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Mφ φ δ = φ + φ1 2 21 Figura 11.3: La deflexión de la luz: la luz de un objeto (estrella negra) que pasa cerca de un objeto masivo, está desviada por el campo gravitatorio y proyecta una imagen (estrella blanca) en una posición distinta. y asumiendo que la solución u(ϕ) es una perturbación del resultado newtoniano u(ϕ) = u0(ϕ) + εu1(ϕ), (11.46) con u0(ϕ) dado por (11.42), se puede ver fácilmente que la ecuación para u1 es de la forma d2u1 dϕ2 + u1 = R −1 0 sin 2(ϕ − ϕ0), (11.47) cuya solución viene dada, hasta primer orden en ε, por u1(ϕ) ≈ 1 3 R−10 + 1 3 βR−10 cos(ϕ − ϕ0) + 1 3 R−10 cos 2(ϕ − ϕ0), (11.48) con β una constante adimensional arbitraria, que podemos poner a cero para el caso que nos interesa. La solución completa, hasta primer orden en ε, es por lo tanto u(ϕ) ≈ R−10 sin(ϕ − ϕ0) + M R20 [ 1 + cos2(ϕ − ϕ0) ] , (11.49) o, en terminos de r, r sin(ϕ − ϕ0) ≈ R0 − M R0 [ 1 + cos2(ϕ − ϕ0) ] , (11.50) donde efectivamente se puede ver el término entre corchetes como una perturbación de (11.43). Lejos del centro del objeto masivo (es decir para r ≫ M ), la solución tiende asintóticamente al espacio de Minkowski, de modo que para r → ∞, la trayectoria de la luz tiende a una recta. Sólo cerca del objeto masivo, la desviación es apreciable y la trayectoria real interpola entre una recta entrante y otra saliente. Consecuentemente, el ángulo δ de la deflexión de la luz es el ángulo entre estas dos rectas, que viene dado por la suma de los ángulos ϕ1 y ϕ2 que hacen las rectas con el eje x (véase Figura 11.3). Para determinar δ en términos de M y R0, basta con expresar ϕ1 y ϕ2 en función de éstas, a través de (11.50). Cuando u → 0, ϕ → ϕ2 a lo largo de la recta saliente, de modo que (11.49) se reduce a 0 ≈ R−10 sin(ϕ − ϕ2) + M R20 [ 1 + cos2(ϕ − ϕ2) ] , (11.51) o, en hasta primer orden en ϕ − ϕ2, ϕ2 ≈ ϕ + 2M R0 . (11.52) 178
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