 = log √105𝜋−2 + 33𝜖3 
 
2.35 6 1.1214𝑛 − 20.3547 = 347.15 42.1494 
3 √225𝜋0.0315 ⁡(⁡400𝜋 − 125𝜖30𝑖−3 )7
= log√𝜖5 + 𝜋37 × √105𝜋−2 + 33𝜖3 
 
0.31 7 1220(1.05)−𝑛135.75 = 500.01 -82.3698 
4 (⁡400𝜋 × 𝜖5 − 125𝜖4300𝑖7 )7 = log √105𝜋−2 + 33𝜖3 
 
2.49 8 1.0771−𝑛 = 447.10538.12 2.4949 
 
6 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Enlaces para los Tutoriales de Ecuaciones Algebraicas: constituyen videos “sencillos” y de corta 
duración, en donde se explican algunos de los problemas de ecuaciones algebraicas. 
https://youtu.be/i6vOvfgwfdc 
https://youtu.be/KRd_EyMxTRs 
https://youtu.be/Ao0CN0m_Wn0 
 
 
 
 
https://youtu.be/i6vOvfgwfdc
https://youtu.be/KRd_EyMxTRs
https://youtu.be/Ao0CN0m_Wn0
7 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Unidad # 1: Funciones/Modelos Gráficos Polinomiales/Análisis de Casos 
Práctica de Clase/Casa 
I. Funciones Polinomiales: considere las funciones polinomiales mostradas a continuación, en 
donde se le pide lo siguiente. 
 
• El valor de las raíces o ceros de la función utilizando el programa incorporado en la Calculadora Casio 
991 ES PLUS, comprobando sus resultados con el programa GeoGebra. 
• La Tabla de Valores obtenido tomando como referente los valores de las raíces, asistiéndose con el 
programa GeoGebra. 
• La Gráfica correspondiente a cada caso, mostrando en la misma los puntos de intersección con el Eje 
X y con Eje Y; así como los extremos de la función (puntos máximos o mínimos de la curva). 
 
# Función Polinomio 
1 𝑦 = ⁡𝑥3 − 6𝑥2 
2 𝑦 = ⁡𝑥3 − 9𝑥 
3 𝑦 = ⁡𝑥4 − 2𝑥3 
4 𝑦 = ⁡𝑥4 − 6𝑥2 
 
8 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
 Continuación de los modelos de funciones polinomiales. 
 
# Función Polinomio 
5 𝑦 = ⁡4𝑥3 − 𝑥4 
6 𝑦 = ⁡𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 
7 𝑦 = ⁡2𝑥3 − 𝑥2 − 18𝑥 + 9 
8 𝑦 = ⁡𝑥4 − 6𝑥2 
 
II. Enlaces para ejemplos de gráficas: en este enlace de Classroom se encontrarán las gráficas de 
la mayoría de las funciones anteriormente anotadas, juntamente con capturas de pantalla de 
calculadora científica con la utilización del programa para la obtención de las raíces de una ecuación 
polinómica. 
 
https://classroom.google.com/c/MTk3MDY5NTE3NDE2/m/MjY3OTU0MDE0ODMx/details 
 
 
 
https://classroom.google.com/c/MTk3MDY5NTE3NDE2/m/MjY3OTU0MDE0ODMx/details
9 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Unidad # 1: Funciones/Modelos Matemáticos/Análisis de Casos 
Modelos Gráficos Polinomiales 
 
# Modelo Polinomial Campo de Aplicabilidad 
1 𝑃(𝑥) = 0.02823𝑥3 − 1.0922𝑥2 + 13.029𝑥2 + 146.882,⁡⁡⁡⁡⁡ ⁡0 ≤ 𝑥 ≤ 39 
 
Población Carcelaria 
2 𝑇(𝑥) = −0.01085𝑥3 + 0.5804𝑥2 − 10.12𝑥 + 962.43,⁡⁡ ⁡0 ≤ 𝑥 ≤ 22 
 
Calificación de un Examen SAT 
3 𝑃(𝑥)4 =⁡−3.79 + 144.42𝑥 − 23.86𝑥2 + 1.457𝑥3 Modelo de Patentes 
4 𝑃(𝑥) = −1 + 8𝑥 + 2𝑥2 − 0.4𝑥3 Rentabilidad de Inversiones 
5 𝐶(𝑡) = −0.00271𝑥3 + 0.137𝑥2 − 0.892𝑥 + 0.1495,⁡⁡⁡⁡ ⁡⁡⁡⁡⁡8 ≤ 𝑥 ≤ 30 Desarrollo Embrionario 
 
 
 
 
 
