BertJanssen-RelatividadGeneral-211

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donde la constante K puede tener un valor arbitrario positivo, negativo o cero, correspondiendo
respectivamente a una variedad tridimensional con curvatura constante positiva, negativa o cero.
Para interpretar esta métrica y para futuro comodidad es conveniente sacar un factor común
|K|−1, a través del rescaleo de la coordenada radial r̄ = r/
√
|K| (para K 6= 0). La métrica (13.10)
entonces coge la forma
ds̃2 = |K|−1
[ 1
1 − kr2 dr
2 + r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)]
, para K 6= 0
ds̃2 = dr2 + r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, para K = 0 (13.11)
donde ahora la constante k está definida como k = K/|K|.
Para interpretar la métrica (13.11), hay que considerar uno por uno los tres casos de K positi-
vo, negativo o cero. El caso más sencillo es sin duda K = 0: en (13.11) reconocemos directamente
la métrica para R3 en coordenadas esféricas. Esto era de esperar, ya que para K = 0 la ecua-
ción (13.3) se reduce a la condición para el espacio plano. Intuitivamente sabemos que R3 es un
espacio de curvatura constante, puesto que tiene curvatura cero en todos los puntos.
El caso K > 0, es decir curvatura constante positiva, es un poco más sutil. Nótese que ahora
k = 1 y por lo tanto el rango de la coordenada r cubre sólo el intervalo ] − 1, 1[, ya que la
componente g̃rr se vuelve singular cuando r → ±1. Es por lo tanto natural hacer el cambio de
coordenadas
r = sin χ ⇐⇒ dχ = dr√
1 − r2
, (13.12)
de modo que la métrica (13.11) se convierte en
ds̃2 = K−1
[
dχ2 + sin2 χ
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)]
. (13.13)
Esta métrica es la de una esfera tridimensional S3 con radio K−
1
2 . La manera más fácil verlo es
embeber (13.13) en el espacio plano cuadridmensional R4 a través de las coordenadas
X1 = K−
1
2 sin χ sin θ cosϕ, X3 = K−
1
2 sin χ cos θ,
X2 = K−
1
2 sin χ sin θ sin ϕ, X4 = K−
1
2 cosχ.
(13.14)
Claramente estas coordenadas satisfacen la ligadura (X1)2 + (X2)2 + (X3)2 + (X4)2 = K−1, de
modo que las coordenadas {χ, θ, ϕ} efectivamente describen una tres-esfera enR4 con radioK− 12 .
Además la métrica (13.13) corresponde a la métrica de esta tres-esfera, porque sustituyendo la
parametrización (13.14) en la métrica cartesiana de R4 (¡sin olvidarse de la ligadura!) obtenemos
(ejerc.)
ds2 = (dX1)2 + (dX2)2 + (dX3)2 + (dX4)2 = K−1
[
dχ2 + sin2 χ
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)]
. (13.15)
El último caso es la variedad con curvatura constante negativa, K < 0, o equivalentemente
k = −1. En este caso podemos hacer el cambio de coordenadas
r = sinhχ ⇐⇒ dχ = dr√
1 + r2
, (13.16)
de modo que la métrica (13.11) se convierte en
ds̃2 = K−1
[
dχ2 + sinh2 χ
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)]
. (13.17)
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