BertJanssen-RelatividadGeneral-174

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2πε
Figura 11.1: El avance del perihelio (exagerado): Cada vuelta alrededor del Sol, el perihelio se mueve con
un ángulo 2πε
L y cambiando a la variable u = r−1, la ley de conservación de energı́a se convierte en (ejerc.)
( du
dϕ
)2
+ u2 =
2m0E
L2
+
2m20M
L2
u, (11.21)
donde hemos escrito la variable u como función de ϕ a través de la regla de la cadena
du
dt
=
du
dϕ
dϕ
dt
. (11.22)
La ecuación (11.20) se puede integrar directamente, pero es más fácil si la derivamos otra vez con
respecto a ϕ, para obtener la ecuación de Binet (ejerc.)
d2u
dϕ2
+ u =
m0M
L2
, (11.23)
cuya solución son las conocidas secciones cónicas
u =
m0M
L2
(
1 + e cosϕ
)
, (11.24)
donde e =
√
1 + 2L2E/m20M es la excentricidad de la órbita. Para energı́aE < 0, la excentricidad
e es menor que 1 y la trayectoria es un elipse.
Miramos ahora el caso relativista. Para calcular la órbita de una partı́cula con masa m0 en
relatividad general tenemos que calcular las geodésicas temporales en la solución de Schwarz-
schild (11.19). Las componentes t y ϕ de la ecuación de la geodésica (7.46) y la condición (7.53)
de que sea temporal en este espacio vienen dadas por
(
1 − 2M
r
)
ṫ = k, r2ϕ̇ =
L
m0
,
(
1 − 2M
r
)
ṫ2 −
(
1 − 2M
r
)−1
ṙ2 − r2ϕ̇2 = 1, (11.25)
donde k y L son constantes de integración. Por comparación con (11.20) podemos interpretar L
como el momento angular de la partı́cula, mientras k es la constante de proporcionalidad en-
tre la coordenada temporal t y el tiempo propio de la partı́cula. Sustituyendo las primeras dos
ecuaciones en la última obtenemos (ejerc.)
( dr
dϕ
)2
+ r2
(
1 − 2M
r
)[
1 +
m20r
2
L2
]
− k
2m20r
4
L2
= 0, (11.26)
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