2 Fuente: Modelo de los autores Costenoble y Waner, en la obra Cálculo Aplicado, página 292, Ejemplo # 68. Los datos son tomados, según los autores, de 
Sourcebook of Criminal Justice Statistics, 1990, U.S. Dept. of Justice, Bureau of Justice Statistics, p. 604 
3 Fuente: Modelos de los autores, Ídem, basado en datos del Educational Testing 
4 Fuente: F. M. Scherer, “Firm Size, Market Structure, Opportunity and the Output of Patented Inventions”, American Economic Review, Vol. 55. 
5 Fuente: los datos son aproximaciones a los datos gráficos publicados en el artículo “The Brush Turkey” por Roger S. Symour en Scientific American, diciembre 
de 1991, pp. 108 a 114. 
10 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Unidad: Funciones/Modelos Matemáticos 
Tema: La función de segundo grado y sus aplicaciones 
 Desarrollo: resuelva los problemas siguientes: 
1- Un vendedor de bebidas gaseosas en una plaza de la localidad analiza sus registros de ventas y 
encuentra que si vende "𝑥" latas de bebidas en un día sus ganancias estarán dadas por la 
ecuación:⁡𝑈(𝑥) = ⁡−0.001𝑥2 + 3𝑥 − 1800.⁡ Determine la ganancia máxima y cuántas latas debe vender 
para obtenerla. 
2- Un fabricante de autos de colección estima que su modelo de fabricación está basado en la cuadrática 𝑈(𝑥) = −0.002𝑥2 + 200𝑥 − 100000. Se le pide que determine: 
a) El número de autos que debe fabricar para obtener la máxima utilidad. 
b) ¿a cuánto asciende esa utilidad?; c) las raíces de la cuadrática; d) la gráfica del modelo 
3- Una compañía expresa sus utilidades por medio del modelo matemático siguiente: 𝑈(𝑥) = −0.0005𝑥2 +178𝑥 − 450000, en donde "𝑥" representa el número de unidades vendidas. Se le pide: a) el nivel de 
ventas que dará la máxima utilidad; b) la utilidad máxima; c) si el precio se define como 𝑝 =−0.0008𝑥2+150𝑥𝑥 , ¿cuál es ese precio?; d) la gráfica de este modelo 
4- Para los siguientes casos, se le pide determinar las raíces, el vértice y la gráfica de la curva: 𝒂)⁡𝒚 = −𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒃)⁡𝒚 = −𝟒𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝟕𝟓𝒙 − 𝟖𝟕𝟓𝟎 𝒄)⁡𝒚 = −𝟎. 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟑𝟎 𝒅)⁡𝒚 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟎𝒙 − 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆)⁡𝒚 = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 
 
𝑓)⁡𝑦 = −5𝑥2 + 12𝑥 + 63 𝑔)⁡𝑦 = −9𝑥2 − 70𝑥 + 24 ℎ)⁡𝑦 = −7𝑥2 + 25𝑥 − 20 
 
 
 
11 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Tarea # 2 (Unidad de Modelos y Gráficas de Funciones) 
I. Funciones Polinomiales: gráficas y puntos principales: se les pide que elaboren la gráfica, sea deforma manual 
o a través de un programa; y que, en la misma gráfica, hagan señalamientos de los puntos principales de la curva. 
Entre esos puntos principales se deben señalar los siguientes: raíces con los ejes coordenados (eje X y eje Y), los 
máximos y mínimos, o como se conocen, los extremos. Cada uno de estos puntos tienen que ir expresados a través de 
sus coordenadas cartesianas. Además, se le pedirá un Tabla de Valores, las cuales tendrán escala diferente. En la 
primera curva, la escala es “cada unidad 0.75”; y en la segunda, la escala, “cada unidad 0.5”. 
 
(1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 − 15 (Valor: 25 puntos). 
 
(2) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 − 10𝑥3 (Valor: 25 puntos). 
 
II. Modelos Gráficos: Análisis de Casos prácticos. 
 
(1) Modelo utilizado para recompensar los estudios universitarios. En este modelo se pretende mostrar cómo 
los años de estudios son recompensados en materia salarial. Cada año de estudio representa un salario 
correspondiente por ese año cursado. El modelo no puede ser exhaustivo y tiene sus fallas; no obstante, le sirve 
a la empresa para incentivar que sus empleados realicen estudios universitarios. 
 𝐼(𝑛) = −99.288𝑛3 + 415.86𝑥2 + 353.29𝑥 + 167.608, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒⁡"n" representa los años de estudios e 𝐼(𝑛) representa el 
salario correspondiente por ese año cursado. Se le pide que determine el salario devengado en cuatro años de 
carrera de universitaria (salario para cada año, 1, 2, 3 y 4 años de estudios universitarios). ¿Para qué año de 
estudio, según la ecuación, el modelo no es bueno para su aplicación? Explique en sus propias palabras. Además, 
elabore la gráfica correspondiente (no son necesarios los puntos principales en la entrega, solo la gráfica) 
(Valor: 25 puntos). 
 
