BertJanssen-RelatividadGeneral-110

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φ
α
α
δr
p
q
φ
α
∆φ
α−∆φ
p
q
α
α
yδ
p
q
Figura 7.3: El transporte paralelo en R2 (utilizando la conexión de Levi-Civita) en coordenadas cartesianas
y polares. Las componentes del vector siguen inalteradas bajo un traslado en una dirección cartesiana. Sin
embargo, al trasladar un vector V µ(p) de p a q en una dirección radial cambia la componente V ϕ. Si se
traslada en la dirección ϕ, cambian tanto la componente V r como V ϕ.
conexión son cero. Sin embargo, en coordenadas polares (r, ϕ) las componentes no nulas de la
conexión son
Γϕrϕ = Γ
ϕ
ϕr = r
−1, Γrϕϕ = −r, (7.6)
lo que implica que bajo un desplazamiento en r el vector transportado paralelo tiene componen-
tes
V rp (q) = V
r(p), V ϕp (q) = V
ϕ(p) − 1
r
V ϕ(p)δr, (7.7)
y bajo un desplazamiento en la dirección ϕ
V rp (q) = V
r(p) + rV ϕ(p)δϕ, V ϕp (q) = V
ϕ(p) − 1
r
V r(p)δϕ. (7.8)
Dejamos como ejercio comprobar que este resultado es efectivamente lo que sale al trasladar
un vector radialmente de un punto p con coordenadas (r, ϕ) a uno punto q con coordenadas
(r + δr, ϕ), y angularmente a un punto q con coordenadas (r, ϕ + δϕ) respectivamente (véase
Figura 7.3).
La pregunta de antes, sobre cómo identificar el vector de Tq(M) que es paralelo a V µ(p), se
puede responder ahora de la siguiente manera: Dada una conexión Γρµν y dada una curva γ entre
los puntos p y q, se identifica V µp (q) a través de la formula (7.5). Pero la pregunta básica queda:
¿cuál es la conexión adecuada a utilizar en una variedad determinada? ¿Cómo conseguimos la
forma de la N3 funciones Γρµν para poder aplicar la formula (7.5)?
La respuesta otra vez es difı́cil. Resulta que en una variedad determinada hay muchas (¿infi-
nitas?) conexiones posibles, que todas definen de manera distinta el vector V µp (q). La eleción de
qué conjunto de funciones Γρµν utilizamos es arbitraria. Esto es el resultado del hecho de que en
realidad no hay una manera natural de comparar vectores de diferentes espacios vectoriales y
que en variedades arbitrarias no existe una noción natural de paralelo.
Afortunadamente, si existe una métrica sobre nuestra variedad, podemos definir una cone-
xión preferida, con ciertas propiedades que la hace única. Esta conexión es la conexión de Levi-
Civita y la estudiaremos en más detalle en el Capı́tulo 8. Pero merece la pena enfatisar que las
condiciones que satsiface la conexión de Levi-Civita para tener lasmencionadas propiedades, son
sobre todo condiciones fı́sicas, no tanto matemáticas. Matemáticamente no hay ninguna razón
para preferir la conexión de Levi-Civita ante cualquier otra conexión posible, salvo su unicidad.
De momento seguiremos trabajando con una conexión general y en el siguiente capı́tulo nos cen-
traremos en la conexión de Levi-Civita.
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