Anual Uni_Semana 4_Geometría

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GEOMETRÍA
PLANA DE GEOMETRÍA
Tema: Aplicaciones de la
congruencia de triángulos I
UTILIZAR ADECUADAMENTE LOS TEOREMAS DE LA BISECTRIZ Y 
LA MEDIATRIZ.
RELACIONAR ADECUADAMENTE LAS MEDIDAS ANGULARES Y 
LAS LONGITUDES DE LADOS EN LOS TRIÁNGULOS 
RECTÁNGULOS 30° Y 60°, 45° Y 37°, 53°.
CONSOLIDAR LO APRENDIDO EN LA RESOLUCIÓN DE 
PROBLEMAS TIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI.
Taladro antiguo,
utilizado desde el
antiguo Egipto.
El Origami , conocido como
el arte de doblar papel,
permite apreciar durante
su construcción figuras
simétricas, es decir, figuras
congruentes respecto de
una línea.
En la naturaleza
también observamos
animales y cosas que
presentan esta situación
de poder trazar una
línea imaginaria que la
divida en partes
congruentes.
APLICACIONES DE LA 
CONGRUENCIA.
• Teorema de la bisectriz.
• Teorema de mediatriz.
• Triángulos rectángulos
notables.
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
TEOREMA DE LA BISECTRIZ:
𝜙𝜙
𝜓𝜓
𝑏𝑏
𝐵𝐵
𝑎𝑎
𝐴𝐴
𝛼𝛼
𝛼𝛼
Todo punto de la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados de dicho ángulos.
RECÍPROCO:
Si 𝑂𝑂𝑂𝑂 es bisectriz:
Se cumple:
𝑂𝑂
𝐵𝐵
𝑎𝑎
𝐴𝐴
𝑎𝑎
Si 𝑂𝑂 equidista de los lados del ángulos:
𝑂𝑂
𝑂𝑂
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏
Además:
𝑂𝑂𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝐵𝐵 = 𝓂𝓂
𝓂𝓂
𝓂𝓂 𝑂𝑂
𝝓𝝓 = 𝝍𝝍
OBSERVACIÓN:
𝒶𝒶
Generalmente cuando se tiene
una bisectriz y desde un punto de
ella hay una perpendicular,
entonces se traza la otra
perpendicular para aprovechar la
igualdad de sus longitudes.
trazar
𝛼𝛼
𝛼𝛼 𝒶𝒶
→ 𝑂𝑂𝑂𝑂 es bisectriz:
𝜃𝜃
En la gráfica, calcule 𝐵𝐵𝐵𝐵, si 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐸𝐸 = 20.
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐵𝐵 𝐵𝐵
𝐸𝐸
𝜃𝜃
90°− 2𝜃𝜃
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐵𝐵 𝐵𝐵
𝐸𝐸
𝜃𝜃
90° − 2𝜃𝜃
RESOLUCIÓN: Nos piden 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥
𝑥𝑥 Dato:
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝒂𝒂 − 𝒃𝒃 = 𝟐𝟐𝟐𝟐
 Completamos medidas angulares
 Se tiene que:
𝐴𝐴𝐵𝐵: Bisectriz del ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐸𝐸
𝑥𝑥
→ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐸𝐸 = 𝑥𝑥
 Además ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 es isósceles:
→ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎
→ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏
20
∴ 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟐𝟐
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
APLICACIÓN
𝜙𝜙 𝜙𝜙
𝜃𝜃 𝜃𝜃
Todo punto de la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos de dicho
segmento.
 De lo anterior:
En el gráfico �⃡�𝐿
es mediatriz
de 𝐴𝐴𝐵𝐵:
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝐴𝐴 𝐵𝐵𝑚𝑚 𝑚𝑚
En un triángulo isósceles se sugiere trazar
la altura hacia la base
Se traza 𝐵𝐵𝐵𝐵
 Altura
 Mediana
 Bisectriz interior
 Porción de mediatriz
Para los tres casos 𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
Altura y mediana Altura y bisectriz Bisectriz y mediana
𝐿𝐿
𝑂𝑂
𝑄𝑄
Se cumple:
𝐵𝐵𝐴𝐴
𝐵𝐵
ℓ ℓ
𝐵𝐵𝓃𝓃 𝓃𝓃
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑏𝑏𝑎𝑎
𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑏𝑏𝑎𝑎
𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝑡𝑡 𝑡𝑡
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ
NOTA
𝜙𝜙
𝜙𝜙
OBSERVACIONES
𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝜙𝜙
2𝜙𝜙
Tener en cuenta que:
Cuando se identifique este
gráfico en un problema, la
idea es aprovechar lo
siguiente…
𝜙𝜙
2𝜙𝜙
 En el siguiente gráfico:
Se sugiere completar el 
triángulo
Éste será isósceles ℓ ℓ
𝓂𝓂 𝓂𝓂
 Ten en cuenta que la gráfica puede estar en
diferente posición
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑑𝑑
𝑑𝑑
Se traza la bisectriz 
de ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐸𝐸
𝐸𝐸
𝐴𝐴