(2) Modelo de Productividad. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador 
después de “t” horas en el trabajo se puede modelar por medio de la ecuación: 𝑃(𝑡) = 27𝑡 + 6𝑡2 − 𝑡3, donde “P” 
es el número de horas producidas. Se le pide: a) determinar las raíces de la ecuación, b) ¿para qué valores de 
“t” tiene sentido este modelo?, c) ¿para qué valores de “t”, “P” es creciente? Y d) Trace la gráfica. (Valor:25 
puntos). 
12 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
 
Universidad de Panamá 
Facultad de Ciencias Agropecuarias 
I semestre 2021: Curso de Matemática General Mat 175 
Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez 
Tarea # 3 (Unidad: la Función de Segundo grado/La Cuadrática/Aplicaciones) 
III. Funciones de Segundo grado/Cuadráticas: para cada una de las funciones de segundo grado 
anotadas a continuación, se le pide que determine el vértice, las raíces y la gráfica de la curva, 
mostrando en la misma todos los datos anteriores. 
 
(3) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 + 3𝓍 + ⁡22 (Valor: 20 puntos). 
 
(4) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −9𝑥2 + 12𝓍 + 4⁡ (Valor: 20 puntos) 
 
(5) 𝓎⁡ = ⁡𝒻⁡(𝓍) ⁡= ⁡−5𝑥2 ⁡− 19𝓍⁡ + ⁡20 (Valor: 20 puntos) 
 
IV. Construcción de la Función Utilidad: dadas las funciones costo e ingreso, se le pide que 
determine la función utilidad para cada caso. Además, para dichas funciones se le pide el valor de 
las unidades que hacen máxima la utilidad, y también el valor numérico de la utilidad en dólares. 
En esta sección no se pide gráfica. 
 
(3) 𝐶(𝑥) ⁡= ⁡4000⁡ − 40𝓍 + 0.02𝑥2 𝐼(𝓍) ⁡= ⁡50𝓍⁡ − 0.01𝑥2 (Valor: 20 puntos) 
 
(4) 𝐶(𝑥) ⁡= ⁡60𝓍⁡ − 0.0003𝑥2 𝐼(𝓍) ⁡= ⁡200𝓍⁡ − 0.0005𝑥2 − 250000 (Valor: 20 puntos) 
 
 
13 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Universidad de Panamá 
Facultades de Ciencias Agropecuarias/Ciencias/FAECO/Humanidades 
I semestre 2021: Cursos de Matemáticas 175; 510; 210 y NCM 
Tarea de Recuperación (Unidad de Repaso) 
I. Evaluación de expresiones numéricas: Valor: 40 puntos 
# Expresión Numérica Resp. # Expresión Numérica Resp. 
1 675𝜖4𝜖3 − 𝜋4 6 √ √𝜋4 + 200334𝜋2 − 43𝜋3 + 54𝜋25 
2 √2𝜖4 + 𝜋45𝑙𝑜𝑔(𝜖2 + 2) 7 √567 + 𝜖5√123725 + 𝜋0.023 + 𝜖3 
3 3183 × 21824185 4⁄ − 300−2 3⁄ 8 √1000𝜖−3𝜖0.5𝜋4( 2400𝜋 + 500𝜖)5 
 
4 𝑙𝑛⁡(4𝜋4 + 300)𝑙𝑛⁡(6003𝜖3) 9 √𝜋2 × 𝜋5 + 3001 3⁄7 + 𝑙𝑜𝑔√𝜖−434𝜖 − 3𝜋4 
5 𝑙𝑛(3𝜋2 + 2𝜖−2𝑙𝑜𝑔(505𝜖−3) + 𝜖4 − 𝜖2𝜖2 3⁄ − 𝜖𝜋 10 2−1 3⁄ + 3𝜖42(𝜖4 + 𝜋2) + 𝑙𝑜𝑔√𝜖−434𝜖 − 3𝜋4 
 
II. Ecuaciones Algebraicas: despejar la variable "𝑖" en cada una de las ecuaciones siguientes. Valor: 60 
puntos. ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1):⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡2𝜖5 + 𝜖−2.51004 =⁡1005−2(1 + 1𝑖3)3; ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2):⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡42⁡(1.0413 + 15𝑖5 ) = ⁡212 
14 
Departamento de Matemáticas/UP: Curso de Matemáticas Mat 175 (PRE-CÁLCULO) para la Facultad de Ciencias Agropecuarias 
Materiales Didácticos: Prácticas de Clase/Casa; Tareas; Ejemplos Resueltos. Rev. Profesor R. A. Zapata Sánchez/Código:2501 
 
Modelos Gráficos/Uso de GeoGebra/Funciones: enlaces para ver las gráficas 
https://www.geogebra.org/calculator/a4xnfkzw 
https://www.geogebra.org/calculator/hxyrzsfz 
https://www.geogebra.org/calculator/kutdmwjz 
https://www.geogebra.org/calculator/heqd28ht 
https://www.geogebra.org/calculator/pcsydpm8 
https://www.geogebra.org/calculator/kutdmwjz 
 
https://www.geogebra.org/calculator/a4xnfkzw
https://www.geogebra.org/calculator/hxyrzsfz
https://www.geogebra.org/calculator/kutdmwjz
https://www.geogebra.org/calculator/heqd28ht
https://www.geogebra.org/calculator/pcsydpm8
https://www.geogebra.org/calculator/kutdmwjz