𝐵𝐵𝐵𝐵 ℓ
ℓ
ℓ
𝐴𝐴
Se tiene que 
∆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 es isósceles
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
𝒉𝒉𝟐𝟐
TEOREMAS ADICIONALES:
𝑎𝑎 𝑏𝑏
ℎ
 Si ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 es isósceles de base 𝐴𝐴𝐵𝐵:
𝒉𝒉 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃
 Si ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 es equilátero:
𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝒄𝒄
𝒙𝒙
𝑂𝑂
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐵𝐵 𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐵𝐵
𝓂𝓂 𝓂𝓂
𝓂𝓂
𝒉𝒉𝟏𝟏
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐵𝐵
 Si ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 es isósceles de base 𝐴𝐴𝐵𝐵:
𝑂𝑂
Sea 𝑂𝑂 un 
punto 
cualquiera 
de la base
Se cumple:
𝒉𝒉𝟏𝟏 = 𝒉𝒉𝟐𝟐
Se cumple:
Sea 𝑂𝑂 un punto 
cualquiera de la 
región interior 
del triángulo
𝒙𝒙 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄
Se cumple:
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
𝛿𝛿
𝛿𝛿
𝑆𝑆
DEMOSTRACIÓN:
Vamos a demostrar que:
ℎ = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝛼𝛼 𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝑎𝑎
𝑄𝑄
𝐵𝐵
𝑅𝑅
𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑂𝑂
𝐵𝐵
𝑏𝑏
ℎ
𝑏𝑏
𝛼𝛼
• Como ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 es isósceles:
𝑚𝑚∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑚𝑚∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝛼𝛼
• En los triángulos rectángulos 𝐴𝐴𝑅𝑅𝑂𝑂 y 𝑂𝑂𝑄𝑄𝐵𝐵:
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝑂𝑂𝑅𝑅 = 𝑚𝑚∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝑄𝑄 = 𝜃𝜃
• Notamos 𝑂𝑂𝐵𝐵 es bisectriz, trazamos
perpendicular 𝐵𝐵𝑆𝑆 a 𝑂𝑂𝑆𝑆.
• Por teorema de la bisectriz:
𝐵𝐵𝑄𝑄 = 𝐵𝐵𝑆𝑆
𝑂𝑂𝑄𝑄 = 𝑂𝑂𝑆𝑆 = 𝑏𝑏
• 𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵𝑆𝑆 es rectángulo:
∴ ℎ = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝛿𝛿
𝛿𝛿
Se traza para 
generar bisectriz
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
𝜽𝜽
3𝜃𝜃 3𝜃𝜃
3𝜃𝜃 2𝜃𝜃
6𝜃𝜃
𝑥𝑥
𝑂𝑂
𝑀𝑀𝐴𝐴 𝐵𝐵
𝐵𝐵
RESOLUCIÓN: Nos piden m∢PCA 𝑀𝑀Á𝑋𝑋(ℤ) = 𝑥𝑥
Dato:
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6𝜃𝜃
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2𝜃𝜃
 Como �⃡�𝐿 es mediatriz del 𝐵𝐵𝐵𝐵.
Por teorema de la mediatriz:
𝑂𝑂𝐵𝐵 = 𝑂𝑂𝐵𝐵 = 𝑎𝑎
 Ósea el ∆𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 es isósceles:
𝑚𝑚∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3𝜃𝜃
→ 𝑥𝑥 = 𝜃𝜃
 Además, se sabe que el ∆ABC es
acutángulo:
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 < 90°
6𝜃𝜃 < 90°
𝜃𝜃 < 15° como 𝑥𝑥 = 𝜃𝜃
𝑥𝑥 < 15°
𝒙𝒙𝐦𝐦á𝐱𝐱(𝒛𝒛) = 𝟏𝟏𝟏𝟏°
𝐿𝐿
𝑎𝑎
𝑎𝑎
UNI 2020-1PROBLEMA
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Y APROXIMADOS
𝑏𝑏
45°30°
𝑏𝑏
𝑏𝑏 2𝑏𝑏
2𝑏𝑏
𝑏𝑏 3
53°
37°
3𝑏𝑏
4𝑏𝑏
5𝑏𝑏60° 45°
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
Demostración del triángulo de 30° y 60°. Ejemplo del triángulo de 45°. Lados en progresión
aritmética (37° y 53°).
SUGERENCIA CON LA TABLETA
GRAFICA
Ahora que conocemos los ⊿𝑠𝑠 notables,
nos será muy útil para la resolución de
problemas
APLICACIÓN
En el gráfico 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 3 y 𝐴𝐴𝐸𝐸 = 4, calcule el
valor de 𝑥𝑥
𝐸𝐸𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐵𝐵
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝐸𝐸𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐵𝐵
𝑥𝑥
𝑥𝑥
RESOLUCIÓN Nos piden 𝑥𝑥
3
4
 𝐴𝐴𝐵𝐵 es bisectriz del ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐸𝐸, por
teorema de la bisectriz:
Trazamos 𝐵𝐵𝐿𝐿 ⊥ 𝐴𝐴𝐸𝐸
→ 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐿𝐿 = 3
𝐿𝐿3
 Entonces: 𝐿𝐿𝐸𝐸 = 1
1
R
E
C
O
R
D
A
R
 De lo recordado:
⊿𝐴𝐴𝐵𝐵𝐸𝐸 es notable de 
30° y 60°
∴ 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟑
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11
	Número de diapositiva 12
	Número de diapositiva 13
	Número de diapositiva 14
	Número de diapositiva